大改造!!劇的ビフォーアフター@curekoshimizu

リフォーム依頼番組ではリフォームをお考えの級数さまを大募集！あなたもこの番組で腕をふるう「匠」に大改造を依頼してみませんか？

級数を

第8回日曜数学会(2017/01/07)

匠の技を魅せるための物件(級数)紹介

𝜋 = 4 𝑛=0∞ −1 𝑛

2𝑛+1

ライプニッツ級数

𝜋 =4

𝑛=0∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

ラマヌジャンの円周率級数

匠の技を魅せるための物件(級数)紹介

どちらも円周率に収束する級数

𝜋 = 4 𝑛=0∞ −1 𝑛

2𝑛+1

ライプニッツ級数

匠にリフォームを望む級数

𝜋 =4

𝑛=0∞ −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

ラマヌジャンの円周率級数

理想的高級級数

匠の技を魅せるための物件(級数)紹介

𝜋 ≈ 4 𝑛=00 −1 𝑛

2𝑛+1

= 4.00000....

ライプニッツ級数

𝜋 ≈4

𝑛=00 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

= 3.1415850400..

ラマヌジャンの円周率級数

𝒏 = 𝟎までによる 𝝅 の近似値

𝜋 ≈ 4 𝑛=01 −1 𝑛

2𝑛+1

= 2.666666....

ライプニッツ級数

𝜋 ≈4

𝑛=01 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

=

3.141592653597..

ラマヌジャンの円周率級数

𝒏 = 𝟏までによる 𝝅 の近似値

さすがはラマヌジャン

𝜋 ≈ 4 𝑛=02 −1 𝑛

2𝑛+1

= 3.466666....

ライプニッツ級数

𝜋 ≈4

𝑛=02 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

=

3.141592653589793229....

ラマヌジャンの円周率級数

お!?

𝒏 = 𝟐までによる 𝝅 の近似値

𝜋 ≈ 4 𝑛=03 −1 𝑛

2𝑛+1

= 2.89523....

ライプニッツ級数

𝜋 ≈4

𝑛=03 −1 𝑛 4𝑛 ! 1123+21460𝑛

8822𝑛+1 4𝑛𝑛! 4

=

3.1415926535897932384626531..

ラマヌジャンの円周率級数

あああ...

𝒏 = 𝟑までによる 𝝅 の近似値

ライプニッツ級数の収束の遅さをみよ！

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで𝜋 = 4 𝑛=0

∞ −1 𝑛

2𝑛+1

ライプニッツ級数

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで

3.1315929035585527643

3.0418396189294022111𝒏 = 𝟏𝟎

まで

𝒏 = 𝟏𝟎𝟎まで

3.1414926535900432384

3.1405926538397929259𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎

まで

𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎まで

𝒑桁計算するのに𝒏 = 𝟏𝟎𝒑+𝟏 まで

計算が必要な予感!?

しかし

匠は

なんと

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで

この全然円周率っぽくないものたちだけを使って

劇的ビフォーアフター

してみせます！

アルゴリズム紹介(epsilon算法)

匠 の 技

○□

△□ +𝟏

△−○

この計算をしていく

ここがないときは 0 とみなす

STEP0

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

1.2500000000000000000

-1.749999999999999999

2.2500000000000000002

-2.749999999999999999

-0.750000000000000000

-3.749999999999999999

3.2500000000000000001

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで

4.2500000000000000005

-4.750000000000000000

𝟎 +𝟏

△−○

STEP1

△

○

-0.750000000000000000

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

4.0000000000000000000𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

3.2837384837384837384

3.0170718170718170717

2.9760461760461760461𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝒏 = 𝟕 まで

1.2500000000000000000

-1.749999999999999999

2.2500000000000000002

-2.749999999999999999

-3.749999999999999999

3.2500000000000000001

2.6666666666666666667

3.4666666666666666667

2.8952380952380952381

3.3396825396825396825

3.2837384837384837384

2.9760461760461760461

3.1666666666666666667

3.1333333333333333334

3.1452380952380952381

3.1396825396825396825

3.1408813408813408812

3.1427128427128427128

3.2523659347188758952

3.0418396189294022110

𝒏 = 𝟖 まで

𝒏 = 𝟗 まで

4.2500000000000000005

-4.750000000000000000

3.1420718170718170717

3.1412548236077647841

STEP2

△

○

□

□ +𝟏

△−○

STEP3

STEP4

STEP5+STEP6

STEP5+STEP6

0・1桁精度 2・3桁精度 4・5桁精度 5・6・7桁精度

なんということでしょう

匠の技であんなにも収束の遅かった

ライプニッツ級数が

BEFORE

BEFORE AFTER 3.141592079353...

𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎までより精度よく求まっている

最後にこのアルゴリズムを使って

おもしろい応用ができることに

気がついたので紹介

𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・

=

𝒏=𝟎

∞

−𝟏 𝒏(𝒏 + 𝟏)

発散級数

-1

2

-2

3

1𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

4

-3𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

𝟏 − 𝟐

𝟏 − 𝟐 + 𝟑

-1

2

-2

3

1𝒏 = 𝟎 まで

𝒏 = 𝟏 まで

𝒏 = 𝟐 まで

𝒏 = 𝟑 まで

𝒏 = 𝟒 まで

4

-3𝒏 = 𝟓 まで

𝒏 = 𝟔 まで

1/3

-1/4

1/5

-1/6

-1/2

1/7

666666666666666673.4666666666666666

6672.8952380952380952

3813.3396825396825396

825

1/5

2/7

2/9

3/11

3/13

12

-16

20

-24

666666666667

2.8952380952380952

381

2.8952380952380952

381

1/4

1/4

1/4

おや!?

つまり

𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・

=

𝒏=𝟎

∞

−𝟏 𝒏 𝒏 + 𝟏

=𝟏

𝟒

発散級数

=𝟏

𝟒!?

𝟏−𝒛 + 𝟐−𝒛 + 𝟑−𝒛 + ・・・= (𝟏 − 𝟐𝟏−𝒛)𝜻(𝒔)

ゼータ函数を使うとある意味 ¼ と解釈ができるかもしれない？

𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟒 + 𝟓 − ・・・

= −3𝜻 −𝟏 = −𝟑 × −𝟏

𝟏𝟐=𝟏

𝟒

𝜻 −𝟏 = −𝟏

𝟏𝟐を使った

この式を使うと

つまり

匠の技は発散級数にも

ある意味使える!?

以上収束をはやくする

匠の技でした+もしかすると発散級数に対しても

使えるのでは？という話つき

第8回日曜数学会(2017/01/07)

自己紹介+ブログ宣伝@curekoshimizu

• 京都大学理学部数学科で解析学を主に専攻してました！

後期入試最高得点入学！ (tan1°問題の年)

• 京都大学大学院 情報学研究科 複雑系科学専攻数値解析・丸め誤差に関わる研究

それをやりながらコンピューターにも興味をもつ

• 現在ソフトウェアエンジニア！ここで紹介したような技を使って

さまざまなアルゴリズムを高速化してます！

数学をつかった高速化が大好き！！！

数学と関係する略歴

http://math.koshimizu.hatenablog.jp

数学とコンピューターの間を埋めるようなそんなブログをはじめました！

2016年日曜数学アドベントカレンダー

にも投稿したよ