Triângulo de Pitágoras

Pitágoras (850 a 507 a.C.) nasceu na ilha de Samos, na Grécia. Pitágoras, como ponto central dos seus ensinamentos, tinha uma visão da harmonia do universo, que se baseava nos números e nas fórmulas de matemática abstracta. Assim, Pitágoras desejava encontrar a "harmonia matemática" em todas as coisas. Por exemplo, ele descobriu que a soma de todos os ângulos de um triângulo era sempre igual à soma de dois ângulos retos. Finalmente, sabias que o conhecido Teorema de Pitágoras já tinha sido descoberto? É verdade! No entanto, ele foi a primeira pessoa que a conseguiu provar matematicamente. Pitágoras descobriu uma propriedade importante para o triângulo retângulo (triângulo que contém um ângulo de 90º). Antes de mais, vamos dar nomes aos lados de um triângulo retângulo: catetos são os dois lados adjacentes ao ângulo de 90º e hipotenusa é o lado oposto a esse mesmo ângulo.

c = hipotenusa a = cateto b = cateto

Teorema de Pitágoras: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

c² = a² + b²

Vamos agora demonstrar o Teorema de Pitágoras. O que se pretende demonstrar é que: dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c (HIPÓTESE) temos c² = a² + b².

Consideremos um quadrado de lado a + b. O quadrilátero [ABCD] que se obtém unindo os pontos A, B, C e D é um quadrado, já que:

• os lados são todos iguais a c pois, como se pode ver, eles são as hipotenusas de triângulos retângulos iguais (os 4 triângulos que se obtêm ao fazermos esta decomposição são iguais pelo caso LAL).

• os ângulos são todos retos. Observando a figura seguinte podemos chegar

a essa conclusão, visto que os ângulos 1 e 2 são complementares. Os ângulos 1 e 3 têm a mesma amplitude, visto que entre ângulos geometricamente iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais. Logo, o ângulo 4 mede 90º.

Façamos agora outra decomposição do quadrado de lado a + b. Nesta decomposição obtemos também 4 triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c.

Se retirarmos o que é igual às duas decomposições que fizemos do quadrado de lado a + b, obtemos:

As áreas destas duas figuras têm de ser iguais, já que, elas resultam de decomposições do mesmo quadrado, ao qual foram retiradas partes iguais. Logo, c² = a² + b², como queríamos demonstrar. Repara no seguinte exemplo:

Como podes ver, o quadrado do cateto mede 3 somado com o quadrado do cateto que mede 4 é igual ao quadrado da hipotenusa que mede 5:

3² + 4² = 5²

Nunca te esqueças que o Teorema de Pitágoras só é aplicado ao triângulo retângulo.

No espaço, o Teorema de Pitágoras diz que o quadrado da medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo é igual à soma dos quadrados das três dimensões das arestas.

Razões Trigonométricas de um Triângulo Retângulo

Os primeiros geómetras sabiam que o ângulo reto era um dos conceitos básicos da geometria. Euclides sabia-o também e na sua obra Elementos deu a seguinte definição: "Quando uma linha reta traçada sobre outra linha reta determina ângulos adjacentes iguais entre si, cada um dos ângulos diz-se reto, e a linha reta diz-se perpendicular aquela que intersecta". Com base na seguinte figura,

Pelo Teorema de Pitágoras temos que , donde . Ora,

e e, portanto, sen² α + cos² α = 1

Fórmula Fundamental da Trigonometria

Dividindo a fórmula fundamental por cos²α e sabendo que

temos que . Analogamente, dividindo por sen²α e dado que

vem que . Estas fórmulas são consideradas fórmulas básicas da trigonometria e permitem deduzir, sem recorrer ao auxílio de tabelas ou de máquinas de calcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo, desde que se conheça uma delas.

Exemplo:

Supor que . . Então,

Círculo Trigonométrico

Círculo Trigonométrico é um círculo de centro na origem do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado um referencial ortonormado xOy.

Consideremos sobre o círculo trigonométrico de centro O, os pontos A e B escolhidos como a figura indica.

Se aos pontos A e B fizermos corresponder as semi-retas OA e OB, o par (OA,OB) define um ângulo.

O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas OA e OB são, respectivamente, o lado origem e o lado extremidade. Há dois sentidos de percurso num círculo: Ângulo positivo (ou direto) é o ângulo gerado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Ângulo negativo (ou indireto) é o ângulo gerado no sentido dos ponteiros do relógio.

A um ângulo pode associar-se uma amplitude em sentidos chamando-se então ângulo orientado.

LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

P é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o arco que limita o círculo trigonométrico. O seno de α€ é a ordenada do ponto P. O co-seno de α€ é a abcissa do ponto P. C é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das tangentes. A tangente de α é a ordenada do ponto C. D é o ponto de intersecção do lado extremidade do ângulo com o eixo das co-tangentes. A co-tangente de α é a abcissa do ponto C.

Enquadramento de seno e do co-seno O sinal de uma razão trigonométrica depende exclusivamente do sinal das coordenadas do ponto associado ao círculo trigonométrico. Para todo o α,

Para todo o α,

Redução ao 1º quadrante Observando atentamente no círculo trigonométrico cada uma das situações em causa, é possível concluirmos algumas relações importantes entre as relações trigonométricas de certos ângulos. Ângulos do 1ª Quadrante Ângulos Complementares: α e 90°- α€

Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a 90-α, são simétricos em relação à reta de equação y = x. Daí resulta que a abcissa de um é a ordenada do outro e reciprocamente, isto é,

Ângulos do 2º Quadrante Ângulos que diferem de 90°: α e 90° + α

A abcissa de Q é simétrica da ordenada de P, e a ordenada de Q é igual à abcissa de P, isto é,

Ângulos Suplementares: α e 180° - α

Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e 180°- α, são simétricos em relação ao eixo das ordenadas. Daí resulta que as ordenadas de P e Q são iguais e as suas abcissas são simétricas, isto é,

Ângulos do 3º Quadrante Ângulos que diferem de 180º: α e 180° + α

Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados a α e a 180° + α, são simétricos em relação a O. Daí resulta que as suas ordenadas e as suas abcissas são simétricas, isto é,

Ângulos que somados valem 270º: α e 270º - α

Ângulos do 4º Quadrante Ângulos que diferem de 270º: α e 270º + α

Ângulos Simétricos: α e −α

Os pontos P e Q do círculo trigonométrico, respectivamente associados α e −α, são simétricos em relação ao eixo das abcissas. Daí resulta que as abcissas de P e Q são iguais e as suas ordenadas são simétricas, isto é,

OBS.: As relações que acabamos de estudar são válidas qualquer que seja a amplitude αααα do ângulo (em graus ou radianos). Valores de algumas razões trigonométricas:

0°°°° 30°°°° 45°°°° 60°°°° 90°°°°

sen 0

1

cos

1

0

tg 0

1 ∞∞∞∞

cotg ∞∞∞∞ 1

0

Fórmulas Trigonométricas Fórmula Fundamental Fórmulas Secundárias

Fórmulas de Adição

Fórmulas de Duplicação

Fórmulas de Bissecção

Fórmulas de Transformação

OBS.: As fórmulas anteriores não são válidas se os denominadores tomarem valores nulos.

Problemas Resolvidos

Nesta página são apresentados alguns problemas relacionados com o triângulo retângulo. Para os resolver aplica os teus conhecimentos de trigonometria.

1. Uma cegonha tem o ninho num poste de alta tensão com 20 metros de altura (onde foi colocada uma placa especial para a cegonha não correr nenhum risco). Vê um alimento no chão e voa em direcção a ele numa inclinação de 35º. Qual a extensão do voo da ave?

Solução: 1. Uma vez que nos é dado o ângulo de 35º e a medida do cateto adjacente a esse ângulo e se pretende a medida da hipotenusa, o melhor é calcular o cos 35º.

Sabemos que

A extensão do voo da ave é de aproximadamente 24,4 metros.

2. Qual o ângulo de elevação da Lua quando numa noite de lua cheia, a uma certa hora, a sombra de uma pessoa com 1,80 m mede 3 metros?

Solução: 2. O melhor é calcular o valor da tg αααα, uma vez que nos é dada a medida do cateto adjacente e a medida do cateto oposto.

O ângulo é de aproximadamente 31°.

3. Determina a altura do Padrão dos Descobrimentos atendendo aos dados

α = 2º β= 39º Distância do Padrão P ao aparelho

T = 60 m.

Solução: 3. Como a altura do padrão dos descobrimentos é a soma da altura a com a altura b, então determinemos esses valores.

4. De acordo com os dados da figura ao lado e sabendo que o escadote fechado tem 2 m de altura, determine a distância entre a lâmpada e o topo do

escadote.

Solução: 4. Determinemos a altura do escadote aberto

Logo, a distância entre a lâmpada e o topo do escadote é, aproximadamente, 70 cm.

5. O Eduardo e a Maria resolveram ir ao jardim Zoológico e combinaram encontrar-se junto aos répteis às 15 horas. Por acaso, chegaram ambos antes da hora marcada e foram dando umas voltas para fazer tempo. A Maria foi primeiro aos pássaros, passou pelo café, pelas girafas a pelos macacos antes de chegar aos répteis. O Eduardo foi direito aos leões, passou pelas girafas e seguiu para os répteis. Qual dos dois andou mais?

Solução: 5. A Maria andou 250+450+60 =760 até aos macacos.

Dos macacos aos répteis andou x e x²=60²+130² donde x=143,2. Logo, a Maria andou 760+143,2=903,2. O Eduardo andou y até chegar aos leões. Ora, y²=250²+ 250² donde y=353,5. Depois andou z até chegar às girafas, sendo z²=(250+335)²+300² donde z=657,4. Logo, o Eduardo andou 353,5+657,4+130=1140,9 até chegar aos répteis. Como vês foi o Eduardo quem andou mais

6. Em casa do Timóteo há uma sala retangular que tem o chão coberto de quadrados de lado 10 cm. Um dos lados contém 93 quadrados e o outro 231. Timóteo traça uma linha reta unindo os dois cantos opostos. Quantos quadrados mede essa linha?

Solução: 6. Consideremos a linha reta de um canto ao outro.

Pelo Teorema de Pitágoras vem que a²=930²+2310² e portanto, a=2490,180716

7. Diz se são verdadeiras ou falsas cada uma das afirmações: a) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa. b) Num triângulo retângulo a soma dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. c) Num triângulo retângulo a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. d) Num triângulo retângulo é sempre verificável o Teorema de Pitágoras.

Solução: 7.

a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadeira

8. "Num triângulo retângulo a hipotenusa é sempre o maior dos lados". Diz se esta afirmação é verdadeira ou falsa e apresenta argumentos que a validem ou a refutem.

Solução: 8. A afirmação é verdadeira.

9. O triângulo [ABC] é um triângulo retângulo e [BC] é perpendicular a [AC]. Completa as seguintes igualdades:

a) [AB]² + ...... = [AC]² b) [AB]² = ...... + ...... c) [DC]² + ...... = ......

Solução: 9. a) [AB]² + [BC]² = [AC]²

b) [AB]² = [AD]² + [DB]²

c) [DC]² + [BD]² = [BC]²

10. Resolve a seguinte equação trigonométrica:

a)

b)

c)

Solução: 10.

a)

com K∈∈∈∈ Z.

b)

com K∈∈∈∈ Z.

c) Como

Então

11. Recorrendo ao círculo trigonométrico exprime em função de sen b e cos b a seguinte expressão:

11.Como

então,

12. Prova que, para todo o a e b, se tem:

12. Pela fórmula fundamental da trigonometria, temos que

e

Então

13. Verifica se a bengala da figura cabe dentro da caixa.

13. A diagonal da base da caixa mede 85cm, pois pelo teorema de Pitágoras

x² = 75² + 40² x² = 7225 x = 85 Logo a bengala cabe na caixa.

14. Uma aranha encontra-se no canto superior A de um salão retangular, com 20 m de comprimento, 15 m de largura e 10 m de altura. Olhando ao longe, depara-se-lhe um petisco apetitoso no canto mais longínquo do salão, em G. Qual o comprimento de fio de teia mínimo que a aranha terá de tecer para conseguir atingir o tão desejado almoço?

Para responder, precisas de saber o Teorema de Pitágoras no espaço.

Será que és capaz de orientar a aranha até ao seu petisco?

14. O caminho mais curto é o segmento [AG], que é a hipotenusa do triângulo retângulo interno no salão

O segmento [EG] é a diagonal da base, então

[EG]² = 15² + 20² [EG]² = 225 + 400 = 625 [EG] = 25 Então [AG]² = 10² + 25² = 725 [AG] = 27

O caminho mais curto entre a aranha e o petisco é de 27m.