Upload
taskbook
View
200
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl
Wzory dla całek
L.p. Całka Funkcja pierwotna1
∫0 dx C
2∫
dx x+ C3
∫x dx 1
2x2 + C
4∫xn dx 1
n+1xn+1 + C, n 6= −1
5∫ 1x
dx ln |x|+ C6
∫c · f(x) dx c ·
∫f(x) dx+ C
7∫
sin(x) dx − cos(x) + C8
∫cos(x) dx sin(x) + C
9∫
tg(x) dx − ln | cos(x)|+ C10
∫ctg(x) dx ln | sin(x)|+ C
11∫ 1cos2(x) dx tg(x) + C
12∫ 1sin2(x) dx − ctg(x) + C
13∫ex dx ex + C
14∫ax dx ax
ln a + C, a > 015
∫ 1x2+a2 dx 1
aarctg
(xa
)+ C
16∫ 1x2−a2 dx 1
2·a ln∣∣∣x−ax+a
∣∣∣+ C17
∫ 1√a2−x2 dx arcsin
(xa
)+ C
18∫ 1√x2+a
dx ln |x+√x2 + a|+ C
19∫
[f(x) + g(x)] dx∫f(x) dx+
∫g(x) dx+ C
20∫ea·x dx 1
aeax + C
21∫
sin(a · x) dx − 1a
cos(x) + C22
∫cos(a · x) dx 1
asin(x) + C
c© Wydawnictwo TaskBook 1
Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl
W serwisie www.TaskBook.pl możesz wybrać zadania, które Cię interesują. Jeżeli masz szcze-gólny problem z zadaniem, nie potrafisz zrozumieć jak je rozwiązać, możesz je wybrać kilkarazy.Poniżej zobaczysz trzy typy zadań. Każde z nich zostało wygenerowane przez specjalny algorytmpo dwa razy.Gwarantujemy, że będziesz zadowolony. Jeżeli nie będziesz, możesz odesłać e-booka.Zapraszamy na stronę www.TaskBook.pl
Zadania
Zad. 1. [923486] Wyznaczyć całkę∫
(e8y − 9)2 dy.Roz. Podnosimy do potęgi formułę podcałkową∫ (
e8y − 9)2
dy =∫ (e16y − 18e8y + 81
)dy =
116e16y − 9
4e8y + 81y + C.
Zad. 2. [923486] Wyznaczyć∫
(e3y − 7)2 dy.Roz. Upraszczamy formułę podcałkową∫ (
e3y − 7)2
dy =∫ (e6y − 14e3y + 49
)dy =
16e6y − 14
3e3y + 49y + C.
Zad. 3. [342913] Policzyć całkę∫ 10 7tdt.
Roz. Wykorzystamy wzory ∫tndt =
1n+ 1
tn+1 + C
i ∫mf(t)dt = m
∫f(t)dt.
Otrzymujemy
I =∫ 10
7tdt = 7(1
2t2)|10 =
72t2|10 =
72
(12 − 02) = 312.
Zad. 4. [342913] Policzyć całkę∫ 1−2 14z4dz.
Roz. Posłużymy się dwoma wzorami∫zndz =
1n+ 1
zn+1 + C
i ∫mf(z)dz = m
∫f(z)dz.
Dostajemy
I =∫ 1−2
14z4dz = 14(1
5z5)|1−2 =
145z5|1−2 =
145
(15 − (−2)5) = 9225.
Zad. 5. [630209] Obliczyć całkę∫
(2e5x + 1)2dx.Roz. Obliczamy∫
(2e5x + 1)2dx =∫
(4e10x + 4e5x + 1)dx = 4∫e10xdx︸ ︷︷ ︸I1
+4∫e5xdx︸ ︷︷ ︸I2
+∫
1dx︸ ︷︷ ︸I3
,
c© Wydawnictwo TaskBook 2
Przykład zbioru zadań www.TaskBook.pl
W celu wyznaczenia I1 i I2 użyjemy metody podstawiania. W naszym przypadku mamy
I1 =∫e10xdx =
∣∣∣∣∣∣∣t = 10x
dt = 10dxdx = 1
10dt
∣∣∣∣∣∣∣ =110
∫etdt.
Ponieważ∫etdt = et + C dostajemy
I1 =110et + C1 =
110e10x + C1.
Analogicznie dostajemy
I2 =∫e5xdx =
∣∣∣∣∣∣∣y = 5x
dy = 5dxdx = 1
5dy
∣∣∣∣∣∣∣ =15
∫eydy.
Stosując wzór∫eydy = ey + C mamy
I2 =15ey + C2 =
15e5x + C2.
Ostatnia całka I3 jest równaI3 = x+ C3.
Ostatecznie dostajemy ∫(2e5x + 1)2dx =
25e10x +
45e5x + x+ C.
Zad. 6. [630209] Policzyć całkę∫
(−3e2y + 3)2dy.Roz. Liczymy∫
(−3e2y + 3)2dy =∫
(9e4y − 18e2y + 9)dy = 9∫e4ydy︸ ︷︷ ︸I1
−18∫e2ydy︸ ︷︷ ︸I2
+∫
9dy︸ ︷︷ ︸I3
,
Żeby wyznaczyć I1 i I2 użyjemy metody podstawiania. Dostajemy
I1 =∫e4ydy =
∣∣∣∣∣∣∣x = 4y
dx = 4dydy = 1
4dx
∣∣∣∣∣∣∣ =14
∫exdx.
Wykorzystując wzór∫exdx = ex + C mamy
I1 =14ex + C1 =
14e4y + C1.
Postępując podobnie dostajemy
I2 =∫e2ydy =
∣∣∣∣∣∣∣t = 2y
dt = 2dydy = 1
2dt
∣∣∣∣∣∣∣ =12
∫etdt.
Wykorzystując wzór∫etdt = et + C mamy
I2 =12et + C2 =
12e2y + C2.
Ostatnia całka I3 wynosiI3 = 9y + C3.
Ostatecznie dostajemy ∫(−3e2y + 3)2dy =
94e4y − 9e2y + 9y + C.
c© Wydawnictwo TaskBook 3
CZY CHODZIŁEŚ NA WYKŁADY?
CZY ROBIŁEŚ NOTATKI?
CZY SZUKAŁES DODATKOWYCHINFORMACJI W INTERNECIE?
CZY SZUKAŁES DODATKOWYCHINFORMACJI W BIBLIOTECE?
POSZUKAJ INFORMACJI NA....SPRAWDŹ SWOJĄ WIEDZĘ NA....
CZY WSZYSTKO ROZUMIESZ?
CZY POŻYCZYŁES NOTATKI?
WSZYSTKIE DROGI PROWADZĄ DO TASKBOOKwww.taskbook.pl
TAK
TAK
NIE
NIE
TAKNIE
TAK NIE
TAK NIE
TAK NIE