THE WILCOXON MATCHED-PAIRS SIGNED-RANKS TEST

MAKALAH

Diajukan untuk Melengkapi Tugas Mata Kuliah

Statistika Non Parametrik dengan dosen pengasuh

Dr. Marwan Ramli, M.Si

Oleh

Rizki Kurniawan Rangkuti(NPM : 7108051059)

Program Studi Pendidikan Matematika

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS ISLAM SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

THE WILCOXON MATCHED-PAIRS SIGNED-RANKS TEST

Teknik ini merupakan penyempurnaan dari uji tanda (Sign Test). Kalau

dalam uji tanda besarnya selisih nilai angka antara positif dan negatif tidak

diperhitungkan sedangkan dalam uji Wilcoxon nilai selisih (X-Y) diperhitungkan,

uji ini digagas pertama kali oleh Frank Wilcoxon (1892-1965). Seperti dalam uji

tanda, teknik ini digunakan untuk menguji signifikansi hipotesis komparatif dua

sampel yang berkorelasi bila datanya berbentuk ordinal (berjenjang).

Caranya adalah sebagai berikut :

1. Beri nomor urut untuk setiap harga mutlak selisih (X i-Yi). Harga mutlak

yang terkecil diberi nomor urut atau peringkat 1, harga mutlak selisih

berikutnya diberi nomor urut 2, dan akhirnya harga mutlak terbesar diberi

nomor urut n. Jika terdapat selisih yang harga mutlaknya sama besar, untuk

nomor urut diambil rata-ratanya.

2. Untuk tiap nomor urut berikan pula tanda yang didapat dari selisih (X-Y).

3. Hitunglah jumlah nomor urut yang bertanda positif dan juga jumlah nomor

urut yang bertanda negatif.

4. Untuk jumlah nomor urut yang didapat pada langkah 3, ambillah jumlah

yang harga mutlaknya paling kecil. Sebutlah jumlah ini sama dengan J.

Jumlah J inilah yang dipakai untuk menguji hipotesis :

H0 : tidak ada perbedaan pengaruh kedua perlakuan

Ha : terdapat perbedaan pengaruh kedua perlakuan

Untuk menguji hipotesis di atas dengan taraf nyata α=0,01 atau α=0,05,

kita bandingkan J di atas dengan T yang diperoleh dari harga-harga kritis untuk

tes wilcoxon. Jika J dari perhitungan lebih kecil atau sama dengan T tabel dari daftar

berdasarkan taraf nyata yang dipilih maka terima Ha. Dalam hal lainnya H0

diterima.

Kriteria Uji :

Ha diterima jika T hitung < T tabel

H0 diterima jika T hitung ≥ T tabel

Dalam penerapannya, uji peringkat bertanda Wilcoxon analog dengan uji t

berpasangan (paired t test), dengan objek perbandingan ialah pengamatan-

pengamatan dari dua buah sampel berhubungan.

Ciri-ciri yang membedakan dari uji t berpasangan :

1. Uji peringkat bertanda Wilcoxon tidak membuat asumsi tentang normalitas

distribusi populasi.

2. Uji peringkat bertanda Wilcoxon tidak membutuhkan informasi tentang

varians, baik varians populasi maupun populasi sampel.

3. Uji peringkat bertanda Wilcoxon bila digunakan meskipun data yang

tersedia hanya ordinal.

4. Perhatian analisis untuk membedakan satu sampel dengan sampel lainnya

pada uji peringkat bertanda Wilcoxon adalah mediannya.

Langkah – Langkah Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon :

1. Asumsikan bahwa populasi perbedaan pasangan nilai pengamatan kedua

sampel adalah variable acak kontinu.

2. Hipotesis

Uji satu sisi :

a. Ho : W (+) = W (-)               Hi  : W (+) > W (-)

b. Ho : W (+) = W (-)               Hi  : W (+) < W (-)

Uji dua sisi :

Ho : W (+) = W (-)                Hi  : W (+) ≠ W (-)

W(+)  : Jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (Wi , Yi)

yang bertanda positif.

W (-) :  Jumlah semua peringkat selisih pasangan pengamatan (Wi , Yi)

yang bertanda negatif.

3. Untuk setiap pasangan nilai pengamatan (Xi, Yi), hitung perbedaannya (di=

Xi – Yi).

4. Berikan peringkat terhadap perbedaan nilai pasangan pengamatan, mulai

dari peringkat 1 untuk perbedaan terkecil hingga peringkat n untuk

perbedaan terbesar. Bila terdapat perbedaan nilai pasangan yang sama,

perbedaan pasangan nilai yang sama di beri peringkat rata-ratanya. Untuk

beda nol, tidak diperhatikan.

5. Bubuhkan tanda kepada peringkat yang sudah dibuat itu positif atau negatif

sesuai dengan tanda perbedaan nilai pengamatan aslinya.

6. Hitung banyaknya di yang bertanda positif (disebut W+) dan negative

(disebut W-).

7. Statistik uji peringkat bertanda Wilcoxon ialah W. M yang dipakai ialah W+

atau W- yang nilainya lebih kecil :

W+= ∑ Ri (Semua peringkat positif) dan       │W-│= │∑Ri│(Semua peringkat Negatif)

8. Ho ditolak bila nilai W terlalu kecil untuk dikatakan bahwa yang terlibat

hanya karena kebetulan.

Contoh :

Seorang mahasiswa pendidikan matematika Univeristas Islam Sumatera Utara

ingin mengetahui apakah penerapan pendidikan karakter berpengaruh secara

signifikan terhadap hasil belajar matematika siswa di kelas X SMA Negeri 11

Medan tahun 2012. Untuk itu dilakukan penelitian dalam hal ini di ambil satu

kelas yang sebagai sampel penelitian, katakan kelas X5 sebagai subjek penelitian

yang berjumlah 20 siswa. Data penelitian di ambil sebelum dilakukan penerapan

pendidikan karakter dan sesudah penerapan pendidikan karakter yang masing-

masing dilambangkan dengan X5A dan X5B.

Berdasarkan hal tersebut, maka :

1. Judul penelitian dapat dirumuskan sebagai berikut :

Penerapan Pendidikan Karakter Terhadap Hasil Belajar Matematika Siswa

Kelas X SMA Negeri 11 Medan Tahun Ajaran 2011-2012.

2. Variabel :

Dalam penelitian ini diketahui Pendidikan Karakter adalah variabel bebas

dan Hasil Belajar sebagai variabel terikat.

3. Rumusan Masalah Penelitian :

Apakah Penerapan Karakter pengaruh yang signifikan terhadap Hasil

Belajar siswa kelas X SMA Negeri 11 Medan.

4. Subjek Penelitian :

Subjek dalam penelitian ini adalah siswa yang akan digunakan sebagai

sampel penelitian.

5. Desain Penelitian :

6. Tempat Penelitian :

SMA Negeri 11 Medan- Sumatera Utara

7. Langkah-langkah penelitian :

Menetapkan sampel penelitian yang berjumlah 20 siswa, di mana waktu

penelitiannya dilakukan selama 2 minggu. Minggu pertama dilakukan

penelitian dengan tidak menerapkan pendidikan karakter pada proses

pembelajaran matematika dan minggu kedua dilakukan penelitian dengan

menerapkan pendidikan karakter. Analisis penelitian dilakukan dengan

membandingkan data hasil belajar sebelum dan sesudah penerapan

pendidikan karakter pada proses pembelajaran.

8. Hipotesis :

H0 : Tidak terdapat pengaruh pendidikan karakter secara signifikan

terhadap hasil belajar siswa kelas X5 SMA Negeri 11 Medan Tahun Ajaran

2011-2012.

Ha : Terdapat pengaruh pendidikan karakter secara signifikan terhadap

hasil belajar siswa kelas X5 SMA Negeri 11 Medan Tahun Ajaran 2011-

2012.

9. Kriteria Penelitian :

Terima H0, bila harga jumlah jenjang yang terkecil T dari perhitungan lebih

besar dari harga T tabel (T tabel adalah harga-harga kritis untuk tes

wilcoxon).

Sebelum dilakukan penerapan pendidikan karakter terhadap sampel penelitian 20 siswa kelas X5

Penerapan Pendidikan Karakter

Sesudah dilakukan penerapan pendidikan karakter terhadap sampel penelitian 20 siswa kelas X5

10. Penyajian Data :

Data hasil belajar matematika siswa kelas X SMA Negeri Medan sebelum

dan sesudah dilakukan penerapan pendidikan karakter. Data X5A dan X5B

dapat ditunjukkan dalam tabel berikut :

TABEL DATA PENELITIAN

DATA HASIL BELAJAR SISWA SEBELUM DAN SESUDAH

DILAKUKAN PENDIDIKAN KARAKTER

No Nama Siswa X5A (sebelum) X5B (sesudah)

1 Ibnu Rusdi Dalimunthe 80 90

2 Rahmeilia Khairunnisa 80 90

3 Maulida Rahmi Sagala 78 85

4 Aica Wira Islami 75 82

5 Fitri Aulia Sari 72 80

6 Syahriani Lubis 70 80

7 Andria Maulana Prabowo 70 78

8 Annisa Fitri Hasibuan 76 80

9 Chairil Anwar Lubis 74 80

10 Nanda Dwi Putri 70 78

11 Naufal Ananda 80 90

12 Nurul Azizah 75 79

13 Rahmi Amelia Lubis 70 78

14 Ridwan Dalimunthe 75 80

15 Rini Mega Silvia Sinamo 80 90

16 Nelva Annisa Putri 78 85

17 Garda Arraniri Siregar 75 80

18 Nining Rahmawati Putri 75 80

19 Shara Asdari Nasution 70 78

20 Pratiwi Shavilla 70 80

11. Pengujian Hipotesis

Dalam kasus pengujian, maka data tersebut perlu disusun ke dalam tabel

penolong untuk tes Wilcoxon.

TABEL DATA PENELITIAN

TABEL PENOLONG UNTUK TES WILCOXON

NoX5A

(sebelum)

X5B

(sesudah)

Beda Tanda Jenjang

X5B-X5A Jenjang + -

1 80 90 10 17,5 17,5 0

2 80 90 10 17,5 17,5 0

3 78 85 7 8 8 0

4 75 82 7 8 8 0

5 72 80 8 12 12 0

6 70 80 10 17,5 17,5 0

7 70 78 8 12 12 0

8 76 80 4 1,5 1,5 0

9 74 80 6 6 6 0

10 70 78 8 12 12 0

11 80 90 10 17,5 17,5 0

12 75 79 4 1,5 1,5 0

13 70 78 8 12 12 0

14 75 80 5 4 4 0

15 80 90 10 17,5 17,5 0

16 78 85 7 8 8 0

17 75 80 5 4 4 0

18 75 80 5 4 4 0

19 70 78 8 12 12 0

20 70 80 10 17,5 17,5 0

Jumlah T=210 J=0

Berdasarkan tabel untuk harga-harga kritis dalam tes Wilcoxon untuk n=20

dengan taraf kesalahan 5% (uji pihak), diperoleh T tabel=52. Oleh karena

jumlah jenjang J yang kecil lebih kecil dari T tabel, maka jangan tolak Ha.

Dengan demikian bahwa terdapat pengaruh secara signifikan penerapan

pendidikan karakter terhadap hasil belajar siswa.

12. Kesimpulan :

Interpretasi dari penelitian ini adaalah terdapat pengaruh yang signifikan

dari penerapan pendidikan karatakter terhadap hasil belajar matematika

siswa kelas X5 SMA Negeri 11 Medan Tahun Ajaran 2011-2012.

13. Saran yang diberikan :

Perlu diterapkan pendidikan karakter di SMA guna meningkatkan hasil

belajar siswa.

Uji Median Populasi

Uji wilcoxon juga dapat digunakan untuk menguji hipotesis median

populasi, yaitu :

H0 : median populasi = M

Ha : median populasi≠ M

Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi yang diduga

mempunyai M. Sudah barang tentu bahwa untuk hal ini kita hanya

memperhatikan sebuah sampel yang diambil dari sebuah populasi. Jika data

sampel berukuran n itu X1, X2, X3, . . . , Xn, maka untuk keperluan menguji

median seperti yang telah dirumuskan harus dihitung selisih (Xi-M) dan nomor

urut harga mutlak |Xi-M|. Selanjutnya ditempuh langkah 2), 3) dan 4) seperti

dijelaskan di depan. Hipotesis H0 kita tolak jika T dari perhitungan lebih kecil atau

sama dengan T dari daftar berdasarkan taraf nyata yang dipilih.

DATA HASIL BELAJAR SISWA SEBELUM DAN SESUDAH

DILAKUKAN PENDIDIKAN KARAKTER

Diberikan suatu data berikut akan diuji apakah sampel itu berasal dari

sebuah populasi dengan median M=75 ataukah bukan. Untuk keperluan ini kita

buat daftar berikut :

No Nama Siswa Xi (Xi-M)Peringkat

|Xi-M|

Tanda Peringkat

Positif Negatif

1Ibnu Rusdi

Dalimunthe80 5 18,5 18,5

2Rahmeilia

Khairunnisa80 5 18,5 18,5

3Maulida Rahmi

Sagala78 3 15,5 15,5

4 Aica Wira Islami 75 0 11 11

5 Fitri Aulia Sari 72 -3 7 7

6 Syahriani Lubis 70 -5 3,5 3,5

7Andria Maulana

Prabowo70 -5 3,5 3,5

8Annisa Fitri

Hasibuan76 1 14 14

9Chairil Anwar

Lubis74 -1 8 8

10 Nanda Dwi Putri 70 -5 3,5 3,5

11 Naufal Ananda 80 5 18,5 18,5

12 Nurul Azizah 75 0 11 11

13Rahmi Amelia

Lubis70 -5 3,5 3,5

14Ridwan

Dalimunthe75 0 11 11

15Rini Mega Silvia

Sinamo80 5 18,5 18,5

16 Nelva Annisa Putri 78 3 15,5 15,5

17Garda Arraniri

Siregar75 0 11 11

18Nining Rahmawati

Putri75 0 11 11

19Shara Asdari

Nasution70 -5 3,5 3,5

20 Pratiwi Shavilla 70 -5 3,5 3,5

Jumlah T=173,6 J=36

Kita peroleh T=173,6 dengan α=0,05 dan n=20, dari daftar harga-harga

kritis untuk tes wilcoxon diperoleh 52. Hal ini dapat disepakati bahwa jangan

tolak H0 : median populasi=75 karena Thitung > Ttabel.

Untuk Jumlah Sampel N>25 (Parametric and Nonparametric

Statistical Procedur)

Bila sampel pasangan lebih besar dari 25, maka distribusinya akan

mendekati distribusi normal. Untuk itu digunakan rumus z dalam pengujiannya.

z=J−μJ

σ J

, dengan : μJ=n(n+1)

4σ T=√ n (n+1 )(2n+1)

24

Dimana :

z=uji normal hitung.

J= jumlah jenjang/rangking yangkecil .

μJ=rataan jenjang/rangking .

σ J=Simpangan baku jenjang /rangking .

Kriteria Uji :

Ha ditolak jika z hitung < z tabel

Ho diterima jika z hitung ≥ z tabel

Dengan demikian :

z=J−μJ

σ J

=J−

n(n+1)4

√ n (n+1 )(2 n+1)24

Rumus ini dapat juga digunakan untuk membuktikan contoh diatas tentang

penerapan pendidikan karakter bagi proses pembelajaran. Harga-harga dalam

contoh disubtitusikan dalam rumus tersebut, sehingga :

z=J−

n (n+1 )4

√ n (n+1 ) (2 n+1 )24

=210−

20 (20+1 )4

√ 20 (20+1 ) (2.20+1 )24

=210−

20 (21 )4

√ 20 (21 ) (41 )24

=105

26,786

z=3,92

Bila taraf kesalahan 0,025 (p), maka harga z tabel = 1,96 (Tabel harga-harga

kritis z dalam observasi pada distribusi normal). Harga z hitung 3,92 ternyata

lebih besar dari z tabel, dengan demikian tolak H0 dan jangan tolak Ha. Maka

penerapan pendidikan karakter berpengaruh secara signifikan terhadap hasil

belajar siswa. Kesimpulan ini sama dengan pengujian dengan sampel kecil dari uji

wilcoxon match pairs test.

Suatu data berikut dapat diuji apakah sampel itu berasal dari sebuah

populasi dengan median M. Bila sampel lebih besar dari 25, maka distribusinya

akan mendekati distribusi normal. Untuk itu digunakan rumus z dalam

pengujiannya.

z=T−μT

σT

, dengan: μT=n(n+1)

4σT=√ n (n+1 )(2 n+1)

24

Dimana :

z=uji normal hitung.

T= jumlah jenjang rangking yang kecil .

μT=rataan jenjang/rangking .

σ T=Simpangan baku jenjang /rangking .

Kriteria Uji :

Ha ditolak jika z hitung < z tabel

Ho diterima jika z hitung ≥ z tabel

Dengan demikian :

z=T−μT

σT

=T−

n(n+1)4

√ n (n+1 )(2n+1)24

Rumus ini dapat juga digunakan untuk membuktikan contoh diatas tentang

penerapan pendidikan karakter bagi proses pembelajaran. Harga-harga dalam

contoh disubtitusikan dalam rumus tersebut, sehingga :

z=T−

n (n+1 )4

√ n (n+1 ) (2 n+1 )24

=173,6−

20 (20+1 )4

√ 20 (20+1 ) (2.20+1 )24

=173,6−

20 (21 )4

√ 20 (21 ) (41 )24

=68,6

26,78

z=2,56

Bila taraf kesalahan 0,025 (p), maka harga z tabel = 1,96 (Tabel harga-harga

kritis z dalam observasi pada distribusi normal). Harga z hitung 2,56 ternyata

lebih besar dari z tabel, dengan demikian disimpulkan bahwa sampel itu berasal

dari sebuah populasi dengan median M.