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Tema:
16 Volúmenes 1 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Volumen de los cuerpos
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
IMAGEN FINAL
Estos dos cuerpos ocupanel mismo espacio. Cada uno de ellos está
formado por 8 ladrillos.
La unidad de volumen que hemos empleado es el ladrillo.
Empleando el cubo comounidad, la figura adjunta
tiene un volumen de
26 cubos unidad
2 + 9 + 15 = 26
Tema:
16 Volúmenes 2 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Unidades de volumen (I)
Las unidades del sistema métrico decimal son:
IMAGEN FINAL
El metro cúbico: m3
Es un cubo de un
metro de arista.
El decímetrocúbico: dm3
Es un cubo de un
dm de arista.
El centímetrocúbico: cm3
Es un cubo de un
cm de arista.
El milímetro cúbico (mm3) esun cubo de un mm de arista
Tema:
16 Volúmenes 3 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Las unidades de volumen menores que el metro cúbico se llaman SUBMÚLTIPLOS.
IMAGEN FINAL
Es un cubo de 100 metros de arista.El hectómetro cúbico (hm3)
dm3, cm3 y mm3 son submúltiplos del m3
Las unidades de volumen mayores que el metro cúbico se llaman MÚLTIPLOS. Las principales son:
El decámetro cúbico (dam3). Es un cubo de 10 metros de arista.
Es un cubo de 1000 metros de arista.El kilómetro cúbico (km3)
m3 dam3 hm3cm3mm3 km3dm3
Unidades de volumen (II)
Tema:
16 Volúmenes 4 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
IMAGEN FINAL
Por tanto: 1 dm3 = 1000 cm3
La figura adjunta representa un décímetro cúbico. Como 1 dm = 10 cm, en la primera capa hay 100 cubos de 1 cm3: 10·10.
1 m3 = 1000 dm3Luego:
Relación entre las unidades de volumen
Con 10 capas completamos el dm3. Luego, caben 1000 cm3: 100·10.
Análogamente puede verse que:
1 m3 = 1000 dm3 1 cm3 = 1000 mm3
= 1.000.000 cm3 1.000.000.000 mm3= por 1000 por 1000
Tema:
16 Volúmenes 5 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Regla general:
IMAGEN FINAL
Una unidad de volumen es 1000 veces mayor que la de orden inmediatoinferior, y 1000 veces menor que la del orden inmediato superior.
Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema:
m3 dm3 cm3hm3km3 mm3dam3
Cambio de unidad
De mayor a menor: Se multiplica por 1000
: 1000
x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000
De menor a mayor: Se divide entre 1000
: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000
Tema:
16 Volúmenes 7 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
IMAGEN FINAL
Volumen del cubo
El volumen de un cubo de un decímetro de lado es V = 1·1·1 = 1 dm3
a
V = a·a·a = a3
El cubo es un ortoedro con las tres aristas iguales
a
a
1 dm = 10 cm
V= 10·10·10 = 1000 cm3
Tema:
16 Volúmenes 8 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
IMAGEN FINAL
Volumen y capacidad
En una caja de un decímetro de arista
cabe un litro
Las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas
1 dm3 = 1 l
1 dm3 = 1000 cm3
1 litro = 1000 ml1 cm3 = 1 ml
1000 dm3 = 1 m3
1000 l = 1 kl1 m3 = 1 kl
Tema:
16 Volúmenes 9 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen del prisma
El volumen de un prisma es igual al área de su base por su altura. V = B.h
hhh
h·2
a·b V =
Prisma triangular Prisma rectangular Prisma pentagonal
B
ab
V = a·b·h V = (área del pentágono)·h
ab
Tema:
16 Volúmenes 10 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen del prisma hexagonal
Ejemplo. Calcula el volumen del prisma si el perímetro de la base es 6 cm y su altura 3,5 cm.
El volumen del prisma es igual al áreadel hexágono de la base por su altura. V = B.h
La base es un hexágono regular
Si p = 6, entonces l = 1, y su apotema a = 0,86.
Área de la base:
2cm 58,22
86,0·6
2
p·a B === V = 2,58·3,5 = 9,03 cm3
1
0,5
a2 = 12 - 0,52 = 0,75
Tema:
16 Volúmenes 11 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen del cilindro
Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 15 cm y radio de la base 4 cm.
El volumen del cilindro es igual al áreade su base (que es un círculo) por su altura.
V = 3,14·42·15 = 753,6 cm3
h·r· V 2π=
r
h 15·4· V 2π=15 cm
4
Tema:
16 Volúmenes 12 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide es igual aun tercio del área de la base por la altura.
B·h·3
1 V =
B
h
Pirámide pentagonal
Pirámide cuadrangular Ejemplo:
Calcula el volumen de una pirámide de 9 cm de altura, y cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo por 2,5 de ancho.
3cm 309·10·3
1 B·h·
3
1 V ===
Área de la base: B = 4·2,5 = 10
Luego:
Tema:
16 Volúmenes 13 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen del cono
El volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la altura. 3
·h·r V
2π=
Ejemplo:
Calcula la máxima cantidad de líquido que puede contener un embudo cuyas medidas aparecen en la figura.
32
cm 2253
·8,63,14·5 V ==
Si el diámetro vale 10, el radio r = 5 cm.
Luego:
225 cm3 = 225 ml = 0,225 litros.
Tema:
16 Volúmenes 14 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Volumen de la esfera
3·r3
4 V π=
Ejemplo. Calcula el volumen del cuerpo de la figura.
Se trata de dos medias esferas y de un cilindro.
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto 3·rπ
radio = r
El radio de las esferas y del cilindro es 7 cm; la altura del cilindro, 70 - 2·7 = 56 cm.
1436·73
4 V 7, r Si 3 === π El volumen total es: 32 ·r
3
4h·r· V ππ +=
Luego, V = 3,14·72·56 + 1436 = 8616,16 + 1436 = = 10.052,16 cm3
56 cm
Tema:
16 Volúmenes 14 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
IMAGEN FINAL
Volumen de la esfera
3·r3
4 V π=
Ejemplo. Calcula el volumen del cuerpo de la figura.
Se trata de dos medias esferas y de un cilindro.
El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto 3·rπ
radio = r
El radio de las esferas y del cilindro es 7 cm; la altura del cilindro, 70 - 2·7 = 56 cm.
1436·73
4 V 7, r Si 3 === π El volumen total es: 32 ·r
3
4h·r· V ππ +=
Luego, V = 3,14·72·56 + 1436 = 8616,16 + 1436 = = 10.052,16 cm3
56 cm
Tema:
16 Volúmenes 15 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Leer y comprender el enunciadoPrimero:
Hacer esquemas o dibujosSegundo:
El contenedor es como una caja de 30 por 24 y por 18 dm. Se debe llenar con cajas cúbicas lo más grandes que se pueda.Se preguntan dos cosas:
Dibujamos un contenedor:
Introducimos cajas:
Resolución de problemas (I)
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
1º) el volumen del contenedor; 2º) el número de cajas que pueden entrar en él.
30 dm
24 dm
18 dm
Tema:
16 Volúmenes 16 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
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Buscar la ideaTercero:
Aplicar las fórmulasCuarto:
Para que las cajas cúbicas quepan en número exacto, su arista debe ser divisor de 30, 24 y 18. Para que sean las de mayor tamaño, ese divisor será el más grande de ellos: el m.c.d.Como 30 = 2 · 3 · 5, 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32, entonces m.c.d. (30, 24, 18) = 2 · 3 = 6. Luego la arista de las cajas valdrá 6 dm.
Volumen del contenedor :
V = 30 · 24 · 18 = 12960 dm3
Volumen de cada caja : 6 · 6 · 6 = 216 dm3
Número de cajas que caben: 12960 : 216 = 60
Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor?
Resolución de problemas (II)
30 dm
24 dm
18 dm
