terapan turunan

TERAPAN TURUNAN

Departemen Matematika FMIPA-IPB

Bogor, 2011

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 1 / 57

Topik Bahasan

1

2

3

4

5

6

Nilai Maksimum dan Minimum

Teorema Nilai Rata-rata (TNR)

Turunan dan Bentuk Grafik

Asimtot

Sketsa Kurva

Masalah Pengoptimuman



Beberapa Terapan Turunan

Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi

Formasi, lokasi, dan warna pelangi

Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik

Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung



Nilai Ekstrim Fungsi




Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak)

Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal Df .

f memiliki maksimum mutlak (global) di c ∈ Df jika

f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ Df

f (c) disebut nilai maksimum f pada Df .

f memiliki minimum mutlak di c ∈ Df jika

f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ Df

f (c) disebut nilai minimum f pada Df .

Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f .



Ilustrasi Nilai Ekstrim



Contoh (Ekstrim Mutlak)

1 f (x) = |x | memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena f (0) = 0 ≤ f (x) , x ∈ Df .

2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 ≥ f (x) , x ∈ Df . Nilai minimum mutlaknya adalah −1.

3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak. D



Syarat Cukup Nilai Ekstrim

Teorema (Nilai Ekstrim)

Jika f kontinu pada selang tutup [a, b] , maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] .

Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak.

Jika f tak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.



Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu



Maksimum, Minimum Lokal

Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)

Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c ∈ Df jika

f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c

Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c ∈ Df jika

f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ selang buka yang memuat c

Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .

∴ Dengan definisi tsb. ekstrim lokal tidak terjadi pada titik ujung selang. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 10 / 57


Ilustrasi Ekstrim Lokal



Contoh (Ekstrim Lokal)

1 f (x) = |x | memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada selang buka I yang memuat 0, f (0) ≤ f (x) , x ∈ I .

2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena pada selang buka I yang memuat 2nπ, f (2nπ) ≥ f (x) , x ∈ I . Nilai minimum lokalnya adalah cos((2n + 1) π) = −1.

3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal. D



Bilangan Kritis

Definisi (Bilangan Kritis)

Titik-dalam c ∈ Df yang bersifat f ' (c) = 0 ataukah f ' (c) tidak ada disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .

Catatan: titik-dalam (interior point) c ada di dalam selang buka I ⊆ Df .

Klasifikasi bilangan/titik kritis

1 titik stasioner c

f ' (c) = 0: garis singgung datar

2 titik singular c

f ' (c) tidak ada: grafik runcing, tak kontinu, garis singgung tegak



Contoh

Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut

1 f (x) = √ x (1 − x) . SOLUSI

2 f (x) =

⎧ ⎪⎨ ⎪⎩

x2 , −1 ≤ x < 0

x2 − 2x , 0 ≤ x ≤ 2 . SOLUSI



Soal (Bilangan Kritis)

Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x + 1 (jawab: � bil. kritis)

2 g (x) = |2x − 5| (x = 5/2) 3 h (x) = x1/3 − x−2/3 (x = −2) 4 f (x) = 3

√ x2 − x (x = 0, 1/2, 1)

5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat)



Teorema (Teorema Fermat)

Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .

Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f .

Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.

Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal.

Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik stasioner atau titik singular (tidal terjadi pada titik ujung).



Contoh

1 f (x) = x2 ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ' (x) = 2x ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis.

2 f (x) = |x | ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ' (0) tidak ada ⇒ 0 adalah bilangan kritis.

3 f (x) = x3 ⇒ f ' (0) = 0 ⇒ 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0) bukanlah ekstrim lokal. D



Menentukan Ekstrim Mutlak Metode Selang Tutup

Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:

Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada (a, b) (titik stasioner, titik singular)

Evaluasi f pada setiap bilangan kritis dan titik ujung a dan b. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f .



Soal (Ekstrim Mutlak)

Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan.

1 f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3] (jawab: f (1) = −1 min, f (3) = 19 maks)

2 f (x) = x

x + 1, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks)

3 f (x) =

⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−1 − 2x ; −2 ≤ x < −1

x2 ; −1 ≤ x ≤ 1

x ; 1 < x ≤ 3

(f (−2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min)

4 f (x) = sin x + cos x , [0, π/3]f f (0) = 1 min, f (π/4) =

√ 2 maks



Teorema (Teorema Nilai Rata-rata)

Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada selang tutup [a, b] , ii) terturunkan pada selang buka (a, b) , maka ada sedikitnya satu bilangan c ∈ (a, b) sehingga

f ' (c) = f (b) − f (a)

b − a (1)

Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 20 / 57 (Departemen Matematika FMIPA-IPB)


Contoh (TNR)

Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x − 1 pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).

SOLUSI



Soal (Teorema Nilai Rata-rata 1)

1 Diberikan f (x) = x1/3 . Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada selang [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang

dimaksud pada (1). f jawab: c =

√ 3 9

2 Diketahui fungsi f dengan f (x) = |x |. Periksa apakah fungsi f

memenuhi hipotesis TNR pada selang i) [0, 4], ii) [−1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).



Soal (Teorema Nilai Rata-rata 2)

1 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.

2 Jika f (0) = 5 dan f ' (x) ≥ 3 untuk x ∈ [0, 2] , seberapa kecilkah nilai f (2) yang mungkin? (jawab: 11)

3 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx + r , p = 0, maka ada bilangan c ∈ [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari selang [a, b].



Turunan I dan Fungsi Naik/Turun

Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

Jika f ' (x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang tersebut.

Jika f ' (x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang tersebut.



Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

1 Tentukan selang-selang di mana f naik/turun bagi fungsi: i) f (x) = 2x3 + x ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3 (x − 4)

2 Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun. (Catatan: f naik pada selang I berarti x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2 ), f turun pada I berarti x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2 ) , x1, x2 ∈ I ).



Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)

Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan pada setiap titik pada selang yang memuat c, kecuali mungkin di c . Bergerak melewati c dari kiri ke kanan:

1 Jika f ' berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.

2 Jika f ' berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.

3 Jika f ' tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.



Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I



Contoh

Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f (x) = x1/3 (x − 4) . HINT



Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)

Andaikan fungsi f '' kontinu pada selang buka yang memuat c .

1 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal.

2 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal.

3 Jika f ' (c) = 0 dan f '' (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.



Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal



Kecekungan Fungsi

Definisi (Kecekungan)

Fungsi f dikatakan

cekung ke atas pada selang I jika grafik f terletak di atas garis singgung pada selang I ,

cekung ke bawah pada selang I jika grafik f terletak di bawah garis singgung pada selang I .

Cara lain melihat kecekungan:

cekung ke atas pada selang buka I jika f ' naik pada I, cekung ke bawah pada selang buka I jika f ' turun pada I.





Uji Turunan II Bagi Kecekungan

Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)

Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada selang buka I .

Jika f '' (x) > 0 ∀x ∈ I , maka f ' naik pada I dan f cekung ke atas pada I ,

Jika f '' (x) < 0 ∀x ∈ I , maka f ' turun pada I dan f cekung ke bawah pada I .

Definisi (Titik Belok)

Titik P (c , f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c , dan f mengalami perubahan kecekungan di P.



Teorema (Titik Belok)

Jika titik (c , f (c)) merupakan titik belok, maka

f '' (c) = 0 ataukah f '' (c) tidak ada

Menentukan Titik Belok Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),

hitung f '' (x) ,

cari bilangan c sehingga f '' (c) = 0 atau f '' (c) tidak ada,

selidiki perubahan tanda f '' (x) di c . Titik (c , f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f '' (x) di c .



Contoh

Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 − 4x3 + 10. Tentukan: i) selang fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f .

HINT



Soal

Jika ada, tentukan: i) selang fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,

1 f (x) = (x − 1)3

2 f (x) = x1/3 + 1

3 f (x) = x/ (1 + x)2



Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik



Soal

Berdasarkan grafik f ' berikut, tentukanlah

1 selang f naik/turun dan ekstrim lokal,

2 selang f cekung ke atas/bawah dan titik belok.



Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok

Untuk fungsi f dengan y = f (x) :

Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) →ordinat y Bilangan kritis f : x = b → absis x Titik belok f : (c , f (c)) → koordinat (x, y)


Asimtot

Jenis Asimtot

1

2

3

Asimtot tegak

Asimtot datar

Asimtot miring


Asimtot

Definisi (Asimtot Tegak)

Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika

lim x →a±

f (x) = ±∞ (2)


Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 42 / 57

Asimtot

Definisi (Asimtot Datar)

Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika

lim x →±∞

f (x) = L (3)

(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Kalkulus: Terapan Turunan Bogor, 2011 43 / 57

Asimtot

Definisi (Asimtot Miring)

Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika

lim x →±∞

[f (x) − (mx + b)] = 0 (4)

(Departemen Matematika FMIPA-IPB)

Asimtot

Teorema Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka

lim x →±∞

1 xr = 0 (5)

asalkan xr terdefinisi.


Asimtot

Penentuan Asimtot Fungsi Rasional

Diberikan fungsi rasional

r (x) = p1 (x) p2 (x)

= cn xn + cn−1xn−1 + · · · + c0 km xm + km−1xm−1 + · · · + k0

1 Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) = 0 merupakan asimtot tegak.

2 Kasus n < m ⇒ garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar. 3 Kasus n = m ⇒ garis y = cn /km merupakan asimtot datar. 4 Kasus n = m + 1 ⇒ r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring.


Asimtot

Soal (Asimtot)

Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = (2x + 3) / (x − 1)

2 f (x) = 2x3 − x

/ x2 − x − 6

3 f (x) =

√ 4x2 − 1/ (x − 2)


Sketsa Kurva

Sketsa Kurva

Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)

1 Identifikasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi.

2 Identifikasi asimtot fungsi.

3 Tentukan f ' (x) →

Identifikasi bilangan kritis. Identifikasi selang fungsi naik/turun, ekstrim lokal.

4 Tentukan f '' (x) →

Identifikasi selang kecekungan fungsi, titik belok.

5 Gambar sketsa grafik f .


Sketsa Kurva

Contoh

Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f

dengan f (x) = (x + 1)2

1 + x2 .

HINT


Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1)

Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = x3 − 3x2 + 5

2 f (x) = x/ x2 − 4

3 f (x) = x3 − 1 x3 + 1

4 xy = x2 + x + 1

5 f (x) = x + 1 √ x2 + 1


Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2)

Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut: i) g kontinu pada R − {0}ii) g '' (x) > 0 untuk x ∈ R − {0}iii) g (−2) = g (2) = 3 iv) lim

x →∞ g (x) = 2, lim

x →−∞ [g (x) − x ] = 0

v) lim x →0+

g (x) = lim x →0−

g (x) = ∞




Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan.

Langkah-langkah pemecahan masalah:

pahami permasalahan, formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi, tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.



Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak

Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) , dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak. Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman.

Teorema Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisi pada suatu selang.

1 Jika f ' (x) > 0, ∀x < c dan f ' (x) < 0, ∀x > c , maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f .

2 Jika f ' (x) < 0, ∀x < c dan f ' (x) > 0, ∀x > c , maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f .



Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal



Soal (Disain Kotak Terbuka)

Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 × 8 cm2.



Soal (Disain Kaleng Minuman)

Jawab: h = 2r



Soal (Pembangunan Jalan Tol)

Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).

√ Jawab: 5/ 3 km dari O.



Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB)

Versi: 2011 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)


Education

terapan turunan