Tema1:

Interpolacion, Aproximacion Polinomial e Integracion numérica. Aproximacion Lineal y Estimacion de Errores. Aproximacion Lineal en Terminos de la Diferencial. Ajuste Lineal. Metodo de LaGrange. Metodo de Diferencias Divididas.

Aproximacion Lineal y Estimacion de Errores:

Aproximacion Tangencial de una función

Formula: L ( x )=f (a)+ f ’ (a)(x−a) .

Ejemplo#1:

Aproximar el valor de la Expresión sin2(x ), con x=π4+0.08. Esto essin

2( π4+0.08).

Solucion:

Sea f (x)=sin2(x)→f ’( x)=sin (x) .cos(x )=sin (2x ).

Entonces:

f ( π4 )=sin2( π4 )=(√22 )

2

=24=12

f ’ ( x )=sin(2 π4 )sin ( π2 )=1

Por lo tanto:

L ( x )=f ( π4 )+ f ’( π

4 )(x−π4 )=¿

12+(x−π

4 )Luego:

sin2(x ) → L(x )=( 12 )+(x−π4 )

Para X=π4

+0.08.

sin2( π4+0.08)=12 + ( π

4+0.08−π

4 )=¿ 12+0.08=0.58 .

Resumen:

Valor Exacto: sin2( π4+0.08)=12=0.57966 (usando redondeo a 5 cifras significativas).

Valor Aproximado: 0.58.

Error Relativo:

E=|Valor Exacto –Valor AproximadoValor aproximado ||0.57966−0.580.58 |=0.00586

Error Porcentual:

Ep=Error Relativo x 100%0.00586 x100%=0.0586%

Ejercicios:

1. Aproximar el valor decos4( π4+0.01)

2. Aproximar el valor de sin (60 °1 ’ ) Sugerencia:60 °1 ’=π3+ 160 ( π

180 ) Aproximación Lineal en Términos de la Diferencial.

Formula: f (x+∆ x)→f (x )+dy

Ejemplo#2:

Hallar un valor aproximado a 3√65 en términos de la diferencial.

Solución:

Sea y=f (x )=3√ xdydx

=f ’ (x)dy=f ’ (x)dx dy= 1

33√x2

dx

Por otro lado:

Dado que el entero más próximo a 65 que tiene raíz cubica exacta es 64 entonces:

X=64 y dy=1

Luego:

3√65 = 3√64+1=¿ 3√64+¿ 1

33√642

(1)=4+ 148 ¿4.0208333

Resumen:

Valor exacto: 4.02073 .

Valor Aproximado: 4.0208333

Error Relativo:

E=|4.02073 – 4.02083334.0208333 |=0.00003 .

Error Porcentual:

Ep=0.00003 x100%=0.003% .

Ejercicios:

1. Se tiene un tubo de 8m de largo, 6cm de radio y 4.0 cm de espesor. Usando la diferencial, Aproximar el volumen de hierro del tubo.

Sugerencia: volumen de un cilindro circular recto V=π r2h

2. Se quiere calcular el área de una esfera a partir del radio r mediante la fórmula

A=4 π r2 y en tal forma que el margen de error sea de 5% . Estimar el margen de error porcentual con que debe medirse el radio.

Ajuste Lineal

Dados los nodos (x0 , y0);(x1 , y1); (x2 , y2) .

La recta:

y− y0=( y1− y0)x1−x0

(x−x0)

Ajusta de forma lineal todos los valores comprendidos entre x0 y x2

Ejemplo#3 (Problema del Asesinato)

Temperatura 37 ° 34.5 ° 33.7 °Tiempo t 12 :00h 13 :00h

Consideremos los nodos (12 ,34.5 ) y (13 ,33.7 ) hallemos la recta que pasa por esos puntos

T – 34.5=(33.7−34.5)

(13−12)(t –12)→T=34.5 – 0.8(t – 12)

Si T=37 entonces

37=34.5– 0.08( t –12)→t – 12=34.5−370.8

→t=12 –3.125=8.875

Con una regla de tres:

1→60min

0.875→ x

X=52.5→t=8 :53.

Interpolacion por el método de LaGrange.

M= 1

P1(x)=L0(x) y0+L1(x) y1

Donde: L0 ( x )=x−x1x1−x0

Y L1(x)= x−x0x1− x0

M= 2

P2 (x )=L0 ( x ) y0+L1 ( x ) y1+L2(x ) y2

Donde: L0 ( x )=(x−x1 )( x−x2)

(x0−x1 )( x0−x2) ; L1 ( x )=

( x−x0 )(x−x2)

(x1−x0 )(x1−x2) ; L2(x)=

( x−x0 )(x−x1)

(x2−x0 )(x2−x1)

M=3

P3 ( x )=L0 ( x ) y0+L1 ( x ) y1+L2 ( x ) y2+L3(x) y3

+ L3(x) y3

Donde: L0 ( x )=(x− x1 ) (x−x2 )(x−x3)

(x0−x1 )( x0−x2)(x0−x3) ; L1 ( x )=

(x−x0 ) (x−x2 )(x− x3)

(x1−x0 )(x1−x2)(x1−x3)

L2 (x )=(x−x0 ) (x−x1 )(x−x3)

(x2−x0 )(x2−x1)(x2−x3); L3(x)=

(x−x0) (x−x1 )(x−x3)

(x3−x0 )(x3−x1)(x3−x2)

Ejemplo#4: Use el polinomio interpolante de LaGrange de grado M=1 y M=2 para aproximar f (0,9) . Si la función esf (x)=sin(e x−2) encuentre el valor real y estime la cota de error porcentual.

Sea f (0,6)=−0.176944

f (0,2)=0.013752

f (0,8)=0.223633

f (1,0)=0.658091

Solución

Polinomio de grado M=1 Nodos: (0.8 ,0223633);(1.0 ,0.658091)

P1(x)=L0(x) y0+L1(x) y1

L0(x )=(x−1.0)

(0.8−1.0)=−5(x – 1.0); L1(x)=

(x – 0.8)(1.0−0.8)

=5 (x – 0.8)

Así:

P1(x)=¿ −5(x−1.0)0.223633+5 (x – 0.08)0.658091

P1(x)=−1.118165( x –1.0)+3.290455( x – 0.08)

Para X=0.9

P1(0.9)=0.1118165+0.3290455=0.44086→valor aprox .

Por otro lado:

sin(e0.9−2)=0.44359 →valor exacto . (Usando la calculadora)

Estimación de errores:

E=|0.44359– 0.4406860.440686 |=0.00619

Ep= 0.00619 x 100%= 0.61924%.

Polinomio de grado M=2

Nodos:(0.7 ,0.013752);(0.8 ,0.223633) ;(1.0 ,0.658091)

P2 (x )=L0 ( x ) y0+L1 ( x ) y1+L2(x ) y2

L0(x )=( x−0.8 )(x−1.0)

(0.7−o .8 )(0.7−1.0)=33.33333 (x−0.8 )(x−1.0)

L1 (x )=( x−0.7 )(x−1.0)

(0.8−o .7 )(0.8−1.0)=−50 (x – 0.7)(x – 1.0)

L2(x)= ( x−0.7 )(x – 0.8)

(1.0−o .7 )(1.0−0.8)=16.66666 (x – 0.7)(x – 0.8)

Así:

P1(x)=0.45840(x –0.8)(x –1.0)+11.18165( x – 0.7)(x – 1.0)+10.96818 (x – 0.7)(x – 0.8)

Para X=0.9

P2(0.9)=−0.00458+0.22363+0.21936=0.43841→valor aprox .

Estimación de errores:

E=|0.44359−0.438410.43841 |=0.01182Ep=0.01182 x100%=1.18154%

Ejercicio:

Hallar el polinomio de grado M=3 para el ejemplo anterior.

Interpolación por el método de Diferencias Divididas:

Para M= 1

P1(x)=a0+a1(x – x1)

Para M=2

P2(x )=a0+a1(x – x0)+a2(x – x0)(x – x1)

Para M=3

P3(x )=a0+a1(x – x0)+a2(x – x0)(x – x1)+a3(x – x0)(x – x1)(x – x1)

Ahora bien:

a0= y0

a1= f [ x0 , x1]=y1− y0x1−x0

a2=f [x0 , x1, x2]= f [ x1 , x2 ] – F [ x0 , x1]

x2 , x0 →

f [ x1 , x2 ] – a1x1−x0

Donde f [x1 , x2 ]= y2− y1x2−x1

a3=f [x0 , x1 , x2 , x3]=¿ f [ x1 , x2, x3 ] – f [x0 , x1 , x3]

x3−x0 →

f [x1 , x2 , x3 ] – a2x3−x0

Donde f [x1 , x2 , x3]= f [ x2 , x3 ] – F [x1 , x2]

x3−x1 →

y3− y2x3−x2

−y2– y1x2−x1

x3−x1

Ejemplo#5: Usando datos del ejemplo#4

Aproximar f (0.9) polinomios de Diferencias Divididas de grado M=1 y M=2 para aproximar.

Sabiendo que la función esf (x)=sin(e x−2)estime la cota de error.

X 0.6 0.2 0.8 1.0

Y −0.176944 0.013752 0.223633 0.658091

Solución:

Determinemos el polinomio de grado M=1

a0= y0 ¿0.223633 ; tomando los nodos:(x0 , y0 ) ¿(0.8 ,0.223633) ; (x1 , y1)= (1.0 ,0.658091)

a1= f [ x0 , x1]=y1− y0x1−x0

= 0.658091−0.223633

1.0−0.8 → a1=2.17229

Así:

P1(x)=0.223633+2.17229(x –0.8)

Para X=0.9

P1(x)=0.223633+2.17229(0.9– 0.8)=0.44806→Valor aprox .

Por otro lado:

f (0.9)=sin (e0.9−2)=0.44359→valor exacto.

Estimación de Errores:

Ep= |0.44359−0.440860.44086 |x 100%=0.61879%

Observación

Ep=0.61879%<0.1%

Determinar el polinomio de grado M=2

a0=0.013752; Tomando los nodos: (x0 , y0)= (0.7 ,0.013752) ; (x1 , y1)= (1.0 ,0.658091) ; (x2 , y2)=(1.0 ,0.658091)

a1= f ¿]= 0.223633−0.013752

0.8−1.0 → a1=2.09881

a2= f [x0 , x1, x2]=¿ f [ x1 , x2 ] – a1

x1−x0= ¿¿=

2.17229−2.098810.3

a2= 0.24493

Así:

P2 (x )= 0.013752+2.09881(x –0.7)+0.24493(x – 0.7)(x – 0.8)

Para X=0.9

P2(0.9)=¿ 0.013752+2.09881(0.9– 0.7)+0.24493(0.9– 0.7)(0.9 – 0.8)

P2(0.9)=0.43841→Valor aprox .

Por otro lado:

f (0.9)=0.44359→Valor exacto .

Estimación de Errores:

Ep=|0.44359−0.438410.43841 |x100%=1.18154%

Interpolación por el Método de Neville.

Formula: Qi , j=(x – x j− j )Qi− j…k−( x−x1)Q j−i….i

x i – x j− j

x i y i Neville grado M=1 Neville grado M=2

Neville grado M=3

x0 y0 Q1,1(x ) Q2,2(x )

x1 y1 Q1,2(x ) Q3,3¿)

x2 y2 Q1,3(x ) Q2,3(x )

x3 y3

Q1,1(x )= (x – x0) y1−( x – x1 ) y0

x1 – x0 ; Q1,2 ( x )=

( x – x1 ) y2−(x – x2 ) y1x2– x1

; Q1,3(x )=

(x – x2 ) y3−( x – x3 ) y2x3 – x2

Q2,2(x )= (x – x0)Q1,2−(x – x2 )Q1,1

x2 – x0 ;Q2,3 ( x )=(x – x1 )Q1,3¿¿

Q3,3¿)= (x – x0)Q2,3−(x – x3 )Q2,2

x3– x0

Ejemplo#6: Aplique el método de Neville para hallar un polinomio de grado M=2 que aproxime los datos del ejemplo#4.

Solucion:

xi Yi Neville grado M=1 Neville grado M=2

0.7 0.013752 Q1,1(0.9)=0.43351

0.8 0.223633 Q2,2(0.9)=0.43841

1.0 0.658091 Q1,2(0.9)=0.44086

Q1,1(0.9)=(0.9−0.7 )0.223633−(0.9−0.8 )0.013752

0.8−0.7=0.43351 → polinomiode grado

M=1

Q1,2(0.9)=(0.9−0.8 )0.658091−(0.9−1.0 )0.223633

1.0−0.8=0.44086

Q2,2(0.9)=(0.9−0.7 )0.44086−(0.9−1.0 )0.43351

1.0−0.7=0.43841 → polinomiode grado M=2

Estimación de Errores:

Para M=1

Ep1=|0.44359−0.433510.43351 |x 100%→ Ep1=2.32521%

Para M=2

Ep2=|0.44359−0.438410.43841 |x100%→ Ep2=1.18154%

Observación:

A medida que aumenta el grado del polinomio disminuye el error.

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