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ExplicaciΓ³n detallada para la aplicaciΓ³n de la fΓ³rmula de derivaciΓ³n de un cociente.
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ππ
ππ
FΓ³rmulas de derivaciΓ³n
G. Edgar Mata Ortiz
ππ
ππ
FΓ³rmula para el cociente de dos funciones
Esta fΓ³rmula se emplea cuando la expresiΓ³n que se va a derivar es un cociente cuya obtenciΓ³n serΓa muy laboriosa o incluso imposible.
En lugar de efectuar la divisiΓ³n indicada, se aplica la fΓ³rmula:
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
FΓ³rmula para el cociente de dos funciones
La fΓ³rmula se lee:
La derivada de π entre π es igual a:
π por la derivada de πmenos
π por la derivada de π entre
El denominador al cuadrado ππ
Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Derivar
π¦ =π
(ππ β π)π
La fΓ³rmula es:
Es necesario identificar claramente cuΓ‘l de las funciones se identificarΓ‘ como π y cuΓ‘l como π
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Derivar
π¦ =π
(ππ β π)π
π’ = πππ’
ππ₯= π
π£ = π₯2 β π π
ππ£
ππ₯= π π₯2 β π π ππ₯
ππ£
ππ₯= ππ₯ π₯2 β π π
La funciΓ³n π y
su derivada se
identifican con
color rojo.
La funciΓ³n π y
su derivada se
identifican con
color azul
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fΓ³rmula.
π¦ =π
(ππ β π)π
π£ = π₯2 β π π ππ’
ππ₯= π π’ = π
ππ£
ππ₯= ππ₯ π₯2 β π π
π π
π π=
ππ β πππ β π ππ(ππ β π)π
ππ β π π π
π£ = π₯2 β π π ππ ππππ πππ π
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Se efectΓΊan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).
π π
π π=
ππ β πππ β π ππ(ππ β π)π
ππ β π π π
π π
π π=
ππ β ππβ πππ(ππ β π)π
ππ β π π
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Se efectΓΊan las operaciones indicadas (multiplicaciones y potencia).
π π
π π=
ππ β ππβ πππ(ππ β π)π
ππ β π π
Se observa que puede tomarse factor comΓΊn en el numerador.
π π
π π=
ππ β ππβ πππ(ππ β π)π
ππ β π π
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Se obtiene factor comΓΊn.
π¦ =π
(ππ β π)π
π π
π π=
ππ β πππ β π ππ(ππ β π)π
ππ β π π π
π π
π π=
ππ β ππβ πππ(ππ β π)π
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π (ππ β π)πβπππ
ππ β π π
El parΓ©ntesis rectangular se emplea solamente para visualizar, con
mayor claridad, los factores que quedan despuΓ©s de extraer el
factor comΓΊn.
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Se efectΓΊan las operaciones dentro del parΓ©ntesis rectangular.
π¦ =π
(ππ β π)π
π π
π π=(ππ β π)π (ππ β π)πβπππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π ππ β π β πππ
ππ β π π
La expresiΓ³n algebraica dentro del parΓ©ntesis rectangular se
puede simplificar reduciendo tΓ©rminos semejantes.
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Operaciones.
π¦ =π
(ππ β π)π
π π
π π=(ππ β π)π (ππ β π)πβπππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π ππ β π β πππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π βπ β πππ
ππ β π π
Se puede simplificar el numerador y el denominador.
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Operaciones.
π¦ =π
(ππ β π)π
π π
π π=(ππ β π)π (ππ β π)πβπππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π ππ β π β πππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π βπ β πππ
ππ β π π
Se puede simplificar el numerador y el denominador.
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
Ejemplo
Operaciones.
π¦ =π
(ππ β π)π
π π
π π=(ππ β π)π (ππ β π)πβπππ
ππ β π π
π π
π π=(ππ β π)π βπ β πππ
ππ β π π
π π
π π=
βπβπππ
ππβππ
Este ΓΊltimo es el resultado.
π
π π
π
π=ππ ππ π
β ππ ππ π
ππ
ππ
ππ
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