Unidad i funciones elementales iutajs matematica iv

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV

UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS.

INTERPRETACIÓN VECTORIAL DE NÚMEROS COMPLEJOS

Un número complejo z = x + iy se puede considerar como un vector OP cuyo punto inicial

es el origen O, y cuyo punto final P es el punto (x,y). Algunas veces al vector OP se le

llama vector de posición del punto P. Dos vectores que tienen la misma longitud y

dirección se consideran iguales, aunque tengan diferentes puntos iniciales y finales.

La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de

vectores.

En este caso, para sumar los números complejos z1 y z2, completamos el paralelogramo

OABC cuyos lados OA y OC corresponden respectivamente a z1 y z2. La diagonal OB de

este paralelogramo corresponde a z1+z2.

FUNCIONES COMPLEJAS

VARIABLES Y FUNCIONES

Un símbolo, tal como z, que representa a cualquier elemento de un conjunto de números

complejos se llama variable compleja.

Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de

una variable compleja w, decimos que w es una función de z y escribimos w = f(z). La

variable z frecuentemente es llamada variable independiente, mientras que la variable w es

la variable dependiente. El valor de una función en z = a se representa f (a).

UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS


FUNCIONES UNÍVOCAS Y MULTÍVOCAS

Si a cada valor de z le corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función

unívoca de z o que f (z) es unívoca. Si por el contrario, a cada valor de z le corresponde más

de un valor de w diremos que la función es multívoca, multiforme o multivaluada.

Una función multiforme puede considerarse como una colección de funciones unívocas;

cada miembro de esta colección se llamará rama de la función. Se suele considerar un

miembro particular como una rama principal de la función multiforme y el valor

correspondiente a esta rama como el valor principal.

EJEMPLO: Si w = z2, entonces para cada valor de z existe un solo valor de w. Por tanto,

f (z) = z2 es una función unívoca de z.

EJEMPLO: Si w = z1/2

, entonces para cada valor de z existen dos valores de w. Por ello,

f (z) = z1/2

es una función multiforme (bivaluada en particular) de z.

A partir de ahora cuando hablemos de funciones, a menos que se diga explícitamente lo

contrario, supondremos que se trata de funciones unívocas.

FUNCIONES INVERSAS

Si w = f (z), entonces podemos considerar z como una función de w, simbólicamente se

representa por z = g (w) = f- -1

(w). La función f -1

se llama función inversa de f. En tal caso

w = f (z) y z = g (w) son funciones inversas (una de la otra).

TRANSFORMACIONES

Si w = u + iv (donde u y v son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde x e y son

reales), podemos escribir u + iv = f (x + iy). Igualando las partes reales e imaginarias, lo

anterior equivale a

u = u (x, y) v = v (x, y) (1)

Entonces, al punto P(x, y) en el plano z le corresponde el punto P'(u, v) en el plano w.



El conjunto de ecuaciones (1) se llama una transformación. Decimos que el punto P se

aplica o transforma en P' por medio de la transformación o que P' es la imagen de P para la

transformación (1).

EJEMPLO: Si w = z2, entonces u + iv = (x + iy)

2 = x

2 +y

2 + 2ixy y las correspondientes

transformaciones son u = x2+y

2, v = 2xy. La imagen del punto (1,2) en el plano z es el

punto (5,4) en el plano w.

COORDENADAS CURVILÍNEAS

Dada la transformación w = f (z) o, equivalentemente u = u (x, y), v = v (x, y), (x, y) serán

las coordenadas rectangulares de un punto P en el plano z, y (u, v) serán las coordenadas

curvilíneas de P.

Las curvas u (x, y) = c1, v (x, y) = c2, donde c1 y c2 son constantes, se llaman curvas

coordenadas y cada par de esas curvas se cortan en un punto. Esas curvas se aplican en

rectas ortogonales entre sí en el plano w.

FUNCIONES ELEMENTALES

Las funciones de los tipos 1 a 8 y las derivadas de ellas por un número finito de operaciones

de adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces se llaman funciones

elementales.

1. FUNCIONES POLINÓMICAS

Funciones polinómicas son las definidas por

w = P(z) = a0 + a1 z1 + ··· + an-1 z

n -1

+ an zn

Donde an ≠ 0, a0, a1, .. an, son constantes complejas y n es un número entero positivo

llamado el grado del polinomio P(z).

El caso particular w = az + b se llama transformación lineal.



2. FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Funciones algebraicas racionales son las definidas por

Donde P(z) y Q(z) son polinomios. Algunas veces llamamos a estas funciones

transformaciones racionales.

El caso especial , donde ad- bc ≠ 0, se llama habitualmente transformación

bilineal.

3. FUNCIONES EXPONENCIALES

Funciones exponenciales son las definidas por

Donde e = 2,71828... es la base de los logaritmos naturales. Si a es un número real positivo

definimos

Donde ln a es el logaritmo natural de a.

Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades semejantes a las de las

funciones exponenciales reales, por ejemplo, y las derivadas (Pruébalas).

4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Dadas las ecuaciones eix

=cosx+isenx, e-ix

=cosx-isenx, definimos las funciones

trigonométricas o circulares usando las funciones exponenciales de la siguiente manera:

Muchas de las propiedades de las funciones trigonométricas reales son también válidas para

el caso de las funciones trigonométricas complejas y sus derivadas. Por ejemplo:



5. FUNCIONES HIPERBÓLICAS

Las funciones hiperbólicas están definidas como sigue:

Las siguientes propiedades son válidas:

OBSERVACIÓN: Es fácil comprobar que se cumplen las siguientes relaciones entre

funciones circulares y funciones hiperbólicas y hasta las derivadas de estas:

6. FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Si z = ew, entonces escribimos w = ln z, llamado el logaritmo natural de z. Entonces la

función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial y podemos definirla por

Donde z = reiπ

=rei(θ+kπ )

. Esta función es multivaluada, por ello se define el valor principal o

rama principal de la función ln z como ln |z|+iArg z, donde . Esta definición es

un convenio, se podría definir de igual forma tomando θ en cualquier intervalo de amplitud

2π .

La función logarítmica compleja se puede definir para cualquier base real, como la inversa

de la correspondiente función exponencial.

7. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA E HIPERBÓLICAS INVERSAS

Sabiendo que la función logarítmica es la inversa de la exponencial, y a la vista de las

definiciones de las funciones trigonométricas e hiperbólicas, es fácil definir sus

correspondientes funciones inversas.



8. LA FUNCIÓN zw

La función zw, donde w puede ser complejo, está definida como e

w · ln z. Análogamente, si

f (z) y g(z) son dos funciones conocidas de z, podemos definir f (z)g(z)

=eg(z) · ln f (z)

.

En general este tipo de funciones son multivaluadas.

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTALES

Si w es una solución de la ecuación polinómica:

,

Donde los Pi (z) son polinomios en z, P0 no es nulo y n es un entero positivo, entonces

w =f (z) se llama una función algebraica de z.

EJEMPLO: w = z1/2

es una solución de la ecuación w2-z =0, por tanto es una función

algebraica de z.

Cualquier función que no se puede expresar como una solución de una ecuación polinómica

como la anterior se llama una función trascendental.

Las funciones logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas y sus correspondientes inversas

son funciones trascendentales.

PUNTOS DE RAMIFICACIÓN Y RAMAS

Sea la función w = z1/2

, y supongamos que z dé una vuelta completa (en sentido positivo)

alrededor del origen empezando desde el punto A.



Tenemos que z= reiθ

, con lo que , por tanto en A se tendrá . Pero

después de una vuelta completa . Es decir, no hemos obtenido

el mismo valor de w que al principio, sin embargo al dar una segunda vuelta se llega

a , es decir el mismo valor de w que al empezar.

Para describir la situación diremos que si estamos en una rama de la función

multivaluada z1/2

, mientras que si estamos en otra rama de la función.

Está claro que cada rama de la función es unívoca. Con el fin de mantener la función

unívoca, escogemos una barrera artificial tal como OB, donde B está en el infinito (aunque

podríamos usar cualquier línea que pase por el origen), la cual acordamos no cruzar. Esta

barrera se llama una rama y el punto O un punto de ramificación.

Hay que observar que una vuelta alrededor de cualquier otro punto distinto del origen no

conduce a valores diferentes, es decir, el origen es el único punto de ramificación.

EJERCICIO: Vamos a probar que f (z) =ln z tiene un punto de ramificación en Re z >0.

ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Al ser el conjunto C una ampliación de R, las operaciones definidas en C han de satisfacer

las mismas leyes formales que en R. En particular cuando los números pertenezcan a R, las

nuevas operaciones han de coincidir con las definidas anteriormente en R.

ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS (a,0)

La suma de dos números complejos es otro complejo que tiene por componente real la

suma de las componentes reales y por componente imaginaria la suma de las componentes

imaginarias de los sumandos.

Como la adición es ley de composición interna en el conjunto R de los números reales, a+c

y b+d son números reales.



Por consiguiente, la operación así definida es una aplicación CxC en C y por tanto una ley

de composición interna en C.

La suma de dos complejos conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados

(a,b) y (a,-b). Se tiene:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN C

Puesto que la suma de complejos equivale a dos sumas de números reales, sus propiedades

son las mismas que en R:

I. ASOCIATIVA:

Sea x=(a,b), y = (c,d), z = (e,f), se cumple:

(x+y) +z = [(a,b)+(c,d)]+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)

=(a+c+e,b+d+f)=(a,b)+(c+e,d+f)=(a,b)+[(c,d)+(e,f)] =x+(y+z)

II. CONMUTATIVA: x+y=y+x

Sea x=(a,b), y = (c,d) por la conmutatividad en R tenemos:

x+y=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)+(a,b)=y+x

III. ELEMENTO NEUTRO. El elemento neutro es (0,0), pues:

Al complejo (0,0) se le llama complejo cero, y es el elemento neutro de la adición.

IV. ELEMENTO SIMÉTRICO

A todo complejo (a,b) le corresponde un simétrico u opuesto de él, que es el número (-a,-b)

Estas cuatro propiedades de la adición nos prueban que (C,+) tienen estructura de :



GRUPO CONMUTATIVO

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Como consecuencia de la estructura de grupo aditivo de los números complejos, la

operación inversa o resta está siempre definida

Se llama resta de dos complejos (a,b) y (c,d) al complejo que resulta de sumar al primero

(minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).

EL GRUPO MULTIPLICATIVO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (a,0)

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de dos números complejos es otro complejo que se obtiene escribiendo los

complejos dados en forma binómica y realizando la multiplicación algebraica, teniendo en

cuenta que i2 = -1. Es decir:

Como se ve, esta operación es una aplicación de CxC en C, luego es una ley de

composición interna definida en C.

Para dos números reales (a,0) y (b,0), se obtiene en particular:

Que coincide con la definición dada en R. El producto de dos números complejos

conjugados es un número real. Sean dos complejos conjugados (a,b) y (a,-b). Se tiene:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN EN C

Puesto que el producto de complejos se basa en el producto de reales, sus propiedades serán

las mismas que las del producto en R:

I. ASOCIATIVA:



II. CONMUTATIVA:

III. ELEMENTO NEUTRO: El elemento neutro es (1,0), pues:

(a,b)(1,0)=(a1-b0,a0+b1)=(a,b)

(1,0)(a,b)=(1a-0b,1b+0a)=(a,b)

El número complejo (1,0) es el elemento unidad, elemento neutro de la

multiplicación.

IV. ELEMENTO SIMÉTRICO:

A todo número complejo (a,b) distinto del (0,0) le corresponde un simétrico o

inverswo de él (a´,b´) que cumple: (a,b).(a´,b´) = (1,0). Para hallar el inverso de

(a,b) formaremos el producto indicado e identificaremos resultados:

(a,b).(a´,b´) = (aa´-bb´,ab´+ba´)=(1,0)

Luego :

Y por tanto el inverso de (a,b) es:

V. DISTRIBUTIVA:

Las propiedades I, II, III y IV de la multiplicación nos prueban que ( C-{(0,0)} , . ) tiene

estructura de GRUPO CONMUTATIVO



DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Por ser [C-{(0,0)}, . ] un grupo, todo elemento exceptuando el (0,0) tiene inverso y, por

tanto, se puede realizar siempre la operación inversa del producto.

Para dividir dos números complejos se escribe el cociente indicado en forma binómica, y

se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Hemos visto que:

1. [C,+] es un grupo aditivo conmutativo

2. [C-{(0,0)}, .] es un grupo multiplicativo conmutativo

3. La multiplicación es distributiva respecto de la suma

Como consecuencia, el conjunto [C,+, .] tiene estructura de CUERPO CONMUTATIVO

ISOMORFISMO ENTRE R y C*={(a,0)}

Representamos por C* al subconjunto de elementos de C cuya componente imaginaria es

nula. Existe una aplicación

a. Es aplicación biyectiva pues a cada elemento de C* corresponde un elemento de R

y cada elemento de R es imagen de un elemento de C*.

1.- Conserva la suma: la imagen de la suma es igual a la suma de las imágenes

2.- Conserva el producto: la imagen del producto es igual al producto de las

imágenes

Estas propiedades son las de un isomorfismo que conserva las leyes de adición y

multiplicación.

Por eso decimos que:



1. Un número complejo que tiene la segunda componente nula es un número real [los

números (a,0) son reales]

2. Un número complejo que tiene nula su componente real es un imaginario puro [los

números (0,b)=bi]

INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO

CONJUNTOS DE PUNTOS

Cualquier colección de puntos en el plano complejo se denomina un conjunto

(bidimensional) de puntos, y cada punto es un elemento del conjunto. En el plano complejo

se distinguen varios tipos de conjuntos, principalmente por sus propiedades topológicas.

1. VECINDADES. Una vecindad de radio δ de un punto z0 es el conjunto de todos los

puntos z tales que |z -z0| < δ, donde δ es cualquier número real positivo dado. Una

vecindad reducida de radio δ de un punto z0 , es el conjunto de los puntos z tales que

0 < |z -z0| < δ.

2. PUNTOS LÍMITE. Un punto z0 se llama un punto límite o punto de acumulación

de un conjunto S si cada vecindad V reducida de z0 contiene puntos de S.

3. CONJUNTOS CERRADOS. Un conjunto S se dice que es cerrado si cada punto

límite de S pertenece a S, esto es, si S contiene todos sus puntos de acumulación.

Por ejemplo, el conjunto de todos los z tales que |z| < 1 es un conjunto cerrado.

4. CONJUNTOS ACOTADOS. Un conjunto S se dice que es acotado si podemos

encontrar una constante M tal que |z|<M para cada punto z de S. Un conjunto

ilimitado es un conjunto que no es acotado. Un conjunto que es acotado y cerrado se

llama compacto.

5. Punto interior, exterior y frontera. Un punto z0 se llama un punto interior de un

conjunto S si podemos encontrar una vecindad de z0 cuyos puntos pertenecen todos

a S. Si cada vecindad V de z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos

no pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera. Si un punto no es interior

ni frontera de un conjunto S, entonces es un punto exterior de S.

6. CONJUNTOS ABIERTOS. Un conjunto abierto es un conjunto que consta

solamente de puntos interiores. Por ejemplo, el conjunto de puntos z tales que |z|< 1

es un conjunto abierto.

7. CONJUNTOS CONEXOS. Un conjunto abierto S es conexo si cualquier par de

puntos del conjunto pueden ser unidos por un camino formado por segmentos de

recta (esto se llama un camino poligonal) contenidos es S.

8. REGIONES ABIERTAS O DOMINIOS. Un conjunto abierto conexo se llama

región abierta o dominio.

9. CLAUSURA DE UN CONJUNTO. Si a un conjunto S agregamos todos los puntos

de acumulación de S, el nuevo conjunto se llama la clausura de S y es un conjunto

cerrado.

10. REGIONES CERRADAS. La clausura de una región abierta o dominio se llama

una región cerrada.

11. REGIONES. Si a una región abierta o dominio agregamos algunos, todos o

ninguno de sus puntos límite, obtenemos un conjunto llamado región. Si se agregan



todos los puntos de acumulación está cerrada; si ninguno es agregado, la región está

abierta.

12. UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS. Un conjunto consiste en todos

los puntos pertenecientes al conjunto S1 o al conjunto S2 o a ambos conjuntos, se

llama la unión de S1 y S2 y se denota por S1 S2 o S1 S2. Un conjunto consistente en

todos los puntos pertenecientes a ambos conjuntos S1 y S2, se llama la intersección

de S1 y S2 y se denota por S1S2 o S1∩ S2.

13. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO. Un conjunto que consiste en todos los

puntos que no pertenecen a S, se llama el complemento de S y se representa por .

14. CONJUNTOS VACÍOS Y SUBCONJUNTOS. Es conveniente considerar un

conjunto sin puntos. Este conjunto se llama el conjunto vacío. Si dos conjuntos S1 y

S2 no tienen puntos en común (conjuntos disjuntos).

Cualquier conjunto formado por elección de alguno, todos o ninguno de los puntos

de un conjunto S se llama un subconjunto de S. Si excluimos el caso en que todos

los puntos de S son escogidos, el conjunto se denomina un subconjunto propio de S.

15. NUMERABILIDAD DE UN CONJUNTO. Si los miembros o elementos de un

conjunto se pueden colocar punto por punto en correspondencia con los números

naturales, el conjunto es llamado numerable; de lo contrario se llamará no

numerable.

EJEMPLO: Veamos las propiedades del conjunto de puntos

a. S es acotado puesto que para cada punto z de S, |z|<2 (por ejemplo), es decir, todos

los puntos de S están dentro de un círculo de radio 2 con centro en el origen.

b. Como toda vecindad reducida de z> 0 contiene puntos de S, un punto de

acumulación es z

c. Obsérvese que como S es acotado e infinito el teorema de Bolzano-Weierstrass

predice por lo menos un punto de acumulación.

d. S no es cerrado puesto que el punto de acumulación z> 0 no pertenece a S.

e. Cada vecindad reducida de radio δ de un punto i/n

con centro en i/n) contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a

S. En este caso cada punto de S, así como el punto de acumulación z >0 es un punto

frontera. S no tiene puntos interiores.

f. S no tiene puntos interiores. Por tanto, no puede ser abierto. En este caso S no es

abierto ni cerrado.

g. Si unimos dos puntos cualesquiera de S por un camino poligonal, hay puntos en este

camino que no pertenecen a S. En este caso, S no es conexo.

h. Puesto que S no es un conjunto abierto conexo, no es una región abierta o dominio.

i. La clausura de S es el conjunto

j. El complemento de S es el conjunto de todos los puntos no pertenecientes a S, es

decir, todos los puntos z =i/n, para cualquier valor natural de n.



k. Existe una correspondencia punto a punto entre los elementos de S y los números

naturales:

Por tanto, S es numerable.

l. S es acotado pero no cerrado. Por esto, no es compacto.

m. La clausura de S es acotado y cerrado, y así es compacto.

TEOREMAS SOBRE CONJUNTOS DE PUNTOS

1. TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS. Todo conjunto infinito acotado tiene

por lo menos un punto de acumulación.

2. TEOREMA DE HEINE-BOREL. Sea S un conjunto compacto tal que cada punto

está contenido en uno o más de los conjuntos abiertos A1, A2,... (los cuales forman

un recubrimiento de S). Entonces existe un número finito de los conjuntos A1, A2,...

que cubren a S.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.

Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición.

McGraw-Hill, México.

Edminister, Joseph A. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios

Schaum, McGraw-Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Mendiola, Esteban. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo

VII

Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”.

Ediciones CO-BO. Caracas.

INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html

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