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Christiam Huertas
Teoría de conjuntos
UNIVERSIDAD DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
¿Por qué estudiar y aprender matemáticas?
1
Son una de las máximas expresiones de la inteligencia
humana y un magnífico ejemplo de las creaciones
intelectuales.
𝒂
𝒃 𝒄
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Pitágoras de Samos (580 aC – 495 aC)
Fue un filósofo y matemático griego,
considerado el primer matemático puro
2
Constituyen un eje
central de la historia de
la cultura y de las
ideas del hombre a
través del tiempo.
El Partenón. Esta
construcción es uno de
los ejemplos más claros
del saber en geometría
por parte de los
matemáticos y arquitectos
griegos.
3
Gracias a su universalidad, se aplican en las otras ciencias,
de la naturaleza y sociales, se emplean en los distintos tipos
de actividad humana, de modo tal que resultan
fundamentales en el desarrollo y el progreso de los
pueblos.
4
Constituyen una
herramienta básica
para que la mayoría
de las personas
podamos comprender
y acceder a la
sociedad de la
información en que
vivimos actualmente.
Las matemáticas se aplican
Para diseñar y desa-
rrollar diversos tipos
de dispositivos, por
ejemplo, los compo-
nentes de las compu-
tadoras.
Para realizar sistemas
de control, por ejemplo,
de los satélites que
permiten la comunica-
ción y la transmisión de
los programas de tele-
visión, o la conexión
entre computadoras y
entre teléfonos celula-
res.
Para diseñar y cons-
truir automóviles, ca-
rreteras, aviones, ru-
tas aéreas, edificios,
puentes, etc.
El origen de este concepto se debe
al matemático alemán Georg
Cantor (1845-1918)
Introducción
Su objetivo era el de formalizar las
matemáticas como ya se había
hecho con el cálculo cien años
antes.
El concepto de conjunto es uno de
los mas fundamentales en
matemáticas, incluso mas que la
operación de contar.
A
Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación,
reunión o colección de objetos reales o ideales, a los
cuales se les denomina elementos del conjunto.
Noción de conjunto y elemento
A los conjuntos generalmente se les representa con letras
mayúsculas y a sus elementos separados por comas y
encerrados por llaves: { }
A = { , , , ; ; , } 2 5
Nombre del
conjunto
Elementos
del conjunto
Ejemplos
1. El conjunto de los cinco primeros números impares.
2. El conjunto de las vocales.
3. El conjunto de los días de las semana.
4. El conjunto de los alumnos del aula 302.
A = { ; ; ; ; } 1 9 3 5 7
B = { , , , , } a u e i o
C = { , , , , , , } Lu Do Ma Mi Sa Ju Vi
D = { , , , , … , , }
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que
pertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario se dirá
que no pertenece ( ) a dicho conjunto.
Relación de pertenencia
{ }
Elemento Conjunto
EJEMPLO 1. Dado el conjunto M = { ; ; } a 3 7
• a pertenece al conjunto M (a M)
• 3 pertenece al conjunto M (3 M)
• 5 no pertenece al conjunto M (5 M)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Aplicación
Dado el conjunto A = { ; ; ; } 3 {3} {7} 5
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
V
V
F
V
V
F
Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma
precisa, cuales son los elementos que lo conforman sin
que existan ambigüedades.
Determinación de un conjunto
Por extensión o en forma
tabular
Por comprensión o en forma
constructiva Es cuando se señala a
cada uno de sus elementos
del conjunto.
Es cuando se menciona
una o mas características
comunes y exclusivas de
los elementos del conjunto.
Ejemplo. Los cinco primeros números naturales.
Ejemplos
1. Las estaciones del año.
2. Los cinco primeros números pares.
1. Las estaciones del año.
2. Los cinco primeros números pares.
A = { , , , } Verano Invierno Otoño Primavera
B = { , , , , } 2 10 4 6 8
A = { }
B = { }
es una estación del año
El número cardinal de un conjunto A nos indica la
cantidad de elementos diferentes que posee el conjunto y
se denota por .
Número cardinal
1. En el conjunto A = {2; 0; -1}
2. En el conjunto B = {3; 2; 5; 2; 1; 3}
3. M = { es una vocal }
4. N =
Ejemplos:
n(A) = 3
n(B) = 4
n(M) = 5
n(N) = 5
n(A)
Los diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos
mediante regiones planas limitadas por figuras
geométricas cerradas.
Diagramas de Venn-Euler
1. A = 2. B = { es una vocal}
Ejemplos:
A
B
a
u
o
i e
Se dice que un conjunto A esta incluido en el conjunto B,
si solo si los elementos de A son también elementos del
conjunto B.
Relaciones entre conjuntos
Si A esta incluido en B se denota:
A B
Se lee
• A esta incluido en B.
• A esta contenido en B.
• A es un subconjunto de B.
• B contiene al conjunto A.
Diagrama
B A
• x
1. Dados los conjuntos
Ejemplos
A = {2; 0; -1}
B = {3; 2; 5; 0; -1; 9}
• 5 • 3
• 9
• 0 • 2
• -1
A B
N M
2. Dados los conjuntos
M = { es un ave}
N = { es una gallina}
M
N
A B
Luego,
Luego,
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los
mismos elementos sin importar el orden.
Igualdad
Se denota: A B =
Se define:
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = { } B = {3; 2}
Luego, A = { ; } 2 3 • 2
• 3
A B
A B =
Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen
elementos comunes.
Conjuntos disjuntos
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos
A = {2; 0; 5}
B = {3; 7; 4}
2. Dados los conjuntos
P = { x / x es un varón}
Q = { x / x es una mujer}
A y B son disjuntos P y Q son disjuntos
• 2
• 0 • 5 • 4
• 7
• 3 A B Q
P
Es un diagrama rectangular utilizado mayormente para conjuntos disjuntos cuya unión comprende la totalidad de los elementos.
Diagrama de Carroll
EJEMPLO: En una reunión asistieron hombres y mujeres,
además se observo que un grupo de dichos asistentes son
casados. Representar a través de un diagrama los conjuntos
mencionados.
Sean
• H: conjunto de los hombres
• M: conjunto de las mujeres
• S: conjunto de los solteros
• C: conjunto de los casados
H
C S
M
a b
x y
En una fiesta donde habían 70 personas, 10 eran hombres
que no les gusta la cumbia, 20 eran mujeres que gustaban de
esta música. Si el número de hombres que gusta de la cumbia
es la tercera parte de las mujeres que no gustan de esta
música, ¿a cuantos les gusta la cumbia?
Aplicación
Solución: Consideremos el diagrama de Carroll
H
M
C NC
10
20
x
3x
Pero, el total de asistentes es de 70
x
4x + 30 = 70
+ 10 + 20 + 3x = 70
4x = 40
x = 10
Les gusta la cumbia a: 30 personas
C = { }
C = {2; 3; 4; …; 18; 19}
C = {x / x es un número real }
C =
Finito
Un conjunto es finito, si
posee una cantidad limitada
de elementos.
Clases de conjuntos
Infinito
Un conjunto es infinito, si
tiene una cantidad ilimitada
de elementos.
Ejemplos
A = {1; 4; 0}
Ejemplos
A = {x / x es un número primo}
B = {x / x es alumno aula 605 }
B = {x / x es una estrella del U}
N = { }
B = { }
Conjuntos especiales
Conjunto vacío o nulo
Es aquel conjunto que no
posee elementos.
Conjunto unitario o
singletón
Es aquel conjunto que solo
posee un elemento.
Ejemplos
A = {x / x es una moneda de
tres nuevos soles}
Ejemplos
M = {2; 2; 2}
Se denota por: ó
N = {4}
A =
B =
M ={2}
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación
particular, que contiene a todos los conjuntos considerados.
No existe un conjunto universal absoluto.
Conjunto universal
Se denota generalmente con la letra
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {x / x es un gato}
B = {x / x es un tigre}
Los siguientes conjuntos pueden
ser considerados universos que
contiene a los conjuntos
anteriores.
= {x / x es un animal}
= {x / x es un felino}
A B
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.
Operaciones entre conjuntos
Se denota: Se lee A unión B
Se define:
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {2; 3; 5}
B = {5; 7}
= { ; ; ; }
• 2
• 3
A B
7 2 3 5
• 5 • 7
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Operaciones entre conjuntos
Se denota: Se lee A intersección B
Se define:
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = { 2; 3; 5 }
B = { 5 ; 7 }
= { 5 }
• 2 • 5 • 7
• 3
A B
La diferencia de dos conjuntos A y B (en dicho orden) es el conjunto formado por los elementos de A pero que no pertenecen a B.
Operaciones entre conjuntos
Se denota: Se lee A menos B
Se define:
Ejemplo: Dados los conjuntos
A = {2; 3; 5}
B = {5; 7}
= {2; 3; }
• 2
• 3
A B
5
• 5 • 7
El complemento de un conjuntos A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal pero no al conjunto A.
Operaciones entre conjuntos
Se denota: Se lee complemento de A
Se define:
Ejemplo: Dado el conjunto
A = {a, e}
= {x / x es una vocal}
= { , , } • u
• o
• i
u o i
• a • e
A
Casos posibles para la unión
A A
U U U
B B
B
Disjuntos Comparables
A
Casos posibles para la intersección
A A
A
U U U
B B
B
Disjuntos Comparables
Casos posibles para la diferencia
A A
A
U U U
B B
B
Disjuntos Comparables
Complemento de un conjunto
U
A
Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido
entre 100 atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45
atletas reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60
reciben de Bronce, 15 reciben medallas de Oro como de Plata,
25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce, 20 reciben
medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce.
¿Cuántos atletas no recibieron medallas?
Aplicación
U
20
(100)
O (45)
B (60)
P (45)
5
10
20 15
No recibieron medallas 5 atletas
10 15
x
Se debe cumplir que
x+15+10+10+20+20+15+5=100
De donde, x = 5
Conjuntos numéricos
La evolución de la humanidad trae por consecuencias
la construcción de nuevos conocimientos como
también la evolución de estos, entre ellos la evolución
de los sistemas y conjuntos numéricos.
El hombre comienza de los sistemas y conjuntos
numéricos más básicos, y a medida que se presentan
nuevos desafíos como también debido a necesidades
se van creando nuevos sistemas y conjuntos.
Conjuntos numéricos
ℕ
ℝ ℤ
ℚ 𝕀
Números naturales
Los números naturales surgieron de la necesidad del
ser humano de contar objetos.
A lo largo de la historia, cada cultura ha utilizado
diferentes símbolos para representar un número y ha
usado distintas reglas para escribirlos y trabajar con ellos.
En otras palabras, se han utilizado diferentes sistemas de
numeración: sistema egipcio, sistema romano, sistema
chino, sistema decimal (utilizado como lenguaje interno
de los ordenadores),…
ℕ
Números enteros
Los números enteros forman un conjunto constituido por:
Los números naturales precedidos por el signo + que se
llaman enteros positivos.
Los números naturales precedidos por el signo – que se
llaman enteros negativos.
El número cero, que es entero.
ℤ
Números racionales
El conjunto de los números racionales esta constituido
por todas las fracciones de enteros, con denominador
distinto de 0.
Todo número racional p/q se puede representar como un
número decimal finito o infinito periódico. Ello se logra
simplemente efectuando la división entre p y q.
Recíprocamente, todo decimal finito o infinito periódico
equivale a una fracción de enteros.
ℚ
Números irracionales
es el conjunto formado por todos los números que no
se pueden escribir en forma de fracción.
El conjunto de los números irracionales, esta constituido
por todos los números decimales infinitos y no
periódicos. Es decir,
Ejemplos:
𝕀
Números reales
El conjunto de los números reales, , es la unión del
conjunto de los números racionales, (por lo tanto contiene
a los números naturales y enteros), y de los números
irracionales. Es decir:
No existe un número real que sea mayor o igual a todos
los demás, ni uno que sea menor o igual que todos los
demás.
Además, entre dos números reales dados cualesquiera
existen infinitos números racionales, e infinitos números
irracionales.
ℝ
Diagrama de Venn - Euler
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
ℂ
Aplicaciones
halle 𝐴 ∩ 𝐵.
