z testi

BÖLÜM II:

Z TESTİ

GülĢah BaĢol

TOKAT - 2014

T.C.

GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ

EĞĠTĠM FAKÜLTESĠ

Konu BaĢlıkları

• 1. Normal Dağılım

• 2. z testi

• 2.1.Ortalama için Tek örneklem z testi.

• 2.2.Ortalamalar için Ġki örneklem z testi.

• 2.3. Oran için Tek örneklem z testi

• 2.4. Oran için Ġki örneklem z testi

BÖLÜM2: z testi

•Normal dağılımda alan iliĢkilerini bilir.

•Normal dağılımda olasılık hesaplayabilir.

•z ve t dağılımlarını bilir.

•Tek örneklem z testini uygular.

• Ġki örneklem z testini uygular.

•Oran için tek örneklem z testini uygular.

•Oran için iki örneklem z testini uygular.

Kazanımlar

BÖLÜM2: z testi

Normal Dağılım

BÖLÜM2: z testi

Standart Normal Dağılım

BÖLÜM2: z testi

Z Değeri

• Z değerinin bir olayın olasılığına karĢılık geldiğini hatırlayalım.

• z=1.00 Aritmetik ortalamanın 1ss üzerinde olma olasılığı %34’tür.

• z puanı 1.00 olan bir birey 84. yüzdeliktedir.

• z değeri bir parametre tahminidir. Örneklemden hesaplanır ve ait olduğu evren karakteristiklerine ait olduğu kabul edilir.

BÖLÜM2: z testi

Z ve t dağılımları

n>30 için t dağılımı normale yaklaĢır. 30’un altındayken t

kuyruğu kalkık, tepesi basık bir dağılımdır. KiĢi sayısı 30’a

yaklaĢtıkça kuyruğu düĢer, baĢı dikleĢir. Bu yüzden n<30 iken,

t tablosu kritik değerleri sürekli değiĢir!!! Tablo doğru mu????

BÖLÜM2: z testi

Z ve t dağılımları

T veya z testi kullanılsın, temel amaç örneklem

dağılımının evren dağılımından Ģans eseri

olabilecek bir sonucun ötesinde farklılaĢtığını

ispatlamaktır.

BÖLÜM2: z testi

Z testi

• z testi ile örneklemden elde edilen değerin evren

değerinden farklı olup olmadığı test edilmiĢ olur.

• Z testini kullanmak için ilk önce hesaplanan test değeri

için evren dağılımının normal olması gerekir.

• Z değeri örneklemden elde edilen değerin evren değerini

ne derece yansıttığını veya bu değerden uzaklaĢtığını

ortaya koyar.

• Burada test değerinin normal dağılım gösterdiği kabul

edilir (aritmetik ortalama 0, ss 1).

• Evren dağılımının varyansı biliniyorsa z testi yapılabilir. n

100’den büyükken dağılımı normale yaklaĢtığı için z testi

kullanılabilir.

BÖLÜM2: z testi

Tek Örneklem z testi

• Evren ortalaması bilinirken kullanılır. Örneklem değer belli

bir popülasyon aritmetik ortalamasıyla karĢılaĢtırılır.

• Sayıltılar:

• 1. Örneklem test edilen değer bakımından normal dağılım

gösterir.

• 2. Popülasyon varyansı (σ2 ) bilinir.

BÖLÜM2: z testi

Tek Örneklem z Testi Formülü

burada

aritmetik ortalama,

Δ test edilen evren değeri,

σ evren standart sapması,

n örneklem büyüklüğü.

(standart normal dağılım

tablosu kullanılacak)

BÖLÜM2: z testi

Tek Örneklem z testi Örnek1:

Diyelim ki bir araĢtırmacı Edirne’nin Kır Köyündeki kızların

boylarının dünya ortalamasının üzerinde olup olmadığını merak

etmektedir. Dünya ortalaması 160cm ve standart sapması 5

cm’dir. Köydeki 36 kızın boy ortalaması168 cm olarak

bulunmuĢtur. Kızların boyunun evren ortalamasından farklı olup

olmadığını alpha .05 düzeyinde test ediniz.

Bu köydeki kızların boyunun evren ortalamasının üzerinde olması

olasılığı nedir?

BÖLÜM2: z testi

Örnek1 Tek Örneklem z testi Hipotezler:H0= Kır köyündeki kızların boy ortalaması dünya ortalamasından

farklı değildir.

H1: Kır köyündeki kızların boy ortalaması dünya ortalamasından

farklıdır. (Çift Yönlü Test).

Ġstatistiksel Hipotez:

H0: µ=160

H1: µ #160

H0= Kır köyündeki kızların boyu ortalamada veya altındadır.

H1: Kır köyündeki kızların boyu ortalamanın üzerindedir.

(Tek Yönlü Test-Sağ).


H0: µ <=160

H1: µ > 160

BÖLÜM2: z testi

Çözüm1:

• =(168-160)/5√36

• =8/.83

• =9.64

• Alpha .05, iki yönlü test

• Normal dağılımda 47.5’a karĢılık gelir. z değeri ise bu alan için 1.96’ya karĢılık gelir.

• Tek yönlü test için %5’in tamamısağdadır. Tablonun için .45’e karĢılık gelen z değeri ise 1.65’tir.

• Hesaplanan z=|9.64| tablo değeri z değeri 1.96’nın oldukça üzerindedir.

BÖLÜM2: z testi

Güven Aralıkları

• Aritmetik ortalamanın %95 güven aralığı

• =168+ 1.96*.83

• =168 + 1.63

• =166.37-----169.63

• =Güven aralığının üst sınırı 1.70.

• =Güven aralığının alt sınırı 1.66.

• Kızların %95’inin boyları

• Bu iki limitin arasındadır.

BÖLÜM2: z testi

Bu Testi Uygulamak için Örneklemdeki

KiĢi Sayısı• Soldaki formül Alpha .05 (%95

güven aralığında) iki yönlü bir

test için z testini uygulayabilmek

için örneklemde bulunması

gereken kiĢi sayısını verir.

• Not: Popülasyon standart

sapmasına ihtiyacımız var!

BÖLÜM2: z testi

• Kır köyündeki kızların boylarının

ortalamanın üzerinde olup

olmadığını test etmek için yeterli

kiĢi sayısı nedir (Alpha=.05)?

• Popülasyon sd=5

• =2*1.96*5/2)2

• =100

BÖLÜM2: z testi

Bu Testi Uygulamak için Örneklemdeki KiĢi Sayısı

Ġki Örneklem z testi

• Ġki bilinen evrenden hesaplanan ortalamanın birbirinden

anlamlı derecede farklılaĢıp farklılaĢmadığının test

edilmesine imkan tanır. Bu evrenlerden hesaplanan iki

ortalamanın birbirinden evrende olduklarında daha çok

farklılaĢmaları durumunda bu değerlerin birbirinden

gerçekte farklı olduklarına hükmedilir.

• Tek örneklem t testi aynı sayıltılara sahiptir:

• 1. Her ikisi de normal dağılım gösteren ancak birbirinden

bağımsız iki dağılım.

• 2. Popülasyon varyansı (σ2 ) bilinir.

BÖLÜM2: z testi

Ġki Örneklem z testinin Formülü

burada

aritmetik ortalamalar,

Δ evren art. Ortalamalarının

farkı,

σ popülasyon standart

sapmaları,

n örneklem büyüklükleri.



BÖLÜM2: z testi

Örnek2:Ġki Örneklem z testi

Diyelim ki araĢtırmacı Kır köyündeki kızların köyün erkeklerinde

de uzun olup olmadığını merak ediyor. Kızlar için dünya

ortalaması 160cm erkekler içinse 165cm’dir. Her iki grup için de

popülasyon standart sapması 5’tir.

Örneklem için hesaplanan değerler aĢağıdaki Ģekildedir:

kızlar= 169cm erkekler= 167cm

=5 =3

n kızlar =20 nerkekle=30

Kızların erkeklerden uzun olup olmadığını Alpha .05 düzeyinde

test ediniz. Kızların erkeklerden uzun olması ihtimali nedir?

BÖLÜM2: z testi

H0= Kır Köyü’nde kızlar ve erkeklerin boyları eĢittir.

H1: Kır Köyü’nde kızlar ve erkeklerin boyları birbirinden farklıdır.

(Çift Yönlü Test)


H0: µ 1=µ2 H0: µ 1-µ2=0

H1: µ1 # µ2 H1: µ 1-µ2 # 0

H0: = Kır Köyü’nde kızlar erkeklerle aynı boyda veya daha kısadır.

H1: Kır Köyünün kızları erkeklerden uzundur. (Tek yönlü test-Sağ)


H0: µ 1<=µ2

H1: µ 1>µ2

BÖLÜM2: z testi

Örnek2:Ġki Örneklem z testi Hipotezler

Çözüm2:• =(169-167)/√52/20+32/30)

• =2/√(1.25+.3)

• =1.6

• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal dağılım tablosunun içinde% 47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise 1.96’dır. Hesaplanan değer 1.6 tablo değerinin altında kalmıĢtır. Sonuç: H0 reddedilemedi.

• Tek Yönlü hipotez kursaydık:

• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta olacaktır. Bu nedenle standart normal dağılım tablosunun içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri 1.65’tir. Hesaplanan değer |1.6| tablo değerinin altında kalmıĢtır. Sonuç: H0 reddedilemedi.

BÖLÜM2: z testi

Çözüm2:

• 1.6 z değeri tablonun içinde .548’e karĢılık gelir. Ġki

yönlü test için bu değerin iki katı alınır. 2*.548 ise 1’in

üzerindedir. Yani böyle bir sonuçla yokluk hipotezini

reddetmek kesinkes hatalı bir karar (%100 Birinci Tür

Hata) olacaktır. Aritmetik ortalamalar kesinlikle eĢittir ya

da farksızdır.

BÖLÜM2: z testi

Çözüm2:• Diyelim ki kızların ortalaması 170

olsun.

• =(170-167)/√52/20+32/30)

• =3/√(1.25+.3)

• =2.4

• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal dağılım tablosunun içinde % 47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise 1.96’dır. Hesaplanan değer 1.6 tablo değerinin altında kalmıĢtır. Sonuç: H0reddedilemedi.


• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta olacaktır. Bu nedenle standart normal dağılım tablosunun içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri 1.65’tir.

• Hesaplanan |2.4| z değeri 1.96’nın üzerindedir. H0 reddedilir.

BÖLÜM2: z testi

Çözüm2:

• 2.4 z değeri tabloda .0082 ‘ye karĢılık gelir. Ġki yönlü

test bu değer iki ile çarpılmalıdır (2*.0082=.0164). Olası

yorumlar:

• Dolayısıyla doğru bir yokluk hipotezini reddetme olasılığı

.05’den azdır.

• Aradaki farkın örnekleme hatasından kaynaklanmıĢ

olması olasılığı .05’ten azdır.

• SPSS her zaman iki yönlü olasılığı (p değerini) hesaplar.

Tek yönlü olasılığı bulmak için bu değer ikiye bölünür.

• Not: Alpha’ya en baĢta karar verdiğimizi iĢimize geldiği

Ģekilde tek veya çift yönlü kullanamayacağımızı

unutmayalım.

BÖLÜM2: z testi

Güven Aralıkları

• 170cm,167 cm için Ortalamalar arasındaki fark için %95 güven aralığı:

• =3 + 1.96*1.25

• =3 + 2.45

• =0.55-----5.45

• =Kızlarla erkekler arasındaki boy farkı en az yarım santimetre en fazla 5.5 cm’dir.

• %95 olasılıkla boy farkları bu iki aralıkta olacaktır.

BÖLÜM2: z testi

Standart Normal Dağılım Tablosu t

Tablosu KarĢılaĢtırması• Standart normal dağılım tablosunu kullanmak için evren

varyansı bilinmelidir. Örneklem büyüklüğüne göre tablo

değeri değiĢmez. t tablosundaki değerler her örneklem

büyüklüğüne göre farklı değer alır.

• Standart normal dağılımda Alphayı biz hesaplarız (Alpha

.05 için 95/2=47.5 çift yönlü test için, .45 çünkü %5’in

hepsi aynı tarafta)

• t tablosunda Alpha tek yönlü ve çift yönlü test için sütunlar

ayrı.

BÖLÜM2: z testi

Standart Normal

Dağılım Tablosu

Tek Popülasyon Oran Testi

• Kategorik iki çıktılı değiĢkenler (Katılıyorum/Katılmıyorum,

Kadın/Erkek) söz konusuyken belli bir sonucun evrendeki

oranı ile örneklem değerinin aynı olup olmadığını test

etmek için tek popülasyon oran testi kullanılır.

• Oran (p) evrende belli bir özelliğe sahip olanların oranı.

Örnek: Belli bir partiye oy verenlerin oranı

Tek Popülasyon Oran Testinin Formülü

burada

p Ģapka örneklem için bir

olayın olması olasılığı,

p0 evren oranı,




PART II: z Test

Örnek 3 Tek Popülasyon Oran Testi:

Bir gazetede öğrencilerin %70’inin ders çalıĢırken

müzik dinlediği belirtilmiĢtir. SBS anneleri topluluğu

bu sonucu araĢtırmak istemektedir. Anket yaparak

100 öğrenciye sormuĢlar ve 18’i ders çalıĢırken

müzik dinlediğin belirtmiĢtir. Gazetedeki iddiayı

Alpha .05 derecesinde test ediniz.

Burada evren için oran (p0) .70, örneklem için

hesaplanan ( ) ise .18’dir.

PART II: z Test

Örnek 3 Hipotezler (Tek Örneklem Oran Testi)

H0 = ÇalıĢırken müzik dinleyenlerle dinlemeyenlerin oranı

birbirine eĢittir.

H1 : ÇalıĢırken müzik dinleyenlerle dinlemeyenlerin oranı

birbirinden farklıdır. (Ġki Yönlü Test)

Ġstatistiksel Hipotezler:

H0: = p0 H0: =.70 H1: = p0 H1: # .70

H0 = Öğrencilerin % 70 veya daha azı çalıĢırken müzik dinler.

H1 : Öğrencilerin % 70’den çoğu çalıĢırken müzik dinler. (Tek

yönlü test-Sağ)

Ġstatistiksel Hipotezler:

H0 : <=.70 H1: > .70

PART II: z Test

Çözüm3: • Oranın Standart hatası=√.70(.30)/100

• = √.0015 =.046

• z=(.18-.70)/ .046

• z= -.52/.046 = -11.3

• Negatif değer oranın tahminin altında kaldığına iĢaret eder.

• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal dağılım tablosunun içinde % 47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise 1.96’dır. Hesaplanan değer -11.3 tablo değerinin üzerindedir. Sonuç: H0 reddedildi.


• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta olacaktır. Bu nedenle standart normal dağılım tablosunun içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri 1.65’tir.

• Hesaplanan -|11.3| z değeri |1.65|’in üzerindedir. H0 reddedildi.

• Tek yönlü test için yorum aynı.

PART II: z Test

Güven Aralıkları

• Oran için %95 güven aralığı

• =.18+ 1.96*.04

• =.18 + .08=.10-----.26

• =Müzik dinleyenlerin oranı

.18’den aĢağı .26’dan da

yukarıda değildir. Aralığın 0’ı

içermemesi aynı zamanda

bulunan farkın anlamlı

olmasının doğruluğunu

göstermektedir.

PART II: z Test

Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının Testi

• Kategorik değiĢken söz konusuyken

(cinsiyet, Katılıyorum/Katılmıyorum) oranların evrende

birbirinden farklı olduğu iddia edilirken bu farkı test

etmede kullanılır.

• Ġlk olarak örneklemde iki grup için aynı özellik bakımından

oranların hesaplanır. Ardından da farkın evrende fark

olduğunu söyleyecek kadar birbirinden aykırı olup

olmadığı z testi ile test edilir.

• (p) evrende belli bir özelliğe sahip olanların oranları

• Et yiyenler yemeyenlerin oranı, sigara içenler ve

içmeyenlerin oranı vb gibi.

Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının z testi

FormülüBurada

pĢapka bir olayın/durumun

olması olasılığı (iki çıktılı)

0 evrende oranlar arasındaki

fark




PART II: z Test

Örnek4 : Ġki Örnekleme Ait Oran Farkının z

testi:

Bir araĢtırmacı okul terki oranının erkeklerde kızlardan daha

yüksek olduğunu iddia etmektedir. Diyelim ki baĢka bir

araĢtırmacı bu iddiayı test etmek istiyor ve 100’er kız ve

erkek öğrenci arasından okulu terk edenlerin oranını

hesaplıyor. Kızlarda bu oran .10 iken ve erkeklerde .12

olduğunu görüyor. AraĢtırmacının iddiasını Alpha .05

düzeyinde test ediniz.

Burada p0 popülasyondaki oran ve p örneklemden

hesaplanan oranlardır.

PART II: z Test

Örnek4 için Hipotezler : Ġki Örnekleme Ait Oran

Farkının z testi:

H0 : Kız ve erkeklerde okul terk oranı eĢittir.

H1 : Kız ve erkeklerde okul terk oranı birbirinden farklıdır. (Çift

yönlü test)


H0: H1 : p erkekler # p kızlar

H0 = Okulu terk eden erkeklerin oranı kızlara eĢittir ya da

onlardan azdır.

H1 : Okulu terk eden erkeklerin oranı kızların oranından

yüksektir. (Tek Yönlü test-Sağ)


H0 : p erkekler <= p kızlar H1: p erkekler > p kızlar

PART II: z Test

perkekler = pkızlar

Çözüm4: phat= p1+p2/n1+n2 phat=(.10.100+.12.100)/200= .11

• SE of the Proportion=√.11(.89).2/100

• = √.098*.02= √.0020 = .044

• z=(.12-.10)/ .044

• z= .02/.044 = .45

• Z=.45

• Ġki yönlü z testi, Alpha .05 standart normal dağılım tablosunun içinde % 47.5 a karĢılık gelir. z değeri ise 1.96’dır. Hesaplanan değer .45, tablo değerinin altındadır. Sonuç: H0 reddedilemez.


• Tek yönlü test için Alpha %5 aynı tarafta olacaktır. Bu nedenle standart normal dağılım tablosunun içinde .45’i aramalıyız. KarĢılık gelen z değeri 1.65’tir. Okul terk oranları anlamlı düzeyde farklılaĢmamaktadır.

• Hesaplanan|.45| z değeri 1.96’nın altındadır. Dolayısıyla H0 reddedilemedi.

• Tek yönlü test için yorum aynı.

PART II: z Test

Güven Aralıkları

• Burada iki oran farkı için %95 güven aralığını hesapladık:

• =.02+ 1.96*√(.22*.78)/2/100

• =.02 + .1.96* √(.22*.78)/2/100 =.02 + .06

• -.04-----.08

• =Bu fark için alt sınır -.04’tür (kızların oranının yüksek

olması, Üst limit ise .08’dir (erkeklerin oranının yüksek

olması). Bu aralığın 0’ı içermesi de yokluk hipotezinin

reddedilmemesi kararını doğrulamaktadır.

PART II: z Test

Kaynakça

• http://www.cliffsnotes.com/math/statistics/univariate-

inferential-tests/two-sample-z-test-for-comparing-two-

means

Education

z testi