BAŞLA

Soru: f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x f’(x)= 2x-2

2x-2=0 x=1 olur.

f’(x)

f(x)

- 1 +- +

azalan

artan

Soru: R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm :

2x1mx

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır.

f’(x)>0

f’(x)= = =

2)2x()1mx.(1)2x.(m

2)2x(1mxm2mx

2)2x(1m2

Buradan; 0)2x(1m22

01m2

21

m bulunur.

Soru :Y=f(x)

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

Çözüm :

a) [-3,-1) aralığında,Fonksiyon azalan

olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.

b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan,

f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır

Soru :

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

Çözüm :

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0

olduğundan,

f(x) bu aralıkta

artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0olduğundan,

f(x) bu aralıkta

azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0

x=3 noktası hariç,

olduğundan,f(x) bu aralıkta

artan’dır.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

B.Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:

Soru : f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:f’(x)=

3x2-6x =0

x1= 0 ve x2= 2x1= 0 f(0)= 1

x2= 2 f(2)= -3

f’(x)

f(x)

- 0 2 + 0 0

1 -3

+ - +

Cözüm:

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x)

y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

+-

+-

f’(x)

f(x)

-4 5

- + -

C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

Soru :f:R R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm :

=

Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

f’(x)=3x2+2x-2

f’’(x)=6x+2

0

x= -1/3

f’’(x)f(x)

- -1/3 +

- +

1.

f: RR, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm :

f’(x)= 4x3+3x2-2

f’’(x)= 12x2+6x

İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0

6x(2x+1) = 0

6x=0

x1= 0

(2x+1)= 0

x2=-1

x

f’’(x)

f(x)

- -1/2 0 + + +

konveks konkav

konveks

Dönüm noktası

Dönüm noktası

-

2. f: RR, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm :

f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2

12(x-2)2=0 x1=x2=2

xf’’(x)

f(x)

- 2 +

+ +

konveks konveks

?

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

1.2x3x10x7x

lim2

2

2x

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

2x3x10x7x

lim2

2

2x

=

00

belirsizliği var

2x3x10x7x

lim2

2

2x

= 3x2

7x2lim

2x

= 32.2

72.2

= 313

2.x

xx

11lim

0

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xx

x

11lim

0

=00

belirsizliği var

xx

x

11lim

0

=0

limx

12

1

x

1=

12

1lim

0 xx

= 102

1

= 21

3.x

xπx sin

cos1lim

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xx

πx sincos1

lim

00

belirsizliği var

=

xx

πx sincos1

lim

πxlim=

- sinxcosx

π

π

cos

sin=

10

= 0

4. xe

xxx cos

)1ln(lim

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xex

xx cos)1ln(

lim

=

belirsizliği var

xlim=

xex

xx cos)1ln(

lim

11x

ex - sinx

0

0

5.)2ln(sin)ln(sin

lim0 x

xx

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

)2ln(sin)ln(sin

lim0 x

xx

=

belirsizliği var

)2ln(sin)ln(sin

lim0 x

xx

=0

limx

cosx/sinx2cos2x/sin2x

0limx

cosx/sinx2cos2x/sin2x

=Cosx.sin2x

0limx 2cos2x.sinx

Cosx.sin2x0

limx 2cos2x.sinx

2sinx.cosx

2.sinx.cos2x 0

limx 2cos2x.sinx

=)0.2cos(.2

0cos.2 2

=2.

12.

1= 1

6.

x

xe

x

1lim limitinin değerini

bulunuz?

Çözüm :x

xe

x

1lim = 0

x

xe

x

1lim =

x

x xe

lim =

xlim=

x

x xe

lim ex

1 =e

1=

1=

7. xxx 2sin.lim

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xxx 2sin.lim

=

x

xx 1

)2

sin(lim

=

00

xlim =

x

xx 1

)2

sin(lim

=

xx2

cos22

2

1x

)/2cos(.2lim xx

=2

8.

xxx ln1

11

lim1

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xxx ln1

11

lim1

= -

xxx ln1

11

lim1

=

)1(ln1ln

lim1 xx

xxx

=00

)1(ln1ln

lim1 xx

xxx

=1

limx

11

x

xxx

ln)1(1

=

1lim

x

xx1

xxxx ln.)1(

=xxx

xx ln.)1(

1lim

1

=

0

0

Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:

xxxx

x ln.)1(1

lim1

=1

limx

2

1x

2

11xx

=

2

2

1 1

1

lim

xxx

x

=

11

lim1

xx

=21