TEOREMA DE WILSON Y

PEQUEÑO TEOREMA DE

FERMAT

NACEN A RAÌZ DEL ORIGEN DE

LA TEORÌA DE NÙMEROS Y

LA DIVISIBILIDAD DE LOS NÙMEROS ENTEROS

Teorema de WilsonSi p es primo, entonces ( p-1)!≡-1 (mod p) El recíproco también es cierto

Prueba:Cuando

el teorema es verdadero para p=2

Ahora, sea

;

Los únicos números enteros positivos menores que p

son sus propias inversas 1 y p-1 podemos agrupar los enteros de de cada par congruente a 1 (mod p)

multiplicando ambos lados de la congruencia por 1 y p-1 para obtener:

El inverso del teorema de Wilson también es cierto

Teorema Si n

Prueba:PruebaSi n Si n es compuesto

Puesto que a<n ; a

Porque a es uno de los n-1 números multiplicados juntos para formar (n-1)!

observemosComo (n-1)!= -1 ( mod n)Luego a también divide a (n-1)! y (n-1)!+1((n-1)!+1)-(n-1)!=1

Siendo una obvia contradicción, ya que a>1

Desafortunadamente es un test impracticable, porque n-1 multiplicaciones módulo n son necesarias para encontrar (n-1)!, se requiere 0h(log2n)z) operaciones de bits.

Ejemplos TEOREMA WILSON

Encontrar el menor residuo entero positivo de 8-9-10 módulo 7

8

2.-Sea p =7, aplicando el teorema:

Reorganizando los factores y agrupando pares de inversos módulo 7:

Luego

El siguiente teorema es de gran importancia para congruencias que implican exponentes :

PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT

Si p es primo y a es un entero positivo con p aꭗentonces

Esto quiere decir : si se eleva un número “a” a la p ésima potencia y

al resultado se le resta “a”, lo que queda es divisible por p.

PRUEBA - FERMAT

Considere p-1 enteros a,2a,…,(p-1)a

Ninguno de estos enteros son divisibles por p, pero si p ǀ ja, entonces p ǀ j, ya que p aꭗ

Esto es imposible porque 1

Además no hay dos enteros a,2a,…,(p-1)a que sean congruentes con módulo p

observemos Si

Puesto que los números enteros a,2a,…,(p-1)a son un conjunto de (p-1) enteros todos incongruentes a cero y no hay dos congruentes módulo p

Sabemos que los residuos positivos de a,2a,…,(p-1)a, tomados en algún orden, deben ser los enteros 1,2,…,p-1

Luego, el producto a,2a,…,(p-1)a es congruente módulo p con el producto de la primera p-1 enteros positivos

Esto es imposible: j y k son enteros positivos menores que p-1

Por lo tanto

Si

Obtenemos

Ejemplos PEQUEÑO TEOREMA FERMAT

Demuestra que

Aplicando Teorema Fermat : =(mòd 11

Descomponemos = (= mòd 11

-23448 8Luego = ( ( mòd13

Descomponemos = mòd 13 mòd 13

9 mòd 13

Encontrar el menor resto entero positivo que resulta de dividir por 13

ESO ES TODO CONSULTAS ….al celular: