Matematika Diskrit

GRAPH PLANAR DAN GRAPH BIDANG

GRAPH PLANAR & GRAPH BIDANG

• Graph G disebut Graph Planar jika G dapat digambar pada bidang datar sedimikian

sehingga sisi-sisinya tidak ada yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik dari

sisi-sisi tersebut.

Graph Bidang pasti Graph Planar, tetapi sebaliknya tidak berlaku

• Graph bidang atau pajangan G adalah graph planar G yang digambar pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang saling berpotongan kecuali

mungkin pada titik-titik akhir sisi-sisi tersebut.

Contoh:Graph lengkap K1, K2, K3, dan K4 merupakan Graph Planar

K1 K2

K3

K4

V1 V2

V3V4

K4

V1 V2

V3V4

Contoh lain Graph PlanarV1 V2

V3

V4V5

V6

V1 V2

V3

V4V5

V6

V1V2 V3

V4V5

V1 V2 V3

V4V5

K3.2

Graph K3,3

Contoh Graph non-Planar:Graph lengkap K5:

V1 V2

V3

V4V5

V6

G

X

Y

JD

TEOREMA KURVA JORDAN:Misalkan J adalah sebuah kurva tertutup sederhana pada

sebuah bidang datar D.Titik X terletak di Interior J dan titik Y terletak di eksterior J. Jika dibuat sebuah kurva yang menghubungkan titik X dan titik Y pada bidang D, maka kurva tersebut pasti memotong

kurva J.

Teorema Kurva Jordan dapat

digunakan untuk menunjukkan suatu graph bukan graph

planar.

V1 V2

V3

V4V5

V6

V1 V2

V3

V4V5

V6

G

H=G-V3V6

V1 V2

V3

V4V5

V6

Sikel C=(V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1)

V1V4 digambar di dalam sikel C

V2V5 digambar di luar sikel C

Akan ditunjukkan bahwa G non-planar dengan menggunakan teorema

Jordan

Graph H memuat sikel C1=(V2,V5,V4,V1,V2)

V1 V2

V3

V4V5

V6

H=G-V3V6

Perhatikan V6 berada di Interior Sikel C1

Perhatikan V3 berada di eksterior Sikel C1

Apabila V3 dan V6 dihubungkan, maka akan memotong sikel C1.

Karena sisi yang menghubungkan V3 dan V6 memotong sikel C1, maka G bukan graph planar.

Keterkaitan antara planaritas dan keterhubungan graph diawali dengan pengertian graph non planar minimal.

Graph G disebut graph non planar minimal jika graph G non planar dan setiap subgraph dari G adalah graph planar.

Contoh: Graph K3,3 (graph non planar minimal)

5.3 PLANARITAS DAN KETERHUBUNGAN GRAPH

a1 a2 a3

b1 b2 b3

Graph Non Planar Minimal

Subgraph K3,3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a1 a2

a3

b1 b2 b3

a1

a3

a2

b1 b2 b3

Contoh: graph K5 (graph non planar minimal)

Graph Non Planar Minimal

a1

a2

a3a4

a5

Subgraph K5

a1

a2

a3a4

a5

a1

a3

a4

a5

a1

a3

a5

a b c

d e

e1 e2 e3

e4

e5

e6

a b c

d e

e1

e2

e3

e4

e5 e6

G1

G2

f1

f2

f3

Muka f1 dibatasi oleh sisi-sisi e1 , e2, e3, e4 (muka terbatas)

Muka f3 dibatasi oleh sisi-sisi e3 , e4, e5, e6 (muka tak terbatas)

Lemma 5.8 Misalkan G sebuah graph terhubung-3 dengan ǀV(G)ǀ≥5. Maka G memuat sisi e sedemikian hingga graph G.e adalah graph terhubung-3

v1 v2

v3

v4v5

v6e

G

v1v2

V3=v6)

v4v5

G.e

e = v3 , v6

Mempunyai 3 titik pemutus v2, v4, v6

v1

v3

v5

Mempunyai 3 titik pemutus v2, e, v4

v1

v5

Teorema Kuratoswki

Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suat graf.

(a) (b) (c)

a) Graf Kuratowski pertamab) (b) dan (c) Graf Kuratowski kedua (keduanya isomorfik) Sifat graf Kuratowski adalah:1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya menjadi

graf planar.4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah titik

minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.

TEOREMA KURATOWSKI

Graf G bersifat planar jika dan hanya jika ia tidak mengandung subgraph yang sama dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik (homeomorphic) dengan salah satu dari keduanyaContoh

a b c

d e f

a b c

d e f

a c

d f

Graf G tidak planar karena ia mengandung subgraf yang sama dengan K3,3

 

a

b

d

c

efg

h

a

a

b

c

d

fg

h

i

a

c

e

e

g

h

Graf G, subgraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5

GG1 Subgraph G1 ,

homeomorfik K5

i

Lemma 5.7 Misal graph G sebuah graph non planar dan tidak memiliki graph bagian kuratowski. Jika G memilki sisi sedikit mungkin diantara graph-graph yang demikian, maka G terhubung-3

v1 v2

v3

v4

v5

v2v1

v3

v4

v5Karena

G Graph non planar

v4

v3 Graph G mempunyai 3 titik pemutus

yaitu v1, v2, v5

Teorema 5.9 Misal G sebuah graph dan e ϵ E(G). Jika G.e memiliki graph bagian kuratowski maka G juga memiliki graph bagian kuratowski

v1 v1

v3

v2

e

v6v7

v8

v9 v10

v1

v3

v6v7

v8

G G.e

v2

v3v4

v5v6

v7

v8

v9 v10

Homeomorfik Graph Kuratowski

e = v4, v5

Pajangan konveks

Misalkan Graph g adalah planar. Jika setiap muka dari pajangan G dibatasi oleh segi-n poligonal konveks

G G1G2

(i) G graph planar

(ii) G1 pajangan konveks dari G

(ii) G2 pajangan tak konveks dari G

f3

f2

f1

f4 f5f1

f2

f3

f4

f1

f2

f3

f4

Formula EulerTeorema 5.16:

Jika G Graph bidang terhubung, maka |V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=2

• Contoh:

f2f1

f3

f4Graph G terdiri dari 4 muka (face)

G

F(G) = {f1, f2, f3, f4} → |F(G)|=4

Graph G terdiri dari 6 titik (vertex)

V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} → |V(G)|=6

Graph G terdiri dari 8 sisi (edge)

E(G) = {V1V2,V2 V3, V3V4, V4V5, V5V6, V6V1, V1V4, V2V5} → |E(G)|=8

|V(G)|-|E(G)|+|F(G)|=26 – 8 + 4 = 2

V1 V2

V3

V4

V5

V6

Formula Euler tidak berlaku untuk Graph bidang tidak terhubung

• Contoh:

V5

V6G

f1 f2 f3

|V(G)|=6|E(G)|=6|F(G)|=3

|V(G)| - |E(G)| + |F(G)| = 6 – 6 + 3 = 3≠ 2

V1 V2

V3V4

Teorema 5.17Jika G Graph Planar Sederhana dengan |

E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6 Contoh akan ditinjau dari:

Graph G Terhubung

Graph G Tidak Terhubung

Graph Planar G terhubungV1 V2

V3

V4V5

V6

|E(G)| = 8 > 1

|V(G)| = 6

3|V(G)| - 6 = 3(6) – 6 = 18 – 6=12

Jelas, 8 ≤ 12

• Kata “Sederhana” dalam teorema 5.17, tidak boleh dihilangkan. Karena ketika graph planar tidak sederhana, maka teorema tersebut tidak akan berlaku.

• Contoh:

V1 V2

V3V4

G

|E(G)| = 7 > 1

|V(G)| =4

3|V(G)| - 6 = 3(4) – 6 = 12 – 6 = 6

Berdasarkan Teorema 5.17, |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6 Ternyata, untuk Graph G di samping, diperoleh |E (G)| > 3|V(G)| - 6 = 7 > 6.Dengan demikian, untuk Graph Planar tidak sederhana, teorema 5.17 tidak berlaku.

• Begitu juga dengan syarat bahwa |E(G)| > 1. Sisi sebuah grap planar sederhana, banyaknya sisi graph tersebut harus lebih dari satu. Apabila banyaknya sisi tidak lebih dari satu, maka teorema 5.17 juga tidak akan berlaku.

• Contoh:

V1

V2 G

Dari gambar terlihat bahwa |E(G)| = 1 dan |V(G)| = 2

3|V(G)| - 6 = 3(2) – 6 = 6 – 6 = 0

Ternyata, |E(G)| > 3|V(G)| - 6 = 1 > 0

Sehinga, teorema 5.17 tidak berlaku untuk sebuah graph planar yang banyaknya sisinya tidak lebih dari 1.

Perhatikan Graph K5• Graph K5 merupakan graph komplit

yang memiliki 5 titik, dan semua titiknya berderajat sama, yaitu 4. karena semua titiknya berderajat sama, maka jumlah derajat titik graph K5 adalah 20.

• Sehingga, banyaknya sisi dari graph K5 adalah 10 (Lemma Jabat Tangan).

• Ternyata 10 > 3(5) – 6 = 15 – 6 = 9.

• Jadi, berdasarkan teorema 5.17, maka terbukti bahwa Graph K5 merupakan graph non-panar.

V1

V2

V3V4

V5

Jika G Graph Planar Sederhana dengan |

E(G)| > 1, maka |E(G)| ≤ 3 |V(G)| - 6

Teorema 5.17

Bagaimana dengan Graph K3.3??• Graph K3.3 terdiri dari 6 titik, dan setiap titiknya

berderajat sama, yaitu 3. sehingga jumlah derajat semua titiknya adalah 18.

• Dengan demikian, banyaknya sisi dari Graph K3.3 adalah 9 (Lemma Jabat Tangan).

• Perhatikan bahwa |E(G)| = 9 dan |V(G)|= 6.

• Teorema 5.17 menyatakan bahwa |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, apabila graph yang dimaksud adalah planar sederhana.

• Namun untuk kasus graph K3.3 diperoleh 9 ≤ 3(6) – 6 = 12 (memenuhi).

• Dari kasus graph K3.3, maka Graph Planar Sederhana merupakan “syarat perlu” untuk memenuhi |E(G)| ≤ 3 |V(G)|- 6, tapi tidak selalu berlaku sebaliknya.

V2V1 V3

V4 V5 V6

Teorema 5.18 

 

V1 V2

V3

V4V5

V6

 

G1

d(V1) = 3d(V2) = 3d(V3) = 2

d(V4) = 3d(V5) = 3d(V6) = 2

Contoh Graph PlanarV1 V2

V3

V4

V5V6

V7

V8

G2

V1 V2

V3

V4

V5V6

V7

V8

Hd(V1) = 4d(V2) = 4d(V3) = 4d(V4) = 5

d(V5) = 4d(V6) = 5d(V7) = 4d(V8) = 4

4

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

|V(G)| = 8

|E(G)| = 25

Apakah Graph di samping memenuhi |E(G)| ≤ 3|V(G)| - 6???

Ternyata, 25 > 3 (8) – 6 = 24 – 6 = 18

Berdasarkan teorema 5.17, maka Graph di samping tidak Planar.

d(V1) = 7d(V2) = 6d(V3) = 6d(V4) = 6d(V5) = 6d(V6) = 6d(V7) = 7 d(V8) = 6 

Berdasarkan teorema 5.18, maka Graph di samping tidak Planar.

NON PLANAR

Ketebalan Sebuah Graph•  

 

Setiap graph planar G mempunyai ketebalan = 1.

V1

V2

V3

V4 V6

V5

=

V5V1

V2

V3

V4 V6

 

V1

V2

V3

V4

V5

V6

Teorema 5.19

Dalam menentukan nilai eksak ketebalan sebuah graph,tidak ada formula yang pasti yang dapat digunakan. Tetapi dapat ditentukan berapa batas bawah dari ketebalan suatu graph.

Graph Dual dari Graph Bidang

Graph H* merupakan graph dual dari H, karena:1. Sebuah muka H berkorespondensi dengan sebuah titik di H*, atau |F(H)|=|

V(H*)|2. Sebuah sisi H berkorespondensi dengan sisi di H*, atau |E(H)|=|E(H*)|3. Sebuah muka berderajat k di H, berkorespondensi dengan sebuah titik

berderajat k di H*.4. Sebuah titik berderajat 2 di H, berkorespondensi dengan sebuah sisi

rangkap di H*.

𝐇∗

f1

f2

f3f4

f5f6

V1

V2

V3

V4 V5 V6

H

• Graph H dan H* tidak isomorfik. Karena terdapat sebuah titik di H* yang berderajat 5, sedangkan di H tidak terdapat titik yang berderajat 5.

H 

GG*

Graph G dan G* isomorfik. Karena |V(G)|=|V(G*)|=4, |E(G)|=|E(G*)|=6, dan derajat tiap titiknya sama.

Apabila graph planar isomorfik dengan dualnya, maka graph tersebut disebut graph dual diri.

Teorema 5.20

Jika G adalah graph dual diri, maka |E(G)|=2(|V(G) – 1)

G

|E(G)|=2(|V(G) – 1) = 2(4 – 1) = 2.3 = 6

Graph Polyhedral

• Bangun ruang dimensi tiga yang dibatasi oleh permukaan-permukaan yang berupa bidang datar polygonal (bidang

datar segi-n, n ≥ 3) disebut polyhedron.

• Titik-titik dan sisi-sisi dari sebuah polyhedron membentuk sebuah graph sederhana di ruang dimensi 3. Jika titik-titik dan sisi-sisinya terhubung dan membentuk graph bidang

(planar) sederhana, maka disebut graph polyhedral.

TERIMA KASIH

Presented by:• KAHABUDDIN• MUH. RUSLI JUNAID• CITRA DEWI CHAIRANI