Teoría, Prácticas y Exámenes de Control Inteligente

Introducción al Control Inteligente

Control Avanzado de Sistemas Departamento de IngenieríaDivisión de Ingeniería de Sistemas y Automática


1. Motivación

2. Definiciones

3. Características

4. Técnicas de Control Inteligente



Sistemas de control supervisor• Tareas de un sistema de control clásico

– Captura de datos (sensores)

– Cálculo de actuaciones (reguladores)

– Acciones de control (actuadores)

REGULADOR ACTUADOR PROCESO

SENSORES

1. Motivación



• Control de procesos complejos– Mal comportamiento frente a reguladores clásicos (sistemas mal

definidos)

– Necesidad de aumentar la seguridad de funcionamiento (ej: reactores nucleares)

• Es necesario que el operador se introduzca dentro del sistema decontrol, en forma de bucle de control superpuesto al control convencional: este control se denomina control supervisor

OPERADOR

INTERFAZDE

OPERADOR

REGULADOR ACTUADOR PROCESO

SENSORES

1. Motivación



• En control supervisor aparecen dos nuevas tareas:– Presentación de datos al operador

– Interpretación de órdenes del operador

• La característica fundamental de este tipo de control es que incluye un elemento no modelable (al menos de forma simple): el operador

• Funciones del operador– Tratamiento de emergencias– Fijar referencias (planificación)– Selección sistema y parámetros de control (consignas de los bucles de

control)– Diagnóstico y tratamiento de averías en tiempo real

1. Motivación



Supervisión en control

Operación

Supervisión

ProcesoActuador

Sensores

ReguladorProcesoActuador

Sensores

ReguladorProcesoActuador

Sensores

Regulador

1. Motivación

• ¿Es posible reemplazar al operador humano por un sistema artificial que presente una funcionalidad equivalente?



Características de la supervisión humana

• Desventajas– Falta de uniformidad en la

actuación

– Sobrecarga informativa en caso de emergencias

– Errores humanos

– Cansancio

• Desventajas– Falta de uniformidad en la

actuación

– Sobrecarga informativa en caso de emergencias

– Errores humanos

– Cansancio

• Ventajas– Determinación de acciones

correctas en condiciones de información incompleta

– Capacidad de aprendizaje

– Sentido común

• Ventajas– Determinación de acciones

correctas en condiciones de información incompleta

– Capacidad de aprendizaje

– Sentido común

Asistencia al operadorEliminación/reducción de tareas

Asistencia al operadorEliminación/reducción de tareas Control InteligenteControl Inteligente

Necesidad de emular comportamientos que tradicionalmente se asocian a la inteligencia

1. Motivación



Control directo• Utilización de técnicas de control inteligente como regulador en

serie con el proceso.

• Ventajas:– Posibilidad de implementar funciones complejas

• Problema:– Reguladores complejos.

• Utilización:– Procesos con dinámica lenta que no exijan un tiempo de respuesta muy

pequeño

– Redes neuronales: basadas en modelos aproximados del sistema neurológico animal

– Reguladores borrosos

1. Motivación



Definición del control inteligente• Control convencional: Teorías y métodos que se basan en la

descripción por ecuaciones diferenciales o en diferencias.• Control inteligente:

– Sistema que tiene la habilidad para actuar de forma apropiada en un entorno incierto

– Inteligencia=Proceso de análisis, organización y conversión de datos en información estructurada (conocimiento)

– Sustitución a la mente humana en la toma de decisiones, planificación y aprendizaje.

– Utiliza de forma combinada técnicas de Inteligencia Artificial, Investigación Operativa y Control.

– Capacidad del sistema de asemejar el comportamiento de alguno de sus elementos a alguna de las cualidades cognoscitivas del comportamiento humano, como el aprendizaje, el razonamiento simbólico, la planificación o la adaptación a un medio cambiante.

2. Definiciones



Características de los sistemas de control inteligente

• Nacen de la interacción directa con el proceso que evoluciona enel tiempo: Sistema de tiempo real. Tiempo de respuesta garantizado– Operación continua

– Gestión de eventos asíncronos

– Razonamiento temporal

– Razonamiento no monotónico

– Razonamiento con incertidumbre y datos incompletos

– Eficiencia computacional

– Interfaz con otros componentes: Acceso a datos de E/S, acceso a bases de datos, interfaz de usuario, etc.

3. Características



Técnicas de control inteligente

• Sistemas expertos en tiempo real– Sistemas de control basados en reglas

– Control basado en modelos

– Diagnóstico de fallos

– Planificación

• Control borroso o difuso (fuzzy control)

• Control con redes neuronales

• Técnicas de optimización no convencionales– Algoritmos genéticos

• Aprendizaje




Aplicaciones de los sistemas expertos

• Enseñanza asistida: aprendizaje de la operación de un proceso

• Control de proceso: directo o supervisor (principalmente)

• Ejecución de planes de emergencia, mantenimiento o seguridad

• Asistencia a la toma de decisiones

• Detección de averías

• Control de calidad

• Industrias– Plantas nucleares

– Plantas petrolíferas e industrias químicas

– Plantas de fermentación

– Análisis de sensores




Control difuso (fuzzy control)• Modelado de conceptos ambiguos o que no están bien definidos• Pretende incorporar la experiencia del operador.• Tipo especial de sistema basado en el conocimiento.• Utilización de lógica específica.• Multitud de aplicaciones

– Control de hornos de cemento– Control de procesos de depuración de aguas– Control de tráfico– Conducción automática de trenes– Productos domésticos: aire acondicionado, lavadoras, cámaras de video,

cámaras fotográficas, etc.




Control con redes neuronales

• Inspirado en redes biológicas.

• Aprendizaje implícito

• Ajuste de los parámetros para minimizar una cierta función de coste

• Utilizadas inicialmente para modelos experimentales

• Utilización de topologías específicas de control




Técnicas de optimización no convencionales. Ejemplo: Algoritmos Genéticos

• Algoritmos de optimización estocásticos sin información de la derivada de la función a minimizar/maximizar.

• Conceptos– Cromosoma: codificación de un punto en el espacio de parámetros de la

función a optimizar.

– Función de adecuación (fitness) valor asociado a cada cromosoma. Se obtiene a partir de la función a optimizar.

– Población: conjunto de cromosomas que evoluciona para conseguir un valor de adecuación mejor.

– En cada generación se se construye una nueva población a partir de la anterior utilizando los operadores genéticos.

P1 P2 P3 P4 P5 P6


Práctica 1: Diseño de

reguladores difusos

ALUMNO: MARTÍNEZ VERDÚ, Jaime ASIGNATURA: CAV GRUPO: Martes de 12:30 a 14:30 Fecha límite: 23 de Junio de 2.006 INGENIERÍA INDUSTRIAL CURSO: 4º

CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS CONTROL INTELIGENTE

Jaime Martínez Verdú 1-4

EJERCICIO 1 APARTADO 1

EMPLEANDO LOS VALORES INICIALES O DE PARTIDA

USANDO COMO FUNCIÓN DE IMPLICACIÓN MÍNIMO PASAMOS A USAR PRODUCTO





USANDO COMO MÉTODO DE AGREGACIÓN MÁXIMO PASAMOS A USAR SUMA





USANDO EL CENTRO DE LAS ÁREAS PASAMOS A USAR LA MEDIA PONDERADA





CAMBIAMOS UN REGLA O DOS REGLAS





CAMBIAMOS UNA FUNCIÓN DE PERTENENCIA







CAMBIAMOS SOLAPAMIENTO







CAMBIAMOS DISTRIBUCIÓN







CAMBIAMOS ÁREAS RELATIVAS







INCREMENTAMOS CONJUNTOS





1. Utilización de las funciones mínimo y producto como funciones de implicación.

Tal y como puede verificarse comparando las dos gráficas de Transformación

del espacio de entrada en el de salida, no aparece ningún indicio de cambio entre ambas

por lo que podemos afirmas que variar el tipo de función de implicación de mínimo a

producto, no existen alteraciones en la función de Transformación del espacio de

entrada en el de salida.

Por otro lado, con respecto a las gráficas de las reglas, como podemos ver

claramente: existen cambios. Esto es debido a que la función producto no selecciona el

mínimo manteniendo la línea constante si no que la línea presenta cierta pendiente

proporcional a la de la regla.

2. Utilización de las funciones máximo y suma como métodos de agregación.

Al igual que en caso anterior, donde lo que modificábamos era la función de

implicación, no se pueden observar a simple vista variaciones al haber cambiado el

método de agregación de máximo a suma.

No obstante, si podemos observar grandes cambios en la respuesta de las reglas.

Esto es debido que en método de agregación por máximo, resulta una función que es el

máximo de las tres gráficas (por ello, si observamos la gráfica de izquierda a derecha,

tenemos que es justamente la de la segunda gráfica has que pasa a ser la tercera y pasa a

ser cero). La diferencia radica en que en lugar de ser el máximo de las tres gráficas, la

suma es justo la suma de las tres áreas y por ello, se diferencia en el pico al sumar la

gráfica 2 con la 3.

3. Comparación de los resultados utilizando el centro de las áreas o la media

ponderada de los centros como mecanismo de desdifusificación.

En este caso, y al contrario de los casos contrarios, si se ve modificada el valor

de la función de Transformación del espacio de entrada en el de salida. Esto puede ser

debido a que la media ponderada es más restrictiva provocando una “surface” más

aguda que la anterior pues sigue conservándose la forma inicial aunque con valores más

altos. El 6,5 pasa a ser un 7 y el 1,5 pasa a ser 1.

La variación, para el resto de gráficas, al priori no parece haber modificado

mucho su valor aunque y = 4 en vez de y = 3.32.

4. Modificación de una o varias reglas.

Tal y como podemos observar en las gráficas, la función Transformación del

espacio de entradas en el de salida se ve modificado y, de hecho, tal y como podemos

observar e ve agudamente alterado.

Obviamente, si modificamos una de las reglas, los conjuntos de salida se ven

modificados aunque no he creído necesario exponer una gráfica, se supone que es bien

sabido tal comportamiento de las salidas.



5. Modificación de funciones de pertenencia: trapezoizal o triangular (hay que

mantener el grado de superposición).

Con respecto al comportamiento de las reglas, damos por hecho que es conocido

que, obviamente, se producen cambio en las gráficas de las reglas por lo que hemos

decidido no mostrarlas por parecernos más interesante las variaciones producidas en las

distintas gráficas de “surface”.

Nos fijaremos en la evolución que sufre la forma de la gráfica a medida que

vamos cambiando gradualmente la forma de los conjuntos borrosos pasando de

conjuntos borrosos con forma trapezoidal a los conjuntos de forma triangular. Si

cambiamos todos los conjuntos a triangulares y, en concreto, los dos conjuntos de los

extremos los cambiamos a triangulares con el extremo más alejado hasta 20, nos

encontramos en una situación similar a la inicial por lo que la gráfica no se ve

demasiado alterada. Si vamos cambiando la base de los triángulos extremos haciéndola

cada vez más pequeña, alejándonos del caso inicial, tenemos que se va alterando la

forma de la gráfica llegando a una situación completamente distinta.

En realidad, si cambiamos los valores del grupo Grande no se producirán apenas

alteraciones, pues se darán lugar a alteraciones gracias a los cambios en el conjunto

borroso Pequeño.

6. Modificación del solapamiento.

Al igual que en el apartado anterior, no creemos necesario mostrar las gráficas

de las “rules” puesto que se da por hecho modificaciones pues los propios conjuntos

cambian.

Es interesante fijarse en los cambios sufridos por la “surface” puesto que al

variar el solapamiento se observa un cambio en la gráfica puesto que la gráfica se

compone por varios tramos rectos más. Volviendo a cambiar por conjuntos más

solapados, se incrementan aún más la cantidad de segmentos rectos que conforman la

gráfica.

7. Modificación de la distribución de las funciones de entrada y salida.

Para el análisis de esta situación donde se van modificadas las distribuciones,

hemos intentado mantener las formas cambiando las distribuciones existentes por

gaussianas y sigmoides dando lugar a funciones parecidas pero como si estuvieran

redondeadas.

Obviamente, se producen cambios en las respuestas de las reglas dando lugar a

funciones redondeadas.

Al modificarse las funciones de pertenencia se producen cambios también en la

Transformación del espacio de entradas en el de salida.



8. Modificación de las áreas relativas entre los conjuntos difusos de la variable de

salida.

Para modificar las áreas relativas, lo que hacemos es ir haciendo cada vez más

grande el área del conjunto Medio mientras, manteniendo el solapamiento, disminuimos

el área de los conjuntos extremos.

Obviamente, se cambian las gráficas de las reglas puesto hemos modificado los

conjuntos cambiando el valor y de 3.31 a 3.71 y a 3.91.

Por otro lado, a medida que vamos modificando los valores del las áreas, se va

alterando la forma de las gráfica “surface” puesto que va aumentando el número de

segmentos que forman la gráfica y va agudizando el valor del pinto inferior.

9. Incrementar el número de conjuntos.

La forma de la gráfica “surface” más o menos se mantiene aunque con ligeras

variaciones.



2.1. Desarrollo teórico: Ejercicio 2.

En este ejercicio, emplearemos la teoría desarrollada en clases de teoría para el

control y regulación, empleando un control difuso, un depósito cuya sección va creciendo

con la altura. Las ecuaciones del modelo son:

)(

)()(

)(2

0

tukQ

QQt

thkhA

tghkQ

EE

SE

SS

Donde cada uno de los parámetros que aparecen en las ecuaciones mostradas

anteriormente viene definidos a continuación:

Qs y Qe son los caudales de salida y entrada, respectivamente.

h(t) es la altura del depósito.

A0 es el área de la base.

k es la inclinación de la pared del depósito con respecto a la

vertical.

u(t) es la señal de actuación (válvula).

ke y ks son las constantes de carga y descarga de las válvulas de

entrada y salida, respectivamente.

En la figura siguiente aparece un esquema del depósito:



Tal y como podemos comprobar en el dibujo anterior, podemos tomar como

entradas:

La diferencia entre la referencia y el nivel de líquido en el depósito (el error).

La propia referencia.

Tal y como viene expresado en el enunciado de la práctica: “Para evitar problemas

en la simulación, es conveniente limitar las entradas del regulador a los valores que se

hayan definido como dominio de las variables de entrada. Definiremos el dominio [-1, 1]

para el error, y [0, 3] para la referencia. El dominio de la variable de control u será [0, 1].

Supondremos que la implementación real del regulador se realizará en un computador, por

tanto es necesario introducir un retenedor con un periodo de, por ejemplo, 0.5 segundos.

También será necesario introducir un multiplexor para combinar las dos variables de

entrada al regulador…”. Para la realización de la práctica emplearemos entre otros, el

siguiente esquema en Simulink:

A continuación realizaremos el ejercicio de la práctica que consiste en desarrollar e

implementar un sistema difuso que permita controlar el nivel deseado del depósito.

Diseño del Regulador de Mamdani I: OBTENCIÓN DE CONJUNTOS DE ENTRADAS DE REF.

Hemos decidido emplear como cantidad conjuntos borrosos para la entrada de

referencia un total de once conjuntos que notaremos con número del 0 al 10. A

continuación mostramos el grupo de conjuntos empleados en la herramienta fuzzy de

MalLab® y que da lugar a nuestro grupo de conjuntos de entrada para la señal de referencia:



A continuación, mostramos los valores de las entradas introducidas:

[Input1]

Name='ref'

Range=[0 3]

NumMFs=11

MF1='0':'trimf',[0.0 0.0 0.3]

MF2='1':'trimf',[0.0 0.3 0.6]

MF3='2':'trimf',[0.3 0.6 0.9]

MF4='3':'trimf',[0.6 0.9 1.2]

MF5='4':'trimf',[0.9 1.2 1.5]

MF6='5':'trimf',[1.2 1.5 1.8]

MF7='6':'trimf',[1.5 1.8 2.1]

MF8='7':'trimf',[1.8 2.1 2.4]

MF9='8':'trimf',[2.1 2.4 2.7]

MF10='9':'trimf',[2.4 2.7 3.0]

MF11='10':'trimf',[2.7 3.0 3.0]

Diseño del Regulador de Mamdani II: OBTENCIÓN DE CONJUNTOS DE ENTRADAS DE ERR.

Hemos decidido emplear como cantidad conjuntos borrosos para la entrada de error

un total de tres conjuntos que notaremos con número del 0 al 2. Estos conjuntos, han sido

obtenidos de modo intuitivo a fin de acelerar la respuesta del sistema cuando el error toma

valores extremos de -1 y 1. A continuación mostramos el grupo de conjuntos empleados en

la herramienta fuzzy de MalLab® y que da lugar a nuestro grupo de conjuntos de entrada

para la señal de diferencia entre la referencia y el nivel de líquido en el depósito:

De igual modo, mostramos a continuación los valores correspondientes:

[Input2]

Name='err'

Range=[-1 1]

NumMFs=3

MF1='0':'trapmf',[ 1.00 1.00 0.75 0.25]

MF2='1':'trimf',[ 0.50 0.00 +0.50]

MF3='2':'trapmf',[+0.25 +0.75 +1.00 +1.00]



Diseño del Regulador de Mamdani III: OBTENCIÓN DE CONJUNTOS DE SALIDAS.

Para obtener las salidas, emplearemos un diagrama de Simulink diseñado por

nosotros mismos y que tiene la siguiente forma:

Mediante este diagrama realizamos, iterativamente, la medición de la señal de

control necesaria para llevar el sistema a cada valor de los centros de las distribuciones de

los conjuntos borrosos de entradas de referencia. Realizando el proceso iterativo,

obtenemos los siguientes valores:

Step Salida

0.000 0.000

0.300 0.303

0.600 0.429

0.900 0.525

1.200 0.606

1.500 0.677

1.800 0.743

2.100 0.802

2.400 0.857

2.700 0.909

3.000 1.000

A continuación, mostramos como quedarían dispuestos los once grupos de salidas,

correspondientes a cada grupo de entrada, en la siguiente figura (observamos como ninguna

puede tener área infinita):

[Output1]

Name='output1'

Range=[0 1]

NumMFs=10

MF1='0':'trimf',[0 0 0.1]

MF2='1':'trimf',[0.203 0.303 0.403]

MF3='2':'trimf',[0.329 0.429 0.529]

MF4='3':'trimf',[0.425 0.525 0.625]

MF5='4':'trimf',[0.506 0.606 0.706]

MF6='5':'trimf',[0.577 0.677 0.777]

MF7='6':'trimf',[0.643 0.743 0.843]

MF8='7':'trimf',[0.702 0.802 0.902]

MF9='8':'trimf',[0.757 0.857 0.957]

MF10='9':'trimf',[0.809 0.909 0.999]

MF11='10':'trimf',[0.877 1 1]



Una vez obtenidos todos y cada una de los conjuntos borrosos necesarios para la

simulación del sistema, se construye el archivo .fis con ayuda de fuzzy toolbox. El fichero

quedaría de la siguiente manera, aplicamos estas dos al regulador:



El fichero contiene los siguientes códigos implementados:

[System] Name='insertcoin'

Type='mamdani'

Version=2.0 NumInputs=2

NumOutputs=1

NumRules=13 AndMethod='min'

OrMethod='max'

ImpMethod='min' AggMethod='max'

DefuzzMethod='mom'

[Input1]

Name='ref'

Range=[0 3]

NumMFs=11

MF1='0':'trimf',[0 0 0.3]

MF2='1':'trimf',[0 0.3 0.6] MF3='2':'trimf',[0.3 0.6 0.9]

MF4='3':'trimf',[0.6 0.9 1.2]

MF5='4':'trimf',[0.9 1.2 1.5] MF6='5':'trimf',[1.2 1.5 1.8]

MF7='6':'trimf',[1.5 1.8 2.1]

MF8='7':'trimf',[1.8 2.1 2.4] MF9='8':'trimf',[2.1 2.4 2.7]

MF10='9':'trimf',[2.4 2.7 3]

MF11='10':'trimf',[2.7 3 3]

[Input2]

Name='err' Range=[-1 1]

NumMFs=3

MF1='0':'trapmf',[-1 -1 -0.75 -0.25]

MF2='1':'trimf',[-0.5 0 0.5]

MF3='2':'trapmf',[0.25 0.75 1 1]

[Output1]

Name='u'

Range=[0 1] NumMFs=11

MF1='0':'trimf',[0 0 0.1]

MF2='1':'trimf',[0.203 0.303 0.403] MF3='2':'trimf',[0.329 0.429 0.529]

MF4='3':'trimf',[0.425 0.525 0.625]

MF5='4':'trimf',[0.506 0.606 0.706] MF6='5':'trimf',[0.577 0.677 0.777]

MF7='6':'trimf',[0.643 0.743 0.843]

MF8='7':'trimf',[0.702 0.802 0.902] MF9='8':'trimf',[0.757 0.857 0.957]

MF10='9':'trimf',[0.809 0.909 0.999] MF11='10':'trimf',[0.877 1 1]

[Rules] 1 0, 1 (1) : 1

2 0, 2 (1) : 1

3 0, 3 (1) : 1 4 0, 4 (1) : 1

5 0, 5 (1) : 1

6 0, 6 (1) : 1 7 0, 7 (1) : 1

8 0, 8 (1) : 1

9 0, 9 (1) : 1 10 0, 10 (1) : 1

11 0, 11 (1) : 1

0 1, 1 (1) : 1 0 3, 11 (1) : 1



Las reglas que hemos definido, aplicadas de modo que quede bien y totalmente

definido el comportamiento de la salida del sistema borroso, son las siguientes:

If (ref is 0) then (u is 0) (1)











If (err is 0) then (u is 0) (1)

If (err is 2) then (u is 10) (1)

Con todo lo realizado hemos conseguido definir un conjunto borroso para cada tipo

de señal que existe antes y después del controlador borroso.

Sólo los conjuntos relacionados con la señal de error han sido obtenidos de forma

intuitiva realmente puesto que para obtenerlos hemos tenido que pensar en el

comportamiento del error y de la ganancia inverso, es decir, cuando el error sea -1 la

ganancia será máxima, y cuando sea -1 la ganancia de salida será mínima.

Cuando quede completamente definido el regulador dentro del entorno gráfico de la

herramienta fuzzy estaremos en condiciones de simular el sistema con una señal de entrada

con forma de pulso y un período de 40 segundos.



A continuación, mostraremos algunas gráficas resultantes de nuestra búsqueda para

la obtención del regulador mejor que hemos encontrado iterando empleando el método de

prueba y error. Desde el comienzo del diseño de nuestro regulador en el que poníamos las

reglas “al azar“ donde obteníamos resultados tan variopintos:

A otros valores más ordenados de las reglas (como hemos definido enteriormente)

aunque con un método de desefusizador por el de bisector o lom:



Hasta que finalmente diseñamos el regulador tal y como mostramos al inicio

obteniendo el mejor resultado que hemos conseguido:

División de Ingeniería de Sistemas y Automática

Departamento de Ingeniería

Control Avanzado de Sistemas – Ingeniería Industrial – febrero 2001

Página 1 de 2

T1. Explicar las diferencias entre un regulador de Mamdani y uno de Sugeno. ¿En qué

situaciones es útil un regulador de Sugeno? (2 puntos)

T2. Explicar cómo puede diseñarse un sintonizador automático de las ganancias de un

PID en tiempo real usando un regulador difuso. (2 puntos)

P1. Consideremos dos reguladores de Mamdani, con las siguientes características:

(1) Regulador A: producto algebraico para todas las t-normas, fusificador tipo singleton, agregación por máximo e implicación del producto.

(2) Regulador B: función mínimo para todas las t-normas, fusificador tipo

singleton, agregación por mínimo e implicación de Lukasiewicz:

Suponer que los reguladores tienen M reglas, la entrada es un vector de n componentes, (x1, x2, ..., xn), la salida es un escalar y que todas las reglas están escritas en forma canónica:

if x1 is A1l and ... and xn is An

l then y is Bl,

donde l=1, ..., M es el índice de la regla. Se pide:

(a) Obtener dos expresiones lo más simplificadas posible para las funciones de pertenencia del conjunto de salida B’ que define la función de transferencia de ambos reguladores.

(b) Explicar cómo puede obtenerse gráficamente la respuesta del regulador

A ante una entrada cualquiera.

(3 puntos)

))()(1,1min(),( yxyx BA µµµ +−=

P2. En el sistema de la figura 1 se tiene un regulador difuso con inferencia por mínimo

de Mamdani, con una entrada y una salida.

R e g u l a d o r

E sc a l ó nP ro c e so

Figura 1

El regulador tiene 5 funciones de pertenencia triangulares para la entrada definidas entre –1 y 1 (X1, X2, X3, X4, X5), uniformemente distribuidas, y otras 5 funciones triangulares para la variable de salida definidas entre –5 y 5 (Y1, Y2, Y3, Y4, Y5). La base de reglas está formada por 5 reglas con la forma

if x is Xi then y is Yi,

donde i es el índice de los conjuntos (i=1, ..., 5). Al aplicar un escalón en la entrada se obtiene la respuesta de la figura 2, siendo la salida del regulador la mostrada en la figura 3. Aplicando el método de Ziegler-Nichols al sistema se obtienen los siguientes valores: kp=3, ki=0.4, kd=0.1. Se pide:

(a) Explicar cómo se puede modificar el regulador para conseguir: (a1) Que el error sea nulo en régimen permanente. (a2) Disminuir la posible sobreoscilación del sistema.

(b) Demostrar que con el regulador original el sistema en lazo cerrado es estable

según el criterio de Lyapunov, suponiendo las propiedades adecuadas del proceso a controlar.

0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 2 Figura 3

(3 puntos)

Tiempo disponible: 2 horas

Página 2 de 2

División de Ingeniería de Sistemas y Automática

Departamento de Ingeniería

Control Avanzado de Sistemas – Ingeniería Industrial – examen parcial febrero 2001

1

SOLUCIONES

AVISO

Estas soluciones no deben considerarse únicas. Es posible que existan alternativas de diseño que sean correctas.

T1 La diferencia fundamental entre estos dos reguladores está en la forma de las reglas. En un regulador de Mamdani, la salida de cada regla es un conjunto difuso mientras que en un regulador de Sugeno la salida de cada regla es una función lineal. La estructura general de una regla de Sugeno en forma canónica es:

donde liC son conjuntos difusos, l

ic son constantes, y l = 1, 2, ..., M es el índice de las reglas. Es decir, la

parte IF de las reglas son iguales que en los reguladores de Mamdani, mientras que la parte THEN es una combinación lineal de las variables de entrada. Dada una entrada (x1, x2, ..., xn), la salida del regulador se calcula como la media ponderada de las salidas yl de cada regla, es decir, donde wl es el peso de cada regla: El significado de las reglas de Sugeno es el siguiente: cuando x se restringe al rango caracterizado por la parte IF de la regla, la salida es una función lineal de las variables de entrada. Por tanto, el regulador se comporta como una función lineal definida “a intervalos”, donde el cambio de un intervalo lineal al siguiente es suave. Una posible aplicación del regulador de Sugeno consiste en la interpolación de varios reguladores PID de un proceso, cuando cada uno de estos PIDs es adecuado para puntos de funcionamiento distintos, como se hizo en la práctica 3. Otra aplicación consiste en el modelado de sistemas dinámicos complejos, cuando la salida del sistema aparece como una de sus entradas en el siguiente instante de tiempo:

donde x(k) = (x(k), x(k-1), ..., x(k-n+1)) es el vector de estado del sistema.

nln

llllnn

l xcxccyTHENCisxandandCisxIF +++= LL 11011 ,

∑

∑

=

== M

l

l

M

l

ll

w

wyxf

1

1)(

∏=

=n

iiC

l xw li

1

)(µ

,)()1()( 1pp

np BiskuandAisnkxandandAiskxIF +−L

)()1()()1( 1 kubnkxakxakxTHEN ppn

pp ++−++=+ L

2

T2 Para que el regulador difuso actúe como sintonizador debe ajustar los parámetros del PID siguiendo ciertas reglas heurísticas. El regulador difuso se situará en un segundo nivel supervisando y modificando el funcionamiento del controlador convencional. Un posible diseño del sintonizador es el siguiente:

• Suponemos que podemos determinar los intervalos [kpmin, kpmax], [kdmin, kdmax] tales que las ganancias proporcional y derivativa pertenecen a estos intervalos, respectivamente.

• Se normaliza kp y kd al rango [0,1], obteniendo las ganancias normalizadas kp’ y kd’:

• Asumimos que la constante de tiempo integral se puede determinar con referencia a la constante de tiempo derivativa:

de donde obtenemos que )()( 2dpdpi kkTkk αα == .

• Los pará metros a sintonizar son, por tanto, kp’, kd’ y α. • Las entradas al regulador serán el error (e(t)) y la derivada del error ( te ∂∂ / ). • El diseño de las reglas puede hacerse analizando la respuesta escalón típica del sistema. Por

ejemplo, ante una respuesta del sistema como la de la figura 1, vamos a extraer las reglas correspondientes a los puntos señalados.

En el entorno del punto a, es necesaria una señal de control grande para conseguir un tiempo de subida rápido. Para producir una señal de control grande, necesitamos que la ganancia

minmax

min

pp

ppp kk

kkk

−−

=′

minmax

min

dd

ddd kk

kkk

−−

=′

di TT α=

a

b

c

d

Figura 1

3

proporcional sea grande, que la ganancia derivativa sea pequeña y que la ganancia integral sea grande. En consecuencia, la regla que puede aplicarse en el entorno del punto a es:

IF e(t) is POSITIVO_GRANDE and te ∂∂ / is CERO, THEN kp’ is Grande, kd’ is Pequeño, α is Pequeño

En el entorno del punto b, es necesaria una señal de control pequeña para evitar un pico excesivamente alto. Para producir esta señal de control, necesitamos que la ganancia proporcional sea pequeña, que la ganancia derivativa sea grande y que la ganancia integral sea pequeña. En consecuencia, la regla que puede aplicarse en el entorno del punto b es:

IF e(t) is CERO and te ∂∂ / is NEGATIVO_GRANDE, THEN kp’ is Pequeño, kd’ is Grande, α is Grande

Las reglas para los entornos de los puntos c y d son análogos a los puntos a y b, respectivamente. Razonando de esta forma pueden obtenerse todas las reglas del sintonizador, que se resumen en las tablas siguientes.

te ∂∂ / kp’ NG NM NP Z PP PM PG

NG G G G G G G G NM P G G G G G P NP P P G G G P P Z P P P G P P P

PP P P G G G P P PM P G G G G G P

e(t)

PG G G G G G G G

te ∂∂ / kd’

NG NM NP Z PP PM PG NG P P P P P P P NM G G P P P G G NP G G G P G G G Z G G G G G G G

PP G G G P G G G PM G G P P P G G

e(t)

PG P P P P P P P

te ∂∂ / α NG NM NP Z PP PM PG

NG 2 2 2 2 2 2 2 NM 3 3 2 2 2 3 3 NP 4 3 3 2 3 3 4 Z 5 4 3 3 3 4 5

PP 4 3 3 2 3 3 4 PM 3 3 2 2 2 3 3

e(t)

PG 2 2 2 2 2 2 2

Las reglas para kp’ y kd’ son de tipo Mamdani (conjuntos de entrada triangulares distribuidos uniformemente en los rangos del error, la derivada del error y las ganancias, conjuntos de salida triangulares P (Pequeño) y G (Grande) distribuidos uniformemente en [0,1]), mientras que las reglas para calcular α son de tipo Sugeno (con salidas constantes para cada regla).

4

P1 (a) Regulador A

La salida de la regla l es

donde ),()( yxlBA→µ es la implicación para la regla l, que se puede calcular como

Las funciones de pertenencia de los antecedentes de las reglas se calculan como el producto de las funciones de pertenencia de los conjuntos correspondientes al antecedente, debido a que las reglas están en forma canónica y la t-norma es el producto: Sustituyendo la expresión [3] en la [2] y la [2] en la [1] se obtiene:

Si el fucificador es de tipo singleton, es decir,

donde x* es el vector de entrada al regulador, entonces el supremo en U se alcanza cuando x=x*, quedando la expresión [4] como sigue:

Por último, agregando esta función para todas las reglas se obtiene la función de pertenencia global del regulador:

[ ]),(),(sup)( )('' yxxty l

BAAUx

Bl→

∈= µµµ

)()(),()( yxyx ll BAl

BA µµµ =→

∏=

=n

iiAA

xx li

l

1

)()( µµ

= ∏

=∈)()()(sup)(

1'' yxxy ll

il B

n

iiAA

UxB

µµµµ

=

=′caso otro en0

si1)(

*xxxAµ

)()()(1

*' yxy ll

il B

n

iiAB

µµµ ∏=

=

= ∏

==′ )()(max)(

1

*

1yxy ll

i B

n

iiA

M

lB µµµ

[2]

[3]

[4]

[1]

5

Regulador B En este caso, puesto que la t-norma es la función mínimo, la función de pertenencia del antecedente de cada regla es:

En consecuencia, la implicación de Lukasiewicz para cada regla l puede calcularse como: Teniendo en cuenta la expresión anterior, el conjunto de salida para cada regla viene dado por

Si el fucificador es de tipo singleton, el supremo se alcanza cuando x=x*, siendo x* la entrada al regulador, por tanto la función de pertenencia de la salida de cada regla se puede calcular como

Por último, agregando esta función para todas las reglas se obtiene la función de pertenencia global del regulador:

( ))(min))(,),(),((min)(121 21 iA

n

inAAAAxxxxx l

iln

lll µµµµµ=

== K

( ))()(1,1min),()( yxyx ll BAl

BA µµµ +−=→

( )

+−=

=)()(min1,1min

1yx ll

i BiA

n

iµµ

( )

+−=

=′

∈)()(min1,1min),(minsup)(

1' yxxy ll

il BiA

n

iAUx

Bµµµµ

( )

+−=

=′∈

)()(min1),(minsup1

yxx lli BiA

n

iAUx

µµµ

( )

+−=

=)()(min1,1min)( *

1' yxy ll

il BiA

n

iBµµµ

( )

+−=

==)()(min1,1minmin)( *

11' yxy ll

i BiA

n

i

M

lBµµµ

( )

+−=

==)()(min1,1min)( *

11' yxy ll

i BiA

n

i

M

lBµµµ

6

(b) El cálculo gráfico de la salida del regulador A se puede realizar calculando el producto de los valores

de la función de pertenencia de los conjuntos del antecedente de cada regla, obteniendo el valor k l,

La gráfica de la función de pertenencia de la conclusión de la regla l quedará multiplicada por la constante kl, quedando el conjunto difuso modificado en función del cumplimiento de la condición de la regla para la entrada del regulador. Finalmente se obtiene la agregación por máximo de los M conjuntos obtenidos, lo cual puede hacerse gráficamente dibujando el valor más alto de cada gráfica en cada punto. La respuesta del regulador será la desfucificación del conjunto agregado. En la figura siguiente se muestra un ejemplo de la obtención de la salida de un regulador de tipo A.

P2 (a1) El regulador propuesto es básicamente un regulador de tipo FP con constate proporcional kp=5.

Puede comprobarse en la figura 2 que la acción de este regulador no es suficiente para llevar la salida del sistema a la referencia. Para conseguir que el error sea nulo en régimen permanente puede diseñarse un regulador de tipo FPI, utilizando los valores de las ganancias obtenidas con el método de Ziegler-Nichols.

Para diseñar el regulador FPI debe añadirse una entrada adicional al regulador que será la integral del error. El regulador tendrá dos bloques, que pueden definirse como dos reguladores independientes:

• Bloque proporcional: toma como entrada el error y obtiene como salida kpe=3e, donde e es

el error. Este efecto puede conseguirse insertando una ganancia en la salida del regulador o definiendo el intervalo de entrada del regulador en [-1,1] y la salida en [-kp,kp]=[-3,3].

• Bloque integral: toma como entrada la integral del error y obtiene como salida kii=0.4i,

donde i es la integral del error. Este efecto puede conseguirse insertando una ganancia en la

∏=

=n

iiAl xk l

i1

*)(µ

7

salida del regulador o definiendo el intervalo de entrada del regulador en el rango donde toma valores la integral y la salida en [-k i,ki] =[-0.4,0.4].

Los 5 conjuntos difusos deben adaptarse uniformemente a estos nuevos intervalos. Las reglas para todos los bloques tendrán la misma forma que en el regulador original. La salida de estos dos bloques se sumará, obteniendo como resultado la salida global del regulador. Una alternativa e este diseño consiste en razonar las reglas directamente sin ajustar el FPI a la constante del PI. En este caso, lo más sencillo es diseñar un regulador teniendo como entradas el error y la variación del error, obteniendo en la salida la variación de la señal de control. Las reglas pueden tabularse para los conjuntos de entrada y salida. Un ejemplo de esta tabla para 3 conjuntos es el siguiente (N=Negativo, Z=cero, P=Positivo, MN=Muy Negativo, MP=Muy Positivo).

variación del error N Z P

N MN N Z

Z N Z P error P Z P MP

Este diseño implica un mayor conocimiento de la dinámica del sistema, para poder realizar un proceso de prueba y error.

(a2) Análogamente al caso anterior, puede introducirse un tercer bloque en el regulador correspondiente a

una acción derivativa utilizando el valor de la constante kd=0.1, obtenida por el método de Ziegler-Nichols. La salida del regulador será la suma de los tres bloques.

(b) Suponiendo las propiedades adecuadas del proceso a controlar, el sistema en bucle cerrado será estable en el sentido de Lyapunov si se cumple:

§ f(0)=0 § yf(y) ≥ 0, ∀y

donde f es el regulador.

Para demostrar estas dos propiedades es suficiente tener en cuenta la distribución de los conjuntos y la forma de las reglas del regulador. Para la entrada y=0, la única regla que se activa es la correspondiente a los conjuntos Xi e Yi centrados en 0. Si suponemos que estos conjuntos son X3 e Y3, la regla que se activa es

if x is X3 then y is Y3.

El conjunto B' de salida tendrá el centro en 0 y, por tanto, la salida del regulador es 0.

Para demostrar la segunda condición consideraremos dos casos:

Caso 1: y>0. El conjunto de salida es la agregación de 5 conjuntos de salida de cada regla. La desfucificación de esta agregación puede aproximarse como

∑

∑

=

== 5

1

5

1)(

ll

ll

l

h

hyyf

8

donde hl es la altura del l-ésimo conjunto de salida, ly el centro del l-ésimo conjunto de salida. Para una entrada al regulador mayor que cero sólo se activarán 2 reglas, correspondientes a 2 conjuntos consecutivos de salida, l1 y l1+1, tales que se cumple

Puesto que, además, hl ≥0, se cumple que f(y)≥0, con lo que se concluye que yf(y) ≥ 0. Caso 2: y<0. En este caso sólo se activarán 2 reglas, correspondientes a 2 conjuntos consecutivos de salida, l1 y l1+1, tales que se cumple

Como hl ≥0, se cumple que f(y)≤0, por tanto yf(y) ≥ 0.

En cualquier caso se cumple yf(y) ≥ 0, con lo que el sistema es estable.

0,0 111 ≥> +ll yy

0,0 111 ≤< +ll yy

Escuela Politécnica Superior de Elche Ingeniería industrial

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EXAMEN DE CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS

Convocatoria de junio 2001

2ª PARTE - CONTROL INTELIGENTE

T1. Explicar la técnica de diseño de reguladores difusos a partir de ejemplos de pares entrada-salida del comportamiento deseable del regulador.

(2.5 puntos) T2. Explicar las dos posibilidades básicas que existen para realizar un control supervisor

utilizando reguladores difusos. Indicar qué tipo de reglas pueden introducirse en el regulador para que éste sea estable en el sentido de Lyapunov.

(2.5 puntos) P1. Consideremos dos reguladores de Mamdani, con las siguientes características:

(1) Regulador A: función mínimo para todas las t-normas, fusificador tipo singleton, agregación por máximo e implicación del mínimo.

(2) Regulador B: función mínimo para todas las t-normas, fusificador tipo

singleton, agregación por mínimo e implicación de Lukasiewicz:

Suponer que los reguladores tienen P reglas, la entrada es un vector de m componentes, (x1, x2, ..., xm), la salida es un escalar y que todas las reglas están escritas en forma canónica:

if x1 is A1l and ... and xm is Am

l then y is Bl,

donde l=1, ..., P es el índice de la regla. Se pide:

(a) Obtener las expresiones lo más simplificadas posible para las funciones de pertenencia del conjunto de salida B’ que define la función de transferencia de ambos reguladores. (2.5 puntos)

(b) Explicar cómo puede obtenerse gráficamente la respuesta del regulador

A ante una entrada cualquiera. (1.25 puntos)

(c) Explicar cómo se calcularía la salida de los reguladores anteriores si existen reglas que no están escritas en forma canónica. Aplicar el razonamiento a reglas del siguiente tipo:

if (x1 is A1

l and x2 is no A2l ) or x3 is A3

l then y is Bl

(1.25 puntos)

))()(1,1min(),( yxyx BA µµµ +−=

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EXAMEN DE CONTROL AVANZADO DE SISTEMAS

Convocatoria de septiembre 2001

1. Se desea diseñar reguladores difusos para sistemas en los que ya existen reguladores clásicos a los cuales se añadirán reglas específicas. En estos sistemas, el error de la referencia respecto de la salida real toma valores en un intervalo [a,b], donde a<0 y b>0. Distribuidos uniformemente en este intervalo se definen tres conjuntos difusos triangulares N, Z y P para representar números negativos (N), próximos a cero (Z) y positivos (P).

Para la salida de los reguladores se definen los siguientes conjuntos difusos triangulares, distribuidos uniformemente en el intervalo de definición: NN (muy negativo), NZ (negativo cercano a cero), ZZ (próximo a cero), PZ (positivo pequeño), PP (positivo grande). Con estos conjuntos se han diseñado cuatro reguladores difusos cuyas reglas iniciales aproximan el comportamiento de reguladores clásicos.

Se pide: Indicar razonadamente qué tipo de regulador clásico aproxima cada uno de los cuatro reguladores difusos iniciales diseñados. (1.1) Entrada al regulador: derivada del error, CE = tte ∂∂ /)(

Salida: derivada de la acción de control, CU = ttu ∂∂ /)(

Reglas: CE CU N NN Z ZZ P PP

(1.2) Entrada al regulador: error (E) y derivada del error, CE = tte ∂∂ /)(

Salida: acción de control, U = )(tu

Reglas: CE

N N P N NN NZ PZ Z NZ ZZ PZ

E

P NZ PZ PP

(1.3) Entrada al regulador: error (E) y suma o integral del error, SE = ∫t

de0

)( ττ

Salida: acción de control, U = )(tu

Reglas: SE

N N P N NN NZ ZZ Z NZ ZZ PZ

E

P ZZ PZ PP

CONTROL INTELIGENTE

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(1.4) Entrada al regulador: error (E) y derivada del error, CE = tte ∂∂ /)(

Salida: derivada de la acción de control, CU = ttu ∂∂ /)(

Reglas: CE

N N P N NN NZ PZ Z NZ ZZ PZ

E

P NZ PZ PP (3 puntos)

2. Explicar cómo puede diseñarse un sintonizador automático de las ganancias de un

PID en tiempo real usando un regulador difuso. (2 puntos)

3. Obtener expresiones simplificadas para las funciones de pertenencia del conjunto de

salida B’ que define la función de transferenc ia de los siguientes reguladores.

(a) Reglas con el formato if x1 is A1l and ... and xm is Am

l then y is Bl, regulador de Mamdani, función mínimo para todas las t-normas, fusificador tipo singleton, agregación por máximo e implicación del mínimo. Suponer que existen P reglas y que existen m entradas escalares al regulador.

(b) Regulador con dos reglas, cada una con el siguiente formato:

(R1) if x1 is A1 and ... and x n is An then y is B (R2) if (x1 is C1 and x 2 is no C2 ) or (x3 is C3 and x1 is C2) then y is D

con las siguientes características: regulador tipo Mamdani, mínimo para todas las t-normas, y la implicación de Dienes-Rescher, que viene dada por la siguiente expresión: ¿Cómo se simplifica la expresión del regulador anterior si se utiliza el fusificador de tipo singleton?

(5 puntos)

))(),(1(),( yxmaxyx BA µµµ −=

Examen de Control Avanzado de SistemasControl Inteligente

Septiembre 2003

Problema

Considerese un controlador difuso con las caracterısticas siguientes:

• Reglas en forma canonica:

if x1 = Al

1and . . . and xm = Al

m then y = Bl,

• Inferencia basada en reglas individuales con combinacion por interseccion.• La siguiente expresion para la implicacion:

µA→B(x, y) = max [1 − µA(x), µB(y)]

• Funcion mınimo para todas las t-normas.• Existen P reglas y el controlador tiene m entradas escalares.

Se pide:

1. Obtener la funcion de pertenencia del conjunto de salida B ′ que define la funcion de transferencia delregulador.

2. Simplificar la expresion anterior si A′ es un singleton.3. Obtener una expresion para la salida del regulador del apartado anterior si los conjuntos Bl son normales

con centros en yl y el desdifusificador es el centro medio. ¿En que casos puede tener sentido un controladorcon estos parametros?

(6 puntos)Cuestion

Explicar como pueden planificarse en tiempo real los parametros de un controlador PID usando uncontrolador difuso.

(4 puntos)

Escuela Politecnica Superior de Elche

Ingenierıa Industrial


Convocatoria de septiembre de 2004

CUESTION

Explicar los pasos que sigue un controlador difuso para obtener la senal de control en los dos casossiguientes:

1. Usando inferencia basada en composicion.2. Usando inferencia basada en reglas individuales.

(3 puntos)

PROBLEMA

Considerese un controlador difuso de dos entradas y una salida que esta formado por las dos reglassiguientes:

{

if x1 = A1 and x2 = A2, then y = A1

if x1 = A2 and x2 = A1, then y = A2

donde A1 y A2 tienen como funciones de pertenencia:

µA1(u) =

{

1 − |u|, si − 1 6 u 6 1

0, en otro caso

µA2(u) =

{

1 − |u − 1|, si 0 6 u 6 2

0, en otro caso

Suponiendo que se disena un controlador difuso con las caracterısticas siguientes:

• Inferencia basada en reglas individuales con combinacion por interseccion.• La implicacion de Zadeh:

µI(x, y) = max [min (µA(x), µB(y)) , 1 − µA(x)]

• Funcion mınimo para todas las t-normas.• Difusificador singleton.

Se pide:

1. Obtener la funcion de pertenencia del conjunto de salida B ′ que define la funcion de transferencia deeste controlador. (4 puntos)

2. Calcular la salida del controlador para la entrada

x∗ = (x∗

1, x∗

2) = (0.3, 0.6)

usando el desdifusificador centro medio. (3 puntos)

Escuela Politecnica Superior de Elche

Ingenierıa Industrial


Convocatoria de diciembre de 2004

PROBLEMA

Considerese un controlador difuso de n entradas y una salida que esta formado por M reglas en formacanonica, es decir, la regla Rl tiene la forma siguiente:

{

if x1 = Al1

and x2 =Al2, . . . , xn = Al

n then y = A1

Y que se disena con las caracterısticas siguientes:

• Inferencia basada en reglas individuales con combinacion por interseccion.• La siguiente funcion de implicacion:

µI(x, y) = max [1 − µA(x), µB(y)] .

• Funcion mınimo para todas las t-normas.• Difusificador singleton.

Se pide:

1. Obtener la funcion de pertenencia del conjunto de salida B ′ que define la funcion de transferencia deeste controlador. (5 puntos)

2. ¿Existe alguna diferencia en la funcion obtenida en el apartado anterior si se usa inferencia basada encomposicion? (2,5 puntos)

3. Describir los desdifusificadores que pueden usarse en un controlador difuso. Explicar en que punto delcalculo de la salida del controlador se usan. (2,5 puntos)

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¨�± ¨Z¦ À�Áf·�¦ ®q©u¥P¨Â¥�®q±�¤«Ã·Pµ9®q©�¬Z¥�®-§�¨=¥P¨Â¨³²´©0µ�¨=§<¦�Ã¬f¤`Ä�ÅÆ¨=¥P¨�Çq©�®�¶f·P¤³¸�¨Zº�¦ ®q¤K§k¬f¤³¸&®�ª&¸�¨=¥P¨\ªk·Pµ�¨KÈfÉ Ê�ÇP·P¤³¸&¬�ª_ËÌ§�¨=¥P¨ZÇq©�®�¶f·P¤³¸�¨µ�¨P±~§k¬f¤³¸&®�ª&¸�¨=¥P¨Ì©�®�ª&¸�¨-ÈfÉ ÍZÇP·P¤³¸&¬�ª³ÄÎ�ÏÑÐ+Ò-ÓsÔ �hÕk�³Ö��×PØ6Ù ÉoÚkÛnÜ Ù Ú

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