Modulación Angular

FEBRERO 2017

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURIN

Bachiller: Víctor Díaz

Profesor:

Ejercicios Resueltos

PROBLEMA Nº1:

Dada la siguiente forma de onda modulada en FM:

𝜑𝐹𝑀(𝑡) = 100cos[2𝜋 ∗ 107𝑡 + 30𝑠𝑒𝑛(2𝜋 ∗ 1000𝑡)]

Calcular:

1. Potencia normalizada de la portadora sin modular. (Pot. media)

2. Potencia normalizada de la onda modulada. (Pot. media)

3. Máxima desviación de fase.

4. Máxima desviación de frecuencia.

5. BW. y Nº. de bandas laterales.

6. Si la amplitud de la modulante se reduce en 100 veces y la frecuencia varía a 5 KHz,

cual es el nuevo BW (ancho de banda), cual es la potencia media normalizada de la

portadora modulada

Solución:

1. En primera instancia definimos la potencia de una señal FM según:

𝑃𝜑𝐹𝑀=𝐴𝑐

2

𝑇∫|cos(𝑤𝑡)|2𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

=𝐴𝑐

2

2

Entonces, la potencia normalizada de la portadora sin modular será:

𝑃𝜑𝐹𝑀⌋sin𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟

=𝐴𝑐

2

2=1002

2= 5KW

2. Una de las principales características que tiene este tipo de modulación es que la

potencia de la señal se mantiene constante, haya o no haya mensaje. Por lo tanto, la

potencia de la señal modulada será exactamente igual que la sin modular del punto

anterior:

𝑃𝜑𝐹𝑀⌋con𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

=𝐴𝑐

2

2=1002

2= 5KW

3. El desvío de fase (𝜃(𝑡)) es:

30𝑠𝑒𝑛(2𝜋 ∗ 1000𝑡)

Por lo tanto, el máximo desvío será cuando 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 ∗ 1000𝑡) valga uno:

𝜃(𝑡)𝑚𝑎𝑥= 30

4. Sabiendo que:

𝛽 =∆𝑓

𝑓𝑚= 30

Donde 𝑓𝑚 = 1000𝐻𝑧

Se deduce que la máxima desviación de frecuencia es ∆𝑓 = 30𝐾𝐻𝑧

5. El ancho de banda (B.W.) para señales de FM se define de la siguiente manera (Regla

de Carson)1:

𝐵.𝑊.= 2𝑁(𝛽)𝑓𝑚

Donde 𝑁(𝛽) es el número de bandas laterales significativas, y se define como:

𝑁(𝛽) = 𝛽 + 𝛼

Siendo 𝛼 = (0; 1; 2; 3) según la calidad de transmisión. En este caso consideramos

𝛼 = 0. Entonces, el número de bandas laterales significativas será:

𝑁(𝛽) = 𝛽 = 30

Y el ancho de banda:

𝐵.𝑊.= 2𝑁(𝛽)𝑓𝑚 = 60𝐾𝐻𝑧

6. Al reducir 100 veces la amplitud de la señal modulante, el desvío de frecuencia

también se verá reducido esa cantidad ya que el mismo es directamente proporcional

a la amplitud de dicha señal:

∆𝑓 = 𝑘𝑓𝐴𝑚

Definimos entonces los tres nuevos parámetros:

∆𝑓′ =∆𝑓

100

1 La regla de Carson es una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que

aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de

𝐵.𝑊.= 2𝑁(𝛽)𝑓𝑚 ; 𝑁(𝛽) = (𝛽 + 𝛼) ; 𝛼 = {

2,1 < 𝛽 ≤ 51,5 < 𝛽 ≤ 200,𝛽 > 20

donde 𝑁(𝛽) es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia, al igual que en

Amplitud Modulada (AM) se define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y donde fm es el ancho de banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para la señal modulada). (Fuente: Wikipedia)

𝑓𝑚′ = 5𝐾𝐻𝑧

𝛽′ =∆𝑓′

𝑓𝑚′=

∆𝑓

100∗𝑓𝑚′=

30𝐾𝐻𝑧

100∗5𝐾𝐻𝑧= 0,06

Dado que 𝛽′ = 0,06 en este caso tenemos una señal modulada en FM de banda

angosta (NBFM). Para este tipo de señales, el espectro resultante solo contiene

componentes de frecuencia en 𝜔𝑐 ±𝜔𝑚, por lo tanto el ancho de banda será:

𝐵.𝑊.= 2𝑓𝑚 = 10𝐾𝐻𝑧

Como ya mencionamos anteriormente, la potencia en FM es constante con y sin

modulación, por lo tanto:

𝑃𝜑𝑁𝐵𝐹𝑀⌋𝑐𝑜𝑛𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛

=𝐴𝑐

2

2=1002

2= 5KW

Se aprecia claramente que la potencia solo depende de la amplitud de la portadora,

por lo tanto en este caso se mantiene invariante.

PROBLEMA Nº2:

Teniendo en cuenta que en la radiodifusión de FM se ha reglamentado el uso de una desviación de frecuencia de 75 KHz y una señal modulante cuya frecuencia puede variar entre 30 y 15000 Hz. Determinar:

1. El ancho de banda necesario para este tipo de transmisión, teniendo en cuenta que se desea una alta calidad de recepción.

2. Comprobar que toda la banda de frecuencia posible de la señal modulante, produzca un BW de señal modulada que cumpla con las especificaciones

Solución:

1. Para calcular el ancho de banda que necesita una transmisora de FM que cumple con los requisitos reglamentados, debemos analizar lo que ocurre cuando la señal modulante es de frecuencia mínima (30 Hz) y cuando es de frecuencia máxima (15 KHz). Para esto calculamos el 𝛽𝑚𝑖𝑛 y el 𝛽𝑚𝑎𝑥 :

𝛽𝑚𝑎𝑥 =∆𝑓

𝑓𝑚𝑖𝑛=75000𝐻𝑧

30𝐻𝑧= 2500

𝛽𝑚𝑖𝑛 =∆𝑓

𝑓𝑚𝑎𝑥=75000𝐻𝑧

15000𝐻𝑧= 5

FM de banda angosta

(NBFM)

Ahora calculamos el ancho de banda para los valores de 𝛽𝑚𝑎𝑥 y 𝛽𝑚𝑖𝑛 utilizando la Regla de Carson:

𝐵.𝑊. ⌋𝛽𝑚𝑎𝑥= 2𝛽𝑚𝑎𝑥𝑓𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗ 2500 ∗ 30𝐻𝑧 = 150𝐾𝐻𝑧 = 2∆𝑓

𝐵.𝑊. ⌋𝛽𝑚𝑖𝑛

= 2(𝛽𝑚𝑖𝑛 + 2)𝑓𝑚𝑎𝑥 = 2 ∗ 7 ∗ 15000𝐻𝑧 = 210𝐾𝐻𝑧 = 2∆𝑓 + 4𝑓𝑚𝑎𝑥

2. Como se puede apreciar en el punto anterior, el mayor ancho de banda necesario es

de 210 KHz, y se corresponde al 𝛽𝑚𝑖𝑛 que implica una 𝑓𝑚𝑎𝑥 de 15 KHz. Dado que por normativa el ancho de banda para transmisoras de FM comercial no puede superar los 200 KHz, lo que se hace es filtrar en alta frecuencia a la señal (filtro para señales de gran potencia). Para cumplir con la norma, la frecuencia máxima de la señal moduladora (𝑓𝑚𝑎𝑥) debería ser:

200𝐾𝐻𝑧 = 2∆𝑓 + 4𝑓𝑚𝑎𝑥

𝑓𝑚𝑎𝑥 =200𝐾𝐻𝑧 − 2 ∗ 75𝐾𝐻𝑧

4= 12,5𝐾𝐻𝑧

PROBLEMA Nº3: Dibujar la representación temporal de una portadora modulada para los casos de AM, FM, y PM (ω𝑐 >> ω𝑚𝑚𝑎𝑥

) si la señal modulante es una onda:

1. Diente de sierra 2. Sinusoidal

Solución:

1. Diente de sierra

Modulación en Amplitud (AM):

Fig.1: Modulación en AM con diente de sierra. Arriba: Señal portadora. Centro: Señal

moduladora (Diente de sierra). Abajo: Señal modulada (AM)

Modulación en Frecuencia (FM):

Fig.2: Modulación en FM con diente de sierra. Arriba: Señal moduladora (Diente de

sierra). Abajo: Señal modulada (FM)

Modulación de Fase (PM):

Fig.3: Modulación en PM con diente de sierra. Arriba: Señal moduladora (Diente de

sierra). Abajo: Señal modulada (PM)

2. Sinusoidal

Modulación en Amplitud (AM):

Fig.4: Modulación en AM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal

moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (AM)

Modulación en Frecuencia (FM):

Fig.5: Modulación en FM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal

moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (FM)

Modulación de Fase (PM):

Fig.6: Modulación en PM con señal sinusoidal Arriba: Señal portadora. Centro: Señal

moduladora (Sinusoidal). Abajo: Señal modulada (PM)

PROBLEMA Nº4:

Se dispone de un generador de señal cosenoidal x(t) = cos(2πfmt), cuya frecuencia puede

adoptar tres valores diferentes: fm1= 0,1kHz; fm2 =1 kHz y fm3 = 5 kHz.

Dicha señal será utilizada para realizar un ensayo sobre un modulador de FM, con una

constante del modulador 𝐾𝑓 = 30kHz/volt al cual se aplica alternadamente cada uno de los

tonos. Luego se repite el mismo ensayo sobre un modulador de PM cuya constante es 𝐾𝑝 =

30.

Se solicita:

1. Comparar el ancho de banda B necesario para cada modulador en cada uno de los tres casos. Extraer conclusiones.

2. Determinar para que frecuencia modulante los B son iguales. 3. Considerando este último caso, B iguales, determinar las expresiones de la onda

modulada en frecuencia y fase en el caso de utilizar una portadora con las siguientes características: c(t) = 3cos(2π. 106t)

Solución:

1. En primer lugar vamos a definir las ecuaciones necesarias para calcular el ancho de

banda necesario para los dos tipos de moduladores, FM y PM.

Como se definió en el Problema Nº 1, el factor 𝛽 en FM se calcula como:

𝛽𝐹𝑀 =𝐾𝑓 ∗ 𝐴𝑚

𝑓𝑚=30 ∗ 103𝐻𝑧/𝑉 ∗ 1𝑉

𝑓𝑚=∆𝑓

𝑓𝑚

El ancho de banda B se definió según la Regla de Carson como:

𝐵𝐹𝑀 = 2(𝛽𝐹𝑀 + 1)𝑓𝑚 (𝛼 = 1)

Reemplazando

𝐵𝐹𝑀 = 2𝐾𝑓 + 2𝑓𝑚

Para el caso de PM, el factor 𝛽𝑃𝑀 se obtiene según:

𝛽𝑃𝑀 = 𝐾𝑝 ∗ 𝐴𝑚

Luego, el ancho de banda 𝐵𝑃𝑀será:

𝐵𝑃𝑀 = 2𝐾𝑝𝑓𝑚 + 2𝑓𝑚

Por lo tanto, para los 3 casos de cada modulador se obtienen los siguientes resultados:

ANCHO DE BANDA [B]

X1(t)0,1 kHz X2(t)1 kHz X3(t)5 kHz

MODULADOR FM

60,2 KHz 62 KHz 70 KHz

MODULADOR PM 800 Hz 8 KHz 40 KHz

Estos resultados reflejan una característica muy clara y distintiva entre ambos sistemas

de modulación: La relación entre frecuencia de la señal modulante y el ancho de banda

necesario para transmitirla es completamente distinta en PM con respecto a FM.

Mientras que en FM el ancho de banda varía entre 60,2 KHz y 70 KHz (diferencia de 9,8

KHz) para señales de entre 100 Hz y 5 KHz, en PM el ancho de banda varía entre 800 Hz

y 40 KHz (diferencia de 39,2 KHz) para el mismo rango de frecuencia de la señal

modulante.

Esto se debe a la naturaleza de cada tipo de modulación ya que se ve claramente que

el ancho de banda en PM aumenta de forma lineal con la frecuencia de la señal

moduladora, tal como lo indica la definición de este tipo de señales.

Por su parte, las señales de FM varían su frecuencia de forma no lineal, según la

integral de la modulante, motivo por el cual el ancho de banda sufre alteraciones más

pequeñas que en el caso de PM.

2. Los valores 𝛽𝐹𝑀 y 𝛽𝑃𝑀 serán iguales cuando se cumpla que:

2𝐾𝑓 + 2𝑓𝑚 = 2𝐾𝑝𝑓𝑚 + 2𝑓𝑚

𝑓𝑚 =𝐾𝑓

𝐾𝑝

Por lo tanto, la frecuencia de la señal modulante será 10𝐾𝐻𝑧, y su ancho de banda

80𝐾𝐻𝑧.

3. Utilizando entonces 𝑓𝑚 = 10𝐾𝐻𝑧, obtenemos 𝛽𝐹𝑀 y 𝛽𝑃𝑀:

𝛽𝐹𝑀 =𝐾𝑓 ∗ 𝐴𝑚

𝑓𝑚=30 ∗ 103 ∗ 1𝑉

10 ∗ 103= 3

𝛽𝑃𝑀 = 𝐾𝑝 ∗ 𝐴𝑚 = 3 ∗ 1 = 3

Por lo tanto se obtienen:

𝜑𝐹𝑀 = 3cos[2𝜋 ∗ 106𝑡 + 3 cos(2𝜋 ∗ 103𝑡)]

𝜑𝑃𝑀 = 3cos[2𝜋 ∗ 106𝑡 + 3 cos(2𝜋 ∗ 103𝑡)]

Claramente se aprecia que debido a que los anchos de banda de cada tipo de

modulación son iguales, sus 𝛽 también lo son, por lo tanto las expresiones de 𝜑𝐹𝑀y

𝜑𝑃𝑀 coinciden.

PROBLEMA Nº5:

Una señal de ángulo modulado tiene un Δf𝑚𝑎𝑥1 = 20Hz para una entrada senoidal de

amplitud unitaria y frecuencia 50 Hz.

Se solicita:

1. Si la modulación utilizada es FM. Determinar el factor de multiplicación N necesario

para producir un Δf𝑚𝑎𝑥2 = 20KHz, cuando la frecuencia de la señal de entrada es de

100 Hz.

2. Ídem para PM.

Solución:

1. Debido a que la señal de entrada (modulante) tiene amplitud unitaria, el incremento N

necesario para Δf𝑚𝑎𝑥 = 20KHz será:

∆𝑓𝑚𝑎𝑥1⌋𝐹𝑀 = 𝐾𝑓 ∗ 𝐴𝑚 = 20𝐻𝑧

∆𝑓𝑚𝑎𝑥2⌋𝐹𝑀 = 𝑁 ∗ ∆𝑓𝑚𝑎𝑥1⌋𝐹𝑀 = 𝑁 ∗ 20𝐻𝑧

20𝐾𝐻𝑧 = 𝑁 ∗ 20𝐻𝑧

𝑁 = 1000

2. Para el caso de PM, se debe considerar la frecuencia de la señal modulante (50 Hz), ya

que el desvío máximo de frecuencia en este caso se define como:

∆𝑓𝑚𝑎𝑥1⌋𝑃𝑀 = 𝐾𝑝 ∗ 𝐴𝑚 ∗ 𝑓𝑚 = 𝐾𝑝 ∗ 𝑓𝑚 = 20𝐻𝑧

𝐾𝑝 =20𝐻𝑧

𝑓𝑚=20𝐻𝑧

50𝐻𝑧=2

5

Por lo tanto para el valor de N se calcula del siguiente modo:

∆𝑓𝑚𝑎𝑥2⌋𝑃𝑀 = 𝑁 ∗ ∆𝑓𝑚𝑎𝑥1⌋𝑃𝑀(𝑓𝑚=100𝐻𝑧) = 𝑁 ∗2

5∗ 100𝐻𝑧 = 20𝐾𝐻𝑧

𝑁 =20 ∗ 103𝐻𝑧 ∗ 5

2 ∗ 100𝐻𝑧= 500

Estos resultados indican la clara dependencia que tiene el valor del desvío máximo de

frecuencia en PM con la frecuencia del mensaje, y que dicha dependencia es lineal

(duplicar la frecuencia conlleva a disminuir a la mitad el valor de N). Esto no ocurre con

FM ya que el desvío máximo de frecuencia solo depende de 𝐾𝑓 y de la amplitud del

mensaje.

PROBLEMA Nº6:

Con el objeto de realizar un ensayo sobre tres transmisores con modulación angular, se utiliza

la señal de prueba senoidal x(t) = 𝐴𝑚cos(2π ∗ 𝑓𝑚 ∗ t) con tres valores diferentes de

amplitud y frecuencia. En la tabla siguiente se muestra el ancho de banda B utilizado por cada

transmisor en función de la amplitud y la frecuencia de la señal modulante.

Determinar en cada caso si el sistema es de banda angosta o ancha e identificar el tipo de

modulación de ángulo (FM o PM)

Solución:

Para poder identificar qué tipo de transmisor es cada uno, hay que tener en cuenta que la

constante de demodulación es fija en cada equipo, por lo tanto al conocer el ancho de banda

que utiliza cada uno según la frecuencia y la amplitud de la señal modulante es posible

identificarlos.

Recordamos las ecuaciones para el ancho de banda de FM, PM y NBFM:

𝐵.𝑊.𝐹𝑀= 2𝑁(𝛽)𝑓𝑚 𝐵.𝑊.𝑃𝑀 = 2𝑁(𝛽)𝑓𝑚 𝐵.𝑊.𝑁𝐵𝐹𝑀= 2𝑓𝑚

𝐵.𝑊.𝐹𝑀= 2(𝛽 + 1)𝑓𝑚 𝐵.𝑊.𝑃𝑀 = 2(𝛽 + 1)𝑓𝑚

𝐵.𝑊.𝐹𝑀= 2𝛽𝑓𝑚 + 2𝑓𝑚 𝐵.𝑊.𝑃𝑀 = 2𝛽𝑓𝑚 + 2𝑓𝑚

𝐵.𝑊.𝐹𝑀= 2𝐾𝑓𝐴𝑚 + 2𝑓𝑚 𝐵.𝑊.𝑃𝑀 = 2𝐾𝑝𝐴𝑚𝑓𝑚 + 2𝑓𝑚

Ahora se elige uno de estos tres tipos de modulaciones y se evalúa en qué transmisor la

constante de demodulación se mantiene invariable a los cambios de frecuencia y amplitud de

la señal modulante.

Evaluamos 𝐾𝑓 para el transmisor 3:

Se observa que 𝐾𝑓 se mantiene constante en cada caso, por lo tanto el transmisor 3 es

de FM.

Evaluamos 𝐾𝑝 para el transmisor 2:

En este caso el valor de 𝐾𝑝 se mantiene invariante, por lo tanto el transmisor 2 es de

PM.

Para el transmisor 1 se cumple que 𝐵.𝑊.𝑁𝐵𝐹𝑀= 2𝑓𝑚, entonces el mismo es de NBFM.