U4 t4 significado de operaciones

Significado y uso de las operaciones (1)

Problemas mul8plica8vos

Los números positivos (mayores de cero) pueden indicar: •  Temperaturas calientes. •  Tengo ahorrado dinero. •  Ser más alto que los demás. •  Ganancia de peso.

Los números negativos (menores de cero) pueden indicar: •  Temperaturas frías. •  Debo dinero. •  Ser más chaparrito que los demás. •  Pérdida de peso.

Los números naturales se representan por medio de una recta numérica. Los números enteros son los números positivos y negativos.

Se pueden sumar: •  números positivos con positivos y el resultado es un número positivo.

•  números negativos con negativos y el resultado es un número negativo. •  números positivos con números negativos, si el número positivo es mayor que la longitud del negativo el resultado es positivo y si el número negativo representa una longitud mayor que el positivo, entonces el resultado es un número negativo, esta operación también se conoce como la resta.


La suma y resta

(+5) + (+3) = +(5 + 3) = +8

(-‐5) + (-‐3) = -‐(5 + 3) = -‐8

(+5) + (-‐3) = +(5 -‐ 3) = +2

(-‐5) + (+3) = -‐(5 -‐ 3) = -‐2

Multiplicación Cuando se quieren sumar y restar varios números positivos y negativos, es común ponerlos entre paréntesis, los cuales indican una multiplicación entre signos, para lo cual se requiere aplicar las leyes de los signos y la jerarquía de operaciones que a continuación se indican:

Leyes de los signos

SIGNOS RESULTADO

(+)(+) más por más

+ más

(+)(-) más por menos

- menos

(-)(+) menos por más

- menos

(-)(-) menos por menos

+ más

Jerarquía de operaciones El orden en que se deben de hacer las operaciones es: Ø  las contenidas en paréntesis Ø  potencia y raíz, Ø  multiplicación y división, Ø  suma y resta.



Hay que recordar que si a un paréntesis lo antecede un signo – (menos), todos los términos contenidos en él cambian de signo: -(a - b) = -a + b -(-c + d) = c - d

Ejemplo: -(-3 + 4 – 5 + 8) = 3 – 4 + 5 – 8 = -4

No olvidar que la multiplicación es una suma abreviada:

De esta manera, la multiplicación se puede descomponer en sumandos:

(-‐2) + (-‐2) + (-‐2) + (-‐2) = (-‐2) × (4) = -‐8 (+4) + (+4) + (+4) = (+4) × (3) = +12

y agrupar sumandos iguales

3n = n + n + n

a + a + a + a = 4a

División


La multiplicación y la división son operaciones inversas, por ejemplo

4 × 7 = 28 ⇒ 28 ÷ 4 = 7. De manera inversa, 45 ÷ 9 = 5 ⇒ 5 × 9 = 45.

Cuando se dividen dos números enteros también se tiene que aplicar la ley de los signos para la división:

Elementos de una división

D ÷ d = c ⇒ c × d = D

D → dividendo

d → divisor

c → cociente

SIGNOS RESULTADO

(+)/(+) más entre más

+ más

(+)/(-) más entre menos

- menos

(-)/(+) menos entre más

- menos

(-)/(-) menos entre

menos

+ mas

La división tiene la siguiente propiedad:


Una división es exacta cuando el residuo es cero, es decir, no sobra nada. La división de fracciones sigue la siguiente regla:

Toda can2dad diferente de cero dividida entre su igual da por resultado 1.

bcad

dc

ba

=÷

Problemas adi8vos


Las expresiones algebraicas se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, para lo cual se tienen que seguir las reglas anteriores, así como las leyes de los signos para la multiplicación y división.

Un binomio es una expresión algebraica en la que figuran 2 términos, por

ejemplo 53 4

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zxy − . A un polinomio como una expresión algebraica en la que figuran suma o resta de dos o más términos.

Las expresiones algebraicas en las que no figuran sumas ni restas se llaman término o monomio, éstos constan de una parte numérica o coeficiente y por una parte literal.

Por ejemplo en -‐3a3bc5 el coeficiente es -‐3 y su parte literal es a3bc5 .

exponente

coeficiente 3a3bc5

Lo anterior indica que sólo se pueden sumar términos semejantes, es decir “peras con peras” y “manzanas con manzanas”.


3a + 2a + 4a = 9a 3a + 2b + 4a + 5b = 7a + 7b

5m – 3m + 2m – 2m = 2m 7m – 5m = 2m

Ejemplos:


Las diversas situaciones que la gente vive se pueden representar por medio de expresiones algebraicas, por ejemplo encontrar el contorno o perímetro de un terreno que tiene una forma geométrica de la siguiente manera:

Recordar que el perímetro o contorno es la suma de las longitudes de los lados de la figura geométrica.

Entonces, el perímetro es:

4 d + 7d + 12d + 7d = 30d

También partiendo de enunciados se puede obtener expresiones algebraicas como se indica a continuación:

b) La edad de Pedro es el doble de la edad de María y ambas suman 24 años.


Para obtener el perímetro sumamos 2c + c + 2c + c, el resultado es 6c.

a) La medida de los lados del polígono se encuentra expresada por un término algebraico. Calcula su perímetro.

Si tomamos como n la edad de María, entonces la edad de Pedro es 2n. Luego edad de Pedro + edad de María = 24, es decir 2n + n = 24. De esta última 3n = 24. Al observarla podemos darnos cuenta que n = 8 pues (3)(8) = 24. María tiene 8 años y Pedro 16 años.

Significado y uso de las operaciones (1) Operaciones combinadas Las expresiones algebraicas también se pueden utilizar para encontrar áreas de diferentes figuras geométricas. Para lo cual se utiliza la multiplicación y se debe considerar la regla de producto de potencias.

Una aplicación directa de la multiplicación es el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos: Área cuadrado = Lado × Lado = L × L Área rectángulo = Lado mayor × Lado menor = L × l


Lado mayor L = 105 metros Lado menor l = 60 metros Entonces el área = L × l = 105 m × 60 m = 6 300 m2

De esta manera se puede calcular el área de terrenos, por ejemplo si se considera un terreno cuadrangular de las siguientes medidas:


Si los lados una figura geométrica están representados por expresiones algebraicas el área se puede dejar indicada, por ejemplo:

Para realizar el cálculo se considera la propiedad distributiva de la multiplicación:


Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas

Ejemplo: 6531042531022 =−−+=−−+


Problemas mul8plica8vos


Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Observar la siguiente información:

Por ejemplo en la sucesión 1, 6, 11, 16, … siempre aumenta 5 al número anterior.

En las sucesiones los números se construyen a partir de una regla.

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