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FΓ³rmulas de derivaciΓ³n G. Edgar Mata Ortiz

Using formula of derivative for quotients

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ExplicaciΓ³n detallada para la aplicaciΓ³n de la fΓ³rmula de derivaciΓ³n de un cociente.

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Page 2: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

FΓ³rmula para el cociente de dos funciones

Esta fΓ³rmula se emplea cuando la expresiΓ³n que se va a derivar es un cociente cuya obtenciΓ³n serΓ­a muy laboriosa o incluso imposible.

En lugar de efectuar la divisiΓ³n indicada, se aplica la fΓ³rmula:

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 3: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

FΓ³rmula para el cociente de dos funciones

La fΓ³rmula se lee:

La derivada de 𝒖 entre 𝒗 es igual a:

𝒗 por la derivada de 𝒖menos

𝒖 por la derivada de 𝒗 entre

El denominador al cuadrado π’—πŸ

Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 4: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Derivar

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

La fΓ³rmula es:

Es necesario identificar claramente cuΓ‘l de las funciones se identificarΓ‘ como 𝒖 y cuΓ‘l como 𝒗

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 5: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Derivar

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

𝑒 = 𝒙𝑑𝑒

𝑑π‘₯= 𝟏

𝑣 = π‘₯2 βˆ’ 𝟏 πŸ‘

𝑑𝑣

𝑑π‘₯= πŸ‘ π‘₯2 βˆ’ 𝟏 𝟐 𝟐π‘₯

𝑑𝑣

𝑑π‘₯= πŸ”π‘₯ π‘₯2 βˆ’ 𝟏 𝟐

La funciΓ³n 𝒖 y

su derivada se

identifican con

color rojo.

La funciΓ³n 𝒗 y

su derivada se

identifican con

color azul

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 6: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fΓ³rmula.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

𝑣 = π‘₯2 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝑑𝑒

𝑑π‘₯= 𝟏 𝑒 = 𝒙

𝑑𝑣

𝑑π‘₯= πŸ”π‘₯ π‘₯2 βˆ’ 𝟏 𝟐

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘πŸ βˆ’ 𝒙 πŸ”π’™(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝟐

𝑣 = π‘₯2 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒂𝒍 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 7: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectΓΊan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘πŸ βˆ’ 𝒙 πŸ”π’™(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝟐

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘βˆ’ πŸ”π’™πŸ(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 8: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectΓΊan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘βˆ’ πŸ”π’™πŸ(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

Se observa que puede tomarse factor comΓΊn en el numerador.

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘βˆ’ πŸ”π’™πŸ(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 9: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Se obtiene factor comΓΊn.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘πŸ βˆ’ 𝒙 πŸ”π’™(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝟐

π’…π’š

𝒅𝒙=

π’™πŸ βˆ’ πŸπŸ‘βˆ’ πŸ”π’™πŸ(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸβˆ’πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

El parΓ©ntesis rectangular se emplea solamente para visualizar, con

mayor claridad, los factores que quedan despuΓ©s de extraer el

factor comΓΊn.

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 10: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Se efectΓΊan las operaciones dentro del parΓ©ntesis rectangular.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸβˆ’πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 π’™πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

La expresiΓ³n algebraica dentro del parΓ©ntesis rectangular se

puede simplificar reduciendo tΓ©rminos semejantes.

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 11: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Operaciones.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸβˆ’πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 π’™πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 βˆ’πŸ βˆ’ πŸ“π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

Se puede simplificar el numerador y el denominador.

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 12: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Operaciones.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸβˆ’πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 π’™πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 βˆ’πŸ βˆ’ πŸ“π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

Se puede simplificar el numerador y el denominador.

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 13: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

Ejemplo

Operaciones.

𝑦 =𝒙

(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸ‘

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝟏)πŸβˆ’πŸ”π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=(π’™πŸ βˆ’ 𝟏)𝟐 βˆ’πŸ βˆ’ πŸ“π’™πŸ

π’™πŸ βˆ’ 𝟏 πŸ”

π’…π’š

𝒅𝒙=

βˆ’πŸβˆ’πŸ“π’™πŸ

π’™πŸβˆ’πŸπŸ’

Este ΓΊltimo es el resultado.

𝒅

𝒅𝒙

𝒖

𝒗=𝒗𝒅𝒖𝒅𝒙

βˆ’ 𝒖𝒅𝒗𝒅𝒙

π’—πŸ

Page 14: Using formula of derivative for quotients

ππ’š

𝝏𝒙

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