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Les lois de KEPLER nous permettent de calculer les vitesses des planètes et comètes autour du Soleil. On calcule ici la vitesse au périhélie de la comète ISON C/2012 S1 qui possède une trajectoire hyperbolique à faible excentricité.
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Comment calculer sa vitesselors du passage près du Soleil ?
Comète C/2012 ISON
m^3 / kg / s^2
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Pour calculer les éphémérides d'une comète, il est nécessaire de connaître 6 paramètres orbitaux.
Ils se calculent à partir des observations par des méthodes assez complexes (Laplace, Gauss, Olbers).
Le mouvement d'une comète est régi par les mêmes lois que celles des planètes ou de tout corps céleste :
la gravitation et la conservation de l'énergie.
Mathématiquement, la trajectoire se traduit par 3 lois énoncées en 1618 par Képler :
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1.
L'orbite est une conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole)dont le Soleil est un foyer. La trajectoire est plane.
La trajectoire de ISON est hyperbolique.
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Le périhélie est le point de la trajectoire le plus proche du Soleil.
L'aphélie est le point de la trajectoire le plus loin du Soleil.
La ligne aphélie - périhélie forme le grand axe.
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2. loi des aires :
La ligne joignant le Soleil et le corps céleste parcourt
des aires identiques en des temps égaux
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La 2e loi de Képler
implique que la vitesse
sur l'orbite est variable et
plus rapide au périhélie.
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3. Le rapport
(période de révolution)² _____________________
(grand axe de l'ellipse)³
est constant.
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On l'écrit aussi
T² = a³
T est la période en années.
a est le demi-grand axe en U.A.
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Nicolas COPERNIC émit l'idée d'héliocentrisme,
Tycho BRAHE fit les observations des positions des trajectoires,
Johannes KEPLER trouva les lois géométriques,
Isaac NEWTON les démontra,
EINSTEIN les ajusta.
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Eléments décrivant une ellipse :
cercle : F = O ; parabole : F = P
La position du Foyer varie selon e
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L'excentricité e mesure le degré d'aplatissement de la trajectoire :
e = distance entre les foyers / grand axe
e>1 pour une hyperbole e=1 pour une parabole e<1 pour une ellipsee=0 pour un cercle
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Les paramètres orbitaux permettant le calcul de position sont :
a : le demi grand axee : excentricitétp : date du périhélie ou Peri : argument (angle) du périhélieΩ ou Node : longitude du noeud ascendanti : inclinaison de l'orbite sur l'écliptique
Une trajectoire hyperbolique est un cas très rare,
ou lié à une perturbation de trajectoire elliptique.
L'excentricité demeure faible et e est proche de 1.
La loi des aires La conservation de l'énergie
L'énergie liée à la vitesse : Ec = ½ m V²
L'énergie liée à la gravitation : Ep = - G Ms m / r
Le calcul de la vitesse d'une comètefait intervenir :
et : G = constante de GravitationMs = masse du Soleilr = distance au foyerDp = distance au périhélie
V² = G Ms ( 2/r - 1/a )
V, la vitesse d'une comètese calcule par la formule :
et : Dp = a (1 - e)
Il nous reste à estimer e et Dpgrâce aux observations.
Vp² = G Ms ( 1 + e )/Dp
En remplaçant a par la valeur précédente,On obtient :
Pour ISONLe site de la NASA nous donne e et Dp(nommé q sur ce site)
Le site Minor Planet Center de l'U.A.I. nous donne e et Dp actualisés :
on obtient :
Calcul avec la comète ISON C/2012 S1 :
Vp = 377 km/s
( <5 fois la distance Terre-Lune)
( 300 000 fois la Terre)
( 150 millions de km)
( faible hyperbole)
on obtient Vp = 30 km/s
Vp² = G Ms ( 1 + e )/Dp
Pour le cas de la Terre (ellipse), avec :
on obtient Vp = 42 km/s
Vp² = G Ms ( 1 + e )/Dp
Pour le cas Terre, la vitesse limite parabolique d'échappement au Soleil est:
Donc la vitesse de la comète ISON C/2012 S1
à son passage au périhélie le 28 nov. 2013
sera d'environ :Vp = 377 km/s
= 1,36 million km/h
Références :
Eléments orbitaux ISON C/2012 S1 :
http://www.minorplanetcenter.net/mpec/K13/K13H38.html
http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=ison&orb=1
Sites Web intéressants :
Informations détaillées sur les comètes (en français) :http://www.astrosurf.com/cometes/description/Com_des.html
Mathématiques des coniques (en anglais) :http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#hyperbolichttp://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_trajectory
Ephémérides des petits objets :http://www.minorplanetcenter.net/iau/MPEph/MPEph.html
© Bruno CARTIGNYMai 2013
Club d'Astronomie : Astro Club 85
http://astroclub85.free.fr/
