GİRİŞ

Artan ve Azalan Fonksiyonlar:Artan ve Azalan Fonksiyonlar:

F:(a,b)=>R tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon ve x (a,b)olmak üzere :

ı) f’(x) 0 ise fonksiyon artandır.

ıı) f’ (x) 0 ise fonksiyon azalandır.

ııı) f’(x) = 0 ise fonksiyon sabittir.

Yanı bir fonksiyonun verilen aralıkla türevinin işaretini incelediğimizde türevi pozitif olduğu aralıkta fonksiyon artan , türevi negatif olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.

NOT: BİR fonksiyon belli aralıklarda değildi daima artansa buna monoton artan, daima azalansa buna da noton azalan denir.

F (x+1) > f (x) ise monoton artan

f (x+1) < f (x) ise monoton azalan .

x

f’(x)f(x)

+-+

X1 X2 +-

Y1 Y2

ba

a

b

Fonksiyon artan Fonksiyon azalan

Örnek :

F (x) = x2 - 3x + 2 fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar bulunuz ?

ÇÖZÜM:

f’ (x) = 2x-3 f’ (x) = 2x - 3 = 0x = 3/2

x

f’(x)f(x)

- +

+-

-1/4

3/2

? ?

MAKSİMUM MİNİMUM (EKSTREMUM) NOKTALARIMAKSİMUM MİNİMUM (EKSTREMUM) NOKTALARI

F: (a,b) => R ise tanımlı ve türevlenebilen bir fonksiyon verilmiş olsun .

I) f (x) fonksiyonu bir x=c noktasının solunda artan sağında azalan ise x=c noktası f (x) in bir minimum noktasıdır.

x

f’(x)f(x)

- +

+-

f (c)

cy

x

++

++

+--

-

-

NOT: Bir fonksiyonun birinci türevinin kökleri maksimum veya minimum noktalarının apsisleridir. Bu noktalar esas fonksiyonda yerine yazılarak ordinatları da bulunabilir.

min max

x

f’(x)f(x)

+-+

X1X2 +-

f (x1) f (X2)

(x1, f (x1)) noktası maksimum denir

(x2, f (x2)) noktası minimum denir

Ayrıca bir fonksiyonun birinci türevinin kökleri ikinci türevde yerine yazıldığında sonuç negatifse max , pozitifse min , sıfırsa dönüm noktası vardır.

F’ (x) = 0 için x1,x2,x3 kökleri bulunsun .

i) f’’(x1) > 0 ise (x1,f(x1)) noktası minimum noktadır.

ii) f’’(x2) < 0 ise (x2,f(x2)) noktası maksimum noktadır.

iii) f’’(x3) = 0 ise (x3,f(x3)) noktası dönüm (büküm) noktasıdır.

A (x1,f (x1))

x1

x3 x2

y

x

B (x3,f (x3))C (x2,f (x2))

F’(x) > 0 ise eğri yukarı yönelik

F’(x) < 0 ise eğri aşağı yönelik

F (x) fonksiyonun birden çok maksimum veya minimum değerleri

bulunabilir maksimum delerlerinin en büyüğe mutlak

maksimum minimum değerlerinden küçüğüne de mutlak minimum

değeri denir.

Maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden EKSTREMUM

F’(x) > 0 ise eğri yukarı yönelik

F’(x) < 0 ise eğri aşağı yönelik

F (x) fonksiyonun birden çok maksimum veya minimum değerleri

bulunabilir maksimum delerlerinin en büyüğe mutlak

maksimum minimum değerlerinden küçüğüne de mutlak minimum

değeri denir.

Maksimum ve minimum değerlerinin hepsine birden EKSTREMUM

NOT 1: Bir fonksiyonun x eksenine teğet olduğu yerde türevi sıfırdır.

İkinci türevin sıfır olduğu büküm (dönüm) noktası yani bir çukurluğun yön değiştirdiği noktaları aşağıdaki şekillerde inceleyelim:

x1 x2x0

Dönümnoktası

x

y

x1 x0 x2

Dönümnoktası

F’(x1) > 0

F’’(x1) < 0

F’’(x0) = 0

F’(x1) > 0

F’’(x1) < 0

F’’(x0) = 0

NOT 2 : Bir fonksiyonun başka bir fonksiyona teğet olduğu yerde türevleri eşit.

x

y

F (x1) = 0

F’(x1) = 0

a

F (x)

x

yF (a) = g (a)

F’(a) = g (a)

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

1)F(X) = ax3+bx2-2x-3 fonksiyonu x=-1 apsisli noktasındaki minimum değerinin 2 olması için (a,b) ne olmalıdır.

A) (8,11)

B) ( 7,9 )

C) ( 5,8 )

D) ( 3,8 )

E) ( 4,11 )

http://www.cybermaths.8m.com/flashmovies.htm

ÇÖZÜM:

F (x) in x= -1 noktası minimum nokta olduğundan türevi sıfırdır.

F (x) = ax3+bx2-2x-3 -a +b =3 ........2

F ‘(x) =3ax2+2bx –2 1 ve 2 denklemlerin

F’ (-1) = 3a(-1)2+2b(-1)-2 = 0 birlikte çözdüğümüzde

3a – 2b – 2 = 0 ............1 3a –2b =2

F (-1) =2 -a + b = 3

F(-1) = a(-1)3+b(-1)2-2(-1)-3=2 3a – 2b =2

-a +b + 2 –3= 2 -2a+2b = 6

a= 8 ,, b=11

DOGRU

CEVAP

DOGRU

CEVAP

2 Çarpımlar 18 olan pozitif iki gerçek sayınını toplamı en az kaçtır?

T’= 2x.x-1(x2+18)/x2 = x2-18/x2 = 0 => x2 = 18 => x= 3 2

Y= 18/x = 18/3 2 = 3 2

t mini =(x+y)mini = 3 2 + 3 2 = 6 2

çözüm

T’(x+y)’=0 , x,y=18 => y =18/x , t = x + y = x+18/x = x2+18/x

3 4x2-12x+m= 0 denkleminde iki bölüm çarpımın en fazla olması için m = ?

T max =x1.x2 = c/a = m/4=? X1+X2 =-b/a=12/4=3=> x2=3-x1

t = x1.x2 = x1(3-x1)=3x1- x12 => t’= 3- 2x1= 0 => x1= 3/2

t’’ = -2 < 0 =>X=3/2 de yerel max vardır

x2 = 3- x1 =3-3/2= 3/2

t = x1.x2 =(3/2).(3/2) = 9/4 = m/4==>> M=9

çözüm

4 Y = 1/x2-8x+18 ifadesinin en büyük değeri nedir?Y = 1/x2-8x+18 ifadesinin en büyük değeri nedir?

Y’ = 0- (2x-8) .1/(x2-8x+18)2 = 0 =>-2x+8= 0 => x = 4

y max = 1/ 16-32+18 = 1/2

çözüm

x

y

3o ax

5 Şekilde denklemi x2+y2=9 olan dörtle bir çemberin B noktasının x ekseni üzerindeki dik izdüşümü A’ dır.Buna göre A=B üçgenin alanı x’in hangi değeri için en büyüktür ?

A=x.y/2 , y2 =9-x2 => y= 9-x2 => a= x. 9-x2 /2 = 9x2-x4/2

a’=1/2 . 18x- 4x3/2 9x2-x4=0 => 18x-4x3=0 =>2x(9-2x2)=0

X=0 X= 3/ 2

çözüm

6 d

xa b

c

y y

x Çevresi 120m olan dikdörtgen şeklindeki bir taranın alanı en büyük değeri kaç m2dir?

Ç:2.(x+y)=120 => x+y=60 Amax= x.y=?

Amax=x.(60-x) = 60x-x 2 => A’ = 60 - 2x = 0

x=30 , y=60-30 =30

Amax=x.y = 30.30 =900

çözüm

7

10

0x

y

x 3

y

10-y

A

y c

x

ABCD köşesi ,Y= x2 + 1 parabolü üzerinde bulunan en büyük alan dikdörtgen olduğuna göre B’nin ordinat nedir?

A = x. (10-y) A’=9-3x2=0

=x.(10-x2-1) 9=3x2 y=x2+1=3+1

= x (9-x2) 3=x2 = 4

=9x-x3 x = 3

çözüm

8 d

x b

c

y

2x

A

Dikdörtgen bölümündeki bir bahçenin(AD) kenar tumu ile (AB) kenarım yarısına duvar örülmüş kenarlar geriye kalan kısmına bir sıra tel edilmiştir.

Kullanılan telin üz ünlüğü 120m olduğuna göre bahçenin alanı en fazla kaç m2dır?

çözüm

3x+y=120 y=120.3x =2x.y=a A=2x.(120-3x)

A=(240x-6x2) =>A’= 240-12x

12x = 240 => X= 20cm 2x=40cm y=60cm

2x.y = 40.60 = 2400m2

9

a

d

xc

2b-3

Koş eleri eksenler orijin ve Y=2/3 X+2 doğrusu üzerinde bulunan en büyük dikdörtgenin alanı kaçtır?

Y= 2/3 X+2 =>X=0 ---> Y=2 Y=0 ----> X=-3

A= x.y = x (2/3 x+2)=2/3 x2+2x A’4/3 X+2 = 0 ==> 4/3 x=-2 =>

X= -3/2 Amax =2/3(-3/2)2 + 2.(-3/2) = |-3/2 | = 3/2 Br.

çözüm

10A(2,4) ve 3(x,3x) noktası arasındaki mesafe uzunluğu en kısa olması için X ne olmalıdır?

A(2,4) ve 3(x,3x) noktası arasındaki mesafe uzunluğu en kısa olması için X ne olmalıdır?

D = |A,B | = (2-x)2+(4-3x)2 = 10x2-28x+20

D’ = 20x-28/2 10x2-28x+20 = 0 => 20x-28 = 0 ==>

X = 7/5

D = |A,B | = (2-x)2+(4-3x)2 = 10x2-28x+20

D’ = 20x-28/2 10x2-28x+20 = 0 => 20x-28 = 0 ==>

X = 7/5

çözüm

y

x

11

Y=-x2

Y=-x2 üzerinde P(-3,0) noktasına en yakın olan noktasının asisi =?

D= |PA|= (-3-x)2+ (0+x2)2 = x4+x2+6x+9

d’ = 4x3+2x+6/2 x4+x2+6x+9=0

=>> 4x3+2x+6=0 =>2x3+x+3=0

==> X=1 -----> Y= -1 A =(-1,-1)

çözüm

12

b c

a

33

Yarıçapı 3 cm olan bir küre içine çizilen maxımum hacimli kabinin hacmi kaç cam3 tur?

Vkanı=1/2 Ta.h =1/3 r2h => 9 = r2 +(h-3)2 =>r2 = 9 - (h-3)2

V=1/3 [9-(h-3)2] .h = /3 (-h3+6h2) => V= /3 (-3h2+12h)=0

=>h= 0 v hmax= 4 Vmax = /3(-64+6.16)= 32/3 cm3

çözüm

13

18-2x

x

x

x

x

x

x

x

x

a b

c d

18 cm kenarlı karenin köşelerinden karalar kesilerek elde edilen üstü açık kutunun hacminin maxımum olması için kesilen karelerin kenar uzunluğu =?

V=Ta.h=(18-2x)2.x = 324x-72x2+4x3

V= 324-144xx+12x2 = 0 ==> x2-12x+27 = 0

X=9 v X=3

çözüm

çözüm

mn

x x

cb

a

7-x

4cm

14Tabanı 4 cm ve yüksekliği 7 cm olan bir üçgenin için alanı maksimum ele bir dikdörtgen çizildiğinde bu dikdörtgenini alanı kaç cm2 olur .

A max= x.y =? 7-x/7 = y/4 => y=28-4x/7 = 4- 4/7 x

A= x.y = x. (4-4/7 x) = 4x - 4x2/7 ===> A = 4- 8/7 x =0 => X=7/2 => Amax = 4 7/2 - 4/7 . 49/4 = 7 cm2

çözüm

15 F(x)= x3-3x2+5 fonksiyonun ekstremum(max,min) noktaları bulunuz?

F’(x) = 3x2-6x

3x2-6x=0

3x(x-2)=0

x1=0 , X2 =2

x

Y’

y

-& 0 2 +&

+ - +

5 1

F (0)=5 (0,5) max noktadır

f (2)= 1 (2,1) min noktadır

çözüm

15 F(x) = cx3-2x2+x-5 fonksiyonun daima artan olabilmesi için c ne olmalıdır?

F(x) =3cx2-4x+1 16 < 12c => 4/3 < C

=b2-4ac < 0

(-4)2 -4 . 3c.1 < 0

16-12c < 0

çözüm

16 F(x) =x2 - 2ax +11 fonksiyonun minimum değerinin 2 olması için a nın pozitif değeri nedir?

F’ (x) = 2x - 2a

2x - 2a =0 ==> x = a

bunu f(x) fonksiyonunda yerine yazalım

f(a) = a2 -2a.a+11 =2

-a2= - 9

a2 = 9 ==> a=3