Teoría de la Medida

Henri Lebesgue

Mauro Chumpitaz

Teorıa de la Medida

2013Tipeado por Alvaro Naupay Gusukuma.

Indice general

Prefacio iii

1. Conjuntos. 11.1. Conjunto finito, conjunto numerable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Relacion de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Algebra de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Elementos de la medida de Lebesgue en R. 13

2.1. Limitaciones de la integral de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Longitud de un intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Longitud de un conjunto abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Longitud de conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5. Medida exterior y medida interior de conjuntos A ⊂ R. . . . . . . . 242.6. Conjuntos medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Existencia de conjuntos no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Funciones medibles. 41

3.1. Funciones medibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Lımite superior y lımite inferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3. Convergencia en medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. Integrales sobre R 63

4.1. Integral de funciones simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Integral de una funcion acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3. La integral de una funcion no-negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4. Teorema de convergencia monotona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5. Integral de una funcion medible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.6. Teorema de la convergencia dominada. . . . . . . . . . . . . . . . . 79

i

ii

5. Diferenciacion e integracion. 855.1. Diferenciacion de funciones monotonas. . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Funciones de variacion acotada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3. Diferenciacion de una integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4. Continuidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6. Espacios Lp(A). 1116.1. Funcionales lineales y continuas en Lp[a, b] . . . . . . . . . . . . . . 120

7. Medida en R2. 1277.1. Clase monotona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.2. Teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Indice alfabetico 142

Prefacio

Este libro sobre Teorıa de la Medida es el resultado de varios cursos sobre lamateria dictada a los alumnos de la Facultad de Ciencias, especialidad de Ma-tematica, de la Universidad Nacional de Ingenierıa.

Este libro ha sido preparado con el objeto de dar a los estudiantes interesadosuna forma sencilla de adquirir los elementos basicos de la Teorıa de la Medida.

Deseo expresar aquı mi agradecimiento sincero a Concytec cuyo apoyo econo-mico ha hecho posible la publicacion de este texto.

Tipeado del libro manuscrito por Alvaro Naupay.

iii

1Conjuntos.

1.1. Conjunto finito, conjunto numerable.

Notaciones :

N = 1, 2, 3, . . .= Conjunto de lo numeros naturales.

Z = Conjunto de los nunmeros enteros.Q = Conjunto de los numeros racionales.R = Conjunto de los numeros reales.C = Conjunto de los numeros complejos.Jn = 1, 2, . . . , n.R = R ∪ ±∞.

Definicion 1. Se dice que un conjunto X tiene n elementos si esque existe una biyeccion entre Jn y X.

Definicion 2 (Conjunto finito). Se dice que un conjunto X esfinito si X = φ o X tiene n elementos para algun n ∈ N.

Si X no es finito se dice que X es infinito

Definicion 3 (Conjunto numerable). Un conjunto X se llamanumerable si es que existe una biyeccion entre N y X.

Definicion 4 (Principio del mınimo entero). Todo conjunto novacıo de numeros naturales tiene un menor elemento.

1

2 CAPITULO 1. CONJUNTOS.

Proposicion 1.1. Si D ⊂ N es un conjunto infinito, entonces D es numerable.

Demostracion: Usando el principio del mınimo entero y el hecho queD es infini-to procedemos de la manera siguiente: Sea x1 el primer elemento deD;Dx1 6=φ y x1 < x para todo x ∈ Dx1. Sea x2 el primer elemento de Dx1, x1 < x2.

Supongamos que hemos definido, x1 < x2 < . . . < xn. El conjuntoDx1, . . . xnes no vacıo y xn < x para todo x ∈ Dx1, . . . xn. Luego, si xn+1 es el primer ele-mento de Dx1, . . . xn se tiene x1 < x2 < . . . < xn < xn+1.

De este modo construimos una funcion inyectiva h : N → D, h(n) = xn. Sin ∈ D, existe k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n tal que h(k) = n. Luego h es una biyeccion de N

sobre D y por tanto D es numerable.

Corolario 1.2. Sea X un conjunto numerable y D ⊂ X un subconjunto infinito.Entonces D es numerable.

Demostracion: Sea ϕ : N → X una biyeccion y ψ : X → N su biyeccion inversa.Sea H = ψ(D) ⊂ N, ψ es un biyeccion entre H y D. Como D es infinito, H tam-bien es inifinito. Por la Proposicion 1, H es numerable, lo cual implica que D es

numerable. (Nh−→ H

ψ−1

−→ D).

Axioma: (Axioma de eleccion). Para cualquier familia no vacıaF = Xµ / µ ∈ M de conjuntos no vacıos Xµ, existe una fun-cion

f :M −→⋃

µ∈MXµ

tal que f(µ) ∈ Xµ para cada µ ∈M

Lema 1.3. SeanX, Y conjuntos no vacıos. Si f : X → Y es una funcion suryectiva,entonces existe una funcion inyectiva g : Y → X tal que f g = idY .

Demostracion: Para cada y ∈ Y , Ey = f−1(y) es un conjunto no vacıo. EntoncesF = Ey / y ∈ Y es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos. De acuerdo con

el axioma de eleccion, existe una funcion g : Y →⋃

y∈YEy = X tal que g(y) = Ey =

f−1(y), g(y) = f−1(y). Luego f(g(y)) = y para cada y ∈ Y . Por tanto f g = idY yademas g es inyectiva.

Ejercicio: Sean Xf−→ Y

g−→ Z funciones y h = g f .

a) Si h es suryectiva, verificar que g es suryectiva.

b) Si h es inyectiva, verificar que f es inyectiva.

1.1. CONJUNTO FINITO, CONJUNTO NUMERABLE. 3

Proposicion 1.4. Sea ϕ : N → X una funcion suryectiva. Entonces X es finitioo numerable.

Demostracion: Siendo ϕ suryectiva, usando el Lema 1.1, podemos definir unafuncion inyectiva g : X → N tal que ϕ g = idX . Sea D = g(X) ⊂ N, g es unabiyeccion entre X y D, entonces:

i) Si D es finito, X es finito.

ii) Si D es infinito, D es numerable

y por tanto X es numerable.

Proposicion 1.5. El conjunto N× N es numerable.

Demostracion: Veamos que existe una biyeccion entre N × N y un subconjuntoinfinito D ⊂ N. Consideremos la aplicacion h : N × N → N definida medianteh(m, n) = 2n · 3m. Se verifica facilmente que la funcion h es inyectiva. Luego,si D = h(N × N) ⊂ N se tiene que h es una biyeccion entre N × N y D. PeroN×1 ⊂ N×N, entonces N×N es infinito, lo cual implica que D es infinito.

Proposicion 1.6. Sea (Xn) una sucesion de conjuntos numerables y X =

∞⋃

n=1

Xn.

Entonces X es numerable.

Demostracion: Sea ϕnN → Xn una biyeccion para cada n ∈ N. La funcion ϕ :N × N → X definida mediante, ϕ(m, n) = ϕn(m) es una aplicacion suryectiva.Como X es infinito se tiene que X es numerable.

En particular:

a) Si Xk es un conjunto numerable, 1 ≤ k ≤ m y Z =m⋃

k=1

Xk entonces Z es

numerable.

b) Si A es numerable y B es un conjunto finito, entonces A ∪B es numerable.

Corolario 1.7. Sea Q1 = n

m/ n ∈ N, m ∈ N

. Entonces Q1, es numerable.

Demostracion: Sea Xm = n

m/ n ∈ N

, Xm es numerable. Como Q1 =

∞⋃

m=1

Xm

se tiene que Q1 es numerable.

Nota: Similarmente, el conjunto: Q2 =

− n

m/ n ∈ N, m ∈ N

es numerable.

Luego, el conjunto: Q = Q1 ∪Q2 ∪ 0 es numerable.


Proposicion 1.8. Sea A un conjunto finito o numerable. Entonces la coleccion detodos las sucesiones finitas de elementos de A tambien es finito o numerable.

Demostracion:

i) Si A tiene n elementos, entonces la coleccion de todas las sucesiones finitasde elementos de A coincide con P(A) y P(A) tiene 2n elementos, es decir esfinito.

ii) Supongamos que A es numerable entonces existe una biyeccion ϕ : N →A el cual determina una biyeccion entre las partes finitas Pf(N) → Pf(A)(Pf(N) ∋ B 7→ ϕ(B) ∈ Pf(A)). Es suficiente ver que Pf(N) es numerable.

Sea N0 = N ∪ 0; veremos que Pf(N0) es numerable. Para esto construimos unafuncion suryectiva ψ : N → Pf(N0) de la manera siguiente: 1 = 20, definimosψ = 0. Cada n ∈ N, n > 1 se descompone en forma unica en factores primosde la forma n = 2x1 · 3x2 · 5x3 · . . . · pxkk con pk primo, xi ∈ N0 y xk > 0. Defini-mos ψ(n) = x1, x2, . . . , xk; ψ suryectiva. Como Pf(N0) es infinito se tiene quePf(N0) es numerable. Tambien Pf(N) ⊂ Pf(N0) y Pf(N) es infinito, luego Pf(N)es numerable.

Definicion 5. Un conjunto A se llama contable si A es finito onumerable.

Nota: Si s : N → X es una funcion suryectiva, entonces X es contable.

Definicion 6 (Conjuntos equipotentes). Dos conjuntos X, Y sellaman equipotentes si es que existe una biyeccion f : X → Y .

Proposicion 1.9 (Schroeder-Berstein). Dos conjuntos X, Y son equipotentes si ysolo si existen dos funciones inyectivas f : X → Y y g : Y → X.

Demostracion: Suficiencia: Sean f :→ Y , g : Y → X funciones inyectivas. Defi-namos ϕ : P(X) → P mediante ϕ(A) = Xg(Yf(A)). Si A ⊂ B ⊂ X se verificafacilmente que ϕ(A) ⊂ ϕ(B).

Definamos F = A ∈ P(X) / A ⊂ ϕ(A) y W =⋃

A∈FA.

Sea A ∈ F , entonces A ⊂ ϕ(A) y A ⊂ W . A ⊂ ϕ(A) ⊂ ϕ(W ), entoncesA ⊂ ϕ(W ) para todo A ∈ F , luego W ⊂ ϕ(W ), entonces ϕ(W ) ⊂ ϕ(ϕ(W )),entonces ϕ(W ) ∈ F , entonces ϕ(W ) ⊂ W . Luego W = ϕ(W ) = Xg(Yf(W )).

1.1. CONJUNTO FINITO, CONJUNTO NUMERABLE. 5

Entonces XW = g(Yf(W )) con g inyectiva. Podemos definir h : X → Ymediante:

h(x) =

f(x) , si x ∈W

g−1(x) , si x ∈ XW

h es biyectiva.

Proposicion 1.10. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable.

Demostracion: Por contradiccion, supongamos que [0, 1] es numerable, entoncesexiste una funcion biyectiva f : N → [0, 1]. Los elementos α ∈ [0, 1] los escribimosen el sistema decimal:

α = α0.α1α2 . . . αn . . .

donde α0 = 0 si 0 ≤ α < 1 y α0 = 1 si α = 1, mientras que 0 ≤ αi ≤ 9 para todoi ∈ N.

Para cada m ∈ N podemos escribir:

f(m) = αm0.αm1

αm2. . . αmn

. . .

Probaremos que f no es suryectiva. Definamos β = β0.β1β2 . . . βn . . . de la manerasiguiente: β0 = 0, y

βn =

1 , si αnn6= 1

1 , si αnn= 1 .

Se verifica facilmente que β no esta en el rango de f , pero β ∈ [0, 1]. Contradicciona que f es biyectiva; luego el intervalo [0, 1] no es numerable.

Ejercicios

1. Sea X = g / g : N → 0, 1 g es funcion. Probar que X es numerable.

2. Sea X 6= φ y f : X → P(X) una funcion. Probar que existe un subconjuntoE ⊂ X tal que E no esta en el rango de f .

3. Sea M un conjunto infinito y A un conjunot jinito o numerable. Probar queexiste una biyeccion entre M ∪ A y M .

4. Sea X un conjunto no contable y A un subconjunto finito o numerable deX. Probar que existe una biyeccion entre XA y X.

5. Probar que existe una biyeccion entre R y < 0,+∞ >.

6. Si a < b, definir una biyeccion entre < 0, 1 > y < a, b >.

7. Definiri una biyeccion entre < 0, 1 > y < 0, 3].


8. Sea k ∈ N un numero natural fijo. Verificar que el conjunto formado portodas las colecciones de k numeros naturales (n1, . . . , nk) es numerable.

9. Verificar que el conjunto de todos los polinomios:

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x+ an

donde n ∈ N y de coeficientes enteros, es numerable.

10. Verificar que el conjunto A ⊂ C formado por todos los numeros algebraicoses numerable.

Definicion 7. Un numero complejo que es raız de un polinomio

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an−1x+ an

con coeficientes enteros, no todos ceros, se llama un numeroalgebraico.

11. Verificar que todo conjunto infinito X contiene un subconjunto propio Y ⊂X tal que X e Y son equipotentes.

1.2. Relacion de equivalencia.

Definicion 8. Sean X, Y dos conjuntos no vacios. Un subcon-junto R ⊂ X × Y se llama una relacion entre elementos de X eY .

Dos elementos x ∈ X, y ∈ Y se dice que estan en relacion segun R si (x, y) ∈ R.Notacion: Si R ⊂ X×Y es una relacion entre elementos deX e Y , y (x, y) ∈ R

escribiremos frecuentemente xRy.

a) El conjunto = (x, x) / x ∈ X, ⊂ X × X se llama la diagonal de X orelacion identidad.

b) Sea R ⊂ X×Y una relacion. El conjunto R−1 = (y, x) / (x, y) ∈ R se llamala relacion inversa de R.

c) Sean R ⊂ X × Y , S ⊂ Y × Z dos relaciones, entonces el conjunto:

S R =

(x, z)

/

existe y ∈ Y satisfaciendo:(x, y) ∈ R, (y, z) ∈ S

se llama la relacion compuesta de R con S.

1.2. RELACION DE EQUIVALENCIA. 7

Definicion 9. Una relacion R ⊂ X × X se llama relacion deequivalencia en X si:

i) (x, x) ∈ R para todo x ∈ X, (propiedad reflexiva).

ii) Si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R, (propiedad simetrica).

iii) Si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R, (propiedadtransitiva).

Ejemplo: Sea f : X → Y una funcion. Definamos R ⊂ X × X mediante:(x1, x2) ∈ R si y solo si f(x1) = f(x2).

Entonces R es una relacion de equivalencia en X.

Definicion 10 (Clase se equivalencia). Sea R ⊂ X × X unarelacion de equivalencia en X. Para cada x ∈ X, el conjunto

[x] = y ∈ X / (x, y) ∈ R

se llama la clase de equivalencia de x segun R.

Propiedades:

1. [x] 6= φ para cada x ∈ X.

2. xRy si y solo si [x] = [y].

3. Si [x] ∩ [y] 6= φ entonces [x] = [y].

Definicion 11. Una familia Xii∈I de subconjuntos de X sellama una particion de X si:

i) Xi 6= φ para todo i ∈ I .

ii) Xi ∩Xj = φ si i 6= j.

iii)⋃

i∈IXi = X.

Teorema 1.11.


a) Si R ⊂ X × X es una relacion de equivalencia en X, entonces la familia[xi]i∈I de todas las clases de equivalencia (distintas) segun R es una par-ticion de X.

b) Si Xii∈I es una particion deX, definiendo R ⊂ X×X mediante: (x, y) ∈ Rsi y solo si existe i ∈ I tal que x, y ⊂ Xi, se tiene que R es una relacion deequivalencia en X.

Ejercicios

1. Sea X = [a, b], a < b. Definamos R ⊂ X ×X mediante: (x1, x2) ∈ R si y solosi x2 − x1 ∈ Q.

Verificar que R es una relacion de equivalencia en X.

2. Definamos R ⊂ C× C mediante: (x, y) ∈ R si y solo si |x| = |y|.Verificar que R es una relacion de equivalencia en C.

3. Sea R ⊂ X ×X una relacion. Verificar las siguientes afirmaciones:

a) R es reflexiva si y solo si ⊂ R.

b) R es simetrica si y solo si R−1 = R.

c) R es transitiva si y solo si R R ⊂ R

4. Sean R ⊂ X × Y , S ⊂ Y × Z dos relaciones, verificar que:

a) (R−1)−1 = R.

b) (S R)−1 = R−1 S−1.

1.3. Algebra de conjuntos.

Definicion 12 (Anillo de conjuntos). Sea X 6= φ y φ 6= r ⊂P(X). r se llama un anillo de conjuntos si para cualquier parde elementos A, B en r ocurre:

i) A ∪B ∈ r

ii) AB ∈ r.

Ejemplos

1. r = P(X) es un anillo de conjuntos.

1.3. ALGEBRA DE CONJUNTOS. 9

2. r = A ⊂ X / A es finito es un anillo de conjuntos.

3. r =

A ⊂ R

/

A es union de un numerofinito de inervalos.

es un anillo de conjuntos.

Sea r un anillo de conjuntos. Si A y B son elementos de r entonces:

a) A B ∈ r, pues A B = (AB) ∪ (BA).

b) A ∩ B ∈ r, pues A ∩B = (A ∪B)(A B).

c) φ ∈ r, pues φ = AA para cualquier A ∈ r.

Definicion 13 (Algebra de conjuntos). Una coleccion φ 6= a ⊂P(X) se llama una algebra de conjuntos si para A, B en a

ocurre:

i) A ∪ B ∈ a.

ii) XA ∈ a.

Ejemplos

1. Si a = P(X), entonces a es una algebra de conjuntos.

2. Sea X ⊂ R2 un conjunto con area finita y a = A ⊂ X / A tiene area.Entonces a es una algebra de conjuntos.

3. Si a = A ⊂ Q / A es contable , entonces a es una algebra de conjuntos.

Sea a una algebra de conjuntos. Si A, B son elementos de a se tiene:

a) A ∩B ∈ a, pues A ∩B = ∁[

∁A ∪ ∁B]

.

b) AB ∈ a, pues AB = A ∩ ∁B.

c) φ ∈ a y X ∈ a.

De b) se sigue que toda algebra de conjuntos es un anillo de conjuntos.Sea r = Pf(Q) =partes finitas de Q, r es un anillo de conjuntos que no es un

algebra de conjuntos.Nota: Si r ⊂ P(X) es un anillo de conjuntos y X ∈ r, entonces r es una

algebra de conjuntos.

Lema 1.12. Sea aii∈I , ai ⊂ P(X), una familia de algebras de conjuntos. La

interseccion a =⋂

i∈Iai tambien es una algebra de conjuntos.


Teorema 1.13. Sea φ 6= c ⊂ P(X). Existe una menor algebra de conjuntos a ⊂P(X) tal que c ⊂ a.

Demostracion: Sea aii∈I la familia de todas las algebras ai ⊂ P(X) tales quec ⊂ ai. Esta familia es no vacıa pues P(X) es una de ellas. Entonces la inter-

seccion a =⋂

ai es una algebra de conjuntos que satisface las condiciones del

teorema.

El algebra construida en este teorema se llama algebra generada por c.

Definicion 14. Sea φ 6= a ⊂ P(X). a se llama una σ-algebrade conjuntos si:

i) A ∈ a implica XA ∈ a.

ii) Si (Ai)i∈N una sucesion de elementos de a y A =∞⋃

i=1

Ai

entonces A ∈ a.

iii) X ∈ a.

Ejemplos de σ-algebras

1. Si a = P(X) entonces a es una σ-algebra de conjuntos.

2. Si a = A ⊂ R / A o ∁A es contable entonces a es una σ-algebra deconjuntos.

Sea a una σ-algebra de conjuntos

i) X ∈ a entonces φ = ∁X ∈ a.

ii) Si Ai ∈ a, 1 ≤ i ≤ m, tomando Ai = φ para i > m se obtiene :∞⋃

i=1

Ai =

∞⋃

i=1

Ai ∈ a.

iii) Si Ai ∈ a, i ∈ N, entonces:∞⋂

i=1

Ai = ∁

[ ∞⋂

i=1

∁Ai

]

∈ a.

tambien∞⋂

i=1

Ai = ∁

[ ∞⋂

i=1

∁Ai

]

∈ a.

1.3. ALGEBRA DE CONJUNTOS. 11

Lema 1.14. Si aii∈I , ai ⊂ P(X), es una familia de σ-algebras de conjuntos,entonces la interseccion a =

⋂

i∈I ai tambien es una σ-algebra de conjuntos.

Teorema 1.15. Si φ 6= r ⊂ P(X), entonces existe una menor σ-algebra de conjun-tos a ⊂ P(X) tal que c ⊂ a.

Tomemos u =familia de los conjuntos abiertos de los numeros reales.Sabemos que existe una menor σ-algebra de conjuntos B ⊂ P(R) tal que u ⊂

B.Los elementos de B se llaman conjuntos de Borel.

Definicion 15. Un conjuntos que es la union numerable de con-juntos cerrados se llama un Fσ-conjunto.

Ejmplo: Todo intervalo abierto acotado es un Fσ-conjunto, pues:

(a, b) =

∞⋃

n=1

[

a+1

n, b− 1

n

]

.

Definicion 16. Un conjunto que puede expresarse como la in-terseccion numerable de conjuntos abiertos se llama un Gδ-conjunto.

Ejemplo: Todo intervalo cerrado y acotado es un Gδ-conjunto, pues:

[a, b] =∞⋂

n=1

]

a− 1

n, b+

1

n

[

.

todo conjunto abierto y todo conjunto cerrado es un conjunto de Borel.Notacion: Fσδ indica conjuntos que pueden expresarse como la interseccion

de una familias numerable de Fσ-conjuntos.Ejercicio: Si a ⊂ P(X) es una algebra de conjuntos y φ 6= Y ⊂ X. Verifica que

a1 = A ∩ Y / A ∈ a tambien es una algebra de conjuntos.


2Elementos de la medida de Lebesgue en

R.

2.1. Limitaciones de la integral de Riemann.

a) La funcion f0 : [0, 1] → R definida mediante:

f0(x) =

1 , si x es racional0 , si x es irracional

no es intregable segun Riemann.

b) Sea r1, r2, . . . una ordenacion de los numeros racionales en [0, 1]. Para cadan ∈ N definamos la funcion fn : [0, 1] → R mediante:

fn(x) =

1 , si x ∈ r1, r2, . . . , xn1 , si x ∈ [0, 1]r1, r2, . . . , xn

(fn) es una sucesion no decreciente de funciones acotadas tal que:

lımn→∞

fn(x) = f(x).

para todo x ∈ [0, 1].

(fn) es una sucesion de funciones integrables segun Riemann que convergea un funcion que no es integrable segun Riemann.

En el capıtulo 4 veremos que la funcion f0 es integrable segun Lebesgue yque:

lımn→∞

∫ 1

0

fn =

∫ 1

0

f0 .

c) Sea r la coleccion de todas las funciones f : [0, 1] → R que son integrables

segun Riemann. Definamos: d(f, g) =

∫ 1

0

|f − g|; d : r × r → R; d es una

13

14 CAPITULO 2. ELEMENTOS DE LA MEDIDA DE LEBESGUE EN R.

metrica en r, con las identificaciones necesarias en r. Si (fn) es la sucesion

de funciones definidas en b), entonces d(fn, fm) =

∫ 1

0

|fn − fm| = 0. Luego,

(fn) es una sucesion de Cauchy en r que no converge, es decir que (r, d) noes un espacio metrico completo.

Si L[0, 1] es la coleccion de todas las funciones f : [0, 1] → R que son inte-grables segun Lebesgue y definimos d : L[0, 1]× L[0, 1] → R mediante

d(f, g) =

∫ 1

0

|f − g|

entonces veremos que (L[0, 1], d) es un espacio metrico completo.

2.2. Longitud de un intervalo.

Si I es un intervalo de extremos a, b (a ≤ b), definimos la longitud ℓ(I) delintervalo I como:

ℓ(I) = b− a ; ℓ(I) ∈ [0,+∞].La longitud del conjunto vacıo se define como cero, ℓ(φ) = 0.Conjunto elemental: Un conjunto E ⊂ R se llama elemental si existe un

numero finito de intervalos I1, I2, . . . , Im de extremos ai, bi (−∞ < ai < bi <+∞, i = 1, 2, . . . , m) tales que:

a) Ii ∩ Ij = φ si i 6= j.

b)m⋃

i=1

Ii = E

Definicion 1. Si E es un conjunto elemental , E =⋃mi=1 Ii, defi-

nimos su longitud, ℓ(E), mediante :

ℓ(E) =

m∑

i=1

ℓ(Ii)

Nota: Si un conjunto lelemental E puede escribirse como E =m⋃

i=1

Ii y tambien

como E =k⋃

i=1

Ji, (Ii ∩ Ij = φ, Ji ∩ Jj = φ si i 6= j), entonces:

m∑

i=1

ℓ(Ii) =

k∑

j=1

ℓ(Jj) .

2.3. LONGITUD DE UN CONJUNTO ABIERTO. 15

En efecto: Ii =k⋃

j=1

(Ii ∩ Jj), luego: ℓ(Ii) =k∑

j=1

(Ii ∩ Jj);m∑

i=1

ℓ(Ii) =m∑

i=1

k∑

j=1

ℓ(Ii ∩ Jj).

Analogamente:k∑

j=1

ℓ(Jj) =m∑

i=1

k∑

j=1

ℓ(Ii ∩ Jj).

La longitud ℓ(E), definida para conjuntos elementales, satisface las siguientespropiedades:

i) Si E es un conjunto elemental entonces ℓ(E) ≥ 0.

ii) Si E1, E2, . . . , Em es un numero finito de conjuntos elementales dos a dos

disjuntos, entoncesm⋃

i=1

Ei tambien es n conjunto elemental y se tiene:

ℓ

(

m⋃

i=1

Ei

)

=m∑

i=1

ℓ(Ei) .

Nuestro objetivo es extender el concepto de longitud a una clase de conjuntos masgenerales que la clase de los conjuntos elementales, de modo que las propiedadesi) y ii) sigan cumpliendose.

2.3. Longitud de un conjunto abierto.

Sea G ⊂ R un conjunto abierto, G es la reunion de una coleccion finita o

numerable de intervalos abiertos y disjuntos:G =⋃

k∈N′

δk, (N′ = 1, 2, . . . , n o N′ =

N ).Definimos:

ℓ(G) =∑

k∈N′

ℓ(δk)

m(G) ∈ [0,+∞].

Lema 2.1. Si un numero finito I1, I2, . . . , Im de intervalos dos a dos disjuntos estancontenidos en un intervalo , entonces:

m∑

i=1

ℓ(Ii) ≤ ℓ() .

Demostracion: Sea =< α, β >, Ii=intervalos de extremos ai, bi (ai < bi). Po-demos suponer que a1 < a2 < · · · < am. Entonces bi ≤ ai+1 (i = 1, 2, . . . , m − 1),luego:

S = (β − bm) + (am − bm−1) + · · ·+ (a2 − b1) + (a1 − α) ≥ 0 .


ℓ() =

m∑

i=1

ℓ(Ii) + S ≥m∑

i=1

(ℓ(Ii))

Corolario 2.2. Si una familia numerable de intervalos (Ii)i∈J dos a dos disjuntosestan contenidos en un intervalo , entonces:

∞∑

i=1

ℓ(Ii) ≤ ℓ() .

Teorema 2.3. Sean G1, G2 dos cnjuntos abiertos. Si G1 ⊂ G2 entonces ℓ(G1) ≤ℓ(G2).

Demostracion: G1 =⋃

i

δi, G2 =⋃

j

j, donde δi, j son colecciones finitas

o numerables de intervalos abiertos y disjuntos.ComoG1 ⊂ G2, cada δi esta contenido en uno y solo un intervalo k, entonces:

ℓ(G1) =∑

i

ℓ(δi) =∑

k

∑

δi⊂k

ℓ(δi) .

Como∑

δi⊂k

ℓ(δi) ≤ ℓ(k) se tiene:

ℓ(G1) ≤∑

k

ℓ(k) = ℓ(G2)

Lema 2.4. Sean < a1, b1 >,< a2, b2 >, . . . , < am, bm > una coleccion finita de inter-

valos abiertos. Si [a, b] ⊂m⋃

i=1

< ai, bi >, entonces:

b− a ≤m∑

i=1

(bi − ai) .

Demostracion: Denotemos con < ai1, bi1 > un intervalo de < ai, bi > que con-tenga al punto a, ai1 < a < bi1. Si bi1 ≤ b, elegimos un intervalo < ai2, bi2 > en< ai, bi > que contenga al punto bi1, o sea: ai2 < bi1 < bi2. Si bi2 ≤ b elegimos unintervalo < ai3, bi3 > en < ai, bi > tal que ai3 < bi2 < bi3.

De este modo seo btiene una coleccion: < ai1, bi1 >,< ai2, bi2 >, . . . , < aik , bik >de intervalos en < ai, bi >i≤i≤m tal que:

i) bik−1≤ b < bik

2.3. LONGITUD DE UN CONJUNTO ABIERTO. 17

ii) aij+1< bij para 1 ≤ j ≤ k − 1

iii) [a, b] ⊂k⋃

j=1

< aij , bij >.

Luego:

k∑

j=1

(bij − aij) = (bi1 − ai1) + (bi2 − ai2) + · · ·+ (bik − aik)

> (ai2 − ai1) + (ai3 − ai2) + · · ·+ (bik − aik)= bik − ai1 > b− a .

m∑

i=1

(bi − ai) ≥k∑

j=1

(bij − aij) > b− a .

Lema 2.5. Sea Jii∈N una coleccion numerable de intervalos abiertos. Si I es un

intervalo de extremos a, b tal que I ⊂∞⋃

i=1

Ji, entonces

ℓ(I) ≤∞∑

i=1

ℓ(Ji) .

Demostracion:

a) Supongamos que I es un intervalo acotado. Sea: 0 < ε <b− a

2, [a+ε, b−ε] ⊂

∞⋃

i=1

Ji .

Como [a + ε, b − ε] es compacto existe m ∈ N tal que [a + ε, b − ε] ⊂∞⋃

i=1

Ji.

Entonces, por el Lema anterior, se tiene b − a − 3ε ≤m∑

i=1

ℓ(Ji) ≤∞∑

i=1

ℓ(Ji),

para todo ε > 0 tal que ε <b− a

2, lo cual implica:

ℓ(I) = b− a ≤∞∑

i=1

ℓ(Ji) .


b) Supongamos que I es un intervalo no acotado. Para cada M > 0 o existe un

intervalo cerrado [α, β] ⊂ I tal que β − α ≥ M ; [α, β] ⊂∞⋃

i=1

Ji. Existe m ∈ N

tal que [α, β] ⊂m⋃

i=i

Ji, luego: β − α ≤m∑

i=1

ℓ(Ji) ≤∞∑

i=1

ℓ(Ji).

Entonces∞∑

i=1

ℓ(Ji) ≥M para todo numero real M > 0 y por tanto:

∞∑

i=1

m(Ji) = +∞

Teorema 2.6. Sea Gkk∈N′ una familia finita o numerable de conjuntos abiertos y

disjuntos dos a dos. Si G =∑

k∈N′

Gk entonces

ℓ(G) ≤∑

k∈N′

ℓ(Gk) .

Demostracion: Sea δki , (i = 1, 2, . . .) los intervalos componentes de Gk, Gk =∑

i∈N′

k

δki , entonces la coleccion de intervalos δki / k ∈ N′, i ∈ N′k son los intervalos

componentes de G, luego:

ℓ(G) =∑

i,k

ℓ(δki ) =∑

k∈N′

∑

i∈N′

k

ℓ(δki )

=∑

k∈N′

ℓ(Gk) .

Teorema 2.7. Sea Gkk∈N′ una coleccion finita o numerable de conjuntos abiertos.

Si G =∑

k∈N′

Gk, entonces:

ℓ(G) ≤∑

k∈N′

ℓ(Gk) .

Demostracion: Sea I / i = 1, 2, . . . los intervalos componentes deG, y δkj / j ∈N′k los intervalos componentes de Gk, entonces:

G =⋃

i

i =⋃

k∈N′

Gk , i =⋃

k∈N′

(Gk ∩i) .

2.4. LONGITUD DE CONJUNTOS COMPACTOS. 19

Como Gk =⋃

j∈N′

k

δkj se tiene:

Gk ∩i =⋃

j∈N′

k

(δkj ∩i) ,

luego:

i =⋃

k∈N′

⋃

j∈N′

k

(δkj ∩i)

.

Unsando el Lema 3 se obtiene:

ℓ(i) ≤∑

k∈N′

∑

j∈N′

k

ℓ(δkj ∩i) =∑

k∈N′

ℓ(Gk ∩i)

pues Gk ∩ i =⋃

j∈N′

k

=⋃

j∈N′

(δkJ ∩ i) es union de conjuntos abiertos y disjuntos.

Entonces:

ℓ(G) =∑

i

ℓ(i) ≤∑

i

(

∑

k∈N′

ℓ(Gk ∩i)

)

=∑

k∈N′

(

∑

i

ℓ(Gk ∩i)

)

.

Pero Gk =⋃

i

(Gk ∩ i) es union finita o numerable de conjuntos abiertos y dis-

juntos, luego: ℓ(Gk) =∑

i

ℓ(Gk ∩i) y por tanto:

ℓ(G) ≤∑

k∈N′

ℓ(Gk) .

2.4. Longitud de conjuntos compactos.

Sea F ⊂ R un conjunto compacto, a = mınF, b = mınF , entonces [a, b]F esun conjunto abierto y por tanto esta definido ℓ([a, b]F ).

Definicion 2. Sea F ⊂ R un conjunto compacto, a = mınF, b =mınF , definimos

ℓ(F ) = b− a− ℓ([a, b]F ) .


Como [a, b]F es una union finita o numerable de intervalos abiertos y disjuntoscontenidos en [a, b] se tiene:

ℓ([a, b]F ) ≤ b− a ;

luego ℓ(F ) ≥ 0.Ejemplo: Si

A1 =

⟨

1

3,2

3

⟩

,

A2 =

⟨

1

9,2

9

⟩

∪⟨

7

9,8

9

⟩

,

A3 =

⟨

1

27,2

27

⟩

∪⟨

7

27,8

27

⟩

∪⟨

19

27,20

27

⟩

∪⟨

25

27,26

27

⟩

,

· · · = · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0

1

9

2

3

1

3

2

3

7

9

8

9

1

Figura 2.1

y A =∞⋃

n=1

An; An tiene 2n−1 subintervalos abiertos, dos a dos disjuntos, cada

uno de longitud1

3n, luego: ℓ(An) =

2n−1

3n.

ℓ(A) =

∞∑

n=1

ℓ(An) =

∞∑

n=1

2n−1

3n= 1 .

Si E0 = [0, 1]A entonces mınE0 = 0, maxE0 = 1, E0 es un conjuntos compacto ysu longitud es:

ℓ(E0) = (1− 0)− ℓ([0, 1]E0) = 1− ℓ(A) = 0 .

Lema 2.8. Sea F ⊂ R un conjunto compacto y A, B numeros reales tales queF ⊂< A,B >, entonces ℓ(F ) = (B −A)− ℓ(< A,B > F ).

Demostracion: Sean a = mınF , b = maxF . Es suficiente tener en cuenta que:

< A,B > F =< A, a > ∪ < b,B > ∪([a, b]F ) .


Teorema 2.9. Sean F1, F2 dos conjuntos compactos. Si F1 ⊂ F2 entonces

ℓ(F1) ≤ ℓ(F2) .

Demostracion: Sea < A,B > un intervalo abierto acotado tal que F2 ⊂< A,B >,entonces < A,B > F2 ⊂< A,B > F1, ℓ(< A,B > F2) ≤ ℓ(< A,B > F1).

(B − A)− ℓ(< A,B > F1) ≤ (B − A)− ℓ(< A,B > F2) ,

entonces

ℓ(F1) ≤ ℓ(F2) .

Corolario 2.10. La longitud de un conjunto compacto F ⊂ R es el supremo de laslongitudes de todos los cnjuntos cerrados contenidos en F .

Teorema 2.11. La longitud de un conjunto abierto G es el supremo de las longitu-des de todos los conjuntos compactos contenidos en G.

Demostracion:

a) Sea F ⊂ G un conjunto compacto. Si < A,B > es un intevalo abierto yacotado tal que F ⊂< A,B >, llamando G1 = G∩ < A,B >, se tiene< A,B >= G1 ∪ (< A,B > F ),

B −A ≤ ℓ(G1) + ℓ(< A,B > F ) ,

por tanto: ℓ(F ) ≤ ℓ(G1) ≤ ℓ(G).

b) Sea < ak, bk >k∈N′ los intervalos componentes de G, entonces:

ℓ(G) =∑

k∈N′

(bk − ak) .

i) Si ℓ(G) < +∞, por definicion de serie convergente, dado ε > 0, existe

m ∈ N tal quem∑

k=1

(bk − ak) > ℓ(G)− ε

2.

Para cada k = 1, 2, . . . , m tomemos εk tal que 0 < εk < mın

bk − ak2

,ε

4m

.

Si αk = ak + εk, βk = bk − εk entonces [αk, βk] ⊂< ak, bk >, y:

ℓ([αk, βk]) = βk − αk = bk − ak − 2εk

> ℓ(< ak, bk >)−ε

2m.


Si F0 =

m⋃

k=1

[αk, βk] se tiene que F0 es compacto, F0 ⊂ G, y:

ℓ(F0) =

m∑

k=1

(βk − αk) >

m∑

k=1

(bk − ak)−ε

2> ℓ(G)− ε .

O sea ℓ(F0) > ℓ(G)− ε.

ii) Si ℓ(G) = +∞. Dado M > 0, existe m ∈ N tal quem∑

k=1

(bk − ak) > 2M .

iiα) Si existe algun intervalo < ak0, bk0 > no acotado 1 ≤ k0 ≤ m, toma-mos [α, β] ⊂< ak0, bk0 > tal que β − α > M , [α, β] ⊂ G.

iiβ) Si todos los intervalos < ak, bk >, 1 ≤ k ≤ m son acotados; para ca-

da k = 1, 2, . . . , m tomamos εk tal que 0 < εk < mın

bk − ak2

,M

2m

.

Si αk = ak + εk, βk = bk + εk, entonces: [αk, βk] ⊂< ak, bk >, y

βk − αk = bk − ak − 2εk > bk − ak −M

m.

Luego, si ℓ(G) = +∞, dado cualquier M > 0, siempre existe F0 ⊂G compacto tal que ℓ(F0) > M ; por tanto:

supℓ(F ) / F ⊂ G, F compacto = +∞ = ℓ(G) .

Teorema 2.12. La longitud de un conjunto compacto F ⊂ R es el ınfimo de laslongitudes de todos los conjuntos abiertos que contiene al conjunto F .

Demostracion:

a) Sea G un conjunto abierto tal que F ⊂ G. Por el Teorema 5 se tiene que:

ℓ(F ) ≤ ℓ(G) .

b) Sea ε > 0 y < A,B > un intervalo abierto y acotado tal que F ⊂< A,B >F es un conjunto abierto acotado, entonces usando el Teorema 5 se obtieneun conjunto cerrado F0 ⊂< A,B > tal que ℓ(F0) > ℓ(< A,B > F )− ε.

El conjunto: G0 =< A,B > F0 es un conjunto abierto, F ⊂ G0 y comoF0 ⊂< A,B > se tiene

ℓ(F0) = (B − A)− ℓ(< A,B > F0)= (B − A)− ℓ(G0) .


Entonces

ℓ(G0) = (B − A)− ℓ(F0)< (B − A)− ℓ(< A,B > F ) + ε < ℓ(F ) + ε .

O sea ℓ(G0) < ℓ(F ) + ε.

Teorema 2.13. Se F1 , F2 son dos conjuntos compactos y disjuntos, entonces

ℓ(F1 ∪ F2) = ℓ(F1) ∪ ℓ(F2) .

Demostracion:

a) Sea G un conjunto abierto tal que F1 ∪ F2 ⊂ G, y d = dist(F1, F2) > 0. Paracada x ∈ F1 ∪ F2 posemos elegir un intervalo abierto Ix tal que Ix ⊂ G y

ℓ(Ix) <d

2. Siendo F1 ∪ F2 un conjunto compacto, existe un numero finito de

intervalos abiertos Ix1, . . . , Ixm talqe que F1 ∪ F2 ⊂m⋃

j=1

Ixj ⊂ G. Definamos:

G1 = ∪Ixj / Ixj ∩ F1 6= φ .G2 = ∪Ixj / Ixj ∩ F2 6= φ .

Entonces F1 ⊂ G1, F2 ⊂ G2, G1 ∩G2 = φ, G1 ∪G2 =

m⋃

j=1

Ixj

ℓ(F1) + ℓ(F2) ≤ ℓ(G1) + ℓ(G2) = ℓ(G1 ∪G2)

= ℓ(

⋃mj=1 Ixj

)

≤ ℓ(G) ,

≤ (F1) + ℓ(F2) ≤ ℓ(G) para todo conjunto abierto G tal que F1 ∪ F2 ⊂ G.Entonces

ℓ(F1) + ℓ(F2) ≤ ınf

ℓ(G)

/

F1 ∪ F2 ⊂ GG abierto

= ℓ(F1 ∪ F2) .

O sea: ℓ(F1) + ℓ(F2) ≤ ℓ(F1 ∪ F2).

b) Sean U, V conjuntos biertos tales que F1 ⊂ U , F2 ⊂ V , entonces: F1 ∪ F2 ⊂U ∪ V .

ℓ(F1 ∪ F2) ≤ ℓ(U ∪ V ) ≤ ℓ(U) + ℓ(V ) .

Tomando ınfimos en el segundo miembro se obtiene:

ℓ(F1 ∪ F2) ≤ ℓ(F1) + ℓ(F2)


2.5. Medida exterior y medida interior de conjuntosA ⊂ R.

Definicion 3. Para cualquier conjuntosA ⊂ R definimos la me-dida exterior m∗A y la medida interior m∗A de la manera si-guiente:

m∗A = ınfℓ(G) / A ⊂ G, G abierto m∗A = supℓ(F ) / F ⊂ A, F compacto .

Nota: Sea G un conjunto abierto y F un conjunto compacto, usando los Teoremas5 y 6 se obtiene:

m∗G = ℓ(G) = m∗G .m∗F = ℓ(F ) = m∗F .

De la definicion de medida exterior y de medida interior se obtiene la siguiente:

Proposicion 2.14.

a) Para cualquier subconjunto A ⊂ R se tiene m∗A ≤ m∗A.

b) SiA, B son subconjuntos de R yA ⊂ B entoncesm∗A ≤ m∗B ym∗A ≤ m∗B.

Proposicion 2.15. Si I es un intervalo de extremos a, b entonces: m∗I = ℓ(I) =m∗I .

Proposicion 2.16. Sea Akk∈N′ una coleccion finita o numerable de subconjuntosde R, entonces:

m∗[

⋃

k∈N′

Ak

]

≤∑

k∈N′

m∗Ak .

Demostracion:

i) Si∑

k∈N′

m∗Ak = +∞, la proposicion es verdadera.

ii) Supondremos entonces que∑

k∈N′

m∗Ak < +∞. Sea ε > 0; para cada k ∈ N′

tomamos un conjunto abierto Gk tal que Ak ⊂ Gk y ℓ(Gk) ≤ m∗Ak +ε

2k,

2.5. MEDIDA EXTERIOR Y MEDIDA INTERIOR DE CONJUNTOS A ⊂ R. 25

entonces:⋃

k∈N′

Ak ⊂⋃

k∈N′

Gk.

m∗

(

⋃

k∈N′

Ak

)

≤ ℓ

(

⋃

k∈N′

Gk

)

≤∑

k∈N′

ℓ(Gk)

≤∑

k∈N′

(

m∗Ak +ε

2k

)

≤∑

k∈N′

m∗Ak + P .

para todo ε > 0, luego:

m∗(

⋃

n∈N′

Ak

)

≤∑

k∈N′

m∗Ak

Teorema 2.17. Sea Akk∈N′ una coleccion finitia o numerable de R dos a dos dis-juntos. Entonces

m∗

(

⋃

k∈N′

Ak

)

≥∑

k∈N′

m∗Ak .

Demostracion:

a) Sean F1, F2 conjuntos compactos tales que F1 ⊂ A1, F2 ⊂ A2, entoncesF1∪F2 es un conjunto compacto, F1∪ f2 ⊂ A1∪A2, F1∩F2 = φ, y por tanto:

m∗(A1 ∪ A2) ≥ ℓ(F1 ∪ F2) = ℓ(F1) + ℓ(F2) .

Tomando supremos en el segundo miembro se obtiene:

m∗(A1 ∪ A2) ≥ m∗A1 +m∗A2 .

b) Si N′ = 1, 2, . . . , m, usando induccion se obtiene:

m∗

[

m⋃

k=1

Ak

]

≥m∑

k=1

m∗Ak .

c) Si N′ = N entonces:n⋃

k=1

Ak ⊂∞⋃

k=1

Ak para todo n ∈ N,

m∗

[ ∞⋃

k=1

Ak

]

≥ m∗

[

n⋃

k=1

Ak

]

≥n∑

k=q

m∗Ak .


n∑

k=1

m∗Ak ≤ m∗

[ ∞⋃

k=1

Ak

]

, para todo n ∈ N, leugo:

∞∑

k=1

m∗Ak ≤ m∗

[ ∞⋃

k=1

Ak

]

.

2.6. Conjuntos medibles.

Definicion 4. Un conjunto acotado A ⊂ R se llama medible si

m∗A = m∗A .

El valor comun de estas dos medidas se llama la medida de Lebesgue del con-junto A y se define con mA, es decir

m∗A = mA = m∗A .

Ejemplos: Los conjuntos abiertos y acotados y los conjuntos compactos son con-juntos medibles.

Definicion 5. Un conjuntos A ⊂ R se llama medible si paracada n ∈ N el conjunto A ∩ [−n, n] es medible.Si A ⊂ R es medible, definimos su medida mA como:

mA = lımn→∞

m(A ∩ [−n, n]) .

Lema 2.18. Sea (aij) una sucesion doble de numeros reales no-negativos tal que;

i) aij ≤ ai(j+1) ,

ii) aij ≤ a(i+1)j para todo i, j en N. Entonces:

lımi→∞

[

lımj→∞

aij

]

= lımj→∞

[

lımi→∞

aij

]

2.6. CONJUNTOS MEDIBLES. 27

Demostracion: Las condiciones i) y ii) nos permiten definir:

bi = lımj→∞

aij , cj = lımi→∞

aij

(bi) y (cj) son sucesiones no-decrecientes, por tanto existen los lımites:

b = lımi→∞

bi ; c = lımj→∞

cj

en [0,+∞]. Como aij ≤ bi ≤ b para todo i, j en N se tiene:

cj = lımi→∞

aij ≤ b ; c = lımj→∞

cj ≤ b .

O sea c ≤ b. Similarmente b ≤ c

Teorema 2.19. Sea Akk∈N′ una coleccion finita o numerable de conjuntos medi-

bles y dos a dos disjuntos, entonces⋃

k∈N′

Ak es medible y

m

[

⋃

k∈N′

Ak

]

=∑

k∈N′

mAk .

Demostracion:

i) Si⋃

k∈N′

Ak es acotado:

∑

k∈N′

mAk =∑

k∈N′

m∗Ak ≤ m∗[⋃

k∈N′ Ak

]

≤ m∗

[

⋃

k∈N′

Ak

]

≤∑

k∈N′ m∗Ak =∑

k∈N′ mAk .

Lo cual prueba que⋃

k∈N′

Ak es medible y que

m

[

⋃

k∈N′

Ak

]

=∑

k∈N′

mAk .

ii) Si⋃

k∈N′

Ak no es acotado.

[

⋃

k∈N′

Ak

]

∩ [−n, n] =⋃

k∈N′

(Ak ∩ [−n, n]) , ∀n ∈ N (*)


ComoAk es medible,Ak∩[−n, n] es medible para todo n ∈ N. Por i)

[

⋃

k∈N′

Ak

]

∩

[−n, n] es medible para todo n ∈ N. Luego⋃

k∈N′

Ak es medible.

De (*) se obtiene:

m

([

⋃

k∈N′

Ak

]

∩ [−n, n])

=∑

k∈N′

m(Ak ∩ [−n, n])

a) Si N′ = 1, 2, . . . , m .

m

([

m⋃

k=1

Ak

]

∩ [−n, n])

=

m∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n]) .

m

[

⋃

k∈N′

Ak

]

= lımn→∞

[

m∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n])]

=

m∑

k=1

lımn→∞

m(Ak ∩ [−n, n])

=

m∑

k=1

mAk .

b) Si N′ = N.

m

[( ∞⋃

k=1

Ak

)

∩ [−n, n]]

=

∞∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n])

= lımr→∞

r∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n]) .

m

[ ∞⋃

k=1

Ak

]

= lımn→∞

[

lımr→∞

r∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n])]

y usando el lema 5 se obtiene:

m

[ ∞⋃

k=1

Ak

]

= lımr→∞

[

lımn→∞

r∑

k=1

m(Ak ∩ [−n, n])]

= lımr→∞

[

r∑

k=1

lımn→∞

m(Ak ∩ [−n, n])]

= lımr→∞

r∑

k=1

mAk =∞∑

k=1

mAk .


Nota: Si G ⊂ R es un conjunto abierto y acotado y F ⊂ G es un conjunto ce-rrado, entonces GF es un conjunto abierto y acotado, por tanto F y GF sonconjuntos medibles. y deG = F∪(GF ) se obtiene:mG = mF+m(GF ), luego:

m(GF ) = mG−mF .

Lema 2.20. Un conjunto acotado A ⊂ R es medible si y solo si para cada ε > 0existe un conjunto compacto K y un conjunto abierto y acotado G tales que K ⊂A ⊂ G y m(GK) < ε.

Teorema 2.21. Sean A, B conjuntos acotados y medibles. Entonces AB, A∩B yA ∪B son medibles.

Demostracion:

a) Dado ε > 0, sean G1, G2 conjuntos abiertos y acotados y K1, K2 conjun-

tos compactos tales que K1 ⊂ A ⊂ G1, K2 ⊂ B ⊂ G2, m(G1K1) <ε

2,

m(G2K2) <ε

2.

Sean H = G1K2, L = K1G2; H es abierto y scotado, L es compacto yL ⊂ AB ⊂ H .

HL = H ∩[

∁K1 ∪ ∁G2

]

=[

H ∩ ∁K1

]

∪ [H ∩G2]

=[

H ∩ ∁K1

]

∪[

G1 ∩ ∁K2 ∩G2

]

⊂[

G1 ∩ ∁K1

]

∪[

G2 ∩ ∁K2

]

⊂ (G1K1) ∪ (G2K2)

HL ⊂ (G1K1) ∪ (G2K2) .

m∗(HL) ≤ m∗(G1K1) +m∗(G2K2) .

Como HL, G1K1, G2K2 son conjuntos medibles se tiene:

m(HL) ≤ m(G1K1) +m(G2K2) < ε .

Por el Lema 6, AB es medible.

b) Como A ∪ B = (AB) ∪ (BA) ∪ (A ∩ B) se tiene que A ∪ B es union deconjuntos medibles, acotados y dos a dos disjuntos. El teorema 9 dice queA ∪B es medible.


Nota 1: Sea F ⊂ R un conjunto cerrado, entonces: F ∩ [−n, n] es compacto ypor tanto medible para todo n ∈ N, leugo F es medible.

Nota 2: (AB)∩[−n, n] = A∩[−n, n]B∩[−n, n]. Por el Teorema 10, (AB)∩[−n, n] es medible para todo n ∈ N y por tanto AB es medible.

En particular, si A ⊂ R es medible, entonces ∁A = RA es medible.Tambien si G ⊂ R es un conjunto abierto, entonces G = ∁

(

∁G)

, lo cual pruebaque G es medible.

Nota 3: Si A, B son subconjuntos medibles de R, entonces:

(A ∪B) ∩ [−n, n] = (A ∩ [−n, n]) ∪ (B ∩ [−n, n]) .

El Teorema 10 dice que (A ∪ B) ∩ [−n, n] es medible para todo n ∈ N por tantoA ∪B es medible.

Por induccion, si A1, A2, . . . , Am son subconjuntos medibles de R, entoncesm⋃

i=1

Ai tambien es medible.


bles, entonces⋃

k∈N′

Ak es medible y

m

(

⋃

k∈N′

Ak

)

≤∑

k∈N′

mAk .

Demostracion:

a) Caso numerable N′ = N. Sean B1 = A1, Bk = Ak

(

k−1⋃

i=1

Ai

)

, entonces

Bkk∈N es una sucesion de conjuntos medibles, dos a dos disjuntos y∞⋃

k=1

Ak =

∞⋃

k=1

Bk,∞⋃

k=1

Bk es medible y por tanto∞⋃

k=1

Ak es medible y:

m

( ∞⋃

k=1

Ak

)

= m

( ∞⋃

k=1

Bk

)

≤∞∑

k=1

mBk .

Bk ⊂ Ak entonces Bk ∩ [−n, n] ⊂ Ak ∩ [−n, n] para todo n ∈ N, entoncesmBk ≤ mAk. Entonces

m

( ∞⋃

k=1

Ak

)

≤∞∑

k=1

mAk .


b) Casi finito:m⋃

i=1

Ai =

∞⋃

i=1

Ai, Ai = φ is i > m. Entonces

m

(

m⋃

i=1

Ai

)

≤∞∑

i=1

mAi =

m∑

i=1

mAi .

Denotemos:

m = A ⊂ R / A es medible segun Lebesgue .

m es una σ-algebra .


bles, entonces⋂

k∈N′

Ak es medible

Demostracion:⋂

k∈N′

Ak = ∁

[

⋃

k∈N′

∁Ak

]

Teorema 2.24. Sea Aii∈N un sucesion de conjuntos medibles.

a) Si A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . .., entonces:

m

( ∞⋃

n=1

An

)

lımn→∞

mAm .

b) Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . y mA1 <∞, entonces

m

( ∞⋂

n=1

An

)

= lımn→∞

mAm .

Demostracion:

a) Sean B1 = A1, . . . , Bk = AkAk−1; Bkk∈N es una sucesion de conjuntos

medibles , dos a dos disjuntos y∞⋃

n=1

An =∞⋃

k=1

Bk

m

( ∞⋃

n=1

An

)

= m

( ∞⋃

k=1

Bk

)

=∞∑

k=1

mBk .


An =

∞⋃

k=1

Bk, entonces mAn =

n∑

k=1

mBk, entonces

lımn→∞

mAn =

∞∑

k=1

mBk = m

( ∞⋃

n=1

An

)

.

b) A1A2 ⊂ A1A3 ⊂ A1A4 ⊂ . . .

∞⋃

n=2

(A1An) = A1

∞⋂

n=2

An = A1

∞⋂

n=1

An

y suando a) se obtiene:

m

( ∞⋂

n=1

An

)

= lımn→∞

mAm .

Nota: Si A, B son medibles y AconB entonces mA ≤ mB

Proposicion 2.25. Para cualquier intervalo I se tiene

m(I) = ℓ(I) .

Proposicion 2.26. Para cualquier conjunto abierto G ⊂ R se tiene mG = ℓ(G).

Teorema 2.27. Sea E ⊂ R un conjunto medible y ε > 0, entonces:

i) Existe G ⊂ R abierto tal que E ⊂ G y m(GE) < ε.

ii) Existe F ⊂ R cerrado tal que F ⊂ E y m(EF ) < ε.

iii) Si m(E) <∞, existe F ⊂ R compacto tal que F ⊂ E y m(EF ) < ε.

Demostracion:

i.1) Si E es acotado

mE = ınfℓ(G) / E ⊂ G, G abierto ,

entonces existe un conjunto abierto G0 tal que E ⊂ G0 y ℓ(G0) < mE + ε.Sean < a, b > un intervalo abierto y acotado tal que E ⊂< a, b >, entoncesE ⊂< a, b > ∩G0 = G, G ⊂ G0, G es abierto y acotado, G es medible,mG = ℓ(G) ≤ ℓ(G0) < mE + ε. mG < mE + ε, entonces

m(GE) < ε .


i.2) Supongamos ahora que E no es acotado. Para cada n ∈ N, E ∩ [−n, n] esmedible y acotado. Entonces existe un conjunto abierto y acotado Gn tal

que E ∩ [−, n] ⊂ Gn y m(GnE ∩ [−n, n]) < P2n

. Sea G =∞⋃

n=1

Gn, E =

∞⋃

n=1

E ∩ [−n, n] ⊂ G. G es abierto y GE ⊂∞⋃

n=1

(GnE ∩ [−n, n]).

m(GE) ≤ m

[ ∞⋃

n=1

(GnE ∩ [−n, n])]

≤∞∑

n=1

m(GnE ∩ [−n, n])

<∞∑

n=1

ε

2n= ε .

Luego, m(GE) < ε.

ii) SiE es medible, entonces ∁E es emedible. Por la parte i) existeG ⊂ R abiertotal que ∁E ⊂ G y m(G∁E) < ε. Sea F = ∁G, F ⊂ E, F es cerrado yEF = E ∩G = G∁E. Luego:

m(EF ) = m(G∁E) < ε .

iii) Si E es medible con mE < ∞, entonces En = E ∩ [−n, n] es medible paracada n ∈ N y mE = lımn→∞m(En). Luego, dado ε > 0, existe n ∈ N tal que

mE − ε

2< mEn, luego m(EEn) <

P2

, En es medible, por ii) existe F ⊂ En

cerrado tal que m(EnF ) <ε

2. Como En es acotado, F es compacto. Como

F ⊂ En ⊂ E se tiene:

(EF ) = (EEn) ∪ (EnF )

m(EF ) = m(EEn) +m(EnF ) < ε

m(EF ) < ε .

Proposicion 2.28. Si E ⊂ R es un conjunto medible, entonces

m∗E = m∗E = mE .

Demostracion:


a) Supongamos que mE <∞.

Entonces existen G ⊂ R conjunto abierto y F ⊂ R conjunto compacto talesque F ⊂ E ⊂ G, m(GE) < ε, m(EF ) < ε, entonces: mG − mE < ε,mE −mF < ε.

m∗E ≤ ℓ(G) = mG < mE + ε .m∗E ≥ ℓ(F ) = mF > mE − ε .

m∗E − 2ε < mE − ε < m∗E para todo ε > 0. Cuando ε→ 0 se obtiene:

m∗E ≤ mE ≤ m∗E .

b) Si mE = +∞.

E ∩ [−n, n] es medible y acotado para todo n ∈ N, luego: E ⊂ [−n, n] ⊂ E

m(E ∩ [−n, n]) = m∗(E ∩ [−n, n]) ≤ m∗E .

para todo n ∈ N, entonces

lımn→∞

m(E ∩ [−n, n]) ≤ m∗E .

EntoncesmE = m∗E = m∗E = +∞ .

Proposicion 2.29. Sea M ⊂ R un subconjunto medible con m(M) < ∞ y H ⊂ M ,entonces:

a) m∗ = (MH) = mM −m∗H .

b) m∗ = (MH) = mM −m∗H .

Demostracion:

a) Dado ε > 0, existeG abierto tal queM ⊂ G ym(GM) <ε

2,mG−mM <

ε

2.

Como m∗H < ∞, existe F ⊂ H compacto tal que mF > m∗H − ε

2. GF es

abierto y MH = M ∩ ∁H ⊂ G ∩ ∁F , MH ⊂ GF , luego:

m∗(MH) ≤ m(GF ) = mG−mF

<(

mM +ε

2

)

−(

m∗H − ε

2

)

.

m∗(MH) < mM −m∗H + ε para todo ε > 0, luego:

m∗(MH) ≤ m(M)−m∗H .


Por otra parte: existe F1 ⊂ M compacto tal que m(MF1) <ε

2, y existe

G1 ⊂ R abierto tal que MH ⊂ G1 y mG1 < m∗(MH) +ε

2; F1G1 es

compacto y F1G1 ⊂ H , entonces (F1G1) ≤ m∗H . F1 ∩G1 ⊂ G1 entoncesm(F1 ∩G1) ≤ mG1.

m(G1) +m(F1G1) ≥ m(F1 ∩G1) +m(F1 ∩ ∁G1)

= mF1 > m(M)− ε

2.

Luego:

m∗(MH) +m∗H >(

m(G1)−ε

2

)

+m(F1G1) > m(M)− ε , ∀ε > 0 .

Luego:m∗(MH) ≤ m(M)−m∗(H) .

Por tanto:m∗(MH) = m(M)−m∗(H) .

b) Ahora denotando H1 =MH ⊂M y usando la parte a) se tiene:

m∗(MH1) = m(M)−m(∗H1) ,m∗(H) = m(M)−m∗(MH) , o

m∗(MH) = m(M)−m∗(H) .

Teorema 2.30. Un subconjunto E ⊂ R es medible si y solo si:

m∗A = m∗(A ∩ E) +m∗(A ∩ ∁E) .

para todo A ⊂ R.

Demostracion:

a) Supongamos que E es medible, entonces ∁E es medible. Sea ε > 0. ExistenG1, G2 abiertos tales que E ⊂ G1, ∁E ⊂ G2, y m(G1E) < ε, m(G2∁E) <ε.

Pero:G1 ∩G2 = G1 ∩G2 ∩ (E ∪ ∁E)

= (G1 ∩G1 ∩ E) ∪ (G1 ∩G2 ∩ ∁E)⊂ (E ∩G2) ∪ (G1 ∩ ∁E)= (G2∁E) ∪ (G1E) .

Luego:m(G1 ∩G2) ≤ m(G2∁E) +m(G1E) < 2ε .


Veamos ahora que:

m∗A ≥ m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

(*)

para todo A ⊂ R.

i) Si m∗A = +∞, la desigualdad en (∗) es verdadera.

ii) Supongamos entonces que m∗A < ∞. Existe G3 abierto tal que A ⊂ G3

y mG3 < m∗A + ε; G3 ∩ G1, G3 ∩ G2 son conjuntos abiertos, A ∩ E ⊂G3 ∩G1, A ∩ ∁E ⊂ G3 ∩G2.

m∗(A ∩ E) ≤ m(G3 ∩G1) , m∗ (A∩ ⊂ E) ≤ m(G3 ∩G2)

G1∩∁G2,G2∩∁G1,G1∩G2 son dos a dos disjuntos y su union esG1∪G2,luego:

mG3 ≥ m [G3 ∩ (G1 ∪G2)]

= m[

G3 ∩(

G1 ∩ ∁G2

)]

+m[

G3 ∩(

G2 ∩ ∁G1

)]

+m [G3 ∩G2 ∩G1]

=(

m[

G3 ∩G1 ∩ ∁G2

]

+m [G3 ∩G1 ∩G2])

+(

m[

G3 ∩G2 ∩ ∁G1

]

+m [G3 ∩G2 ∩G1])

−m [G3 ∩G2 ∩G1]

= m(G3 ∩G1) +m(G3 ∩G2)−m[G3 ∩G2 ∩G1]

≥ m(G3 ∩G1) +m(G3 ∩G2)−m(G1 ∩G2) .

Entonces

mG3 ≥ m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

− 2ε .

m∗A+ ε > mG3 ≥ m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

− 2ε

para todo ε > 0. Cuando ε→ 0 se tiene:

m∗A ≥ m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

.

Como A = (A ∩ E) ∪(

A ∩ ∁E)

se tiene:

m∗A ≤ m∗(A ∩ E) ∪m∗ (A ∩ ∁E)

;

por tanto:

m∗A = m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

, ∀A ⊂ R .

b) Reciprocamente, supongamos que se cumple:

m∗A = m∗(A ∩ E) +m∗ (A ∩ ∁E)

, ∀A ⊂ R . (**)


Tomemos A ⊂ R un conjunto medible y acotado A ∩ E ⊂ A, AA ∩ E =AE, luego usando la Proposicion 6 con A =M y A ∩ E = H se tiene:

m∗(AE) = mA−m∗(A ∩ E) , o

mA = m∗(A ∩ E) + c∗(AE) .

De (**) se obtiene mA = m∗(A ∩ E) +m∗(AE) lo cual implica que m∗(A ∩E) = m∗(A∩E), es decirA∩E es medible para todo conjunotA ⊂ R medibley acotado. En particular A ∩ [−n, n] es medible para todo n ∈ N

Ejercicios

1. Sea I1, I2, . . . , In un numero finito de intervalos, dos a dos disjuntos, conte-

nidos en un intervalo < a, b >. Probar quen∑

i=1

ℓ(Ii) ≤ b− a.

2. Si A es un conjunto numerable, verificar que m∗A = 0.

3. Verificar que el intervalo [0, 1] no es numerable.

4. Sea A ⊂ R cualquier conjunto y ε > 0.

a) Probar que existe un conjunto abiertoO tal queA ⊂ O ymO ≤ m∗A+ε.

b) Probar que existe una sucesion (On)n∈N de conjuntos abiertos tal que

A ⊂∞⋂

n=1

On y m∗A = m∗

[ ∞⋂

n=1

On

]

.

5. Sea G ⊂ R un conjunto abierto y a ∈ R un numero real, verificar que ℓ(a +G) = ℓ(G).

Definicion 6. Sea B ⊂ R y a ∈ R un numero real, definimos:

a+B = a+ x / x ∈ B .

6. Si A ⊂ R es un conjunto y a ∈ R es un numero real, probar que m∗(a+A) =m∗(A).

7. Si F ⊂ R es un conjunto compacto y a ∈ R, verificar que ℓ(a+ F ) = ℓ(F ).

8. Para cualquier conjunto A ⊂ R, y a ∈ R, verificar que m∗(a+ A) = m∗A.


9. Sean A, B subconjunto de R. Si m∗B = 0, probar que m∗(A ∪B) = m∗A.

10. Sea E un subconjunto de R y a ∈ R. Si E es medible probar que a + E esmedible y que m(a+ E) = mE.

2.7. Existencia de conjuntos no medibles

En el intervalo cerrado

[

−1

2,1

2

]

definimao xRy si y solo si x − y ∈ Q. R es

un relacion de equivalencia y por tanto divide a

[

−1

2,1

2

]

en conjuntos disjuntos[

−1

2,1

2

]

=⋃

i∈IBi.

Usando el axioma de eleccion escogemos un punto ai en cada Bi, i ∈ I , yformamos el conjunto A = ai / i ∈ I.

Sea 0, r1, r2, r3, . . . , una numeracion de los numeros racionales en [−1, 1] y de-notamos: A0 = A, Ak = rk + A para k ≥ 1, se tiene:

[

−1

2,1

2

]

⊂∞⋃

k=0

Ak ⊂[

−3

2,3

2

]

,

y Am ∩ An = φ si m 6= n.Supongamos que z ∈ Am ∩ An; a ∈ Am = A+ rm; z ∈ An = A+ rn; rm 6= rn.z = ai + rm, z = aj + rn; ai 6= aj. ai, aj son elemento distintos de A. ai − aj =

rn − rm ∈ Q, aiRaj lo cual no es cierto, pues en A hya un solo elemento en cadaclase de equivalencia. Por tanto Am ∩ An = φ.

Veamos que A es un conjunto no-medible. Como la medida interior y la me-dida exterior son invariantes por traslacion se tiene:

m∗Ak = m∗A = α , m∗Ak = m∗A = β .

Entonces se

[

−1

2,1

2

]

⊂∞⋃

k=0

Ak se obtiene:

1 = m∗[

−1

2,1

2

]

≤ m∗[ ∞⋃

k=0

]

≤∞∑

k=0

m∗Ak .

1 ≤ β + β + β + · · · ; luego β > 0.

De∞⋃

k=0

Ak ⊂[

−3

2,3

2

]

se obtiene:

3 = m∗

[

−3

2,3

2

]

≥ m∗

[ ∞⋃

k=0

Ak

]

≥∞∑

k=0

m∗Ak .

2.7. EXISTENCIA DE CONJUNTOS NO MEDIBLES 39

3 ≥ α + α + α+ · · · , luego α = 0.O sea: m∗A < m∗A y por tanto A no es medible.

Ejercicios

1. Si E ⊂ R, verificar que los siguientes enunciados son equivalentes:

a) E es medible

b) Dado ε > 0 , existe un conjutno abierto O tal que E ⊂ O y m∗(OE) <ε.

c) Dado ε > 0, existe un conjunto cerrado F tal que F ⊂ E y m∗(EF ) <ε.

d) Existe una sucesion (On)n∈N de conjuntos abiertos tal que E ⊂∞⋂

n=1

On y

m∗

[ ∞⋂

n=1

OnE

]

= 0.

e) Existe una sucesion (Fn)n∈N de conjuntos cerrados tal que∞⋃

n=1

Fn ⊂ E y

m∗

[

E

∞⋃

n=1

Fn

]

= 0.

Si m∗E <∞, los anteriores enunciados son equivalentes con:

f) Dado ε > 0, existe una union finita de intervalos abiertos U tal que

m∗(U E) < E .

2. Si E1, E2 son conjuntos medibles, probar que

m(E1 ∪ E2) +m(E1 ∩ E2) = mE1 +mE2 .

3. Sea A ⊂ R cualquier conjunto y E1, E2, . . . , En una sucesion finita y dos ados disjuntos de conjuntos medibles, probar que:

m∗[

A ∩(

n⋃

i=1

Ei

)]

=

n∑

i=1

m∗(A ∩ Ei) .

4. Sea F un subconjunto de [0, 1] construido de la misma manera que e con-junto de Cantos, excepto que cdad uno de los intervalos removidos en eln-esimo paso tiene longitud α3−n con 0 < α < 1. Entonces F es compacto,si A = [0, 1]F entonces A = [0, 1] y mF = 1− α.


5. Probar que los conjuntos medibles segun Lebesgue de R forman una σ-alge-bra de conjuntos.

6. Probar que todo conjunto de Borel de R es un conjunto medible.

3Funciones medibles.

3.1. Funciones medibles.

Los conjuntos abiertos de R son conjuntos abiertos de R y ademas los conjun-tos de la forma [−∞, a >, < b,+∞] para todo a, b reales.

Definicion 1. Sea U un subconjunto de R. Una funcion f : U →R se llama medible en U si U es medible y el conjuntos x ∈U / f(x) > c es medible para cada numero real c.

Nota: Sea f : U → R una funcion y c ∈ R, entonces:

a) x ∈ U / f(x) ≤ c = U x ∈ U / f(x) > c

b) x ∈ U / f(x) < c =∞⋃

n=1

x ∈ U / f(x) ≤ c− 1

n

c) x ∈ U / f(x) ≥ c = Ux ∈ U / f(x) < c

d) x ∈ U / f(x) > c =∞⋃

n=1

x ∈ U / f(x) ≥ c+1

n

.

Luego se tiene la siguiente proposicion:

Proposicion 3.1. Sea U ⊂ R un conjunto medible. Una funcion f :→ R es mediblesi y solo si, para cada c ∈ R uno cualquiera de los siguientes conjuntos:

x ∈ U / f(x) ≤ c , x ∈ U / f(x) < c , x ∈ U / f(x) ≥ c

es medible.

41

42 CAPITULO 3. FUNCIONES MEDIBLES.

Nota: Sea U ⊂ R y f : U → R una funcion,

f−1(< a, b >) = x ∈ U / a < f(x) < b= x ∈ U / f(x) > a ∩ x ∈ U / f(x) ) es un conjunto medible.Si G ⊂ R es un conjunto abierto, entonces G es una union finita o numerable

de intervalos abiertos y dos a dos disjuntos: G =⋃

i∈N′

Ii, f−1(G) =

⋃

i∈N′

f−1(Ii), por

tanto f−1(G) es medible.Luego se tiene la siguiente proposicion:

Proposicion 3.2. Sea U ⊂ R un conjunto medible. Una funcion f : U → R esmedible si solo si f−1(G) es medible para todo conjunto G abierto en R.

Proposicion 3.3. Sea g : R → R una funcion continua y U ⊂ R un conjuntomedible. Si f : U → R es una funcion medible, entonces la funcion compuestah = g f es medible.

Definicion 2. Sea f : U → R una funcion y a ∈ R.

a) Si a 6= 0, definimos (af)(x) = af(x), para todo x ∈ U .

b) Si a = 0, definimos (0f)(x) = 0, para todo x ∈ U .

c) Para cualquier numero real a, definimos (f + a)(x) =f(x) + a, para todo x ∈ U .

Se observa que si f : U → R es una funcion medible, entonces para todo a ∈ R

las funciones af y a+ f tambien son medibles.

Teorema 3.4.

a) Sean f, g : U → R funciones medibles, entonces las funciones h1(x) =maxf(x), g(x), h2(x) = mınf(x), g(x) tmabien son medibles.

b) Si fi : U → R, i ∈ N es una sucesion de funciones medibles, entonces lasfunciones h1(x) = sup

i∈Nfi(x), h2(x) = ınf

i∈Nfi(x) tambien son medibles.

Demostracion:

a)x ∈ U / h1(x) > c = x ∈ U / f(x) > c ∪ x ∈ U / g(x) > cx ∈ U / h2(x) < c = x ∈ U / f(x) < c ∪ x ∈ U / g(x) < c

3.1. FUNCIONES MEDIBLES. 43

b)

x ∈ U / h1(x) > c =

∞⋃

i=1

x ∈ U / fi(x) > c

x ∈ U / h2(x) < c =

∞⋃

i=1

x ∈ U / fi(x) < c

Teorema 3.5. Sea f : U → R una funcion medible, entonces:

a) Las funciones |f | y f 2 son medibles.

b) Si para f(x) 6= 0 para todo x ∈ U , entonces las funciones1

fes medible.

c) Si f, g : U → R son funciones medibles, entonces el conjunto x ∈ U / f(x) >g(x) es medible. En consecuencia las funciones f − g, f + g y fg son medi-bles.

Demostracion:

a) Como a funcion valor absoluto es continua, la proposicion 3 dice que lafuncion |f | es medible.

x ∈ U / f 2(x) > c =

U , si c < 0 .

x ∈ U / |f(x)| > √c , si c ≥ 0 .

b)

x ∈ U /1

f(x)> c

=

x ∈ U / f(x) > 0 , si c ≥ 0 .

x ∈ U / f(x) > 0 ∩

x ∈ U / f(x) <1

c

, si c > 0 .

x ∈ U / f(x) > 0 ∪ x ∈ U / f(x) < 0

∩

x ∈ U / f(x) <1

c

, si c < 0 .

c)

x ∈ U / f(x) > g(x) =⋃

r∈Q(x ∈ U / f(x) > r ∩ x ∈ U / g(x) < r) ,

donde Q es el conjunto de los numeros racionales. Finalmente:

x ∈ U / f(x)− g(x) > c = x ∈ U / f(x) > g(x) + c ,


f+g = f−(−g) y fg =1

4

[

(f + g)2 − (f − g)2]

. Por tanto las funciones f−g,

f + g y fg son medibles.

3.2. Lımite superior y lımite inferior.

Sea (yi)i∈N una sucesion de elementos de R, y:

zk = ınfyi / i ≥ k , z1 ≤ z2 ≤ z3 ≤ . . .

Definimos:

yi = lımk→∞

zk = supzk / k ∈ N = supk∈N

ınfi≥k

yi

.

lım ınf yi se llama el lımite inferior de la sucesion (yi)i∈N y se denota con limi→∞

yi, es

decir: limi→∞

yi = lım inf yi.

Analogamente definimos:

lım sup yi = lımk→∞

supi≥k

yi

= ınfk∈N

supi≥k

yi

.

lım sup yi se llama el lımite superior de la sucesion (yi)i∈N y se denota con limi→∞

yi

es decir limi→∞

yi = lım sup yi.

Nota:

1. limi→∞

yi ≤ limi→∞

yi.

2. limi→∞

yi = limi→∞

yi = l si y solo si existe lımi→∞

yi = l.

Definicion 3. Si fi : U → R, i ∈ N, es una sucesion de funcio-nes, definimos f = lim

i→∞fi, g = lim

i→∞fi, mediante:

f(x) = limi→∞

fi(x) , g(x) limi→∞

fi(x)

Comolimi→∞

fi = supi∈N ınfi≥k fi .

limi→∞

fi = ınfk∈N

supi≥k fi

,

3.2. LIMITE SUPERIOR Y LIMITE INFERIOR. 45

si (fi)i∈N es una sucesion de funciones medibles, entonces las funciones limi→∞

fi y

limi→∞

fi tambien son medibles.

En particular, si (fi)i∈N es una sucesion de funciones medibles y existe f(x) =lımi→∞

fi(x) para todo x ∈ U , entonces f es medible.

Funcion escalonada: Una funcion g : R → R se llama escalonada si existe unintervalo cerrado y acotado [a, b], una particion:

a = x0 < x1 < . . . < xn = b

del intervalo [a, b] y numeros reales c1, c2, . . . , cn tales que:

i) g(x) = ci, si x ∈< xi−1, xi >, i = 1, 2, . . . , n.

ii) g(x) = 0, si x ∈ [a, b].

Funcion caracterıstica: Sea A un subconjunto de R, la funcion χA : R → R

definida mediante:

χA(x) =

1 , si x ∈ A

0 , si x 6= A

se llama la funcion caracterıstica del conjunto A.Funcion simple: Una funcion ϕ : R → R se llama simple si existe un numero

finito A1, A2, . . . , An de conjuntos medibles y dos a dos disjuntos tales que:

i) ϕ es constante en cada Ai, o sea, existe ai ∈ R tal que ϕ(x) = ai, si x ∈ Ai,i = 1, 2, . . . , n

ii) ϕ(x) = 0 si x /∈n⋃

i=1

Ai.

Toda funcion simple ϕ : R → R puede escribirse en la forma ϕ =

n∑

i=1

aiχAi,

donde χAies la funcion caracterıstica del conjunto Ai.

Proposicion 3.6. Si ϕ, ψ : R → R son funciones simples, entonces ϕ + ψ : R → R

tambien es una funcion simple.

Demostracion: ϕ =m∑

i=1

aiχAi, ψ =

n∑

j=1

bjχBj; Ai ∩ Aj = φ y Bi ∩ Bj = φ si i 6= j;

ai 6= 0 para i = 1, 2, . . . , m, bj 6= 0 para j = 1, 2, . . . , n.Definamos A0 = x ∈ R / ϕ(x) = 0, B0 = x ∈ R / ψ(x) = 0 y consideremos

los conjuntos:

Ai ∩ Bj /i = 0, 1, . . . , m ; j = 0, 1, . . . , n(i, j) 6= (0, 0)

.


Si x ∈ Ai ∩Bj, entonces (ϕ+ ψ)(x) = ai + bj, donde a0 = b0 = 0.

Si x /∈m⋃

i=0

[

n⋃

j=0

(Ai ∩Bj)

]

, (i, j) 6= (0, 0) entonces (ϕ + ψ)(x) = 0. Luego, ϕ + ψ

es una funcion simple.

Lema 3.7. Sea f : U → R una funcion medible y no-negativa. Entonces existe unasucesion (ϕn)n∈N de funciones simples y no-negativas tal que:

a) ϕn ≤ ϕn+1 para todo n ∈ N.

b) lımn→∞

ϕn(x) = f(x) para todo x ∈ U .

c) Si f es acotado, entonces lımn→∞

ϕn(x) = f(x) uniformemente en U .

Demostracion: Para cada n ∈ N, definamos una coleccion:En ∪ Ek,nn2

n−1k=0 , de conjuntos medibles y dos a dos disjuntos, mediante:

Ek,n =

x ∈ U /k

2n≤ f(x) <

k + 1

2n

,

k = 0, 1, 2, . . . , n2n − 1, En = x ∈ U / f(x) ≥ n.

0

1

2n2

2nn2n − 1

n

n

Figura 3.1

y definimos:

ϕn(x) =

n2n−1∑

k=1

k

2nχEk,n

(x) + nχEn(x) .

Se observa que si x ∈ Ek,n entonces ϕn(x) =k

2ny que si x ∈ En entonces ϕn(x) =

n.Si x ∈ U entonces x ∈ Ek,n para algun k, o x ∈ En, luego:

ϕn(x) =k

2n< n o ϕn(x) = n .

En consecuencia ϕ(x) ≤ n para todo n ∈ N y todo x ∈ U . Tambien ϕn(x) ≤f(x) para todo n ∈ N y todo x ∈ U .

Tomemos x ∈ U :

i) Si f(x) ≥ n+ 1, entonces x ∈ En+1 y ϕn+1(x) = n+ 1 > n ≥ ϕn(x).


ii) Si f(x) < n+ 1:

0

1

2n+1

2

2n+1

(n+ 1)2n+1 − 1

n

n+ 1

Figura 3.2

Existe l ∈ N tal quel

2n+1≤ f(x) <

l + 1

2n+1, entonces x ∈ El,(n+1) y ϕn+1(x) =

l

2n+1.

ii.a) Si l es par:l2

2n≤ f(x) <

l+12

2n<

l2 + 1

2n

ϕn(x) =l2

2n=

l

2n+1= ϕn+1(x).

ii.b) Si l es impar:l−12

2n<

l2

2n≤ f(x) <

l+12

2n=

l−12 + 1

2n

ϕn(x) =l−12

2n<

l2

2n=

l

2n+1= ϕn+1(x). Por tanto ϕn(x) ≤ ϕn+1(x) para

todo n ∈ N y todo x ∈ U .

b) Si f(x) < ∞, existe n0 ∈ N tal que n0 − 1 ≤ f(x) < n0. tomemos n ∈ N talque n ≥ n0,

0 n

f(x)

Figura 3.3

existe l ∈ N tal quel

2n≤ f(x) <

l + 1

2n,l

2n= ϕn(x) ≤ f(x) <

l + 1

2n, luego:

0 ≤ f(x)− ϕn(x) <1

2n, lımn→∞

ϕn(x) = f(x) .

Si f(x) = +∞, entonces x ∈ En para todo n ∈ N, por tanto

lımn→∞

ϕn(x) = +∞ = f(x) .


c) Si 0 ≤ f(x) < M , dado ε > 0 podemos tomar n0 ∈ N tal que n0 > M y1

2n< ε. Para n ≥ n0, existe l ∈ N tal que

l

2n≤ f(x) <

l + 1

2n, entonces:

0 ≤ f(x)−ϕn(x) < ε para todo n ≥ n0 y todo x ∈ U ; luego lımn→∞

ϕn(x) = f(x)

uniformemente en U .

Observacion 1: Como 0 ≤ ϕn(x) ≤ f(x) para todo x ∈ U y todo n ∈ N, si0 ≤ f(x) ≤M , entonces 0 ≤ ϕn(x) ≤M .

Observacion 2: Sea f : [a, b] → R una funcion medible y finita a.e.(almostevery were, casi en todo punto), entonces:

i) Dado ε > 0, existe k0 ∈ N y un subconjunto AK0 ⊂ [a, b] tal que m(Ak0) <ε

3y |f(x)| ≤ k0 para todo x ∈ [a, b]Ak0.

ii) Dado ε > 0, existe una funcion simple ϕ : R → R tal que |f(x)− ϕ(x)| < εpara todo x ∈ [a, b]Ak0.

En efecto, sean:

A∞ = x ∈ [a, b] / |f(x)| = +∞ .Ak = x ∈ [a, b] / |f(x)| > k .

A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .;∞⋂

k−1

Ak = A∞. Entonces

lımk→∞

m(Ak) = m(A∞) = 0 .

Entonces, dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que: 0 ≤ mA0 <ε

3y |f(x)| ≤ k0 para

todo x ∈ [a, b]Ak0.

iii) Sea U = [a, b]Ak0,

−k0 ≤ f(x) ≤ k0 entonces 0 ≤ f(x) + k0 ≤ 2k0

para todo x ∈ U ; f + k0 : U → R es una funcion medible, no-negativa,acotada. Entonces, existe una sucesion ψ : R → R de funciones simples talque:

lımn→∞

ψn(x) = f(x) + k0

uniformemente en U .

Luego, dado ε > 0, existe una funcion simple ψ = ψn0tal que:

|f(x) + k0 − ψ(x)| < ε para todo x ∈ U .

|f(x)− (ψ(x)− k0)| < ε para todo x ∈ U .

y ϕ = ψ − k0 es una funcion simple.


Nota: Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ U , entonces 0 ≤ f(x) − m ≤ M − m;f(x)−m es una funcion medibel y no-negativa. Entonces existeuna sucesion

0 ≤ ϕn(x) ≤ f(x)−m

de funciones simples tal que ϕn → f−m uniformemente en U . Luego ψn = ϕn+mes una sucesion de funciones simples tal que

m ≤ ψn(x) ≤ f(x) ≤M

para todo x ∈ U y todo n ∈ N, y ψn → f uniformemente en U .Ejercicio: Sean F1, F2, . . . , Fn subconjuntos compactos de R dos a dos disjun-

tos, entonces existen conjuntos abiertos O1, O2, . . . , On dos a dos disjuntos talesque Fi ⊂ Oi para i = 1, 2, . . . , n.

Proposicion 3.8. Sea f : [a, b] → R una funcion medible, finita a.e. en [a, b]. En-tonces, dado ε > 0 podemos hallar una funcion escalonada g : [a, b] → R y unafuncion continua h : [a, b] → R tal que

|f(x)− g(x)| < ε y |f(x)− h(x)| < ε

para todo x ∈ [a, b]W , con m(W ) < ε.Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ [a, b] entonces podemos escoger las funciones

g y h de modo que m ≤ g(x) ≤M y m ≤ h(x) ≤M para todo x ∈ [a, b].

Demostracion: Sea ϕ : R → R la funcion simple obtenida en la Observacion 2,

ϕ =

m∑

i=1

ciχBi.

Si U = [a, b]Ak0 entonces Bi ⊂ U ym⋃

i=1

Bi = U .

Como Bk es medible, dado ε > 0 existe Fk compacto tal que Fk ⊂ Bk y

m(BkFk) <ε

3m. Tomando F =

m⋃

k=1

Fk se tiene F ⊂ U y:

m (UF ) =∞∑

k=1

m (BkFk) <ε

3.

Como los Fk’s son compactos y dos a dos disjuntos, existen conjuntos abiertos01, 02, . . . , Om dos a dos disjuntos tales que Fk ⊂ Ok, 1 ≤ k ≤ m

Fk ⊂ Ok =⋃

i

Ikiunion finita o numerable de in-tervalos abiertos y disjuntos.


Fk compacto entonces Fk ⊂ Iki1 ∪ Iki2 ∪ . . . ∪ Ikij(k) .Luego, definiendo g : [a, b] → R mediante:

g(x) =

ck , si x ∈[

Iki1 ∪ . . . ∪ Ikij(k)]

∩ [a, b]

0 , si x ∈ [a, b][

Iki1 ∪ . . . ∪ Ikij(k)]

k = 1, 2, . . . , m.

g es una funcion escalonada y g(x) = ck = ϕ(x) para todo x ∈ F

3.3. Convergencia en medida.

Convencion: Sean f, g : U → R dos funciones y σ ∈ R, σ > 0. Si x ∈ U es talque f(x) = g(x) = +∞, o f(x) = g(x) = −∞, entonces pondremos estas x en elconjunto:

x ∈ U / |f(x)− g(x)| ≥ σ

Teorema 3.9 (Lebesgue). Sea E ⊂ R un conjunto medible, mE < ∞, fn : E → R

una sucesion de funciones medibles y f : E → R uns funcion tales que:

i) m x ∈ E / |fk(x)| = +∞ = 0, ∀k ∈ N. mx ∈ E / |f(x)| = +∞ = 0.

ii) lımn→∞

fn(x) = f(x) para todo x ∈ EC , donde m(C) = 0.

Entonces para cada σ ∈ R, σ > 0 se tiene:

lımn→∞

[m (x ∈ E / |fn(x)− f(x)| ≥ σ)] = 0 .

Demostracion: La funcion f es medible y los conjuntos: An = x ∈ E / |fn(x)| =∞, A = x ∈ E / |f(x)| = +∞ y C son conjuntos medibles.

Si Q = A ∪[ ∞⋃

n=1

An

]

∪ C , entonces mQ = 0. Definamos:

Ek(σ) = x ∈ E / |fk(x)− f(x)| ≥ σ

R(n(σ)) =

∞⋃

k=n

Ek(σ), M =

∞⋂

n=1

Rn(σ).

Todos estos conjuntos son medibles y R1(σ) ⊃ R2(σ) ⊃ . . ., lımn→∞

mRn(σ) =

mM .Probaremos que M ⊂ Q: Si x0 ∈ EQ, entonces x0 /∈ C y por tanto existe

f(x0) = lımk→∞

fk(x0) .

3.3. CONVERGENCIA EN MEDIDA. 51

x0 /∈∞⋃

k=1

Ak, entonces fK(x0) ∈ R para todo k ∈ N, tmabien f(x0) ∈ R. Entonces,

existe n0 ∈ N tal que |fk(x0)− f(x0)| < σ para todo k ≥ n0, luego x0 /∈ Ek(σ) paratodo k ≥ n0, x0 /∈ Rn0

(σ) y x0 /∈ M . Por tanto M ⊂ Q entonces mM = 0, entonceslımn→∞

mRn(σ) = 0 y como En(σ) ⊂ Rn(σ), se tiene:

lımn→∞

mEn(σ) = 0

Definicion 4. Sea fn : E → R una sucesion de funciones medi-bles y f : E → R una funcion tales que:

i) mx ∈ E / |fn(x)| = +∞ = 0, ∀n ∈ N.

ii) mx ∈ E / |f(x)| = +∞ = 0.

Silımn→∞

[mx ∈ E / |fn(x)− f(x)| ≥ σ] = 0

para todo numero real σ > 0, entonces se dice que la sucesion(fn)n∈N converge en medida a la funcion f .

Notacion: fnm→ f , fn converge en medida hacia f .

Definicion 5. Dado un conjunto E; si una propiedad P se cum-ples enED dondemD = 0, entonces se dice que la propiedadP se cumple casi en todas partes en E y se escribe: “P se cum-ple a.e. en E”

Ejemplo: Sea f : [a, b] → R una funcion. Si existe un conjunto D ⊂ [a, b] conmD = 0 tal que f es continua en [a, b]D, entonces se dice que f es continua a.e.en [a, b].

Nota: Si (fn), f satisfacen las hipotesis del Teorema 3(Lebesgue), entonces

fnm→ f ; es decir fn → f a.e., entonces fn

m→ f .El siguiente ejempli muestra que el recıproco no es cierto.

Ejemplo: Para cada k ∈ N definamos f(k)i : [0, 1 >→ R, i = 1, 2, . . . , k de la

siguiente manera:

f(k)i (x) =

1 , si x ∈[

i− 1

k,i

k

⟩

0 , si x ∈ [0, 1 >

[

i− 1

k,i

k

⟩


Definiendo: ϕ1 = f(1)1 , ϕ2 = f

(2)1 , ϕ3 = f

(2)2 , ϕ4 = f

(3)1 , ϕ5 = f

(3)2 , . . ., etc., se tiene

que ϕn es de la forma: ϕn = f(k)i , y k → ∞ cuando n→ ∞.

x ∈ E / |ϕn(x)− 0| ≥ σ =

[

i− 1

k,i

k

⟩

,

si σ ∈< 0, 1], y:

x ∈ E / |ϕn(x)− 0| ≥ σ = φ ,

si σ > 1, luego ϕnm→ 0.

Por otra parte si x0 ∈ [0, 1 >, para cada k ∈ N, existe i = 1, 2, . . . , k tal que

x0 ∈[

1− i

k,i

k

⟩

, entonces f(k)i (x0) = 1, entonces ϕn(x0) 9 0.

Teorema 3.10. Sean fn, f, g : E → R funciones medibles, y finitas a.e. en E. Si

fnm→ f y mx ∈ E / f(x) 6= g(x) = 0 entonces fn

m→ g.

Demostracion:

x ∈ E / |fn(x)−g(x)| ≥ σ ⊂ x ∈ E / f(x) 6= g(x)∪x ∈ E / |fn(x)−f(x)| ≥ σ .

Teorema 3.11. Sean fn, f, g : E → R funciones medibles. Si fnm→ f y fn

m→ g,entonces mx ∈ E / f(x) 6= g(x) = 0.

Demostracion: Si n, k ∈ N entonces:

x ∈ E / |f(x)− g(x)| ≥ 1

n

⊂(

x ∈ E / |fk(x)− f(x)| ≥ 1

2n

)

∪

(

x ∈ E / |fk(x)− g(x)| ≥ 1

2n

)

entonces m

(

x ∈ E / |f(x)− g(x)| ≥ 1

n= 0

)

para todo n ∈ N. Como:

x ∈ E / f(x) 6= g(x) ⊂∞⋃

n=1

(

x ∈ E / |f(x)− g(x) ≥ 1

n|)

se tiene que mx ∈ E / f(x) 6= g(x) = 0.

Teorema 3.12 (F. Riesz). Sean f, g : E → R funciones medibles, y finitas a.e. en

E, m(E) < ∞. Si fnm→ f entonces existe una subsucesion (fnl

) de (fn) tal quelıml→∞

fnl(x) = f(x) a.e. en E.


Demostracion: Tomemos k ∈ N, fnm→ f , entonces

lımn→∞

m

x ∈ E / |fn(x)− f(x)| ≥ 1

k

= 0 .

Etonces, tomando εk =1

k2, existe mk ∈ N tal que:

m

x ∈ E / |fnk− f(x)| ≥ 1

k

<1

k2

(podemos tomar n1 < n2 < n3 < . . .).Veamos que lım

k→∞fnk

= f(x) a.e. en E.

Sea Ri =∞⋃

k=i

x ∈ E / |fnk(x)− f(x)| ≥ 1

k, Q =

∞⋂

i=1

Ri; R1 ⊃ R2 ⊃ R3 ⊃ . . .

lımi→∞

m(Ri) = mQ .

mRi ≤∞∑

k=i

m

x ∈ E / |fnk(x)− f(x)| ≥ 1

k

≤∞∑

k=i

1

k2,

entonces lımi→∞

mRi = 0, entonces mQ = 0.

Probaremos que lımk→∞

fnk(x) = f(x), para todo x ∈ EQ: Sea x0 ∈ EQ, x0 /∈

Q, entonces existe i0 ∈ N tal que x0 /∈ Rio, o sea: x0 /∈

x ∈ E / |fnk− f(x)| ≥ 1

k

para todo k ≥ i0; entonces |fnk(x0) − f(x0)| <

1

kpara todo k ≥ i0, entonces

lımk→∞

fnk(x0) = f(x0)

Teorema 3.13 (Egorov). Sean fn, f : E → R funciones medibles, y finitas a.e. enE, mE < ∞. Si lım

n→∞fn(x) = f(x) a.e. en E,entonces para cada δ > 0, eciste un

conjunto medible Eδ ⊂ E tal que:

i) mEδ > mE − δ.

ii) lımn→∞

fn(x) = f(x) uniformemente en Eδ.

Demostracion: Sean:

Ek(σ) = x ∈ E / |fk(x)− f(x)| ≥ σ , σ > 0 .


Rn(σ) =

∞⋃

k=n

Ek(σ). En el Teorema 3(Lebesgue) vimos que lımn→∞

m(Rn(σ)) = 0.

Entonces tomando εi =1

i2, existe ni ∈ N tal que para σ =

1

i, mRni

(

1

i

)

<1

i2.

Tomemos i0 ∈ N tal que∞∑

i=i0

1

i2< δ, y E0 =

∞⋃

i=i0

Rni

(

1

i

)

; se tiene mE0 < δ.

Sea Eδ = EE0, obviamente: mEδ > mE − δ.Resta probar que lım

n→∞fn(x) = f(x) uniformemente en Eδ: Sea ε > 0, tomemos

i1 ∈ N tal que i1 ≥ i0 y1

i1< ε. Si x ∈ Eδ, entonces x /∈ E0, entonces x /∈ Rni

(

1

i

)

para todo i ≥ i0, entonces x /∈ Rni1

(

1

i1

)

, o sea

x /∈∞⋃

k=ni1

Ek

(

1

i1

)

=∞⋃

k=ni1

[

x ∈ E

/

|fk(x)− f(x)| ≥ 1

i1

]

entonces

x /∈[

x ∈ E

/

|fk(x)− f(x)| ≥ 1

i1

]

, ∀k ≥ ni1

entonces |fk(x) − f(x)| < 1

i1para todo k ≥ ni1, entonces |fk(x) − f(x)| < ε para

todo k ≥ ni1 y todo x ∈ Eδ

Teorema 3.14. SeaE ⊂ R un conjunto medible,mE < ∞ y f : E → R una funcionmedible y finita a.e. en E. Para cualquier ε > 0, existe uan funcion medible yacotada g : E → R tal que

mx ∈ E / f(x) 6= g(x) < ε .

Demostracion: Denotemos:

Ak = x ∈ E / |f(x)| > k , Q = x ∈ E / |f(x)| = +∞ .

A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . y m(Q) = 0.

Q =∞⋂

k=1

Ak, entonces lımk→∞

m(Ak) = 0.

Entonces, dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que m(A0) < ε. Definamos g : E → R

mediante:

g(x) =

f(x), si x ∈ EAk0.

0, si x ∈ Ak0.

g es medible. Si x ∈ EAk0, entonces: x ∈ Ak0, entonces |g(x)| = |f(x)| ≤ k0.Finalmente x ∈ E / f(x) 6= g(x) = Ak0


Lema 3.15. Sean F1, F2, . . . Fn conjuntos cerrados y dos a dos disjuntos de R y

F =

n⋃

i=1

Fi. Si ϕ : F → R es una funcion ta; que ϕ∣

∣

Fies constante para cada

i = 1, 2, . . . , n entonces ϕ es continua en F .

Demostracion: Sea H ⊂ R un conjunto cerrado

ϕ−1(H) =n⋃

i=1

x ∈ Fi / ϕ(x) ∈ H =n⋃

i=1

(

ϕ∣

∣

Fi

)−1

(H)

que es cerrado.

Lema 3.16. Sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado y F ⊂ [a, b] un conjunto cerra-do. Si ϕ : F → R es una funcion continua, entonces existe una funcion continuaψ : [a, b] → R con las siguientes propiedades:

1. ψ∣

∣

F= ϕ.

2. maxa≤x≤b

|ϕ(x)| = maxx∈F

|ϕ(x)|.

Demostracion: Sea α = mınF , β = maxF .

i) Si F = [a, b], definimos:

ψ(x) =

ϕ(α), si x ∈ [a, α〉ϕ(x), si x ∈ [α, β]

ϕ(β), si x ∈ 〈β, b] .

ii) Supongamos que F ( [α, β], entonces [α, β]F =< α, β > F es un con-

junto abierto, [α, β]F =⋃

i∈J< ai, bi >, J finito o numerable y < ai, bi > ∩ <

aj, bj >= φ para i 6= j.

Definamos ϕ0 : [α, β] → R de la siguiente manera:

ϕ0(x) =

ϕ(x), si x ∈ F

Linealmente, si x ∈ [α, β]F .


x x

y

ϕ(a1)

ϕ(b1)

α a1 b1 a2

(x, ϕ0(x))

Figura 3.4

ϕ0 es continua en [α, β] y luego se extiende a una funcion ψ : [a, b] → R

como en i). El maximo de ψ en < ai, bi > es tomado en ai o en bi que sonpuntos de F , luego

maxa≤x≤b

|ψ(x)| = maxx∈F

|ϕ(x)|

Teorema 3.17 (Borel). Sea f : [a, b] → R una funcion medible y finita a.e. en [a, b].Para todo par de numeros reales σ > 0, ε > 0, existe una funcion continua ψ :[a, b] → R tal que:

mx ∈ [a, b] / |f(x)− ψ(x)| ≥ σ < ε .

Si ademas |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b] podemos escoger ψ tal que |ψ(x)| ≤ kpara todo x ∈ [a, b].

Demostracion:

a) Supongamos que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b]. Sea m ∈ N tal quek

m< σ y

construyamos los siguietnes conjuntos:

Ei =

x ∈ [a, b] /i− 1

mk ≤ f(x) <

i

mk

(i = 1−m, 2−m, . . . , m− 1).

Em =

x ∈ [a, b] /m− 1

mk ≤ f(x) ≤ k

.

Los conjuntosEi, i = 1−m, 2−m, . . . , m−1 son medibles y dos a dos disjun-

tos. Ademas [a, b] =m⋃

i=1−mEi. Como mEi = supmF / F ⊂ Ei, F cerrado ,


podemos escoger un conjunto cerrado Fi ⊂ Ei tal que mEi < mFi +ε

2m,

m(EiFi) <ε

2m.

Sea F =

m⋃

i=1−mFi; [a, b]F =

m⋃

i=1−m(EiFi).

Como Ei ∩ Ej = φ si i 6= j, se tiene:

m([a, b]F ) =

m∑

i=1−mm(EiFi) <

m∑

i=1−m

ε

2m< ε .

Definamos ϕ : F → R mediante:

ϕ(x) =i

mk, para x ∈ Fi, i = 1−m, . . . , m .

Como Fi ∩ Fj = φ si i 6= j, el Lema 2 dice que ϕ es continua en F .

Ademas ϕ(x) ≤ k y |f(x)− g(x)| < σ para todo x ∈ F . Aplicando el Lema 3se obtiene una funcion continua ψ : [a, b] → R tal que ψ(x) = ϕ(x) para todox ∈ F y ψ(x) ≤ k para todo x ∈ [a, b]. Por otra parte, como |f(x)−ϕ(x)| < σpara todo x ∈ F se tiene:

x ∈ [a, b] / |f(x)− g(x)| ≥ σ ⊂ [a, b]F .

Entoncesmx ∈ [a, b] / |f(x)− g(x)| ≥ σ < ε

b) Supongamos que f no es acotada. Entonces, usando el teorema 8 podemoshallar una funcion medible y acotada g : [a, b] → R tal que:

mx ∈ [a, b] / f(x) 6= g(x) < ε

2.

Aplicando laparte a) a la funcion g, se obtiene una funcion continua ψ :[a, b] → R tal que:

mx ∈ [a, b] / |g(x)− ψ(x)| ≥ σ < ε

2.

y el resultado se obtiene de:

x ∈ [a, b] / |f(x)− ψ(x)| ≥ σ ⊂ x ∈ [a, b] / f(x) 6= g(x)∪

x ∈ [a, b] / |g(x)− ψ(x)| ≥ σ


Corolario 3.18. Para cualquier funcion medible f : [a, b] → R, finita a.e. en [a, b],

existe una sucesion de funciones continuas ψn : [a, b] → R tal que ψnm→ f .

Demostracion: Para cada n ∈ N, tomando σ = ε =1

nen el teorema de Borel, se

obtiene una funcion continua ψn : [a, b] → R tal que:

m

x ∈ [a, b] / |f(x)− ψn(x)| ≥1

n

<1

n.

Veamos que ψnm→ f . Dea σ > 0 un numero real. Existe n0 ∈ N tal que

1

n< σ para

todo n ≥ n0. Finalmente:

x ∈ [a, b] / |f(x)− ψn(x)| ≥ σ ⊂ x ∈ [a, b] / |f(x)− ψn(x)| ≥1

n

Ahora, aplicando el teorema de F.Riesz se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 3.19 (M.Frechet). Si f : [a, b] → R es una funcion medible y finita a.e. en[a, b], entonces existe una sucesion de funciones continuas gn : [a, b] → R tal quegn(x) → f(x) a.e. en [a, b].

Teorema 3.20 (N.N.Luzin). Sea f : [a, b] → R una funcion medible y finita a.e.en [a, b]. Para cada δ > 0, existe una funcion continua ϕ : [a, b] → R tal quemx ∈ [a, b] / f(x) 6= ϕ(x) < δ. Ademas, si |f(x)| ≤ k, tambien |ϕ(x)| ≤ k.

Demostracion: Sea ϕn : [a, b] → R una sucesion de funciones continuas tal quelımn→∞

ϕn(x) = f(x) a.e. en [a, b](Ver teorema 10). Usando el teorema de Egorov, po-

demos hallar un subconjuntoEδ ⊂ [a, b] tal quemEδ ≥ m([a, b])−δ2

, y lımn→∞

ϕn(x) =

f(x) uniformemente en Eδ. ϕn → f |Eδes continua en Eδ.

Sea F ⊂ Eδ un conjunto cerrado tal que mF > mEδ −δ

2. Obviamente: f |F :

F → R es continua. Aplicando el Lema 3, encontramos una funcion continua ϕ :[a, b] → R tal que ϕ|F = f |F , y max

a≤x≤b|ϕ(x)| = max

x∈F|f(x)|. Luego: x ∈ [a, b] / ϕ(x) 6=

f(x) ⊂ [a, b]F y

m([a, b]F ) = m([a, b])−mF = m([a, b])−mEδ +mEδ −mF < δ

entonces mx ∈ [a, b] / ϕ(x) 6= f(x) < δ.Si ademas |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b], tambien |f(x)| ≤ k para todo x ∈ F ,

y el teorema de Borel nos dice que |ϕ(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b]


Corolario 3.21. Sea f : [a, b] → R una funcion medible tal que |f(x)| ≤ k para todot ∈ [a, b]. Entonces, para cada ε > 0, existe uan funcion continua g : [a, b] → R y unconjunto medible D ⊂ [a, b] tal que g(t) = f(t) para todo t ∈ [a, b]D, g(a) = g(b),mD < ε y |g(t)| ≤ k para todo t ∈ [a, b].

Demostracion: Por el teorema de Luzın, existe una funcion continua h : [a, b] →R y un subconjunto B ⊂ [a, b] tal que h(t) = f(t) para todo t ∈ [a, b]B, mB <

ε

2y |h(t) ≤ k| para todo t ∈ [a, b], tomemos 0 < ε′ <

ε

2y definamos:

g(t) =

h(t), si t ∈ [a, b− ε′] .

h(a), si t = b .

linealmente, en [b− ε′, b] .

g y f coinciden en [a, b](B ∪ [b− ε′, b]).

y

ta b− ε′ b

(b, g(b))

y = g(t)y = h(t)

Figura 3.5

Tomemos D = B ∪ [b − ε′, b], mD < ε. Ademas g(a) = g(b) y |g(t)| ≤ k paratodo t ∈ [a, b].

Ejercicios

1. Sea U ⊂ R un conjunto medible y f : U → R una funcion medible. Si c ∈ R,probar que el conjunto: x ∈ U / f(x) = c es medible.

2. Sea f : U → R una funcion medible y A ⊂ U un subconjunto medible.Probar que F |A es medible.

3. Sea f : U → R una funcion medible,A ⊂ U un subconjunto medible y c ∈ R.Probar que la funcion:

g(x) =

f(x), si x ∈ UA

c, si x ∈ A

es medible.


4. Sea A ⊂ R; probar que A es medible si y solo si la funcion caracterıstica χAes emdible.

5. Si f : R → R es una funcion monotona, probar que f es medible.

6. Si f : U → R es una funcion continua, U medible, probar que f es medible.

7. Probar que la funcion de Dirichlet f : R → R definida mediante:

f(x) =

1, si x ∈ RQ

0, si x ∈ Q .

8. Sea f : U → R una funcion medible, definamos:

||f ||∞ = sup essf= ınfM ≥ 0 / mx ∈ U / |f(x)| > M = 0 .

Probar que ||f ||∞ = 0 si y solo si f = 0 a.e. en U .

9. Sea E ⊂ [1, 2] un conjunto no-medible. Construir una funcion inyectiva f :[1,∞) → R tal que:

x ∈ [1,∞ > / f(x) > 0 = E .

10. Sea (Ek)k∈N una suceison de conjuntos medibles, E =

∞⋃

k=1

Ek y f : E → R

una funcion. Si f |Ek: Ek → R es medible para todo k ∈ N, probar que

f : E → R es medible.

11. Sea U ⊂ R un conjunto medible. f : U → R una funcion. Si el conjuntox ∈ U / f(x) > c es medible para todo c ∈ Q, probar que f es medible.

12. Sea f : U → R una funcion, medible y B ⊂ R un conjunto de Borel. Probarque f−1(B) es medible.

13. Sea U ⊂ R un conjunto de Borel. Una funcion f : U → R se llama mediblesegun Bore, si f−1(B) es un conjunto de Borel para todo conjunto de BorelB ⊂ R.

a) Si f : U → R es emdible Borel, probar que f tambiem es medible segunLebesgue.

b) Si f, g : R → R son medibles Borel, probar que f g tmabien es medibleBorel.

c) Si f : R → R es medible Borel, y g : R → R es medible Lebesgue,probar que f g es medible Lebesgue.


14. Verificar que:

a) χA∩B = χA · χBb) χA∪B = χA + χB − χA · χBc) χ∁A = 1− χA


4Integrales sobre R

4.1. Integral de funciones simples.

Proposicion 4.1. Sea ϕ : R → R una funcion simple. Si ϕ =m∑

i=1

aiχAiy tambien

ϕ =n∑

j=1

bjχBj, ai 6= 0, bj 6= 0, Ai ∩ Aj = φ, Bi ∩ Bj = φ si i 6= j, entonces:

m∑

i=1

aim(Ai) =

n∑

j=1

bjm(Bj)

Demostracion: Ai ⊂n⋃

j=1

Bj, Ai =n⋃

j=1

(Ai ∩ Bj) union disjunta,

aim(Ai) =n∑

j=1

aim(Ai ∩Bj).

Si m(Ai ∩Bj) > 0, entonces Ai ∩Bj 6= φ, y ai = bj, luego:

aim(Ai) =n∑

j=1

ai(Ai ∩Bj)

m∑

i=1

aim(Ai) =m∑

i=1

[

n∑

j=1

bjm(Ai ∩ Bj)

]

.

=n∑

j=1

[

m∑

i=1

bjm(Ai ∩ Bj)

]

.

Por otra parte:

63

64 CAPITULO 4. INTEGRALES SOBRE R

Bj =

m⋃

i=1

(Ai ∩Bj) union disjunta: m(Bj) =

m∑

i=1

(Ai ∩Bj).

n∑

j=1

bjm(Bj) =

n∑

j=1

[

m∑

i=1

bjm(Ai ∩ Bj)

]

Definicion 1. Si ϕ =

m∑

i=1

aiχAies una funcion simple, (Ai∩Aj =

φ si i 6= j ), que se anula fuera de un conjunto de medida finita,

definimos la integral

∫

R

ϕ(x)dx de la siguiente manera:

∫

R

ϕ(x)dx =m∑

i=1

aim(Ai)

Notacion:∫

Rϕ(x)dx =

∫

ϕ(x)dx =∫

ϕ.

Proposicion 4.2. Sean ϕ, ψ;R → R funciones simples que se anulan fuera de unconjunto de medida finita, entonces:

1.

∫

(ϕ+ ψ) =

∫

ϕ+

∫

ψ.

2.

∫

(cϕ) = c

∫

ϕ, para todo c ∈ R.

3. Si ϕ ≥ 0, entonces

∫

ϕ ≥ 0.

4. Si ϕ ≤ ψ, entonces

∫

ϕ ≤∫

ψ.

Demostracion: Demostracion de 1.

ϕ =m∑

i=1

aiχAi, ψ =

n∑

j=1

bjχBj, ai 6= 0, bj 6= 0. Sean A0 = x ∈ R / ϕ(x) = 0,

B0 = x ∈ R / ψ(x) = 0. a0 = b0 = 0.

Ai =

n⋃

j=0

(Ai ∩Bj), χAi=

n∑

j=0

χAi∩Bj.

4.1. INTEGRAL DE FUNCIONES SIMPLES. 65

ϕ =m∑

i=1

aiχAi=

m∑

i=1

[

n∑

j=0

aiχAi∩Bj

]

ϕ =

m∑

i=0

n∑

j=0

aiχAi∩Bj, (i, j) 6= (0, 0).

Analogamente: ψ =

m∑

i=0

n∑

j=0

bjχAi∩Bj, (i, j) 6= (0, 0).

∫

ϕ =

m∑

i=0

n∑

j=0

aim(Ai ∩Bj), (i, j) 6= (0, 0).

∫

ψ =

m∑

i=0

n∑

j=0

bjm(Ai ∩Bj), (i, j) 6= (0, 0).

ϕ+ ψ =

m∑

i=0

n∑

j=0

(ai + bj)χAi∩Bj, (i, i) 6= (0, 0).

∫

(ϕ+ ψ) =

m∑

i=0

n∑

j=0

(ai + bj)m(Ai ∩Bj)

=m∑

i=0

n∑

j=0

aim(Ai ∩Bj) +m∑

i=0

n∑

j=0

bjm(Ai ∩Bj),

=

∫

ϕ+

∫

ψ .

Las restantes propiedades se dejan como ejercicios.

Si ϕ : R → R es una funcion simple que se anula fuera de un conjunto demedida finita y E ⊂ R es cualquier conjunto medible, definimos:

∫

E

ϕ =

∫

R

ϕχE .


Definicion 2. Si f : R → R es una funcion acotada y E ⊂ R esun conjunto medible con mE <∞, definimos:

L

∫−

E

f = ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ, ψ simple

L

∫

−E

f = sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f, ϕ simple

.

Nota: Si ϕ ≤ f ≤ ψ, entonces∫

E ϕ ≤∫

E ψ y por tanto L

∫−

E

f ≤ L

∫

−E

f .

Teorema 4.3. Sea f : R → R una funcion acotada y E ⊂ R un conjunto mediblecon E < ∞. Si f : E → R es medible, entonces:

ınf

∫

E

ψ /f ≤ ψ ,ψ simple

= sup

∫

E

ϕ /ϕ ≤ f ,ϕ simple

Demostracion: Supongamos que |f(x)‖ ≤ M para todo x ∈ E. Si f : E → R esmedible, entonces los conjuntos:

Enk =

x ∈ E /kM

n≥ f(x) >

(k − 1)M

n

, −n ≤ k ≤ n

son conjuntos medibles, dos a dos disjuntos para n ∈ N fijo yn⋃

k=−nEnk = E, mE =

n∑

k=−nmEn

k . Definamos funciones simples ϕn, ψn : R → R de la siguiente manera:

ϕn(x) =M

n

n∑

k=−n(k − 1)χEn

k(x) .

ϕn(x) =M

n

n∑

k=−nkχEn

k(x) .

se cumple ϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x) para todo x ∈ E. Luego:

ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ

≤∫

E

ψn =M

n

n∑

k=−nkmEn

k .

sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f

≥∫

E

ϕn =M

n

n∑

k=−n(k − 1)mEn

k .

4.1. INTEGRAL DE FUNCIONES SIMPLES. 67

Luego:

ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ

− sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f

≤∫

E

(ψn − ϕn) =

M

n

n∑

k=−nm(En

k ) =M

nmE

Para todo n ∈ N. Cuando n→ ∞ se tiene:

ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ

= sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f

Teorema 4.4. Sea E ⊂ R un conjunto medible, mE < ∞ y f : E → R una funcionacotada. Si :

ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ

= sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f

= α ,

entonces f : E → R es medible.

Demostracion: Para todo n ∈ N, existen funciones simples ϕn, ψn tales que:ϕn(x) ≤ f(x) ≤ ψn(x) para todo x ∈ E y:

∫

E

ψn < α+1

2n,

∫

E

ϕn > α− 1

2n.

Luego:

∫

E

ψn −∫

E

ϕn <1

n.

Definamos ϕ∗, ψ∗;R → R mediante

ϕ∗(x) = supnϕn(x) ; ψ

∗(x) = ınfnψn(x) .

ϕ∗, ψ∗ son funciones medibles y ϕ∗(x) ≤ f(x) ≤ ψ∗(x) para todo x ∈ E.

Veamos que ϕ∗(x) = ψ∗(x) a.e. en E, lo cual implicarıa que f(x) = ϕ∗(x) a.e.en E y por tanto que f es medible.

Sea Dm =

x ∈ E / ψ∗(x)− ϕ∗(x) >1

m

. Como ϕn(x) ≤ ϕ∗(x) ≤ ψ∗(x) ≤


ψn(x) para todo x ∈ E y todo n ∈ N, se tiene:

Dm ⊂ Dmn =

x ∈ E / ψn(x)− ϕn(x) >1

m

.

1

mχDmn

≤ ψn − ϕn en E .

1

m

∫

E

χDmn≤∫

E

ψn −∫

E

ϕn <1

n.

1

mm(Dmn) <

1

n, m(Dmn) <

m

n.

Dm ⊂ Dmn, entonces m(Dm) <m

npara todo n ∈ N, luego m(Dm) = 0.

Si D = x ∈ E / ψ∗(x)− ϕ∗(x) > 0 se tiene D =∞⋃

m=1

Dm, luego mD = 0

4.2. Integral de una funcion acotada

Definicion 3. Sea E ⊂ R un conjunto medible con m(E) < ∞.Si f : R → R es una funcion medible y acotada, definimos:

L

∫

E

f(x)dx = ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ, ψ simple

L

∫

E

f(x)dx se llama integral de Lebesgue de f en E.

Notaciones:

a) L

∫

E

f(x)dx =

∫

E

f cuando no existe lugar a confusion.

b) Si E = [a, b], escribiremos

∫ b

a

f es ves de∫

[a,b] f .

c) Si E ⊂ R es un conjunto medible con mE < ∞ y f : R → R es una funcionmedible y acotada que se anula fuera de E, entonces podemos escribir

∫

fen vez de

∫

E f .

d) Sea E ⊂ R un conjunto medible con mE < ∞ y g : R → R una funcionmedible y acotada en E, entocnes:

∫

E

g =

∫

E

gχE =

∫

gχE .

4.2. INTEGRAL DE UNA FUNCION ACOTADA 69

Ejmeplo: La funcion f0 : R → R definida mediante:

f0(x) =

1 , si x ∈ Q ∩ [0, 1] = Q0 .

0 , si x /∈ Q0 .

es una funcion simple, f− χQ0, luego:

∫ 1

0

f0 −∫

f0 =

∫

χQ0= 1mQ0 = 0

Nota: Sea [a, b] un intervalo cerrado, acotado y f : [a, b] → R una funcion acotada.Toda funcion escalonada es una funcion simple, luego:

∫ b

a

g

/

g ≤ fg escalonada

⊂

∫ b

a

ϕ

/

ϕ ≤ fϕ simple

.

Ademas,

∫

−

b

a

f y

∫− b

a

f denotan las integrales inferior y superior de Riemann

respectivamente, entocens:

R

∫

−

b

a

f ≤ L

∫

−

b

a

f .

Similartmente: L

∫− b

a

f ≤ R

∫− b

a

f , luego:

R

∫

−

b

a

f ≤ L

∫

−

b

a

f ≤ L

∫− b

a

f ≤ R

∫− b

a

f .

Por tanto, si una funcion acotada f : [a, b] → R es integrable segun Lebesgue y lasintegrales son iguales. Ademas f : [a, b] → R es medible.

Teorema 4.5. Sea E ⊂ R un conjunto medivle con mE < ∞, Si f, g : E → R sonfunciones medibles y acotadas, entonces:

1.

∫

E

(f + g) =

∫

E

f +

∫

E

g.

2.

∫

E

(cf) = c

∫

E

f , para todo c ∈ R.

3.

∫

E

1 = m(E).


4. Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ E entonces

∫

E

f ≤∫

E

g. Por tanto:

∣

∣

∣

∣

∫

E

f

∣

∣

∣

∣

≤∫

E

|f | .

5. Si |f(x)| ≤ c para todo x ∈ E entonces

∣

∣

∣

∣

∫

E

f

∣

∣

∣

∣

≤∫

E

|f | ≤ cm(E) .

6. Si m(E) = 0, entonces

∫

E

f = 0.

7. Si m(A ∩B) = 0, A ⊂ E, B ⊂ E, entonces

∫

A∪Bf =

∫

A

f +

∫

B

f .

8. Si f(x) = g(x) a.e. en E, entonces

∫

E

f =

∫

E

g.

Demostracion:

1. Sean ψ1, ψ2 funciones simples tales que f ≤ ψ1, g ≤ ψ2. Entonces ψ1 + ψ2 esuna funcion simple tal que f + g ≤ ψ1 + ψ2, luego:

∫

E

(f + g) ≤∫

E

(ψ1 + ψ2) =

∫

E

ψ1 +

∫

E

ψ2 .

Tomando ınfimo en el segundo miembro se obtiene:

∫

E

(f + g) ≤∫

E

f +

∫

E

g .

Ahora, sean ϕ1, ϕ2 funciones simples tales que ϕ1 ≤ f , ϕ2 ≤ g. Entoncesϕ1 + ϕ2 es una funcion simple tal que ϕ1 + ϕ2 ≤ f + g; luego:

∫

E

(f + g) ≥∫

E

(ϕ1 + ϕ2) =

∫

E

ϕ1 +

∫

E

ϕ2 .

Tomando supremo en el segundo miembro se obtiene:

∫

E

(f + g) ≥∫

E

f +

∫

E

g .

4.2. INTEGRAL DE UNA FUNCION ACOTADA 71

2.

µ /af ≤ µ,µ simple

=

aψ /af ≤ aψ, f ≤ ψ,ψ simple

si a > 0.

µ /af ≤ µ,µ simple

=

aϕ /af ≤ aϕ, ϕ ≤ f,ϕ simple

si a < 0. Luego:

∫

E

af = ınf

∫

E

(aψ)

/

f ≤ ψ

= a ınf

∫

E

ψ

/

f ≤ ψ

= a

∫

E

f ,

si a > 0

∫

E

af = ınf

∫

E

aϕ

/

ϕ ≤ f

= a sup

∫

E

ϕ

/

ϕ ≤ f

= a

∫

E

f ,

si a < 0. Luego:∫

E

af = a

∫

E

f , si a 6= 0 .

Si a = 0, se verifica facilmente que

∫

E

0f = 0 = 0

∫

E

f .

3.

∫

E

1 =

∫

1χE = 1mE = mE.

Para la propiedad 7 tener en cuenta que χA∪B = χA + χB. Las restantes propieda-des quedan como ejercicios.

Teorema 4.6 (De la convergencia acotada). Sea E ⊂ R un conjunto medible conmE < ∞. Sea fn : E → R, n ∈ N, una sucesion de funciones medibles y su-pongamos que existe M tal que fn(x) ≤ M para todo n ∈ N y todo x ∈ E. Sif(x) = lım

m→∞fn(x) para todo x ∈ E, entonces:

∫

E

f(x) = lımn→∞

∫

E

fn(x)dx .

Demostracion: Por el teorema de Egorov, para cada δ > 0, existe un conjuntomedible Eδ ⊂ E tal que:


1. m(EEδ) < δ.

2. fn → f uniformemente en Eδ. Luego, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

|fn(x)− f(x)| < ε

2m(E)para todo x ∈ Eδ y todo n ≥ n0; luego:

∣

∣

∣

∣

∫

E

fn −∫

E

f

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∫

E

(fn − f)

∣

∣

∣

∣

≤∫

E

|fn − f |

=

∫

Eδ

|fn − f |+∫

(EEδ)

|fn − f |

Como |fn − f | ≤ 2M , mEδ ≤ mE, tomando δ =ε

4Mse obtiene:

∣

∣

∣

∣

∫

E

fn −∫

E

f

∣

∣

∣

∣

≤ ε

2m(E)m(E) + (2M)

ε

4M

= ε , para todo n ≥ n0 ,

lo cual prueba que

lımn→∞

∫

E

fn =

∫

E

f

4.3. La integral de una funcion no-negativa.

Sea E ⊂ R un conjunto medible y f : E → R una funcion medible y nonegativa.

Si

H(f) =

h : E → R /h ≤ f, h acotado, medibley mx ∈ E/h(x) 6= 0 < ∞

Si h ∈ H(f) y E ′ = x ∈ E/h(x) 6= 0 entonces m(E ′) < ∞; por tanto esta de-finido

∫

E′

h y

∫

E

h =

∫

E′

h .

Definicion 4.

∫

E

f = sup

∫

E

h

/

h ∈ H(f)

∈ [0,+∞] .

4.3. LA INTEGRAL DE UNA FUNCION NO-NEGATIVA. 73

Proposicion 4.7. Sea E ⊂ R un conjunto medible y f, g : E → [0,+∞] funcionesmedibles, no negativas, entonces:

i)

∫

E

(cf) = c

∫

E

f , para todo c > 0.

ii) Si f(x) ≤ g(x) a.e. en E, entonces:

∫

E

f(x) ≤∫

E

g(x) .

iii)

∫

E

(f + g) =

∫

E

f +

∫

E

g.

iv) Si m(E) = 0 entonces∫

E f = 0.

Demostracion: i) y ii) se dejan como ejercicios, igualmente iv). Demostraremosiii). Si h ∈ H(f), k ∈ H(g), se verifica que h+ k ∈ H(f + g).

h(x) + k(x) ≤ f(x) + g(x), ⇒∫

E

h+

∫

E

k ≤∫

E

(f + g) .

Tomando supremos se obtiene:

∫

E

f +

∫

E

g ≤∫

E

(f + g) .

Por otra parte, si l ∈ H(f + g), definamos h, k : E → R mediante:

h(x) = mınf(x), l(x), k(x) = l(x)− h(x) ;

h(x) ≤ f(x) y como h(x) = f(x) o h(x) = l(x) se tiene que k(x) ≤ g(x); luegoh ∈ H(f) y k ∈ H(g), entonces:

∫

E

l =

∫

E

h+

∫

E

k ≤∫

E

f +

∫

E

g , ∀ l ∈ H(f + g)

⇒∫

E

(f + g) ≤∫

E

f +

∫

E

g

Teorema 4.8 (Lema de Fatou). Sea E ⊂ R un conjunto medible y fn : E → [0,∞],n ∈ N, una sucesion de funciones medibles. Si lım

n→∞fn(x) = f(x), x ∈ E, entonces:

∫

E

f ≤ limn→∞

∫

E

fn .


Demostracion: Sea h ∈ H(f), E ′ = x ∈ E/h(x) 6= 0, m(E ′) < ∞. Definamoshn : E → R mediante:

hn(x) = mınh(x), fn(x)hn es medible, acotad por la cota K de h y hn(x) = 0 para todo x ∈ EE ′.

h ∈ H(f) ⇒ h(x) ≤ f(x). Como lımn→∞

fn(x) = f(x). Si f(x) ∈ R, dado ε > 0,

existe n0 ∈ N tal que f(x)− ε < f(x) para todo n ≥ n0.

⇒ h(x)− ε ≤ f(x)− ε < fn(x) ∀n ≥ n0 .

Como h(x)− ε < h(x) se tiene :

h(x)− ε < mınh(x), fn(x) < h(x) + ε. ∀n ≥ n0;

⇒ lımn→∞

hn(x) = h(x) .

De modo similar si f(x) = +∞.Si |h(x)| ≤ K para todo x ∈ E ′, tambien |hn(x)| ≤ K para todo x ∈ E ′ y todo

n ∈ N. Por el Terorema de la acotada se tiene:∫

E

h =

∫

E′

h = lımn→∞

∫

E′

hn ≤ limn→∞

∫

E

fn ,

la desigualdad sebidio a que:

∫

E′

fn ≤∫

E

fn para todo n ∈ N.

Finalmente, tomando supremos se obtiene:

∫

E

f = suph∈H(f)

∫

E

h ≤ limn→∞

∫

E

fn .

4.4. Teorema de convergencia monotona.

Teorema 4.9 (Convergencia monotona). SeaE ⊂ R un conjunto medible, fn : E →R, n ∈ N, una sucesion no decreciente de fucniones medibles y no-negativas. Sif(x) = lım

n→∞fn(x), para todo x ∈ E, entonces:

∫

E

f = lımn→∞

∫

E

fn .

Demostracion: Por el Lema de Fatou se tiene∫

E

f ≤ limn→∞

∫

E

fn .

4.4. TEOREMA DE CONVERGENCIA MONOTONA. 75

fn ≤ f para cada n ∈ N, entonces

∫

E

fn ≤∫

E

f . Entonces

limn→∞

∫

E

fn ≤∫

E

f

Corolario 4.10. Sea E ⊂ R un conjunto medible, µn : E → R una sucesion de

funfiones medibles no-negativas y f =∞∑

i=1

µi, entonces:

∫

E

f =

∞∑

i=1

∫

E

µi

Demostracion: Considerar fn =n∑

i=1

µi.

Proposicion 4.11. Sea (Ei)i∈N una sucesion de conjuntos medibles y dos a dos

disjuntos, E =∞⋃

i=1

Ei y f : E → R una funcion medible y no-negativa, entonces:

∫

E

f =

∞∑

i=1

∫

Ei

f .

Demostracion: Sea µi = fχEi, entonces: χE =

∞∑

i=1

χEi, fχE =

∞∑

i=1

fχEi=

∞∑

i=1

µi;

luego podemos aplicar el corolario anterior.

Definicion 5. Sea E ⊂ R un conjunto medible y f : E → R unafuncion medible y no-negativa. Se dice que f es integrable en

E si

∫

E

f < ∞.

Proposicion 4.12. Sea E ⊂ R un conjunto medible, f, g : E → R funciones medi-bles, no-negativas. Si f es integrable enE y g(x) ≤ f(x) para todo x ∈ E, entoncesg es integrable en E y

∫

E

(f + g) =

∫

E

f −∫

E

g .

Demostracion: Escribir f = (f − g) + g.


Proposicion 4.13. Sea f : E → R una funcion medible y no-negativa. Si f esintegrable en E entonces dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para cada subconjuntoA ⊂ E con mA < δ se tiene

∫

E

f < ε .

Demostracion: Sea f(x) = mınf(x), n, x ∈ E. Cada fn es acotada, medibley lım

n→∞fn(x) = f(x), x ∈ E. Como f1(x) ≤ f2(x) ≤ . . . ; Por el teorema de la

convergencia monotona se tiene:

lımn→∞

∫

E

fn =

∫

E

f .

Luego, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tla que

∫

E

fn0>

∫

E

f − ε

2,

∫

E

(f − fn0) <

ε

2.

Tomemos 0 < δ <ε

2n0, si mA < δ entonces:

∫

A

f =

∫

A

(f − fn0) +

∫

A

fn0

≤∫

E

(f + fn0) + n0mA <

ε

2+ε

2= ε

4.5. Integral de una funcion medible.

Si f : E → R es una funcion medible, definimos: f+(x) = maxf(x), 0,f−(x) = max−f(x), 0, se tiene: f = f+ − f−, |f | = f+ + f−

Definicion 6. Sea f : E → R una funcion medible. Se dice quef es integrable sobre E si es que f+ y f− son integrables en E,

es decir

∫

E

f+ <∞ y

∫

E

f− <∞. En este caso definimos:

∫

E

f =

∫

E

f+ −∫

E

f− .

Proposicion 4.14. Sea f : E → R una funcion medible. Si f es integrable en Eentonces

mx ∈ E/|f(x)| = +∞ = 0

4.5. INTEGRAL DE UNA FUNCION MEDIBLE. 77

Demostracion: Sea A = x ∈ E/f(x) = +∞ para cualquier n ∈ N se tienenχA(x) ≤ f+(x) para todo x ∈ E, luego:

∫

E

f+ ≥∫

E

nχA = nmA ; nmA ≤∫

E

f+

para todo n ∈ N, lo cual implica que mA = 0.Similarmente, si B = x ∈ E/f(x) = −∞, entonces mB = 0

Proposicion 4.15. Sean f, g : E → R funciones medibles e integrables sobre E,entonces:

1. Para cada c ∈ R, cf es integrable sobre E y

∫

E

(cf) = c

∫

E

f .

2. f + g es integrable sobre E y

∫

E

(f + g) =

∫

E

f +

∫

E

g.

3. Si f(x) ≤ g(x) a.e. en E, entonces

∫

E

f ≤∫

E

g, en particular:

∣

∣

∣

∣

∫

E

f

∣

∣

∣

∣

≤∫

E

|f | .

4. Si A, B son subconjuntos medibles de E y disjuntos, entonces:∫

A∪B

f =

∫

A

f +

∫

B

f .

Demostracion: 1. Tener en cuenta que (cf)+ = cf+, (cf)− = cf− si c ≥ 0 y que(cf)+ = −cf−, (cf)− = −cf+ si c < 0.

2. Sea h = f + g, |h| ≤ |f | + |g|, entonces h es integrable, h+ − h− = h =f+ − f− + g+ − g−, entonces h+f− + g− = f+ + g+ + h− (funciones no-negativas e integrales).

∫

E

h+ +

∫

E

f− +

∫

E

g− =

∫

E

f+ +

∫

E

g+ +

∫

E

h−

∫

E

h+ −∫

E

h− =

∫

E

f+ −∫

E

f− +

∫

E

g+ −∫

E

g−

∫

E

(f + g) =

∫

E

f +

∫

E

g .

3. g = f + g − f , g − f ≥ 0 entonces

∫

E

(g − f) ≥ 0;

∫

E

g =

∫

E

f +

∫

E

(g − f) ≥∫

E

f .


4.

fχA∪B = fχA + fχB∫

E

fχA∪B =

∫

E

fχA +

∫

E

fχB

Entonces

∫

A∪B=

∫

A

f +

∫

B

f

Ejercicio: Verificar que:

a. limn→∞

(−xn) = − limn→∞

xn

b. limn→∞

(xn + yn) ≤ limn→∞

xn + limn→∞

yn

Teorema 4.16. Sean g, gn : E → R, n ∈ N funciones medibles e integrables enE tales que lım

n→∞gn(x) = g(x) a.e. en E. Sean f, fn : E → R, n ∈ N, funciones

medibles tales que |fn(x)| ≤ |gn(x)| y lımn→∞

fn(x) = f(x). Si

∫

E

g = lımn→∞

∫

E

gn,

entonces∫

E

f = lımn→∞

∫

E

fn .

Demostracion: |fn(x)| ≤ gn(x) implica que fn es integrable; 0 ≤ gn − fn. 0 ≤gn + fn; lım

n→∞(gn + fn) = g − f . lım

n→∞(gn + fn) = g + f . Usando el Lema de Fatou se

obtiene:∫

E

(g − f) ≤ limn→∞

∫

E

(gn − fn) ;

∫

E

(g + f) ≤ limn→∞

∫

E

(gn + fn)

|fn(x)| ≤ gn(x), entonces |f(x)| ≤ |g(x)|, entonces f es integrable en E, luego:∫

E

g −∫

E

f ≤ limn→∞

(

−∫

E

fn

)

+ limn→∞

∫

E

gn

= − limn→∞

∫

E

fn +

∫

E

g

Entonces limn→∞

∫

E

fn ≤∫

E

f .

Tambien∫

E

g +

∫

E

f ≤ limn→∞

∫

E

fn + limn→∞

∫

E

gn

= limn→∞

∫

E

fn +

∫

E

g .

4.6. TEOREMA DE LA CONVERGENCIA DOMINADA. 79

entonces

∫

E

f ≤ limn→∞

∫

E

fn. Lo cual prueba que

∫

E

f = lımn→∞

∫

E

fn

4.6. Teorema de la convergencia dominada.

Corolario 4.17 (Teorema de la convergencia dominada.). Sea g : E → R una fun-cion medible e integrable sobre E, fn : E → R, n ∈ N, una sucesion de funcionesmedibles y f(x) = lım

n→∞fn(x) a.e. en E. Si |fn(x)| ≤ g(x) para todo x ∈ E y todo

n ∈ N, entonces :∫

E

f = lımn→∞

∫

E

fn .

Teorema 4.18. Sea f : E → R una funcion medible y no-negativa. Si f es integra-

ble en E y

∫

E

f = 0, entonces f(x) = 0 a.e. en E.

Demostracion: x ∈ E/f(x) > 0 =

∞⋃

n=1

x ∈ E / f(x) >1

n

.

Si An =

x ∈ E /1

n< f(x)

, entonces :1

nχA(x) ≤ f(x) para todo x ∈ E.

1

n

∫

E

χAn≤∫

E

f = 0 ,

1

nmAn ≤ 0, entonces mAn = 0 para todo n ∈N .

Condicion necesaria y suficiente para que una funcion acotada f : [a, b] → R,sea integrable segun Riemann.

Sea f : [a, b] → R una funcion y x0 ∈ [a, b]. Para cada δ > 0 definamos: .

mδ(x0) = ınff(x)/x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ)Mδ(x0) = supf(x)/x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ)

mδ(x0) ≤ f(x) ≤ Mδ(x0), ∀x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ). En Particular mδ(x0) ≤f(x0) ≤Mδ(x0). Tomemos 0 < δ1 < δ2, entonces :

f(x)/x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ1, x0 + δ1) ⊂ f(x)/x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ2, x0 + δ2)


lo cual implica:mδ2(x0) ≤ mδ1(x0),Mδ1(x0) ≤Mδ2(x0). Entonces existen los lımites:m(x0) = lım

δ→0+mδ(x0), M(x0) = lım

δ→0+Mδ(x0), y

mδ(x0) ≤ m(x0) ≤ f(x0) ≤ M(x0) ≤Mδ(x0) .

Teorema 4.19. Una condicion necesaria y suficiente para que una funcion f :[a, b] → R sea continua en x0 ∈ [a, b] es que f(x0) ∈ R y m(x0) =M(x0).

Demostracion: a. Supongamos que f es continua en x0. Entonces f(x0) ∈ R ydado ε > 0, existe δ > 0 tal que: x ∈ [a, b]∩ (x0− δ, x0+ δ), entonces f(x0)− ε <f(x) < f(x0)+ε, f(x0)−ε ≤ ınff(x)/x ∈ [a, b]∩(x0−δ, x0+δ) ≤ supf(x)/x ∈[a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ) ≤ f(x0) + ε.

f(x0)− ε ≤ mδ(x0) ≤ m(x0) ≤M(x0) ≤Mδ(x0) ≤ f(x0) + ε .

Entonces 0 ≤M(x0)−m(x0) ≤ 2ε para todo ε > 0. Entonces M(x0) = m(x0).

b. Supongamos que f(x0) ∈ R y que M(x0) = m(x0), entonces :

m(x0) =M(x0) = f(x0) .

Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que:

m(x0)− ε < mδ(x0) , Mδ(x0) < M(x0) + ε

f(x0)− ε < mδ(x0) ≤f(x) ≤Mδ(x0) < f(x0) + ε

para todo x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ), entonces f(x0) − ε < f(x) < f(x0) + ε,para todo x ∈ [a, b] ∩ (x0 − δ, x0 + δ); lo cual prueba que f es continua en x0.

Lema 4.20. Consideremos una sucesion de particiones Pi:

a = x(i)0 < x

(i)1 < x

(i)2 < . . . x(i)ni

= b, i ∈ N

del intervalo [a, b] tal que lımi→∞

|Pi| = 0.

Sean

m(i)k = ınff(x)/x ∈ [x

(i)k , x

(i)k+1] ,

M(i)k = supf(x)/x ∈ [x

(i)k , x

(i)k+1] .

Definamos ϕi, ψi : [a, b] → R mediante:

ϕi(x) =

m(i)k , si x ∈ (x

(i)k , x

(i)k+1) ,

0, si x = x(i)0 , x

(i)1 , . . . , x

(i)ni


ϕi =

M(i)k , si x ∈ (x

(i)k , x

(i)k+1) ,

0, si x = x(i)0 , x

(i)1 , . . . , x

(i)ni .

Si x0 ∈ [a, b] es distinto de todos los puntos de subdivision x(i)k , 0 ≤ k ≤ ni, i ∈ N

entonces lımi→∞

ϕi(x0) = m(x0), lımi→∞

ψi(x0) = M(x0).

Demostracion: Para cada i ∈ N, sea [x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1] el intervalo que contiene al punto

x0, x(i)

ki0< x0 < x

(i)

ki0+1. Tomemos δ > 0 tal que:

(x0 − δ, x0 + δ) ⊂ [x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1]

entonces ınff(x)/x ∈ [x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1] ≤ ınff(x)/x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ,

o sea m(i)

ki0≤ mδ(x0); ϕi(x0) ≤ mδ(x0), para todo δ > 0 tal que

(x0 − δ, x0 + δ) ⊂ [x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1] ,

luego cuando δ → 0+ se tiene:

ϕi(x0) ≤ m(x0) , ∀i ∈ N (α)

i) Si m(x0) = −∞, de (α) se tiene ϕi(x0) = −∞ para todo i ∈ N, luego:

lımi→∞

ϕi(x0) = −∞ = m(x0) .

ii) Supongamos que m(x0) > −∞. Dado h ∈ R tal que h < m(x0), podemoshallar δ > 0 tal que h < mδ(x0) ≤ m(x0).

Para este δ > 0 fijo, como

lımi→∞

[maxk

(x(i)k+1 − x

(i)k )] = 0 ,

podemos hallar i0 ∈ N tal que:

[x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1] ⊂]x0 − δ, x0 + δ[ , ∀i ≥ i0 ,

donde [x(i)

ki0, x

(i)

ki0+1] es el intervalo de la praticion Pi que contiene al punto x0,

entonces:h < mδ(x0) ≤ m

(i)

ki0= ϕi(x0) .

Entonces h < ϕi(x0) ≤ m(x0) para todo i ≥ i0. (La 2da. desigualdad debido a(α)). Entonces lım

i→∞ϕi(x0) = m(x0). Similarmente: lım

i→∞ψi(x0) =M(x0)


Corolario 4.21. Las funciones m(x), M(x) son medibles.

Demostracion: El Lema 1 implica que ϕi(x) → m(x), ψi(x) → M(x) a.e. un [a, b].Como ,ϕi, ψi son funciones escalonadas, son funciones medibles; luego m y Mtambien son funciones medibles.

Corolario 4.22. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada; ϕi, ψi : [a, b] → R definidasen el Lema 1, entonces:

lımi→∞

L

∫ b

a

ϕim(x)dx = L

∫ b

a

m(x)dx

lımi→∞

L

∫ b

a

ψi(x)dx = L

∫ b

a

M(x)dx .

Demostracion: Si |f(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b], entonces |ϕi(x)| ≤ k, |ψi(x)| ≤k, |m(x)| ≤ k y |M(x)| ≤ k, para todo x ∈ [a, b]. Usando el teorema 4(De laconvergencia acotada), se obtienen los resultados deseados.

Nota:

L

∫ b

a

ϕi(x)dx =

ni−1∑

k=0

x(i)k+1∫

x(i)k

ϕi(x)dx

=

ni−1∑

k=0

m(i)k (x

(i)k+1 − x

(i)k ) = L(f, Pi).

Luego: lımi→∞

L(f, Pi) = L

∫ b

a

m(x)dx.

Analogamente: lımi→∞

U(f, Pi) = L

∫ b

a

M(x)dx. Entonces

lımi→∞

[U(f, Pi)− L(f, Pi)] = L

∫ b

a

(M(x)−m(x))dx .

Se sabe que una funcion acotada f : [a, b] → R es integrable segun Riemann si ysolo si lım

i→∞[U(f, Pi)− L(f, Pi)] = 0.

Luego, f es integrable segun Riemann si y solo si L

∫ b

a

(M(x)−m(x))dx = 0,

si y solo si M(x) = m(x) a.e. en [a, b], si y solo si f es continua a.e. en [a, b]


Ejercicios

1. Sea f : R → R una funcon medible, no-negativa e integrable en R. Verificar

que la funcion F : R → R definida mediante F (x) =

∫ x

−∞f(t)dt, es continua.

2. Aplicar el Lema de Fatou al siguiente ejemplow: Sea fn : R → R, n ∈ N, unasucesion de funciones definida mediante:

fn(x) =

1, si x ∈ [n, n+ 1]

0, si x /∈ [n, n+ 1].

3. Considere el siguiente ejemplo:

fn(x) =

0, si x < n

1, si x ≥ n,

fn(x) : R → R, para mostrar que el Teorema de la convergencia monotonano se cumple para sucesiones decrecientes.

4. Sea fn : E → [0,+∞], n ∈ N una sucesion de funciones medibles. Definimos

gk(x) = ınfi≥k

fi(x), k ∈ N, x ∈ E, entonces gk ≤ fk,

∫

E

gk ≤∫

E

fk, k ∈ N.

Teniendo en cuenta que 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ . . ., usar el Teorema de la convergen-cia monotona para probar que:

∫

E

limk→∞

fk ≤ limk→∞

∫

E

fk .

5. Sea fn : R → R una sucesion de funciones medibles y no-negativas y f(x) =

lımn→∞

fn(x) a.e. en R. Si lımn→∞

∫ ∞

−∞fn(x)dx =

∫ ∞

−∞f(x)dx, entonces tambien

lımn→∞

∫

E

fn(x)dx =

∫

E

f(x)dx para todo subconjunto medible E ⊂ R.

6. Sea f(x) =

senx

x, x > 0

1, x = 0Calcular:

a.- lımn→∞

∫ x

0

senx

xdx

b.- lımn→∞

∫ n

0

∣

∣

∣

senx

x

∣

∣

∣dx


¿Es f(x) integrable segun Riemann en [0,+∞) y segun Lebesgue ?

7. Sea g : E → R una funcion medible e integrable en E y fn : E → R unasucesion de funciones medibles tales que |fn(x)| ≤ g(x) para todo x ∈ E,verificar que:

∫

E

limn→∞

fn ≤ limn→∞

∫

E

fn ≤ limn→∞

∫

E

fn ≤∫

E

limn→∞

fn .

8. Sea h : E → R una funcion medible e integrable en E. Si fn : E → R∗, n ∈ N

es una sucesion de funciones medibles tal que −h(x) ≤ fn(x) para todo

x ∈ E y lımn→∞

fn(x) = f(x) para todo x ∈ E, verificar que

∫

E

f ≤ lımn→∞

∫

E

fn.

R∗ = [0,+∞].

9. Sea fn : E → R una sucesion de funciones medibles e integrables en E. Sif(x) = lım

n→∞f(x), x ∈ E, es una funcion medible e integrable en E verificar

que lımn→∞

∫

E

|fn − f | = 0 si y solo si lımn→∞

∫

E

|fn(x)| =∫

E

|f |

10. Sea f : E → R una funcion medible e integrable en E y ε > 0.

a. Verificar que existe una funcion simple ϕ : E → R tal que

∫

E

|f − ϕ| < ε.

b. Verificar que existe una funcion escalonadaψ : E → R tal que

∫

E

|f−ψ| <ε.

c. Verificar que existe una funcion continua g : E → R y un inteervalo

acotado [a, b] tal que g(x) = 0 para todo x /∈ [a, b] y

∫

E

|f − g| < ε.

11. Sea E ⊂ R un conjunto medible con mE < ∞. Si f : E → R es una funcionacotada y continua, entonces f es integrable en E.

12. Si E ⊂ R es un conjunto cerrado y acotado y f : E → R es una funcioncontinua, verificar que f es integrable en E.

5Diferenciacion e integracion.

5.1. Diferenciacion de funciones monotonas.

Definicion 1. Sea E ⊂ R y M = [aα, bα]α∈A una coleccionde intervalos cerrados y acotados con aα < bα. Se dice que Mcubre a E en el sentido de Vitali si para cada x ∈ E y cada ε > 0existe I ∈M tal que x ∈ I y m(I) < ε.

Nota 1: La familiaM cubre aE en el sentido de Vitali si cada x ∈ E esta contenidoen un intervalo d ∈M de longitud arbitrariamente pequeno.Nota 2: Sea E ⊂ R un conjunto con m∗(E) < ∞; O ⊂ R un conjunto abierto conm(O) < ∞ tal qur E ⊂ O y M una coleccion de intervalos cerrados y acotadosque cubre a E en el sentido de Vitali. Si Mo = I ∈ M/I ⊂ O entonces Mo

tambien cubre a E en el sentido de VItali.En efecto: Sea x ∈ E y ε > 0, x ∈ O. Como O es abierto, existe 0 < δ ≤ ε tal

que (x− δ, x+ δ) ⊂ O. Como M cubre a E en el sentido de Vitali, existe d ∈M talque x ∈ d y m(d) < δ; entonces d ⊂ (x− δ, c+ δ) ⊂ O, entonces d ∈Mo y m(d) < ε.

Lema 5.1 (Vitali). Sea E ⊂ R un conjunto con m∗(E) < ∞. y M una coleccionde intervalos cerrados y acotados que cubre a E en el sentido de Vitali. Entonces,dado ε > 0, existe una coleccion finita I1, I2, . . . , Im de intervalos en M , dos ados disjuntos tal que

m∗[

E

m⋃

i=0

Ii

]

< ε .

Demostracion: Sea O ⊂ R un conjunto abierto con m(O) < ε tal que E ⊂ O.Si Mo = I ∈ M/I ⊂ O entonces Mo tambien cubre a E en el sentido de Vita-li. Sea I1 ∈ Mo cualquier intervalo. Supongamos que hemos encontrado en Mo

intervalos dos a dos disjuntos: I1, I2, . . . , In.

85

86 CAPITULO 5. DIFERENCIACION E INTEGRACION.

i) Si E ⊂n⋃

i=1

Ii entonces:

m∗(

E

n⋃

i=1

Ii

)

= 0 < ε , y m = n .

ii) Si E ⊂/n⋃

i=1

Ii, existe x ∈ E

n⋃

i=1

Ii, x ∈ O

n⋃

i=1

Ii que es abierto, luego existe

δ > 0 tal que (x − δ, x + δ) ⊂ O

n⋃

i=1

Ii. Como Mo cubre E en el sentido de

Vitali, existe d ∈Mo tal que x ∈ d y m(d) < δ. Entonces

d ⊂ (x− δ, x+ δ) ⊂ O

n⋃

i=1

Ii ,

entonces d ∩ Ii = φ para i = 1, 2, . . . , n. Sea

kn = sup

m(I) / I ∈Mo, I ∩(

n⋃

i=1

Ii

)

= φ

Por definicion de supremo se tiene:

i) m(I) ≤ kn para todo I ∈Mo tal que I ∩(

n⋃

i=1

Ii

)

= φ.

ii) Existe In+1 ∈Mo tal que: In+1 ∩(

n⋃

i=1

Ii

)

= φ y m(In+1) >1

2kn.

I1, I2, . . . , In, In+1 son dos a dos disjuntos. De este modo se obtiene unasucesion (Ik)k∈N de intervalos disjuntos en Mo tal que

∞⋃

n=1

In ⊂ O ;

∞∑

n=1

m(In) ≤ mO < +∞ ;

luego, existe m ∈ N tal que∞∑

k=m+1

m(Ik) <ε

5.

Veamos que m∗

(

E

m⋃

j=1

Ij

)

< ε. Sea x ∈ E

m⋃

j=1

Ij, x ∈ O

m⋃

j=1

Ij con-

junto abierto. ComoMo cubre a E en el sentido de Vitali, podemos hallar

d ∈Mo tal que x ∈ d ⊂ O

m⋃

j=1

Ij, entonces d ∩(

m⋃

j=1

Ij

)

= φ.

5.1. DIFERENCIACION DE FUNCIONES MONOTONAS. 87

Sea ℓ ∈ N tal que d ∩(

ℓ⋃

j=1

Ij

)

= φ. Como

kℓ = sup

m(I) / I ∈Mo, I ∩(

ℓ⋃

j=1

Ij

)

= φ

se tiene 0 < m(d) ≤ kℓ < 2m(Iℓ+1).

Como lımk→∞

m(Ik) = 0, no puede ocurrir que d∩Ij = φ, j = 1, 2, . . . , ℓ para

todo ℓ ∈ N. Entonces, sea p ∈ N el menor numero natural tal que:

d ∩ I1 = φ, d ∩ I2 = φ, . . . , d ∩ Ip−1 = φ, d ∩ Ip 6= φ .

Como d ∩(

m⋃

j=1

Ij

)

= φ debe tenerse m < p. d ∩(

p−1⋃

j=1

Ij

)

= φ entonces

m(d) ≤ kp−1 < 2m(Ip).

d

x

c

Ip

Figura 5.1

Sea c el punto medio del intervalo Ip, x ∈ d, d∩ Ip 6= φ entonces |x− c| ≤m(d) +

1

2m(Ip) <

5

2m(Ip).

|x− c| < 5

2m(Ip) .

SeaDp el intervalo cerrado con el mismo punto medio que Ip perom(Dp) =

5m(Ip); x ∈ Dp. Entonces para cada x ∈ E

m⋃

j=1

Ij, existe p > m tal que


x ∈ Dp, luego; E

m⋃

j=1

Ij ⊂∞⋃

p=m+1

Dp,

m∗(

E

m⋃

j=1

Ij

)

≤ m∗( ∞⋃

p=m+1

Dp

)

= m

( ∞⋃

p=m+1

Dp

)

≤∞∑

p=m+1

m(Dp) = 5∞∑

p=m+1

m(Ip) < ε

Lımite superior y lımite inferior de funciones.Sea E ⊂ R y f : E → R una funcion. Para cada a ∈ E consideramos:

supx∈B(a,δ)∩E

f(x), dondeB (a, δ) = (a− δ, a + δ)a con δ > 0. Si δ1 ≤ δ2 entonces:

B (a, δ1) ∩ E ⊂

B (a, δ2) ∩ E entonces sup

x∈

B(a,δ1)∩Ef(x) ≤ sup

x∈B(a,δ2)∩Ef(x), luego:

ınfδ>0

supx∈

B(a,δ)∩Ef(x)

= lımδ→0+

supx∈

B(a,δ)∩Ef(x)

La cantidad ınfδ>0

supx∈

B(a,δ)∩Ef(x)

se llama el lmite superior de f en a y se deno-

tara por limx→a

f(x), o por Lf(a).

Analogamente, la cantidad:

supδ>0

[

ınfx∈B(a,δ)∩E

f(x)

]

= lımδ→0+

[

ınfx∈B(a,δ)∩E

f(x)

]

se llama el lımite inferior de f en a y se denotara por limx→a

f(x), o por Lf(a)

Ejercicio 1.- Verificar que limx→a

f(x) ≤ limx→a

f(x).

Ejercicio 2.- Verificar que lımx→a

f(x) = ℓ ∈ R, si y solo si limx→a

f(x) = limx→a

f(x) = ℓ ∈R.

Funciones semicontinuas.Una funcion f : E → R se llama semicontinua inferiormente en el punto a ∈ E

si f(a) 6= −∞ y f(a) ≤ limx→a

f(x), y f se llama semicontinua superiormente en el

punto b ∈ E si f(b) 6= +∞ y f(b) ≥ limx→b

f(x).

Funciones crecientes.


Definicion 2. Una funcion f : U → R se llama creciente sif(x) ≤ f(y) para todo x, y en U con x < y.Si x < y implica f(x) < f(y) entonces f se llama estrictamentecreciente.

Sea f : [a, b] → R una funcion y x0 ∈ [a, b], denotamos:

f(x0−) = supx<x0x∈[a,b]

f(x) ,

f(x0+) = ınfx0<xx∈[a,b]

f(x) .

Se observa que si f es creciente, entonces:

f(x0−) ≤ f(x0) ≤ f(x0+), si a < x0 < b .

f(a) ≤ f(a+), f(b−) ≤ f(b).En consecuencia, cuando f es creciente se tiene que f es continua en x0 si y

solo si f(x0−) = f(x0) = f(x0+).

Definicion 3.

f(x0)− f(x0−) = salto de f a izquierda en x0.

f(x0+)− f(x0) = salto de f a derecha en x0.

sumando se obtiene :

f(x0+)− f(x0−) = salto de f en x0.

Lema 5.2. Sea f : [a, b] → R una funcion creciente y x1, x2, . . . , xn puntos arbitra-rios en (a, b), entonces:

f(a+)− f(a) +n∑

k=1

[f(xk+)− f(xk−)] + f(b)− f(b−) ≤ f(b)− f(a)

Demostracion: a < x1 < x2 < . . . < xn < b. Sea a = x0, b = xn+1 escojamospuntos y0, y2, . . . , yn tales que xk < yk < xk+1, k = 0, 1, . . . , n; (xk−1 < yk−1 < xk).Entonces: f(xk+) ≤ f(yk), f(yk−1) ≤ f(xk−), entonces f(xk+)− f(xk−) ≤ f(yk)−f(yk−1).

Similarmente:

f(a+)− f(a) ≤ f(y0)− f(a)

f(b)− f(b−) ≤ f(b)− f(yn) .

Sumando estas desigualdades se obtiene el resultado deseado.


Corolario 5.3. Una funcion creciente f : [a, b] → R, puede tener solo un numerofinito de puntos de discontinuidad en los cuales el salto sea mayor que un numeropositivo σ > 0.

Demostracion: Si los puntos x1, x2, . . . , xm en (a, b) son puntos de discontinuidadde f con saltos mayor que σ, entonces del Lema anterior se obtiene mσ ≤ f(b)−f(a). En consecuencia m no puede ser arbitrariamente grande.

Teorema 5.4. Los puntos de discontinuidad de una funcion creciente f : [a, b] → R

es a lo mas numerable. Si (xn)n∈N son puntos de dsicontinuidad de f en (a, b)entonces:

f(a+)− f(a) +

∞∑

k=1

[f(xk+)− f(xk−)] + f(b)− f(b−) ≤ f(b)− f(a)

Demostracion: Denotaremos con H a los puntos de discontinuidad de f en (a, b)y con Hk los puntos de discontinuidad de f en (a, b) donde el salto es mayor que

1

k. Obviamente H =

∞⋃

k=1

Hk, entonces H es contable. La discontinuidad se obtiene

del Lema 5.2.

Derivadas de Dini .- Sea f : (a, b) → R una funcion y x ∈ (a, b), definimos:

D+f(x) = limh→0+

f(x+ h)− f(x)

h,

derivada dere-cha superior

D+f(x) = limh→0+

f(x+ h)− f(x)

h,

derivada dere-cha inferior

D−f(x) = limh→0−

f(x+ h)− f(x)

h,

derivada izquier-da superior

D−f(x) = limh→0−

f(x+ h)− f(x)

h,

derivada izquier-da inferior

Si f : (a, b) → R es una funcion creciente, entonces para cada x ∈ (a, b) existentodas las derivadas de Dini en R y se tiene:

0 ≤ D+f(x) ≤ D+f(x) , 0 ≤ D−f(x) ≤ D−f(x) .

Definicion 4. Se dice que f : (a, b) → R tiene derivada en x ∈(a, b) si es que todas las derivadas de Dini en x son finitas eiguales.

Lema 5.5. Si f : (a, b) → R es una funcion creciente y acotada, entonces D+f(x) ≤D−f(x) para caso todo x ∈ (a, b).


Demostracion: Sea E = x ∈ (a, b)/D−f(x) < D+f(x). Para cada par u, v denumeros racionales tales que v < u, definimos:

Euv = x ∈ (a, b)/D−f(x) < v 0. Sea O ⊂ R un conjuntotal que Euv ⊂ O y mO < s+ ε. Para cada x ∈ Euv se tiene:

D−f(x) < v 0

(

ınf0<h<δ

f(x)− f(x− h)

h

)

,

para todo δ > 0 suficientemente pequeno. Dado δ > 0, existe 0 < h < δ tal quef(x)− f(x− h)

h< v, entonces f(x)− f(x− h) < vh.

Como x ∈ Euv ⊂ O y O es abierto, podemos tomar δx > 0 suficientementepequeno tal que [x − δx, x] ⊂ O, y para cada 0 < δ ≤ δx existe 0 < hx < δ tal que

[x− hx, x] ⊂ O y f(x)− f(x− hx) < vhx. Euv ⊂⋃

x∈Euv

[x− hx, x], 0 < hx < δ ≤ δx. Si

M =

[x− hx, x] /x ∈ Euv, [x− hx, x] ⊂ O0 < hx < δ < δx

,

entonces M cubre a Euv en el sentido de Vitali. Luego, existe una coleccion finita[x1 − h1, x1], [x2 − h2, x2], . . . , [xm − hm, xm], dos a dos disjuntos tal que:

m∗

[

Euv

m⋃

i=1

[xi − hi, xi]

]

< ε .

Euv =

(

Euv

m⋃

i=1

[xi − hi, xi]

)

∪[(

m⋃

i=1

[xi − hi, xi]

)

∩ Euv

]

s = m∗(Euv) < ε+m∗[(

m⋃

i=1

[xi − hi, xi]

)

∩ Euv

]

Entonces

m∗[(

m⋃

i=1

[xi − hi, xi]

)

∩ Euv

]

> s− ε .

m∗

[(

m⋃

i=1

(xi − hi, xi)

)

∩ Euv

]

> s− ε .


Ademas, f(xi)− f(xi − hi) < vhi, 1 ≤ i ≤ m.

m∑

i=1

(f(xi)− f(xi − hi)) < vm∑

i=1

hi < vm(O) .

Sea A = Euv ∩[

m⋃

i=1

(xi − hi, xi)

]

. Si y ∈ A, entonces y ∈ (xi − hi, xi), alguna i =

1, 2, . . . , m

u < D+f(y) = ınfδ>0

[

sup0<h<δ

f(y + h)− f(y)

h

]

(pues y ∈ Euv).(δ > 0 suficientemente pequeno).

D+f(y) ≤ sup0<h<δ

f(y + h)− f(y)

h, todo δ > 0

suficientemente pequeno. Para cada δ > 0 existe 0 < k < δ tal que:

f(y + k)− f(y)

k> u ; f(y + k)− f(y) > uk .

Como y ∈ (xi − hi, xi), existe δy > 0 tal que (y, y + δy) ⊂ (xi − hi, xi). Para cada0 < δ < δy se tiene:

α) (y, y + k) ⊂ (xi − hi, xi), si 0 < k ≤ δ.

β) Existe 0 < ky < δ tal que:

f(y + ky)− f(y) > uky .

Sea

N =

[y, y + ky] /y ∈ A0 < ky < δ

,

N es un subconjunto de A en el sentido de VItali, luego existen intervalos disjun-

tos Jj = [yj, yj + kj], j = 1, 2, . . . , m tales que m∗

(

Am′

⋃

j=1

Jj < ε

)

.

A ⊂(

Am′

⋃

j=1

Jj

)

∪(

m′

⋃

j=1

Jj

)

s− ε < m∗(A) < ε+m∗(

m′

⋃

j=1

Jj

)

.


xi − hi y1 y1 + k1 ys ys + ks xi

f(xi − hi) f(y1) f(y1 + k1) f(ys) f(ys + ks) f(xi)

Figura 5.2

m∗

(

m′

⋃

j=1

Jj

)

> s− 2ε. Tambien:

f(yj + kj)− f(yj) > ukj , 1 ≤ j ≤ m′ .

Entonces

m′

∑

j=1

(f(yj + kj)− f(yj) > u

m′

∑

j=1

kj

= um∗(

m′

⋃

j=1

Jj

)

> u(s− 2ε) .

Por construccion, cada Jj esta contenido en algun intervalo (xi− hi, xi). Conside-remos aquellos intervalos Jj tales que Jj ⊂ (xi − hi, xi) entonces

∑

Jj⊂(xi−hi,xi)(f(yj + kj)− f(yj)) < f(xi)− f(xi − hi) .

m′

∑

j=1

(f(yj + kj)− f(yj)) <m∑

i=1

(f(xi)− f(xi − hi))

< v(s+ ε) .

entoncese u(s − 2ε) < v(s + ε) para todo ε > 0 entonces us ≤ vs, (u − v)s ≤ 0entonces s = 0.

Entonces m∗(Euv) = 0,?entonces m(E) = 0

Lema 5.6. Sea f ; (a, b) → R una funcion creciente y acotada, entonces:

D−f(x) ≤ D+f(x) a.e. en (a, b) .

Demostracion: Definamos g : (−b,−a) → R mediante g(x) = −f(−x). Entoncesg es creciente, luego por el Lema 5.3 se tiene D+g(−x) ≤ D−g(−x) para casi todo


−x ∈ (−b,−a), pero:

D+g(−x) = limh→0

g(−x+ h)− g(−x)h

D+g(−x) = limh→0+

−f(x− h) + f(x)

h= lim

h→0+

f(x− h)− f(x)

−h= D−f(x)

y

D−g(−x) = limh→0−

g(−x+ h)− g(−x)h

= limh→0−

−f(x− h) + f(x)

h= lim

h→0−

f(x− h)− f(x)

−h= D+f(x) ,

por tanto D−f(x) ≤ D+f(x) para casi todo x ∈ (a, b)

Teorema 5.7. Sea f : [a, b] → R una funcion creciente. Entonces f es diferenciable

a.e. en [a, b]. La derivada f ′ es medible y

∫ b

a

f ′(x)dx ≤ f(b)− f(a).

Demostracion: Los Lemas anteriores nos dicen que:

0 ≤ D+f(x) ≤ D−f(x) ≤ D−f(x) ≤ D+f(x) ≤ D+f(x)

para casi todo x ∈ [a, b]. Entonces la funcion g(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h∈ [0,∞]

esta definido a.e. en [a, b],y f es diferenciable en todo punto donde g es finito.

Sea gn(x) = n

[

f

(

x+1

n

)

− f(x)

]

, donde f(x) = f(b) si x ≥ b.

lımn→∞

gn(x) = lımn→∞

f

(

x+1

n

)

− f(x)

1

n

= g(x)

a.e. en [a, b], entonces g es medible.

Como f es creciente se tiene gn ≥ 0. Ademas cada gn tiene a lo mas una can-tidad numerable de puntos de discontinuidad en [a, b], por tanto gn es integrablesegun Rieman en [a, b], gn tambien es integrable segun Lebesgue en [a, b]. Usando

5.2. FUNCIONES DE VARIACION ACOTADA. 95

el Lema de Fatou se tiene:

∫ b

a

g ≤ limn→∞

∫ b

a

gn = limn→∞

n

∫ b

a

(

f

(

x+1

n

)

− f(x)

)

dx

= limn→∞

n

[∫ b

a

f

(

x+1

n

)

dx−∫ b

a

f(x)dx

]

0 ≤∫ b

a

g ≤ limn→∞

n

b+ 1n

∫

a+ 1n

f(y)dy −∫ b

a

f(y)dy

,

y = x+1

nen la primera integral del segundo miembro.

0 ≤∫ b

a

g ≤ limn→∞

n

b+ 1n

∫

a

f − n

a+ 1n

∫

a

f

= limn→∞

f(b)− n

a+ 1n

∫

a

f

≤ f(b)− f(a) <∞

entonces 0 ≤∫ b

a

g < +∞, entonces g es integrable. Entonces g es finito a.e. en

(a, b). Como f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= g(x) a.e en [a, b], se tiene que f es

diferenciable en [a, b] y

∫ b

a

f ′(x)dx ≤ f(b)− f(a)

5.2. Funciones de variacion acotada.

Sea f : [a, b] → R una funcion y a = x0 < x1 < . . . < xk = b, cualquierpariticion de [a, b]. Definamos:

p =

k∑

i=1

[f(xi)− f(xi−1)]+ , n =

k∑

i=1

[f(xi)− f(xi−1)]−

t =p+ n =k∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| .

Se deduce que p−n = f(b)−f(a). Sean P = sup(p),N = sup(n), T = sup(t), dondeel supremos se toma sobre todas las articiones del intervalo [a, b]. De t = p + n se


deduce que t ≤ P +N , entonces T ≤ P +N ; n ≤ p+ n = t ≤ T , entonces N ≤ T ;p ≤ p+ n = t ≤ T , entonces P ≤ T .

P se llamara la variacion positiva de f sobre [a, b].N se llamara la variacion negativa de f sobre [a, b].T se llamara la variacion total de f sobre [a, b].

Definicion 5. Si T < ∞, se dice que f es de variacion acotadasobre [a, b] y se escribira f ∈ V A[a, b].

Notacion.- Algunas veces escribiremos P ba , N b

a, T ba o P ba(f), N

ba(f), T

ba(f), para in-

dicar su dependencia del intervalo [a, b] o de la funcion f .

Lema 5.8. Si f ∈ V A[a, b], entonces T ba = P ba +N b

a y f(b)− f(a) = P ba −N b

a.

Demostracion: Para cualquier particion de [a, b] se tiene:

p = n+ f(b)− f(a) ≤ N + f(b)− f(a) .

Entonces P ≤ N+f(b)−f(a); entonces P−N ≤ f(b)−f(a). (PuesN ≤ T < +∞).Similarmente, de n = p+ f(a)− f(b), se obtiene N ≤ P + f(a)− f(b), entonces

f(b)− f(a) ≤ P −N . Entonces P −N ≥ f(b)− f(a).Por otra parte: T ≥ p+ n.

T ≥ p+ [p− (f(b)− f(a))] = 2p+N − P ,

T ≥ 2P +N − P = P +N , y como P +N ≤ T se obtiene: T = P +N

Lema 5.9. Sea f : [a, b] → R una funcion y c ∈ (a, b), entonces:

N ca ≤ N b

a , P ca ≤ P b

a y T ca ≤ T ba .

Demostracion: Sea a = x0 < x1 < . . . < xn < xm+1 = b es una particion de [a, b],luego:

pca =m∑

i=1

[f(xi)− f(xi−1)]+

≤m∑

i=1

[f(xi)− f(xi−1)]+ + [f(xm+1 − f(xm))]

+

= pba ≤ P ba ;

entonces pca ≤ P ba , para toda particion de [a, c], luego: P c

a ≤ P ba .

Analogamente N ca ≤ N b

a, y

tca = pca + nca ≤ pba + nba = tba ≤ T ba

entonces T ca ≤ T ba

5.3. DIFERENCIACION DE UNA INTEGRAL. 97

Teorema 5.10. Una funcion f : [a, b] → R es de variacion acotada si y solo si f esla diferencia de dos funciones g, h : [a, b] → R no-decrecientes.

Demostracion: a.- Sea f : [a, b] → R una funcion de variacion acotada, g(x) =P xa , h1(x) = Nx

a . Por el Lema 5.6, g y h1 son crecientes y reales, puesto que:0 ≤ P x

a ≤ T xa ≤ T ba <∞, 0 ≤ Nxa ≤ T xa ≤ T ba < ∞.

Pero f(x)− f(a) = P xa −Nx

a = g(x)− h1(x) entonces

f(x) = g(x)− (h1(x)− f(a)) = g(x)− h(x) .

b.- Recıprocamente, supongamos que f = g−h, donde g y h son crecientes. Paracualquier particion: a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b de [a, b] se tiene:

tba =k∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)|

=k∑

i=1

|g(xi)− h(xi)− (g(xi−1)− h(xi−1))|

≤k∑

i=1

(|g(xi)− g(xi−1)|+ |h(xi)− h(xi−1)|)

=k∑

i=1

(g(xi)− g(xi−1)) +k∑

i=1

(h(xi)− h(xi−1))

= g(b)− g(a) + h(b)− h(a) .

EntoncesT ba ≤ g(b) + h(b)− g(a)− h(a) < +∞

Corolario 5.11. Si f : [a, b] → R es de variacion acaotada en [a, b], entonces f ′(x)existe a.e. en [a, b].

Demostracion: Siendo f de variacion acotada, f es de la forma: f = g − h con gy h crecientes y por tanto deivables a.e. en [a, b].

5.3. Diferenciacion de una integral.

Lema 5.12. Si f : [a, b] → R es integrable en [a, b] entonces la funcion F : [a, b] → R

definida mediante:

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

es una funcion continua y de variacion acotada en [a, b].


Demostracion: a.-

|F (x)− F (x0)| =∣

∣

∣

∣

∫ x

a

f −∫ x0

a

f

∣

∣

∣

∣

≤

∫ x

x0

|f | , x0 ≤ x

∫ x0

x

|f | , x ≤ x0

Como |f | es integrable, dado ε > 0, existe δ > 0 talque si m([a0, x]) < δ,

o m([x, x0]) < δ, se cumple: |F (x) − F (x0)| ≤∫

A

|f | < ε, donde: A = [x0, x],

o A = [x, x0].

b.- Sea a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk = b, una particion de [a, b], entonces:

k∑

i=1

|F (xi)− F (xi−1)| =k∑

i=1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

xi∫

xi−1

f(t)dt

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤k∑

i=1

xi∫

xi−1

|f(t)|dt =∫ b

a

|f(t)|dt < +∞ .

Entonces tba(F ) ≤∫ b

a

|f |, para cualquier particion de [a, b], entonces T ba(F ) ≤∫ b

a

|f | < +∞

Lema 5.13. Sea f : [a, b] → R una funcion medible no-negativa e integrable en

[a, b]. Si

∫ b

a

f = 0, entonces f = 0 a.e. en [a, b].

Demostracion: Sea A = x ∈ [a, b]/f(x) > 0, An =

x ∈ [a, b] / f(x) >1

n

,

A =

∞⋃

n=1

An. Veamos que mAn = 0 para todo n ∈ N. Supongamos que existe

n0 ∈ N tal que m(An0) > 0; f(x) >

1

n0en An0

, entonces:

∫ b

a

f =

∫

An0

f +

∫

[a,b]An0

f ≥∫

An0

f ≥ 1

n0m(An0) > 0 .

Entonces

∫ b

a

f ≥ 1

n0m(An0

) > 0, contradiccion. Luego,m(An) = 0 para todo n ∈ N

entonces m(A) = 0


Lema 5.14. Si f : [a, b] → R es una funcion medible e integrable en [a, b] y∫ x

a

f(t)dt = 0 para todo x ∈ [a, b], entonces f(t) = 0 a.e en [a, b].

Demostracion: Sean E1 = x ∈ [a, b]/f(x) > 0, E2 = x ∈ [a, b]/f(x) < 0.Veremos que m(E1) = m(E2) = 0. Supongamos que m(E1) > 0. Como E1 esmedible, existe F ⊂ E1 compacto tal que: m(E1F ) < m(E1), E1 = (E1F ) ∪ F ,

entonces mF = mE1 − m(E1F ) > 0. 0 =

∫ b

a

f =

∫

F

f +

∫

(a,b)F

f , entonces

∫

(a,b)F

f = −∫

F

f 6= 0. (a, b)F =⋃

n

(an, bn), union disjunta. Entonces

∫

(a,b)F

f =

∑

n

∫ bn

an

f 6= 0; entonces existe almenos un n ∈ N tal que:

∫ bn

an

f 6= 0. Pero:

∫ bn

a

f =

∫ an

a

f +

∫ bn

an

f , lo cual implica que

∫ an

a

f 6= 0, o

∫ bn

a

f 6= 0, contradiccion. Luego,

mE1 = 0. Similarmente mE2 = 0

Lema 5.15. Si f : [a, b] → R es medible y acotada en [a, b] y F (x) = F (a) +∫ x

a

f(t)dt, entonces F ′(x) = f(x) a.e. en [a, b].

Demostracion: Por el Lema 5.7, F es de variacion acotada en [a, b] y por tantoF ′(x) existe a.e. en [a, b]. Sea |F (x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b] y escribamos:

fn(x) =F (x+

1

n)− F (x)

1

n

=

x+ 1n

∫

a

f −∫ x

a

f

1

n

fn(x) = n

x+ 1n

∫

x

f(t)dt .

|fn(x)| ≤ n

x+ 1n

∫

x

|f | ≤ nk

x+ 1n

∫

x

1 = k ,

|fn(x)| ≤ k para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N. Como lımn→∞

fn(x) = F ′(x) a.e. en [a, b],


usando el Teorema de la convergencia acotada, para c ∈ [a, b] se tiene:∫ c

a

F ′(x)dx = lımn→∞

∫ c

a

fn(x)dx = lımn→∞

n

∫ c

a

[

F

(

x+1

n

)

− F (x)

]

dx

= lımn→∞

n

c+ 1n

∫

a+ 1n

F (y)dy − n

∫ c

a

F (y)dy

.

(y = x+1

nen al primera integral, pues F es integrable segun Riemann).

∫ c

a

F ′(x)dx = lımn→∞

n

c+ 1n

∫

c

F (y)dy − n

a+ 1n

∫

a

F (y)dy

.

Como F es continua, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ B(c, δ) ∩ [a, b] implica:

|F (x)− F (c)| < ε. Luego, para1

n< δ se tiene:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

n

c+ 1n

∫

c

F (y)dy − F (c)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

n

c+ 1n

∫

c

(F (y)− F (c))dy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ n

c+ 1n

∫

c

|F (y)− F (c)|dy ≤ n

c+ 1n

∫

c

εdy = ε .

O sea: lımn→∞

n

c+ 1n

∫

c

F (y)dy = F (c). Analogamente lımn→∞

n

a+ 1n

∫

a

F (y)dy = F (a); luego:

∫ c

a

F ′(x)dx = F (c)− F (a) =

∫ c

a

f(x)dx .

Entonces

∫ c

a

(F ′(x)− f(x))dx = 0 para todo c ∈ [a, b] y por tnato F ′(x) = f(x) a.e.

en [a, b]

Teorema 5.16. Sea f : [a, b] → R una funcion medible e integrable en [a, b]. Defi-namos F : [a, b] → R mediante:

F (x) = F (a) +

∫ x

a

f(t)dt ,

entonces F ′(x) = f(x) a.e. en [a, b].


Demostracion: a.- Supongamos que f es no-negativa. Definamos fn : [a, b] → R

mediante: fn(x) = mınf(x), n, f−fn ≤ 0. Luego, la funcionGn(x) =

∫ x

a

(f−fn) es creciente en [a, b], entonces G′

n(x) existe a.e. en [a, b] y G′n(x) ≥ 0. Del

Lema 5.10, teniendo en cuenta que fn es acotado se obtiene:d

dx

∫ x

a

fn(t)dt =

fn(x) a.e. en [a, b]. Como F (a)+

∫ x

a

f = F (a)+Gn(x)+

∫ x

a

fn, se tiene F ′(x) =

d

dxGn(x) +

d

dx

∫ x

a

fn ≥d

dx

∫ x

a

fn = fn(x).

Entonces F ′(x) ≥ fn(x) a.e. en [a, b] para todo n ∈ N. Cuando n → ∞ se

obtiene: F ′(x) ≥ f(x) a.e. en [a, b]. Entonces

∫ b

a

F ′(x)dx ≥∫ b

a

f(x)dx = F (b)−

F (a). Pero

∫ b

a

F ′(x)dx ≤ F (b)−F (a), pues la funcion F (x) = F (a)+

∫ x

a

f(t)dt

es creciente cuando f ≥ 0, luego:

∫ b

a

F ′(x)dx = F (b) − F (a) =

∫ b

a

f(x)dx.

Entonces

∫ b

a

(F ′(x)− f(x))dx = 0, Como F ′(x)− f(x) ≥ 0 a.e. en [a, b] se tiene

F ′(x) = f(x) a.e. en [a, b].

b.- Si f = f+ − f−, entonces:

∫ x

a

f + F (a) =

(

F1(a) +

∫ x

a

f+

)

−(

F2(a) +

∫ x

a

f−)

F (x) = F1(x)− F2(x) .

F ′1(x) = f+(x) a.e. en [a, b] y F ′

2(x) = f−(x) a.e. en [a, b], entonces F es diferen-ciable a.e. en [a, b], y: F ′(x) = F ′

1(x) − F ′2(x) = f+(x) − f−(x) = f(x) a.e. en

[a, b], entonces F ′(x) = f(x) a.e. en [a, b]


5.4. Continuidad absoluta

Definicion 6. Una funcion f : [a, b] → R se llama absoluta-mente continua en [a, b] si dado ε > 0, existe δ > 0 tal quen∑

i=1

|f(x′i) − f(xi)| < ε para toda coleccion finita (xi, x′i),

1 ≤ i ≤ n de subintervalos de [a, b] dos a dos disjuntos conn∑

i=1

(x′i − xi) < δ.

Nota 1. Toda funcion absolutamente continua es continua.

Nota 2. Toda integral indefinida F (x) = F (a) +

∫ x

a

f(t)dt, x ∈ [a, b] es absou-

tamente continua, pues:

n∑

i=1

|F ′(xi)− F (xi)| =n∑

i=1

∣

∣

∣

∣

∣

∫ x′i

xi

f(t)dt

∣

∣

∣

∣

∣

≤n∑

i=1

∫ x′i

xi

|f(t)|dt =∫

A

|f(t)|dt < ε .

Si mA < δ, donde A =n⋃

i=1

(xi, x′i) union disjunta.

Nota 3. Si f, g : [a, b] → R son absolutamente continuas, entonces f + g y cfson absolutamente continuas, para todo c ∈ R.

Teorema 5.17. Si f : [a, b] → R es absolutamente continua, entonces f es de varia-cion acotada.

Demostracion: Como f es absolutamente continua, dado ε = 1, existe δ > 0

tal quen∑

i=1

|f(x′i) − f(xi)| < 1 para toda coleccion finita (xi, x′i) de subinter-

valos (xi, x′i) ⊂ [a, b], dos a dos disjuntos con

n∑

i=1

(x′i − xi) < δ. Tomemos K =

[[

1 +b− a

δ

]]

=maximo entero de 1 +b− a

δ. Cualquier particion a = x0 < x1 <

. . . < xk = b de [a, b] puede subdividirse, insertando nuevos puntos de divi-sion, si es necesario, en k colecciones de subintervalos, cada coleccion de lon-gitud menor que δ, formandose una nueva particion mas fina que la anterior:

5.4. CONTINUIDAD ABSOLUTA 103

a = x0 < y1 < y2 < . . . < ym = b, y

t =

k∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤m∑

i=1

|f(yi)− f(yi−1)|

Si el ultimo sumando se subdivide en k sumandos, cada uno correspondiente a

una coleccion de subintervalos de longitud menor que δ se obtiene:k∑

i=1

|f(yi) −

f(yi−1)| ≤ k, lo cual implica que t ≤ k para cualquier particion de [a, b], por tantoT ba ≤ k

Corolario 5.18. Si f : [a, b] → R es absolutamente continua, entonces f tienederivada a.e. en [a, b]

Lema 5.19. Si f : [a, b] → R es absolutamente continua y f ′(x) = 0 a.e. en [a, b],entonces f es constante.

Demostracion: Se desea demostrar que f(a) = f(c) para todo c ∈ [a, b], existeD ⊂ (a, c) tal que mD = 0 y f ′(x) = 0 para todo x /∈ (a, c)D. Sea E = (a, c)Dy ε, η numeros reales positivos arbitrarios. Tomemos x ∈ E, como 0 = |f ′(x)| =lımh→0+

|f(x+ h)− f(x)|h

, existen intervalos arbitrarios pequenos [x, x + h] ⊂ (a, c)

tal que |f(x+ h)− f(x)| < hη. Entonces:

[x, x+ h]/x ∈ E, h arbitrariamente pequeno

es un cubrimiento de E en el sentido de Vitali. Luego podemos hallar una colec-cion finita de intervalos [xk, yk] (yk = xk + hk, 1 ≤ k ≤ m), dos a dos disjuntas

tal que m

(

E

m⋃

k=1

[xk, yk]

)

< δ, donde δ > 0 es el numero que corresponde a ε

en la definicion de continuidad absoluta de f . Ordenando los xk’s de modo quexk < xk+i se tiene: y0 = a ≤ x1 < y1 < x2 < y2 < . . . < ym ≤ c = xm+1 ym∑

k=0

(xk+1 − yk) < δ, pero:

m∑

k=1

|f(yk)− f(xk)| < ηm∑

k=1

(yk − xk) = η(c− a)


ym∑

k=0

|f(xk+1 − f(yk))| < ε, continuidad absoluta de f , luego:

|f(c)− f(a)| =∣

∣

∣

∣

∣

m∑

k=0

(f(xk+1)− f(yk) +m∑

k=1

(f(yk)− f(xk)

∣

∣

∣

∣

∣

≤m∑

k=0

|f(xk+1)− f(yk)|+m∑

k=1

|f(yk)− f(xk)|

≤ ε+ η(c− a) ,

para todo ε > 0 y todo η > 0, entonces f(c)− f(a) = 0.

Teorema 5.20. Una funcion F : [a, b] → R es una integral indefinida si y solo si Fes absolutamente continua.

Demostracion: a. Si F (x) = F (a) +

∫ x

a

f(t)dt, entonces F es absolutamente con-

tinua (Ver nota 2.).

b. Recıprocamente, supongamos que F : [a, b] → R es absolutamente continua,entonces F es de variacion acotada y podemos escribir: F (x) = F1(x)− f2(x),donde F1, F2 son funcionies crecientes, por tanto F ′(x) existe a.e. en [a, b] yF ′(x) = F ′

1(x)− F ′2(x).

|F ′(x)| ≤ F ′1(x) + F ′

2(x)∫ b

a

|F ′(x)|dx ≤∫ b

a

F ′1(x)dx−

∫ b

a

F ′2(x)dx

≤ F1(b)− F1(a) + F2(b)− F2(a) .

Entonces F ′(x) es integrable.

Sea G(x) =

∫ x

a

F ′(t)dt, G es absolutamente continua, luego la funcion g =

F − G tambien es absolutamente continua. Ademas: g′(x) = F ′(x) − G′(x)a.e. en [a, b], entonces g′(x) = 0 a.e. en [a, b], entonces g es constante. Entonces

F = C +G, F (x) = C +

∫ x

a

F ′(t)dt. Entonces F (x) = F (a) +

∫ x

a

F ′(t)dt.

Corolario 5.21. Toda funcion absolutamente continua, es la integral indefinida desu derivada.

5.5. FUNCIONES CONVEXAS 105

5.5. Funciones convexas

Definicion 7. Una funcion f : (a, b) → R se llama convexa sipara cada par x, y en (a, b) y cada 0 ≤ λ ≤ 1 se tiene

f(λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y) .

Lema 5.22. Sea f : (a, b) → R una funcion convexa. Si x, y, x′, y′ son puntos de(a, b) con x ≤ x′ < y′, x < y ≤ y′, entonces la cuerda sobre (x′, y′) tiene mayorpendiente que la cuerda sobre (x, y), es decir:

f(y)− f(x)

y − x≤ f(y′)− f(x′)

y′ − x′.

Demostracion: x′ = λx + (1 − λ)y′, y = sx + (1 − s)y′; 0 < λ ≤ 1, 0 ≤ s < 1,f(x′) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y′), f(y) ≤ sf(x) + (1− s)f(y′)

f(y)− f(x) ≤ (s− 1)f(x) + (1− s)f(y′)

= (1− s)(f(y′)− f(x)) .

y − x = (s− 1)x+ (1− s)y′ = (1− s)(y′ − x). Entonces

f(y)− f(x)

y − x≤ (1− s)(f(y′)− f(x))

(1− s)(y′ − x), s 6= 1 .

=f(y′)− f(x)

y′ − x.

Por otra parte:

f(y′)− f(x′) ≥ f(y′)− λf(x)− f(y′) + λf(y′)

= λ(f(y′)− f(x)) .

y′ − x′ = y′ − λx− y′ + λy′ = λ(y′ − x). Entonces

f(y′)− f(x′)

y′ − x′≥ λ(f(y′)− f(x))

λ(y′ − x), λ 6= 0

=f(y′)− f(x)

y′ − x


Definicion 8. Si f : (a, b) → R es una funcion, definimos:

f ′+(x) = lım

t→0+

f(x+ t)− f(x)

t,

derivada a derecha de f en el punto x ∈ (a, b).

f ′−(x) = lım

t→0+

f(x)− f(x− t)

t,

derivada a izquierda de f en el punto x ∈ (a, b).

Proposicion 5.23. Sea f : (a, b) → R una funcion convexa, entonces:

a) f es absolutamente continua en cada subintervalo cerrado [c, d] ⊂ (a, b).

b) Las derivadas a derecha e izquierda son funciones monotonas crecientes y encada punto x ∈ (a, b) se tiene:

f ′−(x) ≤ f ′

+(x) .

c) f ′−(x) = f ′

+(x), excepto a lo mas en un conjunto numerable.

Demostracion: a) Sea [c, d] ⊂ (a, b). Para cada x, y en [c, d] con x < y se tienea < c ≤ x < y ≤ d < b, luego: para a < a′ < c, d < b′ < b se tiene:

−k ≤ f(c)− f ′(a)

c− a≤ f(y)− f(x)

y − x≤ f(b′)− f(d)

b′ − d≤ k

para todo x, y en [c, d] con x, y en [c, d] con x 6= y, luego: |f(y)−f(x)| ≤ k|x−y|,para todo x, y en [c, d]. Por tanto f es absolutamente continua en [c, d].

b) Sea x0 < y0, y t > 0 tal que x0 < x0 + t < y0 < y0 + t, entonces:

f(x0 + t)− f(x0)

t≤ f(y0 + t)− f(y0)

t

y cuando t→ 0+ se tiene: f ′+(x0) ≤ f ′

+(y0), entonces f ′+ es creciente.

Similarmente, si t > 0 es tal que x0 − t < x0 < y0 − t < y0, entonces:

f(x0)− f(x0 − t)

t≤ f(y0)− f(y0 − t)

t

entonces f ′−(x0) ≤ f ′

−(y0), entonces f ′− es creciente. Como x0 − t < x0 < x0 + t,

t > 0 se tiene:f(x0)− f(x0 − t)

t≤ f(x0 + t)− f(x0)

t,

entonces f ′−(x0) ≤ f ′

+(x0).


c) Como f ′+ es creciente, f ′

+ tiene a lo mas un conjunto numerable de puntos dediscontinuidad. Sea c ∈ (a, b) un punto donde f ′

+ es continua. Sea s > 0 ytomemos t > 0, h > 0 tales que c− s < c− s+ t < c− h < c, entonces:

f(c− s+ t)− f(c− s)

t≤ f(c)− f(c− h)

h.

Siendo f ′+ creciente, se tiene:

f ′+(c− s) ≤ f(c− s+ t)− f(c− s)

t≤ f(c)− f(c− h)

h,

entonces f ′+(c− s) ≤ f ′

−(c), para todo s > 0. Como f ′+ es continua en c, cuando

s → 0+ se obtiene f ′+(c) ≤ f ′

−(c) ≤ f ′+(c), entonces f ′

−(c) = f ′+(c), excepto a lo

mas en un conjunto numerable.

Definicion 9. Sea f : (a, b) → R una funcion convexa. La rectay = m(x− x0) + f(x0) que pasa por el pnto (x0, f(x0)) se llamauna recta de soporte para la grafica de f si m(x− x0) + f(x0) ≤f(x) para todo x ∈ (a, b).

Se verifica facilmente que y = m(x − x0) + f(x0) es una recta de soporte para lagrafica de f si y solo si f ′

−(x0) ≤ m ≤ f ′+(x0).

Proposicion 5.24 (Desigualdad de Jensen). Sea f : R → R una funcion convexa yg : [0, 1] → R una funcion medible e integrable en [0, 1], entonces:

∫ 1

0

f(g(t))dt ≥ f

(∫ 1

0

g(t)dt

)

.

Demostracion: Sea α =

∫ 1

0

g(t)dt, y y = m(x−α)+f(α) al ecuacion de una recta

soporte en x0 = α. Entonces f(g(t)) ≥ m(g(t) − α) + f(α) para todo t ∈ [0, 1],luego:

∫ 1

0

f(g(t))dt ≥∫ 1

0

[m(g(t)− α) + f(α)]dt

= m

∫ 1

0

g(t)dt−m

∫ 1

0

αdt+

∫ 1

0

f(α)dt

= mα−mα + f(α) = f(α) .

Entonces

∫ 1

0

f(g(t))dt ≥ f

(∫ 1

0

g(t)dt

)


Una aplicacion importante de la desigualdad de Jensen se obtiene tomandof(x) = ex como la funcion convexa. Se obtiene el siguiente:

Corolario 5.25. Sea g : [0, 1] → R una funcion medible e integrable, entonces:

∫ 1

0

eg(t)dt ≥ e∫ 1

0 g(t)dt

Ejercicios

1. Si f(x) =

xsen1

x, x 6= 0

0, si x = 0, calcular D+f(0), D+f(0), D

−f(0) y D−f(0).

2. si f toma su valor maximo en un punto c, verificar que D+f(c) ≤ 0 yD−f(c) ≥ 0.

3. Si f, g : [a, b] → R son funciones de variacion acotada, verificar que f, g :[a, b] → R tambien es de variacion acotada.

4. Sea f : [a, b] → R una funcion de variacion acotada. Si c ∈ (a, b) verificarque T ba(f) = T ca(f) + T bc (f).

5. Sea f : [a, b] → R una funcion de variacion acotada. Veriifcar que parac ∈ (a, b) existen los lımites: lım

x→c+f(x) y lım

x→c−f(x).

6. Sea f : [a, b] → R una funcion de variacion acotada. Definamos vf : [a, b] →R mediante:

vf(x) =

0, si x = a

T xa (f), si x ∈ (a, b] .

Si f es continua en x0 ∈ [a, b], verificar que vf tambien es continua en x0.

7. Sea f : [a, b] → R una funcion. Si f ′(x) existe para cada x ∈ [a, b] y |f ′(x)| ≤M para todo x ∈ [a, b], verificar que f es de variacion acotada.

8. Si f, g : [a, b] → R son funciones, verificar que T ba(f + g) ≤ T ba(f) + T ba(g).

9. Sea fn : [a, b] → R, n ∈ N, una sucesion de variacion acotada. Si existef(x) = lım

n→∞fn(x) para cada x ∈ [a, b], verificar que T ba(f) ≤ lim

n→∞T ba(fn).

10. ¿Cuales de las siguientes funciones:

a. f(x) =

xsen1

x, si x 6= 0

0, si x = 0 .


b. f(x) =

x2sen1

x, si x 6= 0

0, si x = 0 .

c. f(x) =

x2sen1

x2, si x 6= 0

0, si x = 0 .

son de variacion acotada?.

11. Si f : [a, b] → R es una funcion absolutamente continua, probar que:

a)T ba(f) =

∫ b

a

|f ′| , b)P ba(f) =

∫ b

a

(f ′)+.

12. Una funcion f : [a, b] → R se dice que satisface uan condicion de Lipschitzen [a, b] si es que existe una constanteM > 0 tal que: |f(y)−f(x)| ≤M |x−y|para todo x, y en [a, b]. Si f : [a, b] → R satisface una condicion de Lipschitzen [a, b], probar que f es absolutamente continua.

13. Si g : [0, 1] → R es una funcion medible y no-negativa tal que:

∫ 1

0

ln(g(t))dt ∈

R, probar que: ln

(∫ 1

0

g(t)dt

)

≥∫ 1

0

ln(g(t))dt.

14. Si f : (a, b) → R es una funcion convexa, verificar que para cualesquiera

xi ∈ (a, b), 1 ≤ i ≤ n y para ti ≥ 0 tales quen∑

i=1

ti = 1, se tienen∑

i=1

tixi ∈ (a, b),

y: f

(

n∑

i=1

tixi

)

≤n∑

i=1

tif(xi).

15. Sean (αi), 1 ≤ i ≤ m numeros reales no-negativos tales que:m∑

i=1

αi = 1 y (bi),

1 ≤ i ≤ m numeros reales positivos, probar que:m∏

i=1

bαi

i ≤m∑

i=1

αibi.

16. Sea (ai)i∈N uan sucesion de numeros reales no-negativos tal que∞∑

i=1

ai =

1 y (bi)i∈N una sucesion de numeros reales positivos. Probar que∞∏

i=1

baii ≤∞∑

i=1

aibi.


17. Sea g : [0, 1] → R absolutamente continua y monotona. Si E ⊂ [0, 1] y mE =0, probar que m(g(E)) = 0.

6Espacios Lp(A).

Sea A ⊂ R un conjunto medible, 1 ≤ p < +∞ y

Lp(A) =

f : A→ R /

∫

A

|f |p <∞

Definicion 1. Sean f, g : A → R funciones en Lp(A). Se diceque f = g en Lp(A) si el conjunto x ∈ A/f(x) 6= g(x) tienemedida cero.

Teniendo en cuenta que:

|f(x) + g(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ 2max|f(x)|, |g(x)|se obtiene:

|f(x) + g(x)|p ≤ 2p[max|f(x)|, |g(x)|]p= 2pmax(|f(x)|p, |g(x)|p) ≤ 2p(|f(x)|p, |g(x)|p)

o sea:|f(x) + g(x)|p ≤ 2p(|f(x)|p + |g(x)|p) .

Esta desigualdad implica que Lp(A) es un espacio vectorial.

Definicion 2. Sea X un espacio vectorial real o complejo. Unafuncion ‖·‖ : X → [0,+∞) satisfaciendo las siguientes condi-ciones:

i) ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

ii) ‖αx‖ = α ‖x‖ para todo x ∈ X y todo α ∈ F .

iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, (desigualdad triangular), para todox, y en X se llama una norma en X.

111

112 CAPITULO 6. ESPACIOS LP (A).

El par (X, ‖·‖) se llama un espacio normado, ‖x‖ se llama la norma del vector x.Si f ∈ Lp(A), definimos:

‖f‖p =

(∫

A

|f |p)1/p

. Nuestro objetivo sera probar que ‖·‖p es una norma en

Lp(A).

i) Obviamente ‖f‖p = 0 si y solo si f = 0 a.e. en A si y solo si f = 0 en Lp(A).

ii) ‖λf‖pp =∫

A

|λf |p = |λ|p∫

A

|f |p; entonces ‖λf‖p = |λ| ‖f‖p.

Para demostrar la desigualdad traingular necesitamos algunas lemas prelimina-res:

Lema 6.1. Sean a, b numeros reales no-negativos y 0 < λ < 1, entonces:

aλb1−λ ≤ λa+ (1− λ)b .

Demostracion: Consideremos ϕ : [0,∞] → R definido por: ϕ(t) = (1−λ)+λt−tλ.Para 0 < t se tiene: ϕ′(t) = λ− λtλ−1 = λ(1− eλ−1 ln t).

Siendo la funcion exponencial una funcion estrictamente creciente, se obtiene:

1. ϕ′(t) < 0, si 0 < t < 1.

2. ϕ′(t) > 0, si t > 1.

Es decirϕ es estrictamente decreciente en (0, 1) y estrictamente creciente en (1,∞).Como ϕ′′(t) = (−λ)(λ− 1)tλ−2 > 0, la grafica de ϕ tiene la siguiente forma:

y

t0 1

1− λ

Figura 6.1

De 1) y 2) se deduce que 1− λ+ λt− tλ ≥ 0 para todo t ∈ [0,∞) y la igualdadse cumple si y solo si t = 1.

113

Ahora, si b = 0, la desigualdad del Lema se cumple trivialmente. Si b 6= 0,

tomando t =a

ben la desigualdad anterior se obtiene: (1− λ) + λ

a

b≥ aλ

bλ, o sea:

aλb1−λ ≤ λ+ (1− λ)b (3)

La igualdad en (3) se cumple si y solo sia

b= t = 1, es decir, si y solo si a = b.

Corolario 6.2. Sean c, d numeros reales no-negativos y p, q numeros reales tales

que p > 1, q > 1 y1

p+

1

q= 1, entonces cd ≤ cp

p+dq

q.

Demostracion: El resultado se obtiene del Lema 6.1 con a = cp, b = dq y λ =1

p

Lema 6.3 (Desigualdad de Holder). Sean p > 1, q > 1 numeros tales que:1

p+

1

q=

1. Si f ∈ Lp(A), g ∈ Lq(A), entonces fg ∈ Lq(A) y

∫

A

|fg| ≤ ‖f‖ ‖g‖.

Demostracion: i) Si ‖f‖p = 0 entonces: f = 0 a.e. en A, entonces |fg| = 0 a.e.

en A, entonces

∫

A

|fg| = 0, y la desigualdad de Holder se cumple.

ii) Supongamos entonces que ‖f‖p 6= 0 y ‖g‖q 6= 0. Sean f1 =f

‖f‖p, g1 =

g

‖g‖q,

entonces ‖f1‖p = ‖g1‖q = 1. Usando el Corolario anterior con c = |f1(x)|,

d = |g1(x)|, se tiene: |f1(x)g1(x)| ≤|f1(x)|p

p+

|g1(x)|qq

, e integrando miembro

a miembro:∫

a

|f1(x)g1(x)| ≤1

p

∫

A

|f1(x)|+1

q

∫

A

|g1(x)| =1

p+

1

q= 1 ,

o sea:∫

A

|f |‖f‖p

|g|‖g‖q

≤ 1 , entonces

∫

A

|fg| ≤ ‖f‖p ‖g‖q

Lema 6.4 (Desigualdad de Minkowski). Sean f, g elementos deLp(A) donde p ≥ 1es un numero real. Entonces f + g ∈ Lp(A) y ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Demostracion: i) Si f + g ∈ Lp(A), entonces f + g ∈ Lp(A), pues Lp(A) es unespacio vectorial.

iia) Si p = 1, la desigualdad de Minkowski es trivial.


iib) Supondremos 1 < p < +∞:

|f + g|p = |f + g||f + g|p−1 ≤ |f ||f + g|p−1 + |g||f + g|p−1 ,

luego:∫

A

|f + g|p ≤∫

A

|f ||f + g|p−1 +

∫

A

|g||f + g|p−1 . (β)

Si q es un numero real tal que1

p+

1

q= 1 entonces q(p − 1) = p y:

∫

A

|f +

g|q(p−1) =

∫

A

|f + g|p < +∞; luego |f + g|p−1 ∈ Lq(A) y podemos usar la

desigualdad de Holder:∫

A

|f ||f + g|p−1 ≤ ‖f‖p∥

∥|f + g|p−1∥

∥

q.

∫

A

|g||f + g|p−1 ≤ ‖g‖p∥

∥|f + g|p−1∥

∥

q.

Como

∥

∥|f + g|p−1∥

∥

q=

(∫

A

|f + g|q(p−1)

)1/q

=

(∫

A

|f + g|p)1/q

= ‖f + g‖p/qp .

Luego, en (β) se obtiene:

‖f + g‖pp ≤ (‖f‖p + ‖g‖p)(‖f + g‖p)p/q

y por tanto:‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p

Este Lema muestra que ‖·‖p es una norma en Lp(A).

Definicion 3. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado y (xn) una su-cesion en X. Se dice que (xn) converge al punto x ∈ X si dadoε > 0, existe n0 ∈ N tal que ‖xn − x‖ < ε para todo n ≥ n0.

Notacion.- Si (xn) converge al punto x escribiremos lımn→∞

xn = x, o xn → x. Se

observa que xn → x si y solo si ‖xn − x‖ → 0.Observacion.- La convergencia en (Lp(A), ‖·‖p) a veces se llama convergencia

en al media de orden p. O sea: xn → x en la media de orden p si xn, x ∈ Lp(A) y‖xn − x‖p → 0.

115

Definicion 4. Un espacio normado (X, ‖·‖) se llama completosi toda sucesion de Cauchy en X converge a un punto x ∈ X.Un espacio normado y completo se llama un espacio de Ba-nach.

Definicion 5. Una serie∞∑

n=1

xn en un espacio normado se llama

sumable, con suma s, si s ∈ X y la sucesion de sumas parciales(

n∑

i=1

xi

)

converge al punto s, es decir:

lımn→∞

∥

∥

∥

∥

∥

n∑

i=1

xi − s

∥

∥

∥

∥

∥

= 0 .

En este caso escribimos s =∞∑

n=1

xn.

Definicion 6. La serie∞∑

i=1

xi se llama absolutamente conver-

gente, si la serie∞∑

i=1

‖xi‖ converge.

Proposicion 6.5. Sea (X, ‖·‖) un espacio normado, entonces:(X, ‖·‖) es completo si y solo si toda serie absolutamente sumable es sumable.

Demostracion: a) Supongamos que (X, ‖·‖) es completo. Sea∞∑

i=1

xi una serie ab-

solutamente sumable de elementos de X. Sea sn =

n∑

i=1

xi, tn =

n∑

i=1

‖xi‖. Para

n > m se tiene:

‖sn − sm‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

n∑

i=m+1

xi

∥

∥

∥

∥

∥

≤n∑

i=m+1

‖xi‖ = |tn − tm| .

Luego, (sn) es de Cauchy y por tanto (sn) converge.


b) Recıprocamente supongamos que toda serie absolutamente sumable es suma-ble y sea (xn) una sucesion de Cauchy en X. Para cada k ∈ N, existe nk ∈ N tal

que ‖xn − xm‖ <1

2kpara todo m, n ≥ nk, (podemos escoger nk de modo que

n1 < n2 < n3 < . . .); (xnk) es una subsucesion de (xn). Escribiendo y1 = xn1

,yk = xnk

− xnk−1para k > 1 se tiene:

k∑

i=1

yi = xn1+ (xn2

− xn1) + . . .+ (xnk

− xnk−1)

= xnk.

‖yk‖ =∥

∥xnk− xnk−1

∥

∥ <1

2k−1,

∞∑

k=1

‖yk‖ ≤ ‖yk‖+∞∑

k=1

1

2k−1= ‖y1‖+ 1.

Luego, la serie∞∑

i=1

yi es absolutamente convergent, entonces existe x ∈ X tal

que∞∑

i=1

yi = x,k∑

i=1

yi → x, o sea xnk→ x. Como (xn) es de Cauchy se tiene que

tambien xn → x.

Teorema 6.6. Si 1 ≤ p < +∞, el espacio (Lp(A), ‖·‖p) es completo.

Demostracion: Sea (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en Lp(A). Dado ε =1

2, existe

n1 ∈ N tal que ‖fm − fn‖p <1

2para todo m, n ≥ n1. En particular

‖fm − fn‖p <1

2, ∀m ≥ n1 . (i)

Dado ε =1

22, existe n2 ∈ N, n2 > n1 tal que ‖fm − fn‖ <

1

22, para todo m, n ≥ n2.

En particular

‖fm − fn‖ <1

22, ∀m ≥ n2 ; (ii)

y en (i) se obtiene ‖fn2− fn1

‖ < 1

2.

De este modo se obtiene una subsucesion (fni)i∈N, (n1 < n2 < . . .), tal que

∥

∥fni+1− fni

∥

∥ <1

2i. (1)

Escribamos , y

gk =k∑

i=1

|fni+1− fni

| y g =∞∑

i=1

|fni+1− fni

| , (2)

117

‖gk‖p =∥

∥

∥

∥

∥

k∑

i=1

|fni+1− fni

|∥

∥

∥

∥

∥

p

≤k∑

i=1

∥

∥fni+1− fni

∥

∥

p<

k∑

i=1

1

2i< 1 .

O sea ‖gk‖p < 1 para todo k ∈ N. Como g = lımk→∞

gk se tiene gp = lımk→∞

gpk; entonces

aplicando el Lema de Fatou obtenemos:∫

A

gp =

∫

A

lımk→∞

gpk ≤ limk→∞

∫

A

gpk

= limk→∞

‖gk‖pp ≤ 1 .

Siendo la integral

∫

A

|g(x)|pdx finita, se tiene que g(x) es finita a.e. en A. Luego la

serie:

fn1(x) +

∞∑

i=1

(fni+1(x)− fni

(x)) (3)

converge absolutamente a.e. en A.Sea A1 = x ∈ A/ la serie en (3) converge, m(AA1) = 0. Definamos f : A→

R mediante:

f(x) =

fn1+

∞∑

i=1

(fni+1(x)− fni

(x)) , si x ∈ A1

0 , si x ∈ AA1 .

Como fn1(x) +

k−1∑

i=1

(fni+1(x)− fni

(x)) = fnk(x) se tiene

f(x) = lımk→∞

fnk(x) a.e. en A . (5)

Ahora probaremos que fn → f en Lp(A). Sea ε > 0, existe un numeros natural N0

tal que ‖fn − fm‖p < ε para todo m, n ≥ N0. Como: f(x) = lımk→∞

fnk(x) a.e. en A, se

tiene:|f(x)− fm(x)|p = lım

k→∞|fnk

(x)− fn(x)|p .

Luego, para k suficientemente grande tal que nk ≥ N0 y m ≥ N0 aplicando elLema de Fatou se tiene:

∫

A

|f − fm|p ≤ limk→∞

∫

A

|fnk− fm|p

= limk→∞

‖fnk− fm‖pp ≤ εp .

Entonces ‖f − fm‖p < ε para todo m ≥ N0. Entonces f − fm ∈ Lp(A) y por tantof ∈ Lp(A). Tambien la relacion: ‖f − fm‖p < ε para todo m ≥ N0 nos dice quefm → f en Lp(A)


Corolario 6.7. Sea A ⊂ R un conjunto medible y 1 ≤ p < ∞. Si (fn) es unasucesion de Cauchy en Lp(A) que converge a una funcion f ∈ Lp(A), entoncesexiste una subsucesion (fnk

) de (fn) tal que fnk(x) → f(x) a.e. en A.

Demostracion: Se obtiene de la relacion (5) del teorema 6.1.

Definiciones:

L∞(A) =

f : A→ R /∃M > 0 satisfaciendo:mx ∈ A/|f(x)| > M = 0

‖f‖∞ = ess sup |f(x)|= ınfM > 0/mx ∈ A/|f(x)| > M = 0

para f ∈ L∞(A).‖f‖∞ se llama el supremo esencial de |f |.

Ejercicios

1. Probar que L∞(A) es un espacio vectorial.

2. Si f, g ∈ L∞(A), verifica que ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

3. Si f, g ∈ L1(A), verificar que: ‖f + g‖1 ≤ ‖f‖1 + ‖g‖1.

4. Si f ∈ L1(A), g ∈ L∞(A), verificar que

∫

A

|fg| ≤ ‖f‖1 ‖g‖∞.

5. Probar que (L∞(A), ‖·‖∞) es un espacio normado completo.

6. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones en L∞(A) y f ∈ L∞(A). Probar quefn → f en L∞(A) si y solo si existe B ⊂ A tal que m(B) = 0 y fn → funiformemente en AB.

7. Sea f ∈ Lp[a, b], 1 ≤ p < ∞. Probvar que dado ε > 0, existe una funcionescalonada ψ : [a, b] → R y una funcion continua ϕ : [a, b] → R tales que:‖f − ψ‖p < ε y ‖f − ϕ‖p < ε.Solucion:

a) Supongamos que existe M > 0 tal que |f(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b].

tomemos 0 < δ < mın

1

2

( ε

2M

)p

,ε

[2(b− a)]1/p

. Podemos hallar una

funcion escalonada ψ : [a, b] → R una funcion continua ϕ : [a, b] → R

tales que:

i) |f − ψ| < δ en [a, b]B1, mB1 < δ.

ii) |f − ϕ| < δ en [a, b]B2, mB2 < δ.

119

iii) |ψ(x)| ≤ M y |ϕ(x)| ≤ M para todo x ∈ [a, b] entonces |f − ψ| ≤ 2My |f − ϕ| ≤ 2M , luego:

∫ b

a

|f − ψ|p =∫

∁B1

|f − ψ|p +∫

B1

|f − ψ|p

≤∫ b

a

εp

2(b− a)+ (2M)pm(B1) < εp ,

entonces

∫ b

a

|f − ψ|p < εp, entonces ‖f − ψ‖p < ε.

Similarmente: ‖f − ϕ‖p < ε.

b) Denotemos: An = x ∈ [a, b]/|f(x)| ≤ n y definamos fn : [a, b] → R

mediante fn = f · χAn, entonces |fn| ≤ |f |, entonces fn ∈ Lp[a, b] para

todo n ∈ N.

Sea E = x ∈ [a, b]/|f(x)| = ∞,mE = 0. tomemos x ∈ [a, b]E y nk ∈ N

tal que |f(x)| < nk. Entonces fn(x) = f(x) para todo n ≥ nk, entoncesfn → f a.e. en [a, b].

|fn − f | ≤ |fn|+ |f | ≤ 2|f | ,

entonces |fn − f |p ≤ (2|f |)p ∈ L1[a, b], y |fn − f |p → 0 a.e en [a, b]. En-tonces usando el Teorema de la Convergencia dominada se tiene 0 =

lımn→∞

∫ b

a

|fn − f |p. Luego, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que:

∫ b

a

|fn0− f |p <

(ε

2

)p

o ‖fn0− f‖p <

ε

2.

Como fn0∈ Lp[a, b] y |fn0

| ≤ n0 por la parte a) existe una funcion escalo-nada ψ : [a, b] → R y una funcion continua ϕ : [a, b] → R tales que:

‖fn0− ψ‖p <

ε

2y ‖fn0

− ϕ‖p <ε

2.

Entonces:

‖f − ψ‖p = ‖(f − fn0) + (fn0

− ψ)‖p≤ ‖f − fn0

‖p + ‖fn0− ψ‖p < ε .

Entonces ‖f − ψ‖p < ε.

Similarmente ‖f − ϕ‖p < ε.

8. Sea (fn) una sucesion en Lp(A), 1 ≤ p < ∞ y f ∈ Lp(A) tal que fn → f a.e.en A. Probar que fn → f en Lp(A) si y solo si ‖fn‖p → ‖f‖p.


9. Sea (fn)n∈N uan sucesion de funciones en Lp(A), 1 ≤ p∞, f ∈ Lp(A) talque fn → f en Lp(A). Sea (gn) una sucesion de funciones medibles tal que|gn| ≤M para todo n ∈ N y gn → g a.e.. Entonces gnfn → gf en Lp(A).

6.1. Funcionales lineales y continuas en Lp[a, b]

Sea (X, ‖·‖) unn espacio normado. Una aplicacion. F : X → C tal que

i) F (x+ y) = F (x) + F (y), todo x, y ∈ X.

ii) F (αx) = α, todo x ∈ X y todo α ∈ C.

Se llama una funcional lineal.Una funcional lineal F : X → C se llama acotada si existe una constante

M > 0 tal que |F (x)| ≤M ‖x‖, para todo x ∈ X.

Si F : X → C es acotado, entonces existe M > 0 tal que:|f(x)|‖x‖ ≤M para todo

x ∈ Xθ. El numero:

‖F‖ = supx∈X0

|F (x)|‖x‖

se llama la norma de la funcional F .

Si B(X,C) =

F : X → C /F es funcional li-neal y acotada.

entonces ‖F‖ es una norma

en B(X,C).Si g ∈ Lq[a, b] y

1

p+

1

q= 1 definimos F : Lp[a, b] → C mediante: F (f) =

∫ b

a

fg para todo f ∈ Lp[a, b]. Obviamente F es una funcional lineal. Usando la

desigualdad de Holder se obtiene:

|F (f)| =∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

|fg|

≤ ‖g‖q ‖f‖p ,

por tanto F es continua y |F (f)| ≤ ‖g‖q ‖f‖p implica que ‖F‖ ≤ ‖g‖q.

Proposicion 6.8. Si g ∈ Lq[a, b] y1

p+1

q= 1, entonces la palicacion F : Lp[a, b] → R

definida mediante: F (f) =

∫ b

a

fg es lineal, acotada y ‖F‖ = ‖g‖q.

6.1. FUNCIONALES LINEALES Y CONTINUAS EN LP [A,B] 121

Demostracion: i) Si 1 0

0 , si g(x) = 0

−1 , si g(x) < 0 .

entonces |f | = |g|q/p, entonces |f |p = |g|q. fg = |g|q/p(signg)g = |g|q/p+1 =

|g|q. fg = |g|q; |f |p = |g|q entonces f ∈ Lp[a, b], y ‖f‖p =

(∫ b

a

|f |p)1/p

=

(∫ b

a

|g|q)1/q

= ‖g‖q/pq

F (f) =

∫ b

a

fg =

∫ b

a

|g|q = ‖g‖qq = ‖g‖q ‖g‖q−1q

= ‖g‖q ‖g‖q/pq = ‖g‖q ‖f‖p .

Entonces|F (f)|‖f‖p

=F (f)

‖f‖p= ‖g‖q.

Entonces ‖F‖ = sup|F (f)|‖f‖p

≥ ‖g‖q;

Entonces ‖F‖ ≥ ‖g‖q

ii) p = 1, q = +∞. Supondremos ‖g‖∞ > 0. Para 0 < ε < ‖g‖∞, sea:

E = x ∈ [a, b]/|g(x)| ≥ ‖g‖∞ − ε .

Entonces m(E) > 0, mE ∈ R. Sea f = (signg)χE , entonces f ∈ L1[a, b] y‖f‖1 = mE > 0.

‖F‖ ‖f‖1 ≥ F (f) =

∫ b

a

fg =

∫

E

fg =

∫

E

|g|.

‖F‖ ‖f‖1 ≥ (‖g‖∞ − ε)mE = (‖g‖∞ − ε) ‖f‖1.Entonces ‖g‖∞ − ε ≤ ‖F‖+ 0 < ε < ‖g‖∞, entonces ‖g‖∞ ≤ ‖F‖.

iii) p = +∞, q = 1. Sea f = signg, (g 6= 0 en L1[a, b]). Entonces f ∈ L∞[a, b] y

‖f‖∞ = 1, luego: F (f) =

∫ b

a

fg =

∫ b

a

|g| = ‖g‖1.

‖g‖1 = |F (f)| ≤ ‖F‖ ‖f‖∞ = ‖F‖ .


Lema 6.9. Sea g : [a, b] → R una funcion medible e integrable. Supongamos que

existe una constante M > 0 tal que

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

≤ M ‖f‖p para toda funcion medible

y acotada f . Entonces g ∈ Lq[a, b] y ‖g‖q ≤M . 1 ≤ p < ∞.

Demostracion: a) Si 1 n

y definimos fn = |gn|q/p(signgn), entonces fn es medible y acotada. Igual que la

proposicion anterior se obtiene ‖fn‖p = ‖gn‖q/pp , |fn|p = |gn|q = fngn. Ademasfngn = fng, pues:

Si |g(x)| ≤ n, gn(x) = g(x) y si |g(x)| > n entonces gn(x) = 0, entonces fn(x) =0; luego |gn|q = fng.

‖gn‖qq =∫ b

a

|gn|q =∫ b

a

fng =

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fng

∣

∣

∣

∣

≤M ‖fn‖p .

Entonces ‖gn‖qq ≤M ‖fn‖p =M ‖gn‖q/pq , ‖gn‖q = ‖gn‖q−q/pq ≤M .

Entonces

∫ b

a

|gn|q ≤M q. Como lımn→∞

|gn(x)|q = |g(x)|q, usando el Lema de Fatou

se tiene:∫ b

a

|g|q ≤ limn→∞

∫ b

a

|gn|q ≤M q .

Entonces g ∈ Lq[a, b] y ‖g‖q ≤ M .

b) Si p = 1, tomemos ε > 0 y definamos E = x ∈ [a, b]/|g(x)| ≥ M + ε, y

f = (signgχE), entonces |f | = χE, ‖f‖1 =∫ b

a

|f | =∫ b

a

χE = mE.

(mE)M =M ‖f‖1 ≥∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

(“≥” por hipotesis)

pues: fg = (signg)χEg = |g|χE ≥ (M + ε)χE ≥ 0 entonces

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

=

∫ b

a

fg ≥∫ b

a

(M+ε)χE = (M+ε)mE. EntoncesMmE ≥ (M+ε)mE, entonces εmE ≤ 0.

Entonces mE = 0, entonces g ∈ L∞[a, b] y ‖g‖∞ ≤M


Teorema 6.10 (De representacion de Riesz). Sea 1 ≤ p < ∞ y F : Lp[a, b] → R

una funcional lineal y acotada. Entonces existe g ∈ Lq[a, b],1

p+

1

q= 1, tal que

F (f) =

∫ b

a

fg.

Ademas ‖F‖ = ‖g‖q.

Demostracion: Denotemos χS = χ[a,s], χS ∈ Lp[a, b]; F (χS) es un numero real quedemostraremos con ϕ(S); Veamos que ϕ : [a, b] → R es absolutamente continua:Sea (Si, S ′

i), 1 ≤ i ≤ m una coleccion finita de subintervalos de [a, b] dos a dos

disjuntos tal quem∑

i=1

(S ′i−Si) < δ. Si f =

m∑

i=1

(χS′

i−χSi

)sign(ϕ(S ′i)−ϕ(Si)) entonces:

f(x) ≤m∑

i=1

|χS′

i− χSi

| =m∑

i=1

χ(Si,S′

i](x)

la sumatoria consta de a lo mas un solo sumando para cada x ∈ [a, b]. Si x ∈(Si0, S

′i0], entonces |f(x)| ≤ 1, entonces |f(x)|p ≤ 1 = χ(Si0

,S′

i0], luego:

∫ b

a

|f(x)|p ≤m∑

i=1

∫ b

a

χ(Si,S′

i](x)dx =

m∑

i=1

S′

i∫

Si

dx =m∑

i=1

(S ′i − Si) < δ ,

entonces ‖f‖pp < δ, entonces f ∈ Lp[a, b].

F (f) =

m∑

i=1

(F (χS′

i)− F (χSi

))sign[ϕ(S ′i)− ϕ(Si)]

=

m∑

i=1

(ϕ(S ′i)− ϕ(Si))sign[ϕ(S ′

i)− ϕ(Si)]

=m∑

i=1

|ϕ(S ′i)− ϕ(Si)|

entonces

m∑

i=1

|ϕ(S ′i)− ϕ(Si)| = F (f) = |F (f)|

≤ ‖F‖ ‖f‖p < ‖F‖ δ1/p

Dado ε > 0 podemos tomar 0 < δ <εp

‖F‖p , entonces:m∑

i=1

|ϕ(S ′i) − ϕ(Si)| ≤

‖F‖ δ1/p < ε, por tanto ϕ es absolutamtente continua. Luego ϕ es una integral


indefinida ϕ(S) = ϕ(a) +

∫ S

a

g; pero ϕ(a) = F (χa) = 0. Entonces ϕ(S) =

∫ S

a

g;

F (χS) = ϕ(S) =

∫ S

a

g, F (χS) =

∫ S

a

g =

∫ b

a

gχS .

Ahora tomemos una funcion escalonada h : [a, b] → R, h es de forma h =k∑

i=1

ciχSi, entonces:

F (h) =k∑

i=1

ciF (χSi) =

k∑

i=1

ci

∫ b

a

gχSi

=

∫ b

a

g

(

k∑

i=1

ciχSi

)

=

∫ b

a

gh .

Entonces F (h) =

∫ b

a

gh, para toda funcion escalonada h.

Sea f : [a, b] → R una funcion medible y acotada, |f(x)| ≤ N para todo x ∈[a, b], entonces |f(x)|p ≤ Np para todo x ∈ [a, b], entonces f ∈ Lp[a, b].

Dado εn =1

n, existe una funcion escaolanda ψn : [a, b] → R tal que ‖f − ψn‖p <

1

ny |ϕn(x)| ≤ N para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N.

lımn→∞

‖f − ψn‖p = 0, entonces ψn → f en Lp[a, b], luego, existe una subsucesion

(ϕnk) de (ψn) tal que ψnk

(x) → f(x) a.e. en [a, b]. Tambien lımn→∞

‖f − ψnk‖p = 0.

|F (f)− F (ψnk)| = |F (f − ψnk

)|≤ ‖F‖ ‖f − ψnk

‖p → 0

entonces F (f) = lımk→∞

F (ψnk) = lım

k→∞

∫ b

a

gψnk. Pero |gψnk

| ≤ |g||ψnk| ≤ N |g| con

Ng integrable en [a, b] y lımk→∞

gψnk= gf . Luego por el Teorema de la convergencia

dominada se tiene:

F (f) = lımk→∞

∫ b

a

gψnk=

∫ b

a

gf .

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

gf

∣

∣

∣

∣

= |F (f)| ≤ ‖F‖ ‖f‖q para toda funcion medible y acotada f : [a, b] → R.

Por el Lema 6.4 se tiene que g ∈ Lq[a, b].

Ahora, tomemos f : [a, b] → R una funcion medible tal que f ∈ Lp[a, b]. Dadoε > 0, existe una funcion escalonada ψ : [a, b] → R tal que ‖f − ψ‖p < ε, y


F (ψ) =

∫ b

a

gψ, luego:

∣

∣

∣

∣

F (f)−∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

F (f)− F (ψ) +

∫ b

a

ψg −∫ b

a

fg

∣

∣

∣

∣

≤ |F (f − ψ)|+∣

∣

∣

∣

∫ b

a

(ψ − f)g

∣

∣

∣

∣

≤ ‖F‖ ‖f − ψ‖p + ‖f − ψ‖p ‖g‖q< (‖F‖+ ‖g‖q)ε , ∀ε > 0 .

Entonces F (f) =

∫ b

a

fg para todo f ∈ Lp(A). La igualdad ‖F‖ = ‖g‖q sigue de la

Proposicion 6.2

Ejercicios

1. Sea Q =

(x, t) /0 ≤ x ≤ 10 ≤ t ≤ 1

, y f : Q → R una funcion acotada. Suon-

gamos que para cada t fijo, f es medible como funcion de x y que∂f

∂x(x, t),

∂f

∂t(x, t) existen para cada (x, t) ∈ Q. Si

∂f

∂tes acotada en Q, verificar que:

d

dt

∫ 1

0

f(x, t)dx =

∫ 1

0

∂f

∂t(x, t)dx .

2. Hallar una representacion para las aplicaciones lineales y acotadas F : ℓp →R, 1 ≤ p <∞.


7Medida en R2.

Si A ⊂ R, B ⊂ R, entonces A×B se llama un rectangulo en R2.SiA ⊂ R,B ⊂ R son conjuntos medibles, entoncesA×B se llama un rectangu-

lo medible.m denotara la coleccion de todos los conjuntos A ⊂ R que son medibles

segun Lebesgue

SiQ =

m⋃

i=1

Ri, donde cadaRi es un rectangulo medible yRi∩Rj = φ para i 6= j,

entonces Q se llama un conjunto elemental. Con ε denotaremos la coleccion detodo los conjuntos elementales.

m2

denotara la menor σ-algebra en R2 tal que A × B ∈ m2

para todorectangulo medible A× B.

La identidades:

(A1 ×B1) ∩ (A2 ×B2) = (A1 ∩ A2)× (B1 ∩B2)

A1 ×B1A2 × B2 = [(A1A2)×B1] ∪ [(A1 ∩ A2)× (B1B2)]

muestran que la interseccion de dos rectangulos medibles es un rectangulo me-dible, y que la diferencia de dos rectangulos medibles es un elemento de ε.

Sean P =

m⋃

i=1

Pi ∈ ε, Q =

k⋃

j=1

Qj ∈ ε. P ∩ Q =

k⋃

j=1

(P ∩ Qj) =

k⋃

j=1

m⋃

i=1

(Pi ∩ Qj)

union disjunta de rectangulos medibles, por tanto P ∩Q ∈ ε.

PQ = P ∩ ∁Q =

k⋂

j=1

(P ∩ ∁Qj)

=k⋂

j=1

[

m⋃

i=1

(Pi ∩ ∁Qj)

]

=k⋂

j=1

[

m⋃

i=1

(PiQj)

]

= interseccion finita de elementos de ε,

127

128 CAPITULO 7. MEDIDA EN R2.

por tanto PQ ∈ ε.P ∪Q = (PQ)∪Q es union disjunta de elementos deε, por tanto P ∪Q ∈ ε.

7.1. Clase monotona.

Clase monotona. Sea X 6= φ. Una coleccion φ 6= m ⊂ P (X) se llama unaclase monotona si satisface las siguientes propiedades:

i) Si Ai ∈ m, i ∈ N, A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . y A =

∞⋃

i=1

Ai, entonces A ∈ m.

ii) Si Bi ∈ m, i ∈ N, Bi ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ . . . y B =

∞⋂

i=1

Bi, entonces B ∈ m.

Definicion 1. Sea E ⊂ R2, x, y ∈ R, definimos:

Ex = y ∈ R/(x, y) ∈ E, x− seccion de E.

Ey = x ∈ R/(x, y) ∈ E, y − seccion de E.

Nota.- Sean A,B ⊂ R, entonces:

(A×B)x =

B , si x ∈ A

φ , si x /∈ A

(A× B)y =

A , si y ∈ B

φ , si y /∈ B

Si x ∈ R, definimos g : R → R2 mediante g(y) = (x, y). Si M ⊂ R2, facilmente severifica que g−1(M) = Mx.

Teorema 7.1. Sean M,N,Mn, n ∈ N subconjuntos de R2, x ∈ R, entonces:

a)

( ∞⋃

n=1

Mn

)

x

=∞⋃

n=1

(Mn)x.

b)

( ∞⋂

n=1

Mn

)

x

=

∞⋂

n=1

(Mn)x.

c) (MN)x =MxNx.

7.1. CLASE MONOTONA. 129

d) Si M ⊂ N entonces Mx ⊂ Nx.

e) Si M1 ⊂ M2 ⊂ . . . y M =

∞⋃

n=1

Mn, entonces (M1)x ⊂ (M2)x ⊂ . . . y Mx =

∞⋃

n=1

(Mn)x.

Notacion.- Si Mn ↑M , entonces (Mn)x ↑Mx.

f) Si M1 ⊃ M2 ⊃ . . . y M =

∞⋂

n=1

Mn, entonces (M1)x ⊃ (M2)x ⊃ . . . y Mx =

⋂

n=1

∞(Mn)x.

Notacion.- Si Mn ↓M , entonces (Mn) ↓Mx.

Demostracion: Consideremos g : R → R2 definido mediante g(y) = (x, y).

a)( ∞⋃

n=1

Mn

)

x

= g−1

( ∞⋃

n=1

Mn

)

=∞⋃

n=1

g−1(Mn)

=

∞⋃

n=1

(Mn)x .

De modo igual para los demas casos. Resultado similar paras las y-secciones.

Teorema 7.2. Si M ∈ m2

entonces Mx ∈ m, My ∈ m, para todo x, y ∈ R.

Demostracion: Sea x ∈ R y definamos g : R → R2 mediante g(y) = (x, y).Sea Ω = U ⊂ R2/g−1(U) ∈ m.

i) g−1(R2) = R ∈ m, entonces R2 ∈ Ω, entonces Ω 6= φ.

ii) Si U ∈ Ω, entonces g−1(∁U) = ∁g−1(U) entonces g−1(∁U) ∈ m, entonces∁U ∈ Ω.

iii) Si Ui ∈ Ω, i ∈ N y U =

∞⋃

i=1

Ui, entonces g−1(U) =

∞⋃

i=1

g−1(Ui) ∈ m, entonces

U ∈ Ω.

Luego Ω es una σ-algebra . Si E, F ⊂ R conjuntos medibles, entonces:

g−1(E × F ) = (E × F )x =

F , si x ∈ E

φ , si x ∈ E


entonces g−1(E×F ) ∈ m, entoncesE×F ∈ Ω.E×F ∈ Ω ⊂ P (R2) para todo

rectangulo medible E × F . Por definicion de m2

se tiene m2 ⊂ Ω. Luego:

M ∈ m2

entonces M ∈ Ω entonces Mx = g−1(M) ∈ m. AnalogamenteMy ∈ m

Corolario 7.3. Sea A×B un rectangulo no-vacio. SiA×B ∈ m2

entonces: A,B ∈m.

Demostracion: Tomemos x ∈ A, y ∈ B, entonces A = (A × B)y ∈ m, y B =(A×B)x ∈ m

Teorema 7.4. m2

es la menor clase monotona que contiene a los conjuntos ele-mentalesε.

Demostracion: Sea M ⊂ P (R2) la menor clase monotona que contiene a ε. Co-

mo m2

es una clase monotona y ε ⊂ m2

se tiene M ⊂ m2.

Sea P ⊂ R2 cualquier conjunto, definamos:

Ω(P ) =

Q ⊂ R2 /PQ ∈ M, QP ∈ M,P ∪Q ∈ M

Se observa que:

a) Q ∈ Ω(P ) si y solo si P ∈ Ω(Q).

b) Sea Qi ∈ Ω(P ), i ∈ N

i) Si Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . ., y Q =

∞⋃

i=1

Qi, entonces QP = Q ∩ ∁P =

∞⋃

i=1

(QiP ).

Q1P ⊂ Q2P ⊂ . . . entonces QP ∈ M. PQ = P ∩( ∞⋂

i=1

∁Qi

)

=

∞⋂

i=1

(PQi). PQ1 ⊃ PQ2 ⊃ . . ., entonces PQ ∈ M. P ∪ Q =∞⋃

i=1

(P ∪

Qi) ∈ M. Entonces Q ∈ Ω(P ).

ii) Similarmente, si Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . . y Q =

∞⋂

i=1

Qi, se verifica que Q ∈ Ω(P ).

Luego, Ω(P ) es una clase monotona para cualquier P ⊂ R2.

Sea P ∈ ε fijo. Si Q ∈ ε entonces PQ ∈ ε ⊂ M, QP ∈ ε ⊂ M. YP ∪Q ∈ ε ⊂ M, entonces Q ∈ Ω(P ) para todo Q ∈ ε, entoncesε ⊂ Ω(P )para todo P ∈ ε.


Como Ω(P ) es una clase monotona y ε ⊂ Ω(P ), por definicion de M,debe tenerse M ⊂ Ω(P ) para todo P ∈ ε.

Ahora, sea Q ∈ M fijo. Si P ∈ ε entonces: Q ∈ M ⊂ Ω(P ), entoncesQ ∈ Ω(P ), entonces P ∈ Ω(Q), entonces ε ⊂ Ω(Q).

Nuevamente, por definicion de M, se tiene M ⊂ Ω(Q) para todo Q ∈ M.

En resumen, si P,Q ∈ M entonces: P ∈ M ⊂ Ω(Q), entonces P ∈ Ω(Q)entonces PQ ∈ M, QP ∈ M y P ∪Q ∈ M.

Veamos ahora que M es una σ-algebra en R2:

i) R2 = R× R ∈ ε ⊂ M, entonces R2 ∈ M, entonces M 6= φ.

ii) Si Q ∈ M, entonces ∁Q = R2Q ∈ M.

iii) Si Pi ∈ M, i ∈ N y P =∞⋃

i=1

Pi escribamos: Qn = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn,

Qn ∈ M, Q1 ⊂ Q2 ⊂ Q3 ⊂ . . ., y∞⋃

n=1

Qn = P , entonces P ∈ M por la

monotonıa de M, entonces M es una σ-algebra .

Como ε ⊂ M ⊂ m2, por definicion de m

2se tiene m

2 ⊂ M,

entonces m2= M

Definicion 2. Para cada funcion f : R2 → R y para cada x, y ∈R definimos:

fx(y) = f(x, y) , x ∈ R fijo.

fy(x) = f(x, y) , y ∈ R fijo.

Teorema 7.5. Sea f : R2 → R una funcion m2-medible, es decir:

(x, y) ∈ R2/f(x, y) > c ∈ m2

para todo c ∈ R. Entonces las funciones fx, fy :R → R son medibles.

Demostracion: Sea c ∈ R,

Q = (x, y) ∈ R2/f(x, y) > c ∈ m2

Qx = y ∈ R/(x, y) ∈ Q = y ∈ R/f(x, y) > c

= y ∈ R/fx(y) > c .

Como Q ∈ m2, se tiene que Qx ∈ m, por tanto fx es medible.


Analogamente x ∈ R/fy(x) > c = Qy, Qy ∈ m y por tanto fy es medible.

Teorema 7.6. Si Q ∈ m2, definimos:

ϕ(x) = m(Qx) , ψ(y) = m(Qy) (1)

para cada x ∈ R y cada y ∈ R. Entonces ϕ, ψ : R → R son funciones medibles y∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy (2)

Nota. Cuando x es fijo, χQ(x, y) = χQx(x, y), entonces:

∫

R

χQ(x, y)dy =

∫

R

χQx(y)dy =

∫

Qx

1dy = m(Qx) .

Cuando y es fijo, χQ(x, y) = χQy(x), entonces:

∫

R

χQ(x, y)dx =

∫

R

χQy(x)dx =

∫

Qy

1dx = m(Qy) .

Entonces, la igualdad:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy se escribe como:

∫

R

[∫

R

χQ(x, y)dy

]

dx =

∫

R

[∫

R

χQ(x, y)dx

]

dy .

Demostracion: Denotemos:

Ω =

Q ∈ m2/

ϕ(x) = mQx, ψ(y)mQy

son medibles y:∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy

i) Veamos que Ω tiene las siguientes propiedades:

a) A× B ∈ Ω para cada rectangulo medible.

b) Si Qi ∈ Ω, i ∈ N, Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . . y si Q =

∞⋃

i=1

Qi, entonces Q ∈ Ω.

c) Si Qi ∈ Ω, i ∈ N, Qi ∩Qj = φ para i 6= j y Q =

∞⋃

i=1

Qi, entonces Q ∈ Ω.

d) Supongamos que A,B ∈ m con mA < ∞, mB < ∞. Si Qi ∈ Ω, i ∈ N,

A× B ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . . y Q =∞⋂

i=1

Qi, entonces Q∈Ω.

En efecto:


a) Si Q = A×B es un rectangulo medible, entonces:

Qx =

B , si x ∈ A

φ , si x /∈ A, ⇒ mQx = mBχA(x)

entonces ϕ = mBχA, entonces ϕ es medible.Similarmente, ψ es medible.Ademas:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

mBχA(x)dx = mB

∫

R

χA(x)dx

= m(B)

∫

A

1dx = m(B)m(A) .∫

R

ψ(y)dy =

∫

R

mAχB(y)dy = mA

∫

R

χB(y)dy

= m(A)

∫

B

1dy = m(A)m(B) .

Entonces

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy, si Q = A× B es un rectangulo medi-

ble, entonces A×B ∈ Ω.

b) Definamos ϕi(x) = m[(Qi)x], ψi(y) = m[(Qi)y]; Q1 ⊂ Q2 ⊂ Q3 ⊂ . . .,

entonces (Q1)x ⊂ (Q2)x ⊂ . . . y Q =∞⋃

i=1

Qi. Entonces Qx =∞⋃

i=1

(Qi)x,

entonces mQx = lımn→∞

m(Qi)x, o sea: ϕ(x) = lımn→∞

ϕi(x), con ϕ1(x) ≤ϕ2(x) ≤ ϕ3(x) ≤ . . .. Similarmente: ψ1(y) ≤ ψ2(y) ≤ ψ3(y) ≤ . . . ylımi→∞

ϕi(y) = ψ(y).

Qi ∈ Ω ⇒

ϕi, ψi son medibles y∫

R

ϕi(x)dx =

∫

R

ψi(y)dy ,

luego ϕ, ψ son medibles y el Teorema de la convergencia monotonanos dice:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy , ⇒ Q ∈ Ω .

c) Qi ∈ Ω, Qi ∩ Qj = φ si i 6= j. Sea Bk = Q1 ∪ Q2 ∪ . . . ∪ Qk, (Bk)x =

(Q1)x ∪ (Q2)x ∪ . . . ∪ (Qk)x, union disjunta, m(Bk)x =k∑

i=1

m(Qi)x. Si

gk(x) = m(Bk)x, entonces: gk(x) =k∑

i=1

ϕi(x), entonces gk es medible.


Similarmente, si hk(y) = m(Bk)y, entonces hk(y) =k∑

i=1

ψi(y), entonces

hk es medible.

∫

R

gk(x)dx =k∑

i=1

∫

R

ϕi(x)dx =k∑

i=1

∫

R

ψi(y)dy

=

∫

R

hk(y)dy , ⇒ Bk ∈ Ω .

Como B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ . . ., la parte b) dice que∞⋃

k=1

Bk ∈ Ω, pero

∞⋃

k=1

Bk =

∞⋃

k=1

Qk = Q, entonces Q ∈ Ω.

d)

A× B ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . .

(A× B)x ⊃ (Q1)x ⊃ (Q2)x ⊃ . . .

B ⊃ (Q1)x ⊃ (Q2)x ⊃ . . . , si x ∈ A .

0 ≤ ϕi(x) ≤ ϕ1(x) ≤ m(B) <∞, ϕi(x) = 0 si x /∈ A.Similarmente: 0 ≤ ψi(y) ≤ ψ1(y) ≤ m(A) < ∞, ψi(y) = 0 si y /∈ B.

Q =∞⋂

i=1

Qi , ⇒ Qx =∞⋂

i=1

(Qi)x , Qy =∞⋂

i=1

(Qi)y .

mQx = lımi→∞

m(Qi)x , mQy = lımi→∞

m(Qi)y .

ϕ(x) = lımi→∞

ϕi(x) , ψ(y) = lımi→∞

ψi(y) .

Si x /∈ A, ϕi(x) = 0∀i ∈ N, entonces ϕ(x) = 0.Si y /∈ B, ϕi(y) = 0∀i ∈ N, entonces ψ(y) = 0.

Entonces

∫

R

ϕi(x)dx =

∫

A

ϕi(x)dx, y,

∫

R

ϕi(y)dy =

∫

B

ψi(y)dy, i ∈ N.

Como ϕ1, ψ1 son funciones medibles y acotadas, ϕ1 y ψ1 son integra-bles en A y en B respectivamente, luego ϕ1 y ψ1 son integables en R.Como:

∫

R

ϕi(x)dx =

∫

R

ψi(y)dy .

usando el Teorema de la convergencia dominada se tiene:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy , ⇒ Q ∈ Ω .


Para Q ∈ m2, definamos: Qmn = Q ∩ (Xn × Ym), m, n ∈ N, donde

Xn = (−n,−n+ 1] ∪ [n− 1, n) .

Ym = (−m,−m+ 1] ∪ [m− 1, m) .

Sea n =

Q ∈ m2/Qmn ∈ Ω para∀m ∈ N y ∀n ∈ N

. Usando las propiedades b)

y d) veremos que η es una monotona:

i) Sea Qi ∈ n, Q1 ⊂ Q2 ⊂ Q3 ⊂ . . ., y Q =∞⋃

i=1

Qi; (Q1)mn ⊂ (Q1)mn ⊂

. . ., Q ∩ (Xn × Ym) =∞⋃

i=1

(Qi ∩ (Xn × Ym)). Qmn =∞⋃

i=1

(Qi)mn.

Como (Qi)mn ∈ Ω, la propiedad b) dice que∞⋃

i=1

(Qi)mn ∈ Ω, enton-

ces Qmn ∈ Ω, entonces Q ∈ n.

ii) Si Qi ∈ n, Q1 ⊃ Q2 ⊃ Q3 ⊃ . . ., y Q =

∞⋂

i=1

Qi; (Q1)mn ⊃ (Q2)mn ⊃

. . ., (Q1)mn = Q1∩ (Xn×Ym) ⊂ Xn×Ym. m(Xn) <∞, m(Ym) <∞.

Qmn =∞⋂

i=1

(Qi)mn; (Qi)mn ∈ Ω, aplicando la propiedad d) se tiene:

∞⋂

i=1

(Qi)mn ∈ Ω, o sea:

Qmn ∈ Ω para todo m ∈ N, y todo n ∈ N, entonces Q ∈ n.Lo cual prueba que n es una clase monotona.Si A×B es un rectangulo medible, entonces (A×B) ∩ (Xn × Ym)es un rectangulo medible, por la propiedad a) se tiene: (A × B) ∩(Xn×Ym) ∈ Ω para todom ∈ N y todo n ∈ N, entoncesA×B ∈ n.

Si Q ∈ ε, Q =k⋃

i=1

Ri es union finita de rectangulos medible y

disjuntos, entonces:

Qmn = Q ∩ (Xn × Ym) =

k⋃

i=1

(Ri ∩ (Xn × Ym)) ,

union finita de rectangulos medibles. Usando la demostracion dela propiedad c) se tiene: Qmn ∈ Ω para todo m, n,∈ N, entonces

Q ∈ n, entonces ε ⊂ n. Pero m2

es la menor clase monotonatal que ε ⊂ m

2, entonces m

2 ⊂ n. Pero n ⊂ m2, por tanto

m2= n.


Ahora, tomemos Q ∈ m2, entonces Q ∈ n, entonces Qmn ∈ Ω,

∀m, n ∈ N. Qmn = Q ∩ (Xn × Ym).

Q =∞⋃

i=1

Qmn es union de conjuntos disjuntos. Por la propiedad

c) se tiene que Q ∈ Ω, lo cual signifca que las funciones: ϕ(x) =m(Qx), ψ(y) = m(Qy) son medibles y:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy .

Definicion 3. Si Q ∈ m2, definimos

m2(Q) =

∫

R

m(Qx)dx =

∫

R

m(Qy)dy .

Si Qi ∈ m2, i ∈ N, Qi ∩ Qj = φ para i 6= j y Q =

∞⋃

i=1

Qi, entonces Qx =∞⋃

i=1

(Qi)x,

union disjunta, luego:

m(Qx) =

∞∑

i=1

m(Qi)x .

∫

R

m(Qx)dx =∞∑

i=1

∫

R

m(Qi)xdx ,

o sea: m2(Q) =

∞∑

i=1

m2(Qi), por tanto m2 es una medida σ-aditiva en m2.

7.2. Teorema de Fubini.

Teorema 7.7 (Fubini). Sea f : R → R una funcion m2-medible.

a) Si 0 ≤ f(x) ≤ +∞ y si:

ϕ(x) =

∫

R

fx(y)dy , ψ(y) =

∫

R

fy(x)dx (1)

entonces ϕ, ψ : R → R son funciones medibles y:∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

f(x, y)dm2 =

∫

R

ψ(y)dy . (2)

(escribiremos dm2 = d(x, y) = da)

7.2. TEOREMA DE FUBINI. 137

b) Si

ϕ∗(x) =

∫

R

|f |x(y)dy y

∫

R

ϕ∗(x)dx <∞ , (3)

entonces f ∈ L1(R2, m2), es decir:∫

R2

|f(x, y)|da <∞ .

c) Si f ∈ L1(R2, m2), entonces: fx ∈ L1(R, m) para casi todo x ∈ R, fy ∈ L1(R, m)para casi todo y ∈ R.

Las funciones ϕ, ψ definidas en (1) a.e. en R, estan en L1(R, m) y:∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

f(x, y)da =

∫

R

ψ(y)dy .

Notas:

1.∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

[∫

R

fx(y)dy

]

dx =

∫

R

[∫

R

f(x, y)dy

]

dx

∫

R

ψ(y)dy =

∫

R

[∫

R

fy(x)dx

]

dy =

∫

R

[∫

R

f(x, y)dx

]

dy ,

Las integrales:

∫

R

[∫

R

f(x, y)dy

]

dx ,

∫

R

[∫

R

f(x, y)dx

]

dy ,

se llaman integrales iteradas de f , entonces la formula en (2) puede escribirsecomo:

∫

R

[∫

R

f(x, y)dy

]

dx =

∫

R

[∫

R

f(x, y)dx

]

dy .

=

∫

R2

f(x, y)da .

(4)

La integral

∫

R2

f(x, y)da se llama una integral doble.

2. Si f : R2 → R esm2-medible y si

∫

R

[∫

R

f(x, y)dy

]

dx <∞, o sea si

∫

R

ϕ∗(x)dx <

∞, entonces por b) se tiene que f ∈ L1(R2, m2), y ahora c) dice que las integra-les en (4) son finitas e iguales. En consecuencia, el orden de integracion puedeintercambiarse para cualquier funcion medible f : R2 → R tal que:


α 0 ≤ f(x) ≤ +∞, o

β Cuando una de las integrales iteradas de |f | es finita.

Demostracion: a) Como fx, fy : R → R son funciones medibles y no-negativas,estan definidas:

ϕ(x) =

∫

R

fx(y)dy y ψ(y) =

∫

R

fy(x)dx

en [0,+∞].

Supongamos que Q ∈ m2

y que f = χQ, entonces:

ϕ(x) =

∫

R

(χQ)x(y)dy =

∫

R

χQx(y)dy = mQx .

ψ(y) =

∫

R

(χQ)y(x)dx =

∫

R

χQy(x)dx = mQy .

Por el teorema 7.5, ϕ, ψ son funciones medibles y:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy.

Como∫

R2

f(x, y)da =

∫

R2

χQ(x, y)da−m2(Q) =

∫

R

m(Qx)dx =

∫

R

ϕ(x)dx ,

se tiene:∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

f(x, y)da =

∫

R

ψ(y)dy ,

y se cumple a) para funciones caracterısticas f = χQ con Q ∈ m2.

Si s =m∑

i=1

ciχQi≥ 0, Qi ∈ m

2es una funcion simple, definimos:

ϕi(x) =

∫

R

χ(Qi)x(y)dy , ϕi(y) =

∫

R

χ(Qi)y(x)dx .

Como sx =m∑

i=1

ciχ(Qi)x , sy =m∑

i=1

ciχ(Qi)y se tiene:

ϕ(x) =

∫

R

sx(y)dy =m∑

i=1

ci

∫

R

χ(Qi)x(y)dy

=

m∑

i=1

ciϕi(x) ,


entonces ϕ es medible, analogamente, ψ(y) =m∑

i=1

ciψi(y), entonces ψ es una

funcion medible.∫

R

ϕ(x)dx =m∑

i=1

ci

∫

R

ϕi(x)dx

=m∑

i=1

ci

∫

R

ψi(y)dy =

∫

R

ψ(y)dy .

Entonces

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R

ψ(y)dy.

Por otra parte:∫

R2

s(x, y)da =m∑

i=1

ci

∫

R2

χQi(x, y)da

=m∑

i=1

ci

∫

R

ϕi(x)dx =

∫

R

ϕ(x)dx .

Luego:

∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

s(x, y)da =

∫

R

ψ(y)dy, para toda funcion simple

s ≥ 0.

Si f : R2 → R es una funcion medible, 0 ≤ f ≤ +∞, entonces existe unasucesion (sn) de funciones simples tal que 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ . . . y lım

n→∞s(x, y) =

f(x, y).

Si

ϕn(x) =

∫

R

(sn)x(y)dy , ψn(y) =

∫

R

(sn)y(x)dx .

ϕ(x) =

∫

R

fx(y)dy , ψ(y) =

∫

R

fy(x)dx .

Como 0 ≤ (s1)x ≤ (s2)x ≤ . . ., 0 ≤ (s1)y ≤ (s2)y ≤ . . . se tiene:

0 ≤∫

R

(s1)x(y)dy ≤∫

R

(s2)x(y)dy ≤ . . .

⇒ 0 ≤ ϕ1(x) ≤ ϕ2(x) ≤ ϕ3(x) ≤ . . .

0 ≤∫

R

(s1)y(x)dx ≤∫

R

(s2)y(x)dx ≤ . . .

⇒ 0 ≤ ψ1(y) ≤ ψ2(y) ≤ ψ3(y) ≤ . . .

lımn→∞

(sn)x(y) = lımn→∞

sn(x, y) = f(x, y) = fx(y) .

lımn→∞

(sn)y(x) = lımn→∞

sn(x, y) = f(x, y) = fy(x) .


Usando el teorema de la convergencia se tiene:

ϕ(x) =

∫

R

fx(y)dy = lımn→∞

∫

R

(sn)x(y)dy = lımn→∞

ϕn(x)

ψ(y) =

∫

R

fy(x)dx = lımn→∞

∫

R

(sn)y(x)dx = lımn→∞

ψn(y) .

Como

∫

R

ϕn(x)dx =

∫

R

sn(x, y)da =

∫

R

ψn(y)dy, usando el Teorema de la

convergencia monotona de nuevo se tiene:∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

f(x, y)da =

∫

R

ψ(y)dy ,

para toda funcion medible f : R → [0,∞], lo cual prueba a).

b) Sea f : R2 → R una funcion medible, |f | es medible y 0 ≤ |f | ≤ +∞.Estamos en al situacion de a), luego si

ϕ∗(x) =

∫

R

|f |x(y)dy , ψ∗(y) =

∫

R

|f |y(x)dx ,

se tiene que ϕ∗, ψ∗ son medibles y∫

R

ϕ∗(x)dx =

∫

R2

|f |(x, y)da =∫

R

ψ∗(y)dy .

Por tanto si

∫

R

ϕ∗(x)dx < ∞, se tiene que

∫

R2

|f |(x, y)da < +∞ o sea: f ∈L1(R2, m2), lo cua prueba b).

c) Sea f : R2 → R uan funcion medible tal que

∫

R2

|f |(x, y)da < +∞. Sean:

ϕ1(x) =

∫

R

(f+)x(y)dy , ϕ2(x) =

∫

R

(f−)x(y)dy .

|f | = f+ + f−, entonces 0 ≤ f+ ≤ |f |, 0 ≤ f− ≤ |f |. Usando a) se tiene:

0 ≤∫

R

ϕ1(x)dx =

∫

R2

f+(x, y)da ≤∫

R2

|f |(x, y)da < ∞

entonces ϕ1 ∈ L1(R, m). Similarmente ϕ2 ∈ L1(R, m). Entonces ϕ1 y ϕ2 sonfinitos a.e. en R.

Como fx = (f+)x − (f−)x, se tiene:∫

R

fx(y)dy =

∫

R

(f+)x(y)dy −∫

R

(f−)x(y)dy

= ϕ1(x)− ϕ2(x) .


Entonces fx ∈ L1(R, m) para casi todo x ∈ R.

Sea A = x ∈ R/

∫

R

fx(y)dy <∞, m(RA) = 0. Si x ∈ A, entonces:

ϕ(x) =

∫

R

fx(y)dy = ϕ1(x)− ϕ2(x) ,

ϕ(x) = ϕ1(x)− ϕ2(x) a.e. en R. Entonces ϕ ∈ L1(R, m). Usando a) de nuevose tiene:

∫

R

ϕ1(x)dx =

∫

R2

f+(x, y)da <∞ ,∫

R

ϕ2(x)dx =

∫

R2

f−(x, y)da <∞ .

⇒∫

R

(ϕ1(x)− ϕ2(x)) =

∫

R2

(f+(x, y)− f−(x, y))da .

⇒∫

R

ϕ(x)dx =

∫

R2

f(x, y)da .

Analogamente fy ∈ L1(R, m) para casi todo y ∈ R. Si ψ(y) =

∫

R

fy(x)dx

entonces ψ ∈ L1(R, m) y:

∫

R

ψ(y)dy =

∫

R2

f(x, y)da .

Indice alfabetico

SymbolsAlgebra generada, 10

Aa.e., 51Axioma de eleccion, 2

BBorel, 56

CCasi en todas partes., 51Clase de equivalencia, 7Conjunto

Fσ, 11Gδ, 11algebra de, 9σ-algebra de , 10anillo de, 8Borel, 11contable, 4elemental, 14equipotentes, 4finito, 1numerable, 1, 3particion, 7

Converge en medida, 51Convergencia

acotada, 71dominada, 79monotona, 74

DDerivada

a derecha, 106a izquierda, 106derecha inferior, 90derecha superior, 90izquierda inferior, 90izquierda superior, 90

Derivadas de Dini, 90Desigualdad

de Minkowski, 113Holder, 113Jensen, 107triangular, 111

EEspacio

completo, 115normado, 111

FFuncion

caracterıstica, 45escalonada, 45simple, 45

Funcionabsolutamente continua, 102convexa, 105creciente, 89estrıctamente creciente, 89

142

INDICE ALFABETICO 143

IIntegrable, 75, 76Integral de Lebesgue, 68

LLema de Fatou, 73

MMedida de Lebesgue, 26

NN.N.Luzin, 58Numero algebraico, 6

PPrincio del mınimo entero, 1

RRecta soporte, 107Relacion

compuesta, 6de equivalencia, 7entre elementos, 6indentidad, 6inversa, 6

SSchroeder-Berstein, 4Serie

absolutamente convergente, 115sumable, 115

Sucesion doble, 26

VVariacion

acotada, 96negativa, 96positiva, 96total, 96

Vitali, 85cubrimiento en el sentido de, 85

Education

Teoría de la Medida