TRANSFORMASI PEUBAH ACAK

DAN DISTRIBUSINYA

Makalah Kelompok-V

Diajukan untuk Melengkapi Tugas Matakuliah

Statistika Matematika

Oleh

1. RIZKI KURNIAWAN RANGKUTI

2. NUR ASIMA SIREGAR

3. MAISYAROH MANURUNG

Dosen Pengampu

Dr. Ani Minarni, M.Si

Program Studi Pendidikan Matematika

Jenjang Program Strata Dua (S-2)

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN

2014

TRANSFORMASI PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Dalam banyak aplikasi statistik, diberikan suatu distribusi peluang peubah acak

univariat X, seseorang ingin mengetahui distribusi peluang dari peubah acak univariat yang

lain Y = φ(X), di mana φ adalah suatu fungsi yang diketahui. Sebagai contoh, jika kita

mengetahui distribusi peluang peubah acak X, kita bisa mengetahui distribusi Y = ln(X).

Untuk peubah acak univariat X, pada umumnya digunakan transformasi peubah acak Y dari X

adalah: 2

2 ,,ln,,,

XY

XYXYXYXYXY . Demikian pula

untuk peubah acak bivariat (X, Y), beberapa transformasi yang paling umum dari X dan Y

adalah ,,,Y

XXYYX

min YX , , max YX , atau 22 YX . Dalam bab ini, kita akan

mengkaji berbagai metode untuk menemukan distribusi peubah acak univariat atau bivariat

yang ditransformasikan, ketika transformasi dan distribusi dari peubah-peubah yang

diketahui. Pertama, kita perlakukan kasus univariat, kemudian kita perlakukan kasus bivariat.

Kita mulai dengan suatu contoh untuk peubah acak univariat diskrit.

Contoh 10.1.

Fungsi kepadatan peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

x -2 -1 0 1 2 3 4

xf 10

1

10

2

10

1

10

1

10

1

10

2

10

2

Tentukan fungsi padat peluag dari variabel acak 2XY ?

Penyelesaian:

Ruang sampel peubah acak X adalah 4,3,2,1,0,1,2 XR , kemudian ruang sampel dari

peubah acak Y adalah XY RxxR 2 . Dengan demikian 16,9,4,1,0YR . Sekarang kita

menghitung fungsi padat peluang yg untuk y di YR .

10

24161616

10

23999

10

222444

10

311111

10

10000

2

2

2

2

2

XPXPYPg

XPXPYPg

XPXPXPYPg

XPXPXPYPg

XPXPYPg

Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:

y 0 1 4 9 16

yg 10

1

10

3

10

2

10

2

10

2

Contoh 10.2.

Fungsi padat peluang dari peubah acak X ditunjukkan pada tabel di bawah ini:

x 1 2 3 4 5 6

xf 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Tentukan fungsi padat peluang dari peubah acak Y = 2X +1 ?

Penyelesaian:

Ruang sampel peubah acak X adalah 6,5,4,3,2,1XR , kemudian ruang sampel dari peubah

acak Y adalah XY RxxR 12 . Dengan demikian, 13,11,9,7,5,3YR . Selanjutnya kita

menghitung fungsi padat peluag yg untuk y di YR diberikan oleh

6

1613121313

6

1511121111

6

1491299

6

1371277

6

1251255

6

1131233

XPXPYPg

XPXPYPg

XPXPYPg

XPXPYPg

XPXPYPg

XPXPYPg

Kita ringkas distribusi Y pada tabel sebagai berikut:

y 3 5 7 9 11 13

yg 6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Distribusi X dan 2X + 1 diilustrasikan di bawah ini:

Pada contoh 10.1, kita telah menghitung distribusi (yaitu, fungsi padat peluang) dari

peubah acak Y = φ(X) yang ditransformasikan, di mana φ(x) = x2. Transformasi ini tidak

meningkat atau menurun (yaitu, monoton) di ruang RX dari peubah acak X. Oleh karena itu,

distribusi Y berubah menjadi sangat berbeda dari X. Pada contoh 10.2, bentuk distribusi

transformasi peubah acak Y = φ(x), di mana φ(x) = 2x + 1, pada dasarnya sama. Hal ini

terutama disebabkan oleh fakta bahwa φ(x) = 2x + 1 adalah monoton di RX.

Dalam bab ini, kita akan memeriksa fungsi padat peluang dari peubah acak yang

ditransformasikan dengan mengetahui fungsi kepadatan peubah acak yang asli. Ada beberapa

metode untuk menemukan fungsi kepadatan peluang dari peubah acak yang

ditransformasikan. Beberapa metode ini adalah : (1) metode fungsi distribusi, (2) metode

transformasi, (3) metode konvolusi, dan (4) metode fungsi pembangkit momen.

Di antara empat metode tersebut, metode transformasi adalah yang paling berguna.

Metode konvolusi adalah kasus khusus dari metode ini. Metode transformasi diturunkan

dengan menggunakan metode fungsi distribusi.

10.1. Metode Fungsi Distribusi

Kita telah melihat di BAB-6 bahwa suatu metode yang mudah untuk menemukan

fungsi padat peluang dari transformasi peubah acak kontinu adalah untuk menentukan fungsi

distribusinya dan kemudian fungsi kepadatan tersebut ditentukan dengan diferensiasi.

Contoh 10.3.

Sebuah kotak akan dibangun sehingga tingginya 4 inci dan alasnya adalah X inci. Jika X

memiliki distribusi normal standar, tentukan distribusi volume kotak tersebut?

Penyelesaian:

Volume kotak adalah suatu peuah acak, karena X adalah suatu peubah acak. Peubah acak V

diberikan oleh V = 4X2. Untuk menemukan fungsi kepadatan V, pertama-tama kita tentukan

bentuk fungsi distribusi G(v) dari V dan kemudian kita turunkan G(v) untuk menemukan

fungsi kepadatan V. Fungsi distribusi V diberikan oleh:

𝐺(𝑣) = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣)

= 𝑃(4𝑋2 ≤ 𝑣)

= 𝑃(−1

2√𝑣 ≤ 𝑋 ≤

1

2√𝑣)

= ∫ 1

√2𝜋𝑒

−1

2𝑥2

𝑑𝑥1

2√𝑣

−1

2√𝑣

= 2 ∫ 1

√2𝜋𝑒

−1

2𝑥2

𝑑𝑥1

2√𝑣

0 (ketika integran sama)

Oleh karena itu, dengan Teorema Dasar Kalkulus, kita peroleh

𝑔(𝑣) =𝑑𝐺 (𝑣)

𝑑𝑣

=𝑑

𝑑𝑣(2 ∫

1

√2𝜋𝑒−

1

2𝑥2

𝑑𝑥1

2√𝑣

0)

= 21

√2𝜋𝑒−

1

2(

1

2√𝑣 )

2

(1

2)

𝑑√𝑣

𝑑𝑣

=1

√2𝜋𝑒−

1

8𝑣 1

2√𝑣

=1

Γ(1

2)√8

𝑣1

2−1𝑒−

1

8𝑣

= 𝑉 ∼ 𝐺𝐴𝑀 (8,1

2)

Contoh 10.4

Jika fungsi kepadatan 𝑋 didefinisikan oleh

𝑓(𝑥) = {

1

2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 1 < 𝑥 < 1

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Tentukan fungsi padat peluang 𝑌 = 𝑋2

Penyelesaian:

Pertama, kita temukan fungsi distribusi komulatif 𝑌 dan differensiasi, kita peroleh fungsi

kepadatan 𝑌. Fungsi distribusi 𝐺(𝑦) dari 𝑌 diberikan dengan

𝐺(𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦)

= 𝑃(𝑋2 ≤ 𝑦)

= 𝑃(−√𝑦 ≤ 𝑋 ≤ √𝑦)

= ∫1

2𝑑𝑥√𝑦

−√𝑦

= √𝑦

Dengan demikian, fungsi kepadatan 𝑌 diberikan oleh

𝑔(𝑦) =𝑑𝐺 (𝑦)

𝑑𝑦

=𝑑√𝑦

𝑑𝑦

=1

2√𝑦,𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 < 𝑦 < 1

10.2 Metode Transformasi untuk Kasus Univariat

Teorema berikut adalah penopang metode transformasi.

Teorema 10.1.

Misalkan 𝑋 merupakan suatu peubah acak kontinu dengan fungsi padat peluang 𝑓(𝑥).

Misalkan 𝑦 = 𝑇(𝑥) merupakan fungsi naik atau fungsi turun, maka fungsi kepadatan dari peubah acak 𝑌 = 𝑇(𝑥) diberikan oleh

𝑔(𝑦) = |𝑑𝑥

𝑑𝑦| 𝑓(𝑊(𝑦))

dimana 𝑥 = 𝑊(𝑦) adalah fungsi invers dari 𝑇(𝑥)

Bukti:

Duga bahwa 𝑦 = 𝑇(𝑥) merupakan suatu fungsi naik. Fungsi distribusi 𝐺(𝑦) dari 𝑌 diberikan

oleh 𝐺(𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦)

= 𝑃(𝑇(𝑋) ≤ 𝑦)

= 𝑃(𝑋 ≤ 𝑊(𝑦))

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑊 (𝑦)

−∞

maka, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan 𝑌, yaitu

𝑔(𝑦) =𝑑𝐺 (𝑦)

𝑑𝑦

=𝑑

𝑑𝑦(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑊(𝑦)

−∞)

= 𝑓(𝑊(𝑦))𝑑𝑊 (𝑦)

𝑑𝑦

= 𝑓(𝑊(𝑦))𝑑𝑥

𝑑𝑦, ketika 𝑥 = 𝑊(𝑦)

Dalam hal yang lain, jika 𝑦 = 𝑇(𝑥) adalah fungsi turun, maka fungsi distribusi 𝑌 diberikan

oleh 𝐺(𝑦) = 𝑃(𝑌 ≤ 𝑦)

= 𝑃(𝑇(𝑋) ≤ 𝑦)

= 𝑃(𝑋 ≥ 𝑊(𝑦)), ketika 𝑇(𝑥) menurun

= 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑊(𝑦))

= 1 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑊 (𝑦)

−∞

Seperti sebelumnya, dengan mendifferensiasikannya kita peroleh fungsi kepadatan 𝑌, yaitu

𝑔(𝑦) =𝑑𝐺 (𝑦)

𝑑𝑦

=𝑑

𝑑𝑦(1 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑊(𝑦)

−∞)

= −𝑓(𝑊(𝑦))𝑑𝑊(𝑦)

𝑑𝑦

= −𝑓(𝑊(𝑦))𝑑𝑥

𝑑𝑦, ketika 𝑥 = 𝑊(𝑦)

Dengan demikian, dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, kita peroleh

𝑔(𝑦) = |𝑑𝑥

𝑑𝑦| 𝑓(𝑊(𝑦))

Contoh 10.5.

Misalkan 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎. Jika 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2), maka tentukan fungsi padat peluang 𝑍

Penyelesaian:

𝑧 = 𝑈(𝑥) =𝑥 − 𝜇

𝜎

Oleh karena itu, invers U diberikan dengan 𝑊(𝑧) = 𝑥

= 𝜎𝑧 + 𝜇

Dengan demikian 𝑑𝑥

𝑑𝑧= 𝜎

Oleh karena itu, dengan Teorema 10.1, kepadatan Z diberikan dengan

𝑔(𝑧) = |𝑑𝑥

𝑑𝑧| 𝑓(𝑊(𝑦))

= 𝜎1

√2𝜋 𝜎2 𝑒−1

2(

𝑤(𝑧)−𝜇

𝜎)

2

=1

√2𝜋𝑒

−1

2(

𝑧𝜎+𝜇−𝜇

𝜎)

2

=1

√2𝜋𝑒−

1

2𝑧2

Contoh 10.6.

Misalkan 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎 . Jika 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2), maka tunjukkan bahwa 𝑍2 adalah chi-kuadrat dengan

satu derajat kebebasan, yaitu 𝑍2~𝑋2(1).

Penyelesaian:

𝑦 = 𝑇(𝑥) = (𝑥−𝜇

𝜎)

2

𝑥 = 𝜇 + 𝜎√𝑦

𝑊(𝑦) = 𝜇 + 𝜎√𝑦, 𝑦 > 0

𝑑𝑥

𝑑𝑦=

𝜎

2√𝑦

Kepadatan Y adalah:

𝑔(𝑦) = |𝑑𝑥

𝑑𝑦| 𝑓(𝑊(𝑦))

= 𝜎1

2√𝑦𝑓(𝑊(𝑦))

= 𝜎1

2√𝑦

1

√2𝜋 𝜎2 𝑒−1

2(

𝑊(𝑦) −𝜇

𝜎)

2

=1

2√2𝜋𝑦𝑒

−1

2(

√𝑦𝜎+𝜇−𝜇

𝜎)

2

=1

2√2𝜋𝑦𝑒−

1

2𝑦

=1

2√𝜋 √2𝑦−

1

2 𝑒−1

2𝑦

=1

2Γ (1

2)√2

𝑦−1

2 𝑒−1

2𝑦

Dengan demikian 𝑌~𝑋2(1)

Contoh 10.7.

Misalkan 𝑌 = − ln 𝑋. Jika 𝑋~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1), maka tentukan fungsi kepadatan Y ketika tidak-

nol.

Penyelesaian:

Diberikan 𝑦 = 𝑇(𝑥) = − ln 𝑥

Dengan demikian, invers dari 𝑦 = 𝑇(𝑥) diberikan oleh

𝑊(𝑦) = 𝑥

= 𝑒−𝑦 Maka

𝑑𝑥

𝑑𝑦= −𝑒−𝑦

Dengan demikian, berdasarkan Teorema 10.1, kepadatan peluang dari Y diberikan oleh:

𝑔(𝑦) = |𝑑𝑥

𝑑𝑦| 𝑓(𝑊(𝑦))

= 𝑒−𝑦 𝑓(𝑊(𝑦))

= 𝑒−𝑦

Kemudian 𝑌~𝐸𝑋𝑃(1), dengan demikian, jika 𝑋~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1), maka peubah acak

− ln 𝑋 ~𝐸𝑋𝑃(1).

Meskipun semua contoh pada sesi ini terkait dengan peubah acak yang kontinu, metode transformasi juga bekerja untuk variabel random yang diskrit.