Trabajo verano mates 4º eso (1)

TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO

1. Calcula:

a. 34300832279

b. 6 26 3 63 ba:ba

c.

6 2

3 24 3

yx

yxyx

d.

32

32

e. 23

1

f. 3 2

1

x

2. Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo y/o sus propiedades:

a) 2log7 x b) x35

625

1log c)

3. Desarrolla, utilizando las propiedades de los logaritmos, la siguiente explresión:

x

ca

2

5log

42

4. Calcula

a) b)

1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento AB, si A es el punto (-6,3)

y B el (2,-1)

2. Calcula el valor de m para que estos puntos estén alineados: P(2m,3), Q(-1,0) y R(2,-

2)

3. Dados los puntos A (0, -2), B(-2,1) y C(-1,0), calcula gráfica y analíticamente:

a) 2· -

B) 3 + 2

C)

·

4. Dados los vectores = (-2, 0) y , calcula: a) 2 + 3 b) - + 2

c)


1. ¿Cuáles son las coordenadas y el módulo de los siguientes vectores? (1 pto)

2. Las coordenadas de los puntos A, B, C son:

A(8,-3) B(5,-1) C(4,3)

Calcula el resultado de estas operaciones gráfica y analíticamente:

a) CAAB

b) BCCA

c) BC5

(2 puntos)


3. (2 puntos)

coordenadas de:

4. (2 puntos)

a) Determinar, analíticamente, si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.

b) Hallar k para que los puntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén alineados.

5. Considerar el segmento de extremos A(-2,1) y B(5,4). Halla el punto medio M (1 punto)

6. Dadas las siguientes figuras, halla su perímetro (2 puntos)

1. Comprueba si el punto A(0,-1) pertenecen a las siguientes rectas:

a. 2x - 3y -1 = 0

b. y = -2x -1


c. y-2= -2·(x+2)

d.

2. Indica un punto y un vector director de las siguientes rectas:

a. -x + 3y +1 = 0

b. y = 3x +3

c. y-1= -2·(x-5)

d.

e.

3. Halla el valor de k para que las rectas 2x 3y + 4 = 0 ; 3x + ky 1 = 0 sean

perpendiculares.

4. Halla la todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2,-1) y tiene por

vector director (-2,-3).

5. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a 5x-2y+3=0 y pasa por el origen

de coordenadas.

6. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a y+6=2(x-2) y pasa por (1,-

1).

7. Determinar la posición relativa de estas rectas y, en caso de que se corten,

calcula el punto de intersección:

A. 3x+2y-2=0

B. y-1=3(x-2)

8. Determina el perímetro del triángulo de vértices A (2,-1), B (0,-2) y C(-1,2).

9. Indica un punto, un vector director y la pendiente de cada una de las siguientes rectas:

a.

b.

c.

d.

(1.5p)


10. Escribe la ecuación explícita y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,-3) y B(0,4). (1.5p)

11. Obtener la ecuación de la recta perpendicular a 6x+2y-3=0 que pasa por el origen de coordenadas. (1.5p)

12. Obtener la ecuación de una recta paralela a r: y-3=2(x+1) que pase por el punto M(-1,-3). (1.5p)

13. Determinar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. En el caso de

que se corten, calcula el punto de intersección.

a. r: y=-2x+5 y s:

b. r: 5x-3y-2=0 y s:

c. r: y s:

(2p)

14. Una altura de un triángulo es el segmento que tiene por extremo uno de los

vértices y es perpendicular al lado opuesto. El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan sus alturas. Dado el triángulo de vértices A (3,1), B(2,-2) y C(-2,2), se pide:

a. Halla las ecuaciones de dos de las tres alturas del triángulo. b. Calcula las coordenadas de H, ortocentro del triángulo. c. Comprueba que H pertenece a las alturas calculadas. (2p)

1. Desarrolla la siguiente potencia utilizando el binomio de Newton: (1 punto)

(2x2-1)5


3. Factoriza el siguiente polinomio:

P(x) = –2x4 - 4x3 + 2x2 + 4x

(2 puntos)

4. Dado P(x)=2x2 – x – 3 , comprobar si es divisible por x +1 o por x–2 .¿Qué teorema has aplicado?¿Cuál es el otro factor por el que es divisible? (2 puntos)

5. Halla el valor de k para que el polinomio P(x) =kx3+2kx2−3x+1 sea divisible entre x−1. (2 puntos)

6. Efectúa las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común denominador y dando el resultado simplificado: (3p)

7. Efectúa los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado:

(3p)

8. Efectúa las siguientes operaciones combinadas y simplifica: (4p)


Opera y simplifica al máximo las siguientes expresiones:

a) 1)-(x 1)-x(

1-4x-x3-x22

23

=

b) = 1-x

x +

1-x

2 -

1+x

32

c)

x

y -

y

x .

y+x

y-x -

y-x

y+x =

d) = 3x

1+2x-x -

2x

1+3x +

1-x

3-2x+x22

e) =

1-x

1 +

1-x

x1+x

1-x -

1-x

1+2x-x

2

22

f) =

xx

xx

x

x

x

x

xxx

xx

42

26·

3

2

5

4·

842

103

2

2

2

23

2

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a.

b.

c.


d.

e. RESOLVER:

1. 6

2

5xx

2

125xx

22

2. x4 – 25x2 = -144

3.

1693 2

x

x

x

x

x

4. x3 -

2

1 x2 – 4x +2 = 0

5. 33 xx

6. 2x + 2x+1 + 2x-1 - 22x-3 = 10 - 2x

7. 5 log x + 0,5 log x = 1 – log x

8. -6x· (x-5)·(2x+1)· (7-x)· (x-

) = 0


1. Escribir la ecuación general de la recta que pasa por (2,-3) y cuyo vector

director es v=(-1,2). ¿Pertenece el punto (-1,1) a la recta?

(1 punto)

2. Calcular las coordenadas de A, sabiendo que B es el punto (1,-3), y que el punto

medio del segmento AB es M(2,4).

(1 punto)

3. Halla el valor de k para que la división 3:32 3 xkxx sea exacta.

(1 punto) 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: (3 puntos)

a.

b. 42 xx

c. 14

74

3

7

3

4

x

x

xx

5. Halla las soluciones del siguiente sistema lineal: (1 punto)

0825

1233

yx

yx

6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal. (1 punto)

024

1

yxy

yx

RECTAS

15. Comprueba si el punto A(1,2) pertenecen a las siguientes rectas:


a. y-2= -2·(x+2)

b.

16. Indica un punto y un vector director de las siguientes rectas:

a. -2x +5y +1 = 0

b. y = 4x -2

c. y-1= -2·(x-5)

d.

17.

TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO

18. Halla el valor de k para que las rectas x 3y + 2 = 0 ; 3x + ky = 0 sean perpendiculares.

19. Halla la todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-2,-1) y tiene por vector director

(1,-3).

20. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a -5x+y+2=0 y pasa por el punto (-1,2).

21. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a y-2=-5(x-1) y pasa por el origen de coordenadas.

22. Determinar la posición relativa de estas rectas y, en caso de que se corten, calcula el punto de

intersección:

C. 4x-y-2=0

D. y-1=-2(x-2)

23. Determina la medida del segmento AB si A es el punto (-1,5) y B (0,-3)

POLINOMIOS:

1.

Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:

a) p(x) + q(x);

b) p(x) - q(x);

c) p(x) + q(x) - r(x);

d) p(x) ·2q(x)

.1x2xr(x);35xq(x);89x4xp(x) 2333

2. Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?

.2x:7xxc);13x:18251x18xxb);1x:1xxxx2xa) 25232345

3. Realiza las siguientes divisiones:

a) 12x:1x5xx 23

b) 1x:3xx 226


4. Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:

a) 4x3xx 234

b) 13x4x4x3xx 2345

c) 412x17x18x14x6xx 23456

5. Usando el teorema del Resto ¿Cuál es exacta?

.1x:1xc);5x:10591x19x7xb);3x:75xxa) 82323

1. Halla m para que el resto de la división - 4x3 + 3x2 - mx + 1 :(x+3) sea 1. (1 punto)

2. Desarrolla la siguiente potencia utilizando el binomio de Newton: (1 punto)

(2x2 – 3)4

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: (4 puntos)

a. .

Halla las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Recuerda que no puedes repetir método. (1 punto)

a. b.


1. Resuelve las siguientes inecuaciones: (1 punto cada apartado)

7. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones gráficamente:

(2 puntos cada apartado)

2y 4x x

y x 1

1. Completa la siguiente tabla:


2. Halla el valor del lado x en los siguientes triángulos:

3. De un ángulo agudo se sabe que su seno es 0, 347. Mediante identidades trigonométricas, hallar sus

restantes razones.

4.

5. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Si la altura de la escalera, estando abierta, es de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

6. Un niño está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya la totalidad

del hilo, 47 m, y observa que el ángulo que forma la cuerda con el

suelo es aproximadamente 45º. ¿A qué altura se encuentra la cometa?

7. Sobre un acantilado de 32 m de altura un observador divisa dos embarcaciones, bajo ángulos de 30º y

60º respecto a la vertical. Hallar la distancia que hay entre los dos barcos.


1. Completa la tabla, indicando las operaciones que has realizado para ello: (1p)

Grados 30º 150º

Radianes

2. De un ángulo α se sabe que tg α=2 y que sen α < 0. (2p)

a. Indica razonadamente a qué cuadrante pertenece el ángulo.

b. Calcula el valor de senα y cosα.

3. Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de

30º y 75º respectivamente. Sabiendo que el ovni se encuentra entre ellos, calcula a qué altura está

situado. (2.5p)

7. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. 3

)1(22

3

52

4

)2(3 xxx

b. 6531 xxxx

8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a.

xx

x

5)1(3

412

b. (Gráficamente)

010-5y3x

6y-2x


9. Pablo y Diego están en la playa, justo al borde del agua y separados una distancia de 30m. Ambos

divisan un barco en el mar y desean saber a qué distancia de la orilla se encuentra. Pablo lo ve bajo

un ángulo de 65º mientras que Diego lo ve bajo un ángulo de 30º. Calcula a qué distancia de la orilla

está el barco y a qué distancia del barco se encuentran Pablo y Diego.

10. Del ángulo α se sabe que 180º< α< 270º y que senα = -0.35. Calcula el valor de cosα y tanα, sin hallar

el valor del ángulo α.

11. Calcula la derivada de las funciones siguientes:

a)

b) 834 xxxg

c) h(x) = sen (3x2 + 5x - 7)

d) i(x)= x3·ln x

1. Opera y simplifica (1 punto)

a.

2. Sabiendo que log x = 0,8 y log y = 0,6 y utilizando las propiedades de los logaritmos, calcula los siguientes logaritmos: (1 punto)

3. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(2,7) y que tiene por vector director v = (-3,5) (1

punto)


4. Factoriza el siguiente polinomio: 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 (1 punto)

5. Calcula la anchura del río. (1 punto)

6. Resuelve las siguientes ecuaciones: (1,5 puntos)

a.

b.


7. Halla las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones (1,5 puntos)

a.

8. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones. (1 punto)

b)

9. Halla las siguientes derivadas (1 punto)

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