Una compleja simplicidad: la variable aleatoria en el nivel universitario

Blanca R. Ruiz HernándezTesis de doctorado

1

2

3

1• Idea fundamental, propuesta por Heitele, retomando el marco

de Bruner.

2• Hay poca investigación dirigida al análisis de la enseñanza y

aprendizaje de la variable aleatoria.

3• Es un concepto sólo en apariencia simple ¿una variable

vinculada a la aleatoriedad?

4• Es históricamente importante porque permitió el desarrollo de

la probabilidad como ciencia, tal como lo conocemos ahora.

Objetivo General

4

5

Teoría de Situaciones didácticas e Ingeniería didáctica

EVALUACIÓN PROYECTO ABIERTO

DISCIPLINAR HISTORICO

ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO

ANÁLISIS COGNITIVO

ENTREVISTA CLÍNICA

Análisis didáctico

¿Qué es la variable aleatoria?

6

Análisis preliminar

7

Se presentan cuatro estudios sobre la variable aleatoria

1• Estudio epistemológico desde la disciplina, relacionándola con

la asignación de probabilidad y la actividad de modelación.

2• Análisis del desarrollo histórico para identificar algunas

dificultades que pueden reproducirse en los estudiantes.

3• Exploración de las concepciones y comprensión de una pareja

de estudiantes cuando resuelven un problema

4• Análisis de soluciones escritas de 111 estudiantes a un proyecto

estadístico donde trabajan con variables estadísticas y aleatorias.

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• Llevar a cabo un análisis de la variable aleatoria desde el punto de vista epistemológico, que aborde tanto los aspectos disciplinares como los históricos. (Estudios 1 y 2)

• Llevar a cabo una exploración cognitiva de la comprensión intuitiva de algunos estudiantes universitarios al trabajar con situaciones que involucran a la variable aleatoria y otros objetos matemáticos relacionados con ella, y que implican resolución de problemas y proyectos con una orientación hacia la modelación. (Estudios 3 y 4)

Objetivos de investigación

Capítulo 1

9

Estudio 2 HISTÓRICO

Estudio 1DISCIPLINAR

Estudio 3ENTREVISTA

CLÍNICA

Estudio 4ANÁLISIS DE

UN PROYECTODiseño y análisis a prioriAnálisis de los objetos

ImplementaciónConclusiones

Análisis a prioriAnálisis de los objetos

ImplementaciónConclusiones

E s t r u c t u r a d e l o s E s t u d i o s

EXPLORACIÓN EPISTEMOLÓGICA EXPLORACIÓNCOGNITIVAPrimeros indicios y censosInferencia estadística

TCL y distribuciones

ConclusionesFormalización matemática

V.A. y conceptos relacionadosV. A. asignación probabilidadesConclusionesModelación y V.A.

10

11

Lanzamos dos monedas y observamos la cara superior...

¿Cuál es la probabilidad de…

P( ) = 14

P( ) = 14

P( ) = 14

P( ) = 14

12


¿Cuál es la probabilidad de…

caigan un sol?

P( , ) = 24

13


XNúmero de soles

X = 1

X = 0

X = 2

14


YNúmero de rachas

Y = 2

Y = 1

15


XNúmero de soles

P(X = 1) = 24

P(X = 0) = 14

P(X = 2) = 14

VARIABLE ALEATORIA

ξ

Valor numérico xEvento A

ξ : Ω → R

ω → ξ (ω) ∈ REs una variable aleatoria, si para todo número real x la imagen inversa del intervalo acotado superiormente por x es un conjunto del álgebra:

A = {ω / ξ (ω) ≤ x} ∈ A

Esto asegura que podamos hallar la probabilidad P( ξ (ω) ≤ x)

Sean:(Ω, Α, P) : Un espacio de probabilidad

R : El cuerpo de los números realesLa aplicación:

VALORES DE LA VARIABLE

ALEATORIA ξ

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

ESPACIO MUESTRAL

Aplicación de la variable aleatoria

Formulación de la distribución de probabilidad

ξ Definición matemática

Contexto del problema{17

Espacio de probabilidad(Ω, A, P)

Situ

ació

n pr

oble

ma

Asignación laplaciana Asignación frecuencial Asignación subjetiva

Función de distribución; distribución de probabilidad; función de densidad

Momentos, Promedios, Medidas de dispersión La variable aleatoria como función Variable aleatoria y variable estadística

Modelación y razonamiento estadístico La modelación en probabilidad Modelación por estratos: Relación entre variables

estadística y aleatoria La variable aleatoria y modelos de distribuciones

18

Modelación y variable aleatoria

La variable aleatoria

Variable aleatoria y asignación de probabilidades

¿Qué

es

la v

aria

ble

alea

tori

a?

Experimento aleatorio

Espacio muestral

Situ

ació

n pr

oble

ma

Probabilidad Laplaciana

Frecuencial

Subjetiva

Análisis a priori, combinatoria, equiprobabilidad, casos favorables /posibles

Población- muestra, estimación, V. estadística, experimento estadístico, distribución de datos (empírica), histogramas, polígonos frecuencia

Vincula estadística-probabilidad

Verosimilitud

Parámetros son v. aleatoria, distribuciones a priori y posteriori, teorema de Bayes 19

Espacio de probabilidad(Ω, A, P)

Estudio 1

Asignación de probabilidad

Experimento aleatorio

Probabilidad

variable aleatoriaValores de la

variable aleatoria

Variable aleatoria

Característica de interés

Situación problema

Descontextualización

Descontextualización

compuestoEvento

compuesto

muestralEspacio

muestral

Distribución de probabilidad

Modelación y asignación clásica de probabilidad

20Estudio 3

Cont

extu

aliz

ació

n

Observación de la realidad:el experimento aleatorio

Descripción simplificada de la realidad: las variables

Construcción de un modelo: distribución de frecuencias

Trabajo matemático con el modelo: gráficos, tablas y

medidas

Interpretación en la realidad: gráficos, comparación de

distribuciones, conclusiones

21Estudio 4

Prim

er e

stra

toSe

gund

o es

trat

oPasos de modelación de

Dantal

2. Recuento y análisis de datos. Variable estadística (Münster, Graunt, Arbuthnott, Neumann, Galileo, Halley, D. Bernoulli)

22

3. Teorema central del límite y modelos generales de

distribuciones (Jacob Bernoulli, de Moivre, Gauss, Legendre, Laplace,

Poisson, Chebyshef. Liapounoff)

1200

1600

1500

1700

1800

1900

2000

1. Primeros indicios. Juegos de azar (Fournival, Pascal, Fermat,

Cardano)

5. Formalización matemática de la variable aleatoria (Kolmogorov,

Fréchet, Lévy, Petrov y Parzen)

4. Inferencia estadística (Quetelet, Galton, K. Pearson, Gosset, Fisher, Neyman y E. Pearson)

6. La variable estadística en la actualidad

7. Formalización de la variable aleatoria (Kolmogorov, Fréchet, Lévy, Petrov y Parzen)

4. Surgen análisis teóricos para relacionar la variable aleatoria y la estadística (J. Bernoulli, de Moivre, Gauss, Legendre, Laplace, Poisson)

2. Se asocia probabilidad a valores numéricos posibles en jugos de azar (Cardano Fournival, Pascal, Fermat,)

5. Primeros indicios explícitos de la necesidad de una variable matemática que tuviera sentido en el contexto (Poisson, Tchebychev, Markov, Liaponunoff)

An

áli

sis

pro

ba

bil

íst

ico

sA

ná

lis

is p

rob

ab

ilís

tic

os

An

áli

sis

de

da

to

sA

ná

lis

is d

e d

at

os

1. Primeros análisis de la variable estadística en juegos de azar (Duque de Toscana)

8. Vinculación formal entre las variables estadística y aleatoria (K. Pearson, Fisher, Neyman)

3. Modelación de datos empíricos con uso de herramienta probabilística (Graunt, Arbuthnott, Halley, Galileo)

6. Inferencia informal y uso de la variable estadística (Quelet, Galton)

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Tiempo requerido para pasar de la esperanza matemática y estudio de valores aislados al estudio de la distribución completa

Durante mucho tiempo el estudio de la v. estadística fue simplemente descriptivo

La variable estadística y aleatoria mantuvieron largos periodos sin relacionarse

El excesivo énfasis por la formalización a comienzos de siglo separó el estudio de la v. aleatoria del de sus aplicaciones

Dificultad en el manejo de la función de distribución como función compuesta

Dificultar en operar y componer variables aleatorias Dificultad en comprender la aproximación de variables

discretas por variables continuas

Las situaciones empleadas contemplan la variable aleatoria desde el significado clásico (Estudio 3) y frecuencial (Estudio 4). Sería de interés realizar un estudio complementario del trabajo con la variable aleatoria desde el significado subjetivo

Desarrollar una propuesta curricular que considere la enseñanza de la variable aleatoria como idea fundamental, como lo propone Heitele

Factibilidad de tomar en cuenta las interacciones históricas entre la teoría y los datos que se mostró en el análisis histórico para diseñar un curso de probabilidad y estadística que permita mayor comprensión de esta relación.

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Education

Una compleja simplicidad: la variable aleatoria en el nivel universitario