Tema 7_Sistemes Digitals

Sistemes DigitalsTema 5

Vicent Pastor

5.1.- Sistemes analògics i digitals

- Sistemes analògics: són aquells sistemes que treballen amb senyals de

tipus continu amb un marge de variació determinat.

Els senyals analògics són els que poden variar d’una manera progressiva

sobre un interval continu de valor. Són senyals analògics la temperatura, la

pressió, el soroll, el pes, la velocitat…

- El principal avantatge dels sistemes analògics és que la informació

analògica conte infinits valors instantanis i, per tant, resulta molt completa.

2Sistemes Digitals - Vicent

Pastor


- Exemple: apagada i encesa de llums halògens mitjançant un

potenciòmetre.


Pastor


- Sistemes digitals: són aquells que treballen amb senyals de tipus tot o res

(anomenats binaris).

Els senyals digitals són els que poden presentar dos estats o nivells: obert o

tancat, activat o desactivat, connexió o desconnexió,... Aquests nivells o estats

es solen representar per variables lògiques o bits, el valor del qual pot ser 0 ó

1.

- Els principals avantatges dels sistemes digitals són la comoditat d’ús,

senzillesa en la transmissió, facilitat en el processament i

l’emmagatzematge.


Pastor


- Exemple: apagada i encesa de llum mitjançant un interruptor.


Pastor


- Sistemes analògics i digitals: són sistemes mixtos que contenen blocs

analògics i blocs digitals.

Exemple: termòmetre digital.

- Funcionament:

1.- La captació de temperatura, magnitud física

analògica, es du a terme mitjançant un transductor

que proporciona un senyal elèctric analògic

proporcional al valor de temperatura mesurat.


Pastor


- Funcionament:

2.- El senyal obtingut pel transductor s’amplifica

mitjançant un amplificador analògic.

3.- Un processador converteix el senyal elèctric

analògic en senyal elèctric digital, processa les dades,

i memoritza el resultat.

4.- El resultat es visualitza per mitja d’un display digital

(visualitzador de cristall líquid).


Pastor

5.2.- Sistemes de numeració

- Sistema de numeració: conjunt de símbols i regles emprats per

representar dades numèriques o quantitats.

Sistema de numeració Base Símbols/signes/dígits

Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Binari 2 0,1


Pastor


- Sistema de numeració decimal:

Base: 10

Dígits: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

El valor de cada dígit està associat al valor d’una potència de base 10

i un exponent associat a la posició que ocupa el dígit menys un, començant a

comptar des de la dreta.

Decimal


Pastor


- Exemple:

528 = 5 cententes + 2 decenees + 8 unitats =

= 500 + 20 + 8 = 5 * 102 + 20 * 101 + 8 * 100

8245’97 = 8 milers + 2 centenes + 4 decenes + 5 unitats +

+ 9 dècimes + 7 centèssimes =

= 8000 + 200 + 40 + 5 + 0’9 + 0’07 =

= 8 *103 + 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 9 *10-1 + 7 *

10-2

Decimal


Pastor


- Sistema de numeració binari:

Base: 2

Dígits: 0,1 ( 0 = absència de senyal i 1 = presència de senyal)

El valor de cada dígit té un diferent valor depenent de la posició que

ocupi. El valor de cada posició és el d’una potència de base 2 elevat a un

exponent igual a la posició del dígit menys un començant a comptar des de la

dreta.

Per fer nombres negatius, un dels mètodes és utilitzar el primer bit de

l’esquerra com a bit de signe, si el valor d’aquest bit és 0, es considera que el

nombre és positiu. Si el seu valor és 1, el nombre és negatiu.

Binari


Pastor


- Exemple: CONVERSIÓ DE BINARI → DECIMAL

10112) = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 20 =

= 8 + 0 + 2 + 1 = 1110)

101012) = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 =

= 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110)

Binari a decimal


Pastor


- Exercici: Converteix de binari a decimal els següents nombres:

110012) = 2510)

111001012) = 22910)

10100112) = 8310)

1011’012) = 11’2510)

Binari a decimal


Pastor

5.2.- Sistemes de numeracióBinari a decimal

Taula 7.1

pàgina 184 14Sistemes Digitals - Vicent

Pastor


- CONVERSIÓ DE DECIMAL → BINARI

Per convertir un número de decimal a binari es segueix un procés de

divisions successives entre dos. Per obtenir el resultat s’agafa l’últim quocient i

tots els residus de les divisions en ordre invers.

- Exemple: 4710) = 1011112)

Decimal a Binari


Pastor


- CONVERSIÓ DE DECIMAL → BINARI

- Exemple: 2810) = 111002) 10010)

= 11001002)

Decimal a Binari


Pastor


- Exercici: Converteix de decimal a binari els següents nombres:

6110) = 11001002)

12510) = 11111012)

3410) = 1000102)

7710) = 10011012)

6410) = 10000002)

Decimal a binari


Pastor


Per processar la informació, els circuits digitals i els sistemes

informàtics, com que utilitzen el sistema de numeració binari, efectuen

operacions aritmètiques i lògiques amb nombres binaris.

- Addició binaria (suma):

Cal considerar 4 combinacions:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 amb transport o ròssec 1

Operacions aritmètiques amb nombres binaris


Pastor


Per processar la informació, els circuits digitals i els sistemes

informàtics, com que utilitzen el sistema de numeració binari, efectuen

operacions aritmètiques i lògiques amb nombres binaris.

- Addició binaria (suma):


0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 amb transport o ròssec 1



Pastor


- Sustracció binaria (resta):


0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 i de préstec 1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0



Pastor


- Sustracció binaria (resta):


0 - 0 = 0

0 - 1 = 1 i de préstec 1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0



Pastor


- Multiplicació binària:

La multiplicació binària es fa de manera anàloga a la multiplicació

decimal, amb l’excepció que la suma final dels productes parcials es fa en

binari. Les taules de multiplicar són les següents:

Taula del 0

Taula del 1



Pastor


- Divisió binària:

Per efectuar la divisió binaria cal seguir el mateix mètode que en la

divisió decimal amb l’excepció que les multiplicacions i les restes internes al

procés de la divisió es fan en binari.



Pastor


Quan s’han de representar nombres relativament grans en codi binari, el

nombre de bits augmenta considerablement, la qual cosa dificulta la conversió

a sistema decimal.

Per salvar aquest inconvenient s’utilitza, entre d’altres, el codi BCD,

basat en el sistema de numeració binari.

Consisteix en codificar cada xifra del nombre decimal, de forma

independent, amb el seu corresponent nombre binari utilitzant per a cada xifra

4 bits.

Codi BCD (Binary Code Decimal)


Pastor


- Exemple:

8 5 10)

0100 0101

5 6 8 10)

0101 0110 1000

Codi BCD (Binary Code Decimal)

Fer activitats 3, 4, 5 i 6

de la pàgina 187


Pastor

5.3.- Principis de l’àlgebra de Boole

Funcions i portes lògiques

- Els sistemes digitals i els automatismes lògics, per dur a terme la seva

tasca, fan servir funcions lògiques.

- Una funció lògica és una expressió algebraica formada per variables

binàries sobre les quals s’executen operacions lògiques. Els circuits

electrònics que efectuen directament les diferents funcions o operacions

lògiques s’anomenen portes lògiques.

- Per veure el resultat de la funció lògica segons els valors que prenen les

variables d’entrada, es fa servir la taula de veritat, que representa de

manera ordenada totes les combinacions possibles dels valors d’entrada i

la sortida que s’obtenen.


Pastor



- Per a n variables diferents, el nombre de combinacions serà de 2n.

❖ 2 variables → taula amb 4 files (combinacions)

❖ 3 variables → taula amb 8 files (combinacions)

❖ 4 variables → taula amb16 files (combinacions)


Pastor



- Funcions bàsiques de l’àlgebra de Boole:

En l’àlgebra de Boole es defineixen tres operacions lògiques

fonamentals:

❖ L’addició lògica o operació O (OR en anglès)

❖ El producte lògic o operació I (AND en anglès)

❖ El complement o la inversió, també operació NO (NOT en anglès)


Pastor



- Addició lògica o funció OR:


Pastor



- Addició lògica o funció OR:


Pastor

Enllaç web

digital

interactiva

http://www.xtec.cat/~ccapell/



- Producte lògic o funció AND:


Pastor



- Producte lògic o funció AND:


Pastor

Enllaç web

digital

interactiva




- Complement, negació, inversió o funció NOT:


Pastor



- Complement, negació, inversió o funció NOT:


Pastor

Enllaç web

digital

interactivaRegles

generals de la

funció NOT




- Portes lògiques especials:

A més de les portes lògiques bàsiques OR, AND i NOT, hi ha altres

portes més complexes, però de gran importància, que són capaces d’efectuar

funcions lògiques combinades; es tracta de les portes NOR, NAND i EXOR.


Pastor



- Negació de la funció OR o funció NOR:


Pastor



- Negació de la funció OR o funció NOR:


Pastor

Enllaç web

digital

interactiva




- Negació de la funció AND o funció NAND:


Pastor



- Negació de la funció AND o funció NAND:


Pastor

Enllaç web

digital

interactiva




- Variant de la funció OR o funció OR exclusiva o EXOR:


Pastor



- Variant de la funció OR o funció OR exclusiva o EXOR:


Pastor

Enllaç web

digital

interactiva




- Si complementem la sortida d’una funció OR exclusiva, llavors la

convertim en una funció NOR exclusiva o EXNOR:


Pastor


Esquemes de circuits lògics

- La realització de circuits lògics es du a terme interconnectant portes

lògiques. Podem obtenir tants esquemes a partir d’equacions lògiques

com equacions a partir d’esquemes de circuits lògics.


Pastor

Taula de veritat

Equacions lògiques


(logigrama)




Pastor

- Exemple 6 (llibre):

Representa l’esquema expressat per l’equació:

Resolució: primer es resolen els parèntesis, després els productes i

finalment les addicions.




Pastor

- Exemple 7 (llibre):

A partir de l’esquema de la figura, obtén l’equació de sortida del

circuit.

Resolució: es resol d’esquerra a dreta, és a dir, d’entrada a sortida. A cada

porta s’indiquen les variables d’entrada i l’equació lògica de la sortida, fins a

arribar a la sortida de la darrera porta del circuit. L’equació completa resultant

serà:


Obtenció de taules de veritat


Pastor

- Exemple: obtenció de la taula de veritat a partir de l’equació lògica.

La taula de veritat ha de contemplar totes les combinacions possibles de les

variables d’entrada → 2n variables d’entrada . De vegades es convenient obtenir

primer les sortides de les etapes intermèdies

Veure la següent diapositiva...



Pastor

- Exemple: obtenció de la taula de veritat a partir de l’equació lògica.

Obtenció de taules de veritat

Fer activitats 7, 8, 9 i 10

de les pàgines 198 i 199



Pastor

- L’àlgebra de Boole també es regeix per un conjunt de propietats, postulats

i teoremes, dels quals destacarem els més importants, així com la seva

forma dual. La forma dual d’una expressió és aquella en què canviant les

operacions producte per suma i suma per producte es defineix un altre

teorema.

A continuació, es mostren en forma de taula les propietats de

l’àlgebra de Boole.

Propietats bàsiques de l’àlgebra de Boole



Pastor

Propietats bàsiques de l’àlgebra de Boole

Fer activitat 11 de la

pàgina 199



Pastor

Per resoldre circuits lògics combinacionals amb portes lògiques

normalment se segueix un procés, el primer pas del qual consisteix a conèixer

l’enunciat del problema. A continuació es confecciona la taula de veritat, a

partir de les condicions plantejades, i s’estableix per a cada combinació

possible de les entrades l’estat de la sortida o sortides.

A partir de la taula de veritat podem obtenir la funció lògica de dues

maneres diferents:

❖ Com a addició de productes o minterms.

❖ Com a producte d’addicions o maxterms.

Obtenció de funcions a partir de la taula de veritat



Pastor

Obtenció de funcions a partir de la taula de veritat

Fer activitat 13 de la

pàgina 199



Pastor

La simplificació d’equacions permet obtenir circuits lògics més simples

i senzills, amb el consegüent estalvi econòmic, d’espai, de temps, de consum,

d’avaries, etc. Hi ha diversos mètodes per simplificar funcions lògiques:

❖ El sistema algebraic: és un sistema que utilitza l’aplicació de les lleis i

teoremes estudiats de l’àlgebra de Boole.

Aquest mètode es pot complicar i s’ha de dominar i conèixer les

propietats de l’àlgebra de Boole.

❏ Veure exemples 11, 12 i 13 de la pàgina 196 del llibre.

Simplificació de funcions



Pastor

❖ Mapes de Karnaugh: és un dels mètodes més pràctics quan el

nombre de variables per simplificar no és gaire elevat (no superior a

5). Es tracta d’un mètode basat en els teoremes d’àlgebra de Boole

per simplificar gràficament les expressions lògiques i parteix,

generalment, de la funció lògica de minterms. S’utilitzen unes taules o

diagrames, anomenats mapes de Karnaugh.




Pastor


2 variables

4 variables

3 variables

n variables 2n = x quadrícules

22 = 4 quadrícules

23 = 8 quadrícules

24 = 16 quadrícules



Pastor

- Procediment per omplir un mapa de Karnaugh:

Consisteix en posar un 1 en els quadres corresponents a les

combinacions d’entrada (expressió canònica de minterms) que activin la

sortida. Un cop completat el mapa haurem de fer agrupacions de caselles

contigües, tan grans com sigui possible, de 2n quadrícules: 1, 2, 4, 8… Per

obtenir la funció simplificada observarem els valors de les variables d’entrada.

Si la variable manté el mateix valor tota l’agrupació, aleshores formarà part de

l’expressió simplificada (negada si el valor de l’encapçalament de la fila o la

columna és 0 i sense negar si és 1). Si varia el seu valor dins de l’agrupació,

aleshores l’eliminarem ja que la sortida no dependrà del valor d’aquesta

variable.




Pastor

❏ Veure exemples 14 i 15 de la pàgina 197 i 198 del llibre.

❏ Veure enllaç per mostrar de forma interactiva Karnaugh.

❏ Resolució taules de veritat per Karnaugh online


Fer activitat 14 i 15 de la

pàgina 199


http://www.ee.calpoly.edu/media/uploads/resources/KarnaughExplorer_1.html



Pastor

❏ Fer activitats extra 1, 2, 3, 4 i 5.

❏ Fer activitats extra PAU-selectivitat


Education

Tema 7_Sistemes Digitals