EL CUENTO DE LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ARTE.

Una experiencia con el uso de software educativo.

Por: Nora Benítez Manjarrés Docente Normal Superior de Pasca y

Universidad de Cundinamarca (Colombia) e-mail: norax23@hotmail.com

RESUMEN Se presenta el mundo de los teselados, fractales y construcciones imposibles como medio para abordar una visualización más amplia de los conceptos básicos de la geometría, desarrollando el razonamiento y estimulando el análisis de las propiedades de las figuras y sus transformaciones. Como invitado se tiene a Maurits Cornelius Escher, un artista como muy pocos, admirado por virtuosos, matemáticos e intelectuales de todo el mundo. La razón principal por la cual Escher es elegido tiene que ver con su interesante obra en la que se destacó por crear juegos visuales a partir de la observación y el estudio de las formas en la realidad, trasladándolas al papel de una manera sorprendente. El propósito de este proyecto es motivar la exploración y representación de diseños artísticos en el plano a través de la utilización del Software de Geometría Dinámica CABRI II plus. En este proyecto participan estudiantes de décimo grado y del Programa de Formación complementaria de la Normal Superior de Pasca, y de II semestre de Licenciatura en Matemáticas de la Universidad de Cundinamarca. ABSTRACT “Recreating the art with Dynamic Geometry: tilings, fractals and imposible spaces”: It presents the “tessellation” or “tiling”, fractals and “impossible spaces” world in a way of approaching a wider visualization of the basic concepts of geometry by stimulating the development and interpretation of figures, its properties and its transformations. As our guest artist, I want to introduce Mr. Maurits Cornelius Escher; an extraordinary proficient like very few, who is admired by virtuosos, mathematicians and intellectuals worldwide. The main reason why Mr. Cornelis was chosen to represent this project, is due to his very interesting and prominent masterwork; the creation of visual games. These games arose from the study and observation of tangible figures, their shapes and their structures, to later on, in a surprising way, transferring them to paper as an art painting. The purpose of this project is to motivate the creation and the representation of artistic designs in a flat surface with the aid of the software: “The Dynamic Geometry CABRI II bonus”. Students from the tenth grade, whom are also affiliated to the Program of Formation complementary and are as well Mathematics Majors, are the participants in this project.

CONTEXTUALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA Para comprender qué es una teselación conviene imaginar una gran tienda de rompecabezas donde cada juego está compuesto por piezas de igual forma y tamaño. Se dice que estas piezas son teselantes cuando es posible acoplarlas entre sí, sin dejar huecos, hasta recubrir por completo el plano. La variedad de formas que pueden tener estas piezas es infinita. Las teselaciones han estado presentes en la vida del hombre desde la antigüedad, encontrándose importantes manifestaciones en diversas culturas, especialmente en los diseños de pisos, paredes y ornamentos de palacios, iglesias y en diversas construcciones. Los moros fueron maestros en este arte y prueba de su creatividad se encuentra en la Alhambra de Granada (España). Ellos no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov (1891) sobre los “Grupos cristalográficos planos”, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con losetas, por eso resulta sorprendente que conocieran y usaran en sus diseños todos y cada uno de los 17 existentes. De otra parte, es importante mencionar a Maurist Cornelis Escher teniendo en consideración que es uno de los pocos artistas contemporáneos que ha logrado cautivar e inspirar a los matemáticos. Muchas de sus obras se refieren a teselados, estructuras matemáticas y juegos visuales que realizó a partir de la observación y el estudio de las formas en la realidad. El trabajo con la simetría y la repetición lo obsesionó constantemente y, precisamente, esto hizo que algunas de sus obras sean clasificadas en algo que él nombró como “partición regular del plano”. Tomando como referente el contexto anteriormente descrito, se realizan algunas actividades con los estudiantes de la Escuela Normal Superior de Pasca y de la Universidad de Cundinamarca. Estas van evolucionando hasta convertirse en un proyecto de Aula que año tras año va creciendo gracias a las posibilidades que brinda su práctica en diversos ámbitos académicos: artístico, geométrico, lógico y cultural. ¿Qué importancia tiene el arte en el ámbito educativo? Por una parte debe considerarse que el arte potencia el desarrollo de los sentidos, la sensibilidad, la expresión de las emociones, la inteligencia… Los seres humanos forman una perspectiva del mundo muy propia pero totalmente influenciada por el entorno, ven y definen su intelecto, basados en símbolos y signos de un mundo manifiesto, partiendo de conceptos y formas establecidas. La creatividad representa una persistente lucha interior por sensibilizarse corporalmente ante los estímulos del medio, buscando siempre ver más allá de lo visible.

El arte demanda el uso de ambos hemisferios cerebrales en los cuales se alojan las acciones lógicas, matemáticas, analíticas y conscientes, al igual que las inconscientes, sintéticas e intuitivas. El sentido de lo artístico es permanente, por tanto debe fomentarse constantemente, es decir, en todo momento y en todo nivel del sistema educativo. ¿Qué condiciones favorece la experiencia para el desarrollo de competencias? Para entender hasta qué punto esta experiencia logra un impacto real y pertinente con respecto al desarrollo de competencias, es necesario considerar algunas precisiones extraídas textualmente del Documento No 3 del Ministerio de Educación Nacional, en el capítulo de Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas:

“Desarrollar las competencias matemáticas supone organizar procesos de enseñanza y aprendizaje basados en estructuras curriculares dinámicas que se orienten hacia el desarrollo de competencias. Esto obliga al desarrollo de procesos, situaciones y actividades contextualizadas en situaciones que portan una visión integral del conocimiento matemático…” pág. 74

El pensamiento espacial es entendido como “el conjunto de los procesos

cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales” pág. 61

El estudio de las propiedades espaciales implica entre otros“…relacionar el estudio

de la geometría con el arte y la decoración; con el diseño y la construcción de objetos artesanales y tecnológicos…”pág. 61

Se propone al maestro “Diseñar procesos de aprendizaje mediados por escenarios

culturales y sociales. El aprendizaje se propone como un proceso activo que emerge de las interacciones entre estudiantes y contextos…”pág. 73

Los recursos didácticos pueden ser materiales estructurados con fines educativos o

tomados de otras disciplinas y contextos para ser adaptados a los fines que requiera la tarea. Entre estos recursos, pueden destacarse aquellos configurados desde ambientes informáticos… pág. 75

La diversidad de formas de las piezas teselantes es infinita, sin embargo es viable trabajar con estudiantes algunas técnicas que permitan lograr gran variedad de resultados mientras se fortalecen diferentes competencias. Es esta posibilidad la que ha motivado la realización de este proyecto de aula que tiene como uno de sus propósitos explorar el encantador mundo de los teselados, fractales y construcciones imposibles como medio para fomentar el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial.

En el caso particular de las teselaciones, además de su importancia desde el punto de vista estético, creativo y sensitivo se agrega el gran interés didáctico para la geometría. Uno de los aspectos más importantes en la clasificación de teselados es la simetría. Usando este concepto, los patrones pueden ser catalogados en siete tipos diferentes, por tanto, su aplicación requiere abordar el estudio de las transformaciones en el plano. Geométricamente hablando es importante resaltar que las todas las figuras cumplen un papel fundamental en la solución de problemas pues éstas permiten la “Abducción”, es decir, encontrar los caminos que permiten dar solución a una situación problemática planteada. A pesar de esto, a veces no se presta suficiente atención a las mismas e incluso terminan asumiéndose como elementos decorativos. Esto aparentemente es debido a que no todos los maestros reconocen la importancia de desarrollar en los estudiantes su capacidad de visualización, la cual es indispensable para explorar y analizar la potencia de una figura. Las posibilidades de aprehensión heurística que permiten las figuras se encuentran relacionadas con los tipos de modificaciones sobre la figura así:

Modificaciones Mereológicas: Relaciones entre las partes y el todo:

Reconfiguración. Configuración.

Modificaciones Ópticas: Superponibilidad. Anamorfosis.

Modificaciones Posicionales: cuando hay traslación o rotación de la figura o de las

partes que la componen.

Lo anterior, permite ratificar la importancia del trabajo con transformaciones geométricas

en el plano lo cual indiscutiblemente puede contribuir en el desarrollo de la “capacidad de

visualización” de los estudiantes. Además, es importante considerar lo que afirma

Cordero, J (2011) al respecto:

“Sólo muy recientemente, y tal vez por la enorme profusión de imágenes que fabrica y consume el hombre actual, se está cayendo en la cuenta de lo incompleta que es la educación escolar para enfrentarse con discernimiento racional y preparación técnica - a la continua información, y también manipulación visual, de nuestra época. El desprecio o abandono para abordar con rigor este campo, está produciendo retrasos irrecuperables en la utilización beneficiosa de los logros técnicos conseguidos en la confección y propagación de imágenes visuales”

Con respecto a la herramienta de trabajo, es primordial destacar que la geometría está experimentando un emocionante renacimiento en el mundo gracias al desarrollo de software de geometría dinámica como Cabri. El uso de este programa tecnológico permite realizar en muy corto tiempo construcciones de polígonos y sus isometrías que podrían tomar horas usando elementos convencionales de dibujo geométrico (lápiz, regla, compás

y transportador). Afortunadamente la Normal Superior de Pasca cuenta con un aula móvil de tecnología (con 20 equipos portátiles), donde ha sido posible trabajar por parejas o individualmente dependiendo del número de estudiantes de cada grupo. Las actividades desarrolladas en el aula contemplan varias posibilidades:

1. Teselados geométricos (regulares, demi-regulares, semi-regulares e irregulares). En este caso se requiere la construcción de Macros y el análisis de las propiedades de las figuras, lo cual permite identificar las características de las piezas teselantes respecto a sus ángulos.

2. Teselados animados (con formas de personas, animales y objetos personificados). Para lograr este propósito se trabaja con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos sobre los que se trazan polígonos irregulares auxiliares que son manejados convenientemente con transformaciones isométricas, permitiendo obtener piezas no regulares que teselan. También se toman como base algunos polígonos irregulares.

3. Análisis de algunas de las obras de Escher para lograr su reproducción aplicando isometrías.

¿Cuál ha sido la trayectoria y qué resultados se han obtenido institucionalmente? En la Escuela Normal Superior de Pasca “Nuestra Señora de la Encarnación” el proyecto “Transformaciones Geométricas en el Arte” comienza en el año 2006. Las primeras elaboraciones permitieron la realización de una Unidad didáctica que se tituló “Once Estrategias para divertirse y aprender con triángulos Equiláteros”, con la cual, un grupo de 4 estudiantes y la investigadora principal, participan en un concurso organizado para el evento Iberocabri Argentina 2008, resultando clasificados como finalistas. Para dar continuidad al mismo, se inicia la elaboración de un Manual que es construido a partir de los trabajos realizados en aula por diferentes grupos de maestros en formación (estudiantes del Programa de Formación complementaria de la Normal Superior de Pasca (ENSP) y de Licenciatura en matemáticas de la Universidad de Cundinamarca). Este tutorial lleva por nombre “Recreando el Arte con Geometría Dinámica: Teselados, fractales y construcciones imposibles”. En el año 2011 se han vinculado al proceso los estudiantes de educación media, más específicamente a los jóvenes del curso 10.1 de la ENSP, teniendo en cuenta que uno de los estándares básicos de competencias en Matemáticas para este nivel indica textualmente “Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y otras ciencias”. No se ha podido extender la experiencia a los otros cuatro grupos de décimo por cuanto no se puede disponer del aula móvil únicamente para las necesidades del área de matemáticas, sin embargo, con estos estudiantes se desarrolla un proyecto institucional para el desarrollo del pensamiento lógico.

¿Qué transformaciones se han evidenciado en la práctica de la docencia y en la formación de los estudiantes a partir de la implementación de la experiencia? Son varios los aspectos que se pueden mencionar para dar respuesta a este interrogante: El primer resultado importante es que los estudiantes requieren entender y aplicar las propiedades fundamentales de las figuras geométricas, especialmente aquellas que se refieren a sus ángulos, pues, por ejemplo, para la construcción de macros deben señalar un número que corresponde al ángulo central de la figura que se quiere construir, y, por otra parte, al teselar utilizando como herramienta la rotación alrededor de un punto, debe indicarse el valor del ángulo interno de la misma, ya que este es el que permitirá que los bordes de dichos polígonos coincidan. Otro avance significativo consiste en tener la necesidad de aplicar conceptos geométricos y manejar su terminología (lenguaje técnico) de manera fluida. En geometría dinámica la diferencia entre hacer un dibujo y una construcción radica en la correcta utilización de las opciones que ofrece el software. La herramienta arrastre y las de verificación permitirán constatar la consistencia de las elaboraciones realizadas por los estudiantes. La creatividad de los jóvenes ha sido una constante en este proyecto, esto ha dado lugar a un sinnúmero de teselaciones a partir de una sola pieza teselante o de la combinación de dos figuras complementarias que también logran recubrir el plano. Los mejores trabajos se han venido incorporando en el Manual de Teselaciones. Para los estudiantes de los Programas de Formación Complementaria y de Licenciatura en Matemáticas que optaron por analizar la producción artística de Escher, ha resultado muy motivador saber que pueden llegar a recrear algunos de sus diseños, aún cuando no se consideren “buenos para el dibujo”. Esta tarea ha implicado demostrar avances importantes en la visualización de las figuras y sus propiedades. Realizar la reproducción de construcciones imposibles refleja además habilidades de pensamiento espacial (en tres dimensiones). Algunos estudiantes sorprendentemente logran superar a su maestra. Incluso llegan a resolver situaciones que se presentan a sus compañeros de maneras que no se habrían considerado por su profesora, lo cual resulta favorable pues el proceso educativo se da en tres direcciones: (maestra – estudiantes, estudiantes – estudiantes y estudiantes –maestra) Cuando se han presentado problemas técnicos siempre se ha contado con uno o más estudiantes adelantados al respecto, lo cual permite optimizar el uso de los equipos, teniendo en cuenta que los virus generan bastantes problemas y el mantenimiento de los equipos se programa de manera no tan frecuente.

Desde la perspectiva de la docente también se han generado cambios importantes pues ha sido necesario profundizar en aspectos conceptuales, tecnológicos y metodológicos, para poder dar respuesta a muchos de interrogantes que puedan presentarse en el proceso. Para evidenciar los alcances de los estudiantes en sus propias palabras, a continuación se presentan las respuestas (o fragmentos de ellas) dadas a las siguientes preguntas: Con respecto al proyecto ¿Qué tipo de competencias creen que pueden desarrollarse? y ¿Qué aportó para su vida personal y académica participar en esta experiencia?

“Esta experiencia es muy productiva pues gracias a ella aprendí a encontrarle diferentes formas a los objetos, además, es importante ver cómo ponemos a volar nuestra imaginación cuando tenemos que crear cosas nuevas. En cuanto a lo académico, considero que estos métodos nos permiten enseñar de manera fácil temas que aparentemente son difíciles” Natalia

“… se pueden desarrollar las competencias espaciales a partir de esta experiencia, para lograr utilizar y trasladar el conocimiento de un campo a otro muy distinto, consiguiendo su aplicación a la perfección. Esta experiencia aporta para mi vida un alto conocimiento en un tema que era desconocido para mí y que ahora manejo holgadamente” Rayid

“Para que algo se lleve a cabo de forma correcta y óptima, hay que utilizar todas las herramientas posibles y hacer de lo inalcanzable, lo más cercano” Tania

“Esta experiencia permite desarrollar la habilidad artística y creativa aunque uno no sepa dibujar” Yury

“Me permitió conocer algunas dificultades que tengo, pero aprendí de ello que todos contamos con una gran imaginación e ingenio” Alejandra

“Fue una forma muy bonita de dibujar para los que no somos expertos…” Mayra “Uno puede desarrollar la parte artística por medio de este programa, y muchas

veces uno no tiene ni idea de lo que puede llegar a hacer” Karen “… me ayudó a desarrollar mi imaginación, la creatividad y unas habilidades que no

sabía que tenía…” Andrea “… logré desarrollar aún más la capacidad imaginativa y de creatividad, al igual que

esforzarme en lo que es la perfección, un elemento clave para la vida…” Paula “Conocer una nueva forma de expresión por medio de un software donde puedes

plasmar tus estados de ánimo, pensamientos y demás sentimientos… Podría convertirme en un Pintor sin Pincel” Elvis

“Al principio vi todo muy difícil pero al manejar las herramientas y al ponerme a construir no se me dificultó. Creí que el trabajo que yo realizaba era feo, no me gustaba como quedaba y lo borraba hasta que decidí dejar uno, pero eso es bueno porque cuando uno practica, aprende y creo que lo que uno aprende bien, jamás en la vida se olvida” Yised

“Elaborando teselados se expresan otros factores importantes como la imaginación, dedicación, creatividad y arte. Creo además que es muy útil pues no

es algo de momento, es algo que permite desarrollar el pensamiento más allá de lo que se vive o se ve…” Lorena

“… presentaba dificultad en algunos conceptos de geometría que clarifiqué por medio de Cabri y las explicaciones en clase. Ahora me gusta más la geometría y la entiendo mucho mejor” Danna

“Esta experiencia me pareció muy buena ya que pude experimentar muchas cosas y aprender sobre geometría…”Estiven

“Creo que se pueden desarrollar competencias de pensamiento lógico matemáticas. Durante el proceso se facilita la capacidad de captación, la perspectiva de una figura y sus posibles análisis” Milton

“Este software es una herramienta muy interesante y retadora… Para mi aportó este proyecto muchos conocimientos para mi vida ya que facilita muchas actividades y forma en una nueva metodología” Daniel

“… uno debe ser muy recursivo y dinámico, uno a veces no tiene muchas capacidades para el dibujo pero debe practicar y practicar hasta mejorar y mostrar algo muy bueno. …debemos ser muy pulidos y limpios a la hora de hacer un trabajo. …estas herramientas son muy buenas a la hora de dar a conocer un tema, que se puede practicar, que son muy interesantes y sobre todo, que con ellas se pueden lograr muchas cosas” Leidy.

“El proyecto de teselados permite analizar mejor el tema de transformaciones geométricas, además, ayuda a que el estudiante analice mejor las figuras geométricas, lo que permite solucionar problemas del día a día” Deiby

“ …también se desarrollan las competencias comunicativas, pues teníamos en cuenta las opiniones de los compañeros para perfeccionar nuestras teselas… Respecto a mi vida personal me deja una gran idea de enseñar un día las figuras o algún tema con el programa Cabri y así mismo, al hacer mis prácticas y necesitar algún dibujo, yo podría tener una gran ayuda para llevarlo a cabo” Yuly

“Con el proyecto de teselados se pueden desarrollar variedad de competencias como la creatividad, en el momento de animar las teselas; lectura de contexto, ya que gracias a una tesela podemos observar en qué ambiente se desarrolla la persona que la realiza; transmitir sentimientos, ya que dependiendo de lo que se realiza, las demás personas lo van a interpretar”, “Esta experiencia aportó en mi vida personal que se pueden realizar cosas bonitas, lo único que se debe hacer es elevar la imaginación e ir manejando al mismo tiempo la creatividad; en cuanto a lo académico, que hay nuevas formas de dinamizar una clase…” Francy

“Es bueno y recomendable no dejar este tema a un lado sino promover su práctica, incluso como recurso para explicar otros temas y hasta otras áreas de conocimiento” Tania

Sobre lo que logra con esta experiencia pueden citarse las siguientes palabras claves usadas por los estudiantes: Capacidades analíticas, espacialidad, lógica, comprensión de las figuras, conocimientos geométricos, captación, perspectiva y posibilidades de análisis de una figura, exploración, solución de problemas, creatividad, imaginación, motricidad, estética, dedicación,

competencias para la vida, lectura e interpretación de contextos, competencias comunicativas, expresión de sentimientos, motivación por aprender, interés, conocimientos en uso de las TIC´s, programas y metodologías.

Por un lado, se ha propuesto que la visualización en educación matemática está en su renacimiento (Zimmerman & Cunningham, [12]). Pero, por otro lado, parece que se han hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para realizarlo (ver Berthelot & Salin en la Sección V). Pudiera ser que la comunidad esté haciendo la suposición cándida de que los humanos nacemos con las habilidades de pensamiento visual y que éstas son aplicadas cuando se necesitan, y consecuentemente no se requiere hacer nada para alimentarla o desarrollarla. (Para más sobre educación visual y su estatus, ver Herskowitz, Parzysz & van Dormolen, [6].)

En lo siguiente, hemos visitado de nuevo algunas visiones ampliamente difundidas sobre el razonamiento visual, y retado algunas de sus suposiciones subyacentes e incluso explícitas.

Duval (Sección II) distingue entre procesos visuales y procesos de razonamiento, y parece sugerir que son categorías diferentes de pensamiento. Él propone que una función principal de los procesos visuales es el de la verificación subjetiva. Incluso si estamos de acuerdo con esta visión de la visualización (y levantamos algunos cuestionamientos sobre ello más abajo), muchos educadores matemáticos incluyen la verificación subjetiva como una parte integral del razonamiento en general.

BIBLIOGRAFIA

AGUERRONDO, I. (1990): El planeamiento educativo como instrumento de cambio. Buenos

Aires, Troquel.

ALSINA, C. - BURGUÉS, C. - FORTUNY, J. (1991): Materiales para construir la geometría.

Madrid, Ed. Síntesis.

ANTUNEZ, S - GAIRÍN, J. (1996): La organización escolar. Barcelona, Graó.

BAROODY, A. (1997): El pensamiento matemático de los niños. Madrid, Aprendizaje Visor.

CASTELNUOVO, E. (1970): Didáctica de la matemática moderna. México, Ed. Trillas. GEGA, P. (1980): La enseñanza de las ciencias en la escuela primaria http://www.taringa.net