MOVIMIENTO CURVILINEO

Ing. Francisco Alfredo Díaz Manzano

Universidad de Oriente

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva

diferente a una línea recta, se afirma que describe un

movimiento curvilíneo.

• Para definir la posición P ocupada por la partícula en un

tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia

fijo, tal como los ejes x, y, z que se muestran en la figura.

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • Puesto que el vector r está caracterizado por su magnitud

r y su dirección con respecto a los ejes de referencia,

éste define por completo la posición de la partícula con

respecto a esos ejes; el vector r se conoce como el

vector de posición de la partícula en el tiempo t.

• el vector r que define la posición P ocupada por la misma

partícula en un tiempo posterior ∆t+t.

• El vector r que une a P y a ‘P representa el cambio en el

vector de posición durante el intervalo del tiempo t.

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • ∆r representa un cambio de dirección, así como un

cambio de magnitud del vector de posición r.

• La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo

de tiempo t se define como el cociente de r y t.

• La velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t se

obtiene al elegir intervalos de tiempo t cada vez más

cortos y, de manera correspondiente, incrementos

vectoriales r cada vez menores.

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t,

se conoce como una función vectorial de la variable

escalar t y se denota mediante r(t).

• Extendiendo el concepto de derivada de una función

escalar que se presenta en cálculo elemental, el límite del

cociente ∆r/∆t se conoce como la derivada de la función

vectorial r(t).

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • La magnitud v del vector v se conoce como la rapidez de

la partícula y es posible obtenerla al sustituir, en vez del

vector r. La magnitud de este vector representado por el

segmento de línea recta PP’. Sin embargo, la longitud del

segmento PP se acerca a la longitud s del arco PP

cuando t disminuye, por lo que se puede escribir

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN • Se observa que el proceso de definir la posición,

velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento curvilíneo es igual muy similar al movimiento rectilíneo, por lo que podemos decir que:

• La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆t se define como el cociente entre ∆v y ∆t. Puesto que ∆v es un vector y ∆t un escalar, el cociente ∆v/ ∆t es un vector de la misma dirección que ∆v.

• La aceleración instantánea de la partícula en el tiempo t se obtiene al tomar valores cada vez más y más pequeños de ∆t y ∆v.

VECTOR POSICIÓN, VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN

• Se observa que la aceleración a es tangente a la curva descrita por la punta Q del vector v cuando este último se dibuja desde un origen fijo O y que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria de la partícula. La curva descrita por la punta de v se conoce como la hodógrafa del movimiento.

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA

VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

• Al descomponer el vector de posición r de la partícula en

componentes rectangulares, se escribe:

• donde las coordenadas x, y, z son funciones de t. Al

diferenciar dos veces, se obtiene:

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA

VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

COMPONENTES RECTANGULARES DE LA

VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN

• El uso de las componentes rectangulares para describir la

posición, la velocidad y la aceleración de una partícula

es en particular efectivo cuando la componente ax de la

aceleración sólo depende de t, x, y/o vx y de forma similar

para las aceleraciones en sus componentes

rectangulares correspondientes.

• En otras palabras, es posible considerar por separado el

movimiento de la partícula en dirección x, su movimiento

en la dirección y, y su movimiento en la dirección z.

MOVIMEINTO DE PROYECTILES

• En el caso del movimiento de un proyectil, por ejemplo, se demuestra que las componentes de la aceleración son:

• Integrando dos veces tenemos que:

• Estas ecuaciones muestran que el proyectil permanece en el plano xy, que su movimiento en la dirección horizontal es uniforme, y que su movimiento en la dirección vertical es uniformemente acelerado.

EJEMPLO