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aa22 + b + b2 2 = = cc22
Pitágoras Nació en 572 a. de c.
aproximadamente. En la isla de Samos, una de las islas del mar Egeo, cerca de la ciudad de Mileto, donde nació Tales.
Es muy probable que haya sido alumno de este último.
Teorema Proposición científica demostrable.
Teorema de Pitágoras Es uno de los Teoremas más
conocidos del mundo y uno de los más estudiados.
Expresa la relacion aa22 + b + b2 2 = c= c22
Triángulos rectángulos
Los catetosson perpendiculares
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
Catetos
C B
A
a
cb
Ángulo recto Hipotenusa
C B
A
a
cb
Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
Primera
En un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos vale 90º
C B
A
a
cb
By A son complementarios
90ºBA
Segunda
La altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos rectángulos iguales.
M
A
B C
BM = MCLos triángulosABM y AMC
son iguales
CB
Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
Área = b2
Área = a2
Área = c2el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa
c2 = a2 + b2
a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
En un triángulo rectángulo:
ac
b
es igual
Teorema de Pitágoras: segunda comprobaciónConsideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
Observa que en esecuadrado caben:
Además cabe un cuadrado de lado c,cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
4
3
7
c2
25 cm2
6 cm2
c
Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.
5
12
c?
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la raíz cuadrada
Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula el valor del otro cateto.
6
a?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
a = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:
Reconociendo triángulos rectángulosUn carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60
cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y la diagonal deben formar un
triángulo rectángulo, tiene que cumplirse que:
a2 + b2 = c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está mal construida
¿Estará bien construido si la diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404Son distintos
80 cm
60 c
m
102 cm
Cálculo de la diagonal de un rectánguloTenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8
cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
Cálculo de la altura de un triángulo isóscelesTenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto de un triángulo rectángulo cuyo
hipotenusa miden 8 cm y el otro cateto 3
cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura es perpendicular a la base y
la divide en dos partesiguales
h
3 3
h2 = 55
4,755h
8
