Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

RESONANCIA Y APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA MECÁNICA Y FÍSICA

MATEMATICAS III – UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

SEGUNDA TITULACION

MATEMATICAS III

MATERIA : APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

TEMA : RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECANICA Y FISICA

DOCENTE : Ing. JAVIER RAMIREZ RODRIGUEZ MUÑOZ

INTEGRANTE:

- TORRES RODRIGUEZ, Marciano Edwin

TRUJILLO MARZO DEL 2016



APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales y en la carrera profesional de Ingeniería Civil su aplicación es amplia.

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes.

OBJETIVOS

Tiene por objetivo explicar los fenómenos naturales traduciéndolos en ecuaciones diferenciales y estas sirven a su vez para solucionarlos en forma matemática y aplicarlos a la vida real como por ejemplo:

El estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

Las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

DEFINICION DE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Tanto en las ciencias como en las ingenierías se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos.

Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como la medicina, la economía, la investigación de operaciones y la psicología.

La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral.

En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía,



la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler.

En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

Definición: Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (E.D).

Si la función desconocida depende sólo de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas ordinarias) la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria.

Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable (de tal modo que las derivadas son derivadas parciales) la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.

MODELADOS MATEMÁTICOS

Es común y deseable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, ya sea físico, sociológico o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o un fenómeno se llama modelado matemático y se construye con ciertos objetivos.

Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistema al estudiar el crecimiento de poblaciones animales, se podría fechar fósiles al analizar su desintegración de sustancias radiactivas.

Construcción de un modelo matemático

1.- Identificación de las variables a las que se atribuyen el cambio del sistema. Al principio se podría elegir no incorporar todas estas variables en el modelo. En este paso se está especificando el nivel de resolución del modelo

2.- Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hipótesis acerca del sistema que se está intentando describir estas suposiciones también incluirán algunas leyes empíricas que podrían ser aplicables al sistema.

Nota: El hacer un modelado matemático es como estar realizando una investigación científica o un método científico aplicando como un algoritmo o una receta más práctica y sencilla. Porque primero se observa el fenómeno se crea la hipótesis se hacen algunas predicciones y al final experimentos.

A continuación un diagrama de un modelado matemático:



Importante: Un modelado matemático de una sistema físico suele intervenir la variables tiempo t. entonces una solución del modelado da el estado del sistema; en otras palabras, los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t describen al sistema en el pasado, presente y futuro.

Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y aplicaciones cotidianas y no tan cotidianas o más bien un poco más científicas.

1. Dinámica de población: la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento la ecuación para este modelado es:

𝑑𝑃

𝑑𝑡∝ 𝑃 𝑜

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 𝐾𝑃

2. Desintegración radiactiva: para modelar el fenómeno de desintegración radiactiva se supone que la rapidez de dA/dt a la que se desintegra los núcleo de una sustancia es proporcional a la cantidad ( con más precisión, el número de núcleos esta sería su ecuación diferencial:

𝑑𝐴

𝑑𝑡= 𝐾𝐴

3. Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez que cambian la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la temperatura del medio circundante esta es la ecuación:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚)

4. Propagación de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidad por medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t) el número de personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) el número de personas que aún no se contagian esta sería la ecuación:

dx

dt= Kxy

Suposiciones Formulación

matemática

Comprobar las

predicciones con

hechos conocidos

Obtenga soluciones

Exprese las suposiciones

en temimos de

ecuaciones diferenciales

Resuelva las E.D

Mostrar las

predicciones del

modelado

gráficamente

Si es necesario

modifique las

supociones



5. Reacciones químicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuesto cuándo estos mismos se combinan ;

dx

dt= K(a − x)(β − y)

6. Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un inductor. La corriente en un circuito después de que se cierra un conmutador se detona mediante i(t) la carga de un capacitor en el tiempo t se detona por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de kirchhoff el voltaje impreso(t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caídas de voltaje

L𝑑2

𝑑𝑡2+ 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

1

𝐶𝑞 = 𝐸(𝑡)

7. Cables colgantes: sé acuerda examinar solo una parte o elemento de los cables entre un puto mínimo p1 y algún punto arbitrario p2. Siempre cuando los cables se ponen en una línea de transmisión que da una curva de una sistema coordenado rectangular donde se elige que el eje y pase por el punto mínimo p1 sobre la curva y el eje x elegido a unidades debajo de p1. tres fuerzas están actuando sobre el cable que son tangentes al cable p1 y p2 respectivamente W de la carga vertical total entre los punto p1 y p2 se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos vectores. Ahora la tensión de T2 se descompone en los componentes horizontal y vertical, como resultado del equilibrio estático :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑤

𝑇1

A CONTINUACION LOS PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES

1; Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población 30,000 habitantes en 1970 suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante ¿Qué población esperara los urbanistas que tenga en el año 2011?

dx

dt= KX

Separando variables:

∫𝑑𝑥

𝑥= ∫ 𝐾𝑑𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 = ln(𝑥) = 𝐾𝑡 + 𝑐

Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta forma:

x = ceKt Se toma to en 1960 de tal modo que: 25000 = x(0)

Sustituyendo se obtiene

25000=ceKt(0) 𝐶 = 25000

Sustituyendo



X=25000eKt

De 1970 a 1960 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado 30000

X(10)=30000

30000 = 25000𝑒𝑘(10) ↔6

5= 𝑒𝑘(10) ↔ 10𝐾 =

𝑙𝑛(1.2)

10≈ .018232

Al sustituir se obtiene la fórmula que nos permite calcular el tamaño de la población en función del tiempo donde 𝑥(10)𝑒0.018232𝑡

Del año 1960al año 2010 han transcurrido entonces esa población actualmente tiene:

𝑥(51) = 𝑒 .018232(51) ≈ 𝑥(51) = 62207.5157 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠

2; El einstenio 253 de cae con una rapidez proporcional a la cantidad que se tenga determine la vida media si este material pierde un tercio de masa en 11.7 días.

Q: 253 dQ/dt: rapidez d: razón de decaimiento:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝑟𝑄 ↔ 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑑𝑄

𝑞= −𝑟𝑑𝑡 ↔ ∫

𝑑𝑄

𝑞− ∫ 𝑟𝑑𝑡

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑛𝑎𝑑𝑜𝑛(𝑞) = −𝑟𝑡 + 𝑐 ↔ 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑄 = 𝑐𝑒−𝑅𝑇

Q (0)=QO cantidad inicial del elemento en tiempo 0

Sustituyendo se obtiene:

QO = ce−r0 ↔ c = Qo

Sustituyendo otra vez:

𝑄 = 𝑄𝑜𝑒−𝑟𝑡 ↔ 𝑡 = 11.7 ↔ 𝑄 = 𝑄0 −1

3𝑄0 ↔ 𝑸 =

𝟐

𝟑𝑸𝟎

Sustituyendo:

2

3QO = QOe−11.7 ↔

2

3= e−11.7 ↔ ln

2

3= −11.7r ↔ R ↔ t =

−0.405461081

−11.7= r. 03465

Sustituyendo:

1

2Q0 = Q0e−0.03456 ↔

1

2e−0.03456 ↔ ln(0.5) = −0.03456 ↔ t =

−06931

. 03456= t ≈ 20 dias

3; Una persona solicita un prestamo de 8000 pesos para comprar un automovil el

prestamista carga el interes a una tasa anual del 10% si se supone que el interes se compone de manera continua y que el deudor efectua pagos continuamente con una cuota anual de contante K, ¿determine la cuota de K necesaria para cubrir el adeudo en tres años? Y ¿determine el interes que se paga durante el perio de tres años?



S(t): cantidad de dinero en cualquiere momento t S(0)= SO = 800cantidad de dinero prestado (en t=0) K: Cantidad de dinero inyectada anualmente

Esta es la formula separando variables, integrando y aplicando propiedades de los logaritmos:

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟𝑠 − 𝐾 ↔ ∫

𝑑𝑠

𝑟𝑠 − 𝑘= ∫ 𝑑𝑡 ↔

1

𝑟𝑙𝑛(𝑟𝑠 − 𝐾) = 𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 ↔ 𝑟𝑠 − 𝑘 = 𝑒𝑟𝑡+𝑐𝑟

𝑠 = 𝑐𝑒𝑟𝑡 +𝐾

𝑟 (𝑐 =

𝑒𝑐𝑟

𝑟)

Sustituyendo

8000 = 𝑐𝑒𝑟(0) +𝐾

𝑟↔ 𝑐 = 8000 −

𝐾

𝑟

Sustituyendo

𝑠 = (8000 −𝐾

𝑟) 𝑒𝑟𝑡 +

𝑘

𝑟↔ 𝑠 = 8000𝑒𝑟𝑡 −

𝑘

𝑟𝑒𝑟𝑡 +

𝑘

𝑟

→ 𝑠 = 8000𝑒𝑟𝑡 +𝑘

𝑟(1 − 𝑒𝑟𝑡)

Cuando la deuda se cancela, s= 0 de tal manera que:

8000𝑒𝑟𝑡 +𝑘

𝑟(1 − 𝑒𝑟𝑡) = 0

Despejamos K de la ecuación de arriba

8000𝑒𝑟𝑡 +𝐾

𝑟(1 − 𝑒𝑟𝑡) = 0 ↔

𝐾

𝑟(1 − 𝑒𝑟𝑡) = −8000𝑒𝑟𝑡 ↔ 𝐾 =

8000𝑟𝑒𝑟𝑡

𝑒𝑟𝑡 − 1

R= 10% ↔0.1 T=3

Sustituyendo

𝐾 =8000(0.1)𝑒(0.1)(3)

𝑒(0.1)(3) − 1=

8000𝑒0.3

𝑒0.3 − 1↔ 𝐾 ≈ 3086.64

3(3086.64) − 8000 = 1259.92

La cuota anual seria de 3086.64 y su interes aproximado de 1259.5

4; Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre

el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo encontraron es de 85F

y dos horas más tarde ha bajado 74 F además la temperatura del ambiente permanece

constante a 32F.

T: temperatura del cadáver en el tiempo t

𝑇𝑚= 32 F: temperatura ambiente



Momento donde se descubre el cadáver

𝑡 = 0 𝑇 = 85𝐹

La ecuación para este momento es:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝐾(𝑇 − 𝑇𝑚)𝑘 > 0: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑

Así que:

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝐾(𝑇 − 32)

Separando variables e integrando

∫𝑑𝑇

(𝑇 − 32)= ∫ −𝑘𝑑𝑡 ↔ ln(𝑇 − 32) = −𝐾𝑡 + 𝑐

Aplicando propiedades de los logaritmos 𝑒−𝐾𝑡+𝑐 ↔ 𝑇 = 𝑒𝑐𝑒−𝐾𝑡 + 32

Así quedaría

𝑇 = 𝑐𝑒−𝐾𝑡+32(𝑐 = 𝑒𝐶)

Sustituyen do la ecuación de arriba

85 = 𝑐𝑒−𝐾(0) + 32 ↔ 85 = 𝑐𝑒0 + 32 ↔ 85 = 𝑐 + 32 ↔ 𝒄 = 𝟑𝟓

Esto quedaría: T = 53ce−Kt + 32

Ahora ya tienen valores: 𝑡 = 2, 𝑇 = 74

Sustituyen do se obtiene:

74 = 53𝑒−𝐾(2) + 32 ↔ 42 = 53𝑒−2𝐾 ↔ 𝑒2𝐾 =53

42↔ 2𝐾 = 𝑙𝑛(1.261) = 0.2326223

K=0.1163111

Así la temperatura del cadáver en el tiempo t, en horas, está dada por:

T = 53e−0.116311t + 32

La temperatura de ser humano vivo es de 98.6 F

98.6 = 53e−.1163t + 32 ↔66.6

53= e−.1163t ↔ e0.1163t =

53

66.6

→ 0.1163tln(. 7957) ↔ t−.2884

. 116311= −1.9638 → .9638(60) = 58𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos



RESONANCIA Y APLICACIONES A LA MECÁNICA Y FISICA

MEDIANTE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

I. INTRODUCCIÓN

Desgraciadamente es una experiencia común comprobar que no solo a nivel de la enseñanza

media superior, sino incluso en estudiantes de licenciatura que han llevado cursos de mecánica,

de circuitos y de electromagnetismo, se tiene un conocimiento muy deficiente de lo que es el

fenómeno de la resonancia así como del ancho campo de sus aplicaciones. Una posible

explicación de este hecho es que libros de texto usuales [1] en la sección de mecánica se limitan

a ilustrar el fenómeno con los ejemplos de la resonancia en un resorte, en una cuerda tensa o en

tubos, casos que en sí pudieran presentar poco interés para los alumnos ya que en general

tienen poca pertinencia en su vida cotidiana. Esto es lamentable porque este fenómeno tiene

una gran cantidad de aplicaciones en el mundo de la tecnología, y además está presente en

multitud de situaciones de la vida real, tanto a nivel doméstico, como en la vida pública, o en los

ámbitos laborales. Se presenta en este artículo una deducción matemática del fenómeno para un

caso sencillo como es el sistema resorte-masa, para luego ir más allá ilustrándolo con una serie

de casos en los cuales el fenómeno está presente en la vida real, por ejemplo: en la

comunicación entre insectos como los mosquitos al sintonizarse la frecuencia del aleteo de las

hembras con las frecuencias naturales de las antenas de los machos, durante la ocurrencia de un

sismo cuando la frecuencia de éste coincide con algunas de las frecuencias naturales de los

edificios, en la vibración de ventanas cuando las notas musicales coinciden con alguno de los

modos de vibración de éstas, en el diseño de los automóviles para evitar que las frecuencias del

motor provoquen indeseables vibraciones en sus partes, y en el cuerpo humano sujeto a

vibraciones en ciertas situaciones de la vida laboral.

Finalmente, mostramos algunas prácticas y dispositivos que se pueden desarrollar en el

laboratorio para inducir a los estudiantes a desarrollar un conocimiento detallado del fenómeno.

VIBRACIONES Y RESONANCIA

El efecto de las vibraciones sobre una estructura debe ser tenido en cuenta siempre, ya que

suponen un serio problema. Esta es otra de las cosas que los humanos han aprendido por las

malas. No sólo pueden causar un fallo por fatiga, una vibración en términos muy generales es

una fuerza aplicada cíclicamente, puede ocurrir que se produzca una resonancia y, en ese caso,

los efectos suelen ser fulminantes.

Cuando se aplica una vibración a cualquier objeto, ésta se transmite por toda su estructura,

haciéndola vibrar a la misma frecuencia. Y si la frecuencia de la vibración está en el rango de

audición de nuestro oído, estamos hablando de un sonido.

Cualquier objeto presenta unas frecuencias determinadas, propias de su geometría y

composición, a las que se produce una resonancia. ¿Y qué es una resonancia? Pues una



oscilación amplificada. Es decir, que a dicha frecuencia de resonancia, la respuesta a la vibración

es mucho mayor en amplitud que a cualquier otra, llegando el caso, si la vibración aplicada tiene

la intensidad suficiente, en que se produce el fallo catastrófico de la estructura, se rompe. Y esto

puede ocurrir con varias frecuencias diferentes para un mismo objeto, es decir, puede tener

distintas frecuencias de resonancia.

DIFERENCIA ENTRE RESONANCIA Y VIBRACIÓN

La vibración se refiere a cualquier movimiento vibratorio u oscilatorio, sea armónico o no.

La resonancia se produce cuando dos movimientos vibratorios armónicos tienen la misma

frecuencia.

Por ejemplo, Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste, si se acerca un

diapasón a un tubo que contiene una columna de aire, provisto con un émbolo, modificando su

posición, según la longitud que tenga dicha columna, el aire entrará en vibración con la misma

frecuencia con la que está vibrando el diapasón. Entonces se dice que se produce resonancia.

Para que esto ocurra se precisa que la longitud de la columna de aire sea un múltiplo impar de

un cuarto de la longitud de onda de la que se produce en aire contenido dentro del tubo.

1. APLICADAS A LA RESONANCIA

La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a

la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración se acerca al periodo de vibración

característico de dicho cuerpo, en el cual, una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma

repetida hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande.

En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del

movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera

que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia

natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada.

Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe

cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo.

Debido a los grandes daños que pueden ocurrir, la resonancia mecánica es en general algo que

necesita ser evitado, especialmente por el ingeniero al diseñar estructuras o mecanismos

vibrantes.

Ejemplo aclaratorio:

Un peso P estira un resorte x1 unidades de longitud. Si el peso se halla x2 unidades de longitud

por debajo de la posición de equilibrio y se suelta aplicándole una fuerza externa dada por:

F(t) = A cosBt.

Describir el movimiento que resulta si se supone que inicialmente el peso está en la posición de

equilibrio (x = 0) y que su velocidad inicial es cero.



Formulación matemática:

La ecuación diferencial que describe el movimiento es por tanto

𝑷 𝒅𝟐𝒙

𝒈 𝒅𝒕𝟐= −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕)

Puesto que inicialmente (t = 0) el peso está x2 por debajo de la posición de equilibrio, tenemos

x = x2 en t = 0.

También, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en t = 0,

𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝟎 en t = 0

Solución:

Como F (t) = A cos Bt contiene una función de los términos cos Bt, con lo que podemos utilizar el

método de los coeficientes indeterminados para determinar la solución particular.

Ensayando como solución particular xp = c1sen Bt + c2cosBt de ( 𝑷

𝒈𝑫𝟐 + 𝒌)𝒙 = 𝑭(𝒕)

xp = c1 sen Bt + c2 cosBt x’p = Bc1 cos Bt - Bc2 senBt x´´p = -B2c1 sen Bt - B2c2 cosBt

Sustituyendo en la ecuación 𝑷

𝒈𝒙´´ + 𝒌𝒙 = 𝑭(𝒕) calculamos el valor de las constantes c1, c2 y por

tanto la solución particular.

La solución complementaria de 𝑷 𝒅𝟐𝒙

𝒈 𝒅𝒕𝟐 = −𝒌𝒙 + 𝑭(𝒕) se obtiene de la misma que en el apartado

anterior 1.1 con lo que sería x = A cos Bt + B senBt con lo que la solución general será de la

forma:

x = xc + xp = A cos Bt + B senBt + c1 sen Bt + c2 cosBt

Usando las condiciones iniciales, podemos observar una solución será cuando A = B = 0 de donde

podemos sacar que:

x = c1 sen Bt + c2 cosBt

podríamos determinar el gráfico siguiente:



El gráfico de la ecuación x = c1 sen Bt + c2 cosBt está entre los gráficos de x = t y x = - t como se

muestra en la figura. Se puede ver en el gráfico que las oscilaciones van creciendo sin límite.

Naturalmente, el resorte está limitado a romperse dentro de un corto tiempo.

En este ejemplo, el amortiguamiento fue ignorado, ocurriendo la resonancia porque la

frecuencia de la fuerza externa aplicada fue igual a la frecuencia natural del sistema no

amortiguado. Esto es un principio general.

En el caso donde ocurre amortiguamiento las oscilaciones no crecen sin límite, pero sin embargo

pueden llegar a ser muy grandes, la resonancia en este caso ocurre cuando la frecuencia de la

fuerza externa aplicada es ligeramente menor que la frecuencia natural del sistema.

2. APLICACIONES A LA FISICA:

Mecánica cuántica:

Una de las más famosas ecuaciones diferenciales, lineales, ordinaria con coeficientes

constantes es:

α ü + β ů + γ u ≡ α d2u/dt2 + β du/dt + γ u = Λ (t)

La cual utiliza para describir sistemas mecánicos y toma la forma:

x ⇒ Desplazamiento dx / dt ⇒ Velocidad m ⇒ masa

m d2x/dt2 + η dx/dt + k x = F (t) donde η ⇒ Constante de Amortiguamiento k ⇒ Constante Elástica F (t) ⇒ Fuerza Aplicada

Analicemos la ecuación que describe sistemas mecánicos. El primero de los casos a analizar

será el de las oscilaciones libres, vale decir F (t) = 0, lo cual en el lenguaje de las ecuaciones

diferenciales se traduce a ecuaciones diferenciales homogéneas. En contraste, si F (t) ≠ 0, es

decir, el caso inhomogéneo, estaremos describiendo oscilaciones forzadas.

2.1 Introducción:

La física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo

físico. Por universo físico entendemos la totalidad de objetos a nuestro alrededor, no sólo

las cosas que observamos sino también las que no observamos, tales como los átomos y

moléculas. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la

mecánica llamada dinámica formulada mediante las leyes del movimiento de Newton. Para

los objetos que se mueven muy rápido, cerca de la velocidad de la luz, no podemos usar las

leyes de Newton. En su lugar debemos usar una versión revisada de estas leyes,

desarrolladas por Einstein y conocidas como mecánica relativista, o mecánica de la

relatividad. Para objetos de dimensiones atómicas las leyes de Newton tampoco son válidas.

De hecho, para obtener descripciones precisas del movimiento de objetos de dimensiones

atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes denominadas mecánica cuántica. La



mecánica cuántica y la relativista son muy complicadas, no siendo objeto de estudio en este

trabajo.

2.2 Las leyes del movimiento de Newton.

Las tres leyes del movimiento primero desarrolladas por Newton son:

1. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en

movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante

a menos que fuerzas externas actúen sobre él.

2. La tasa de variación del momentum de un cuerpo en función del tiempo es proporcional a

la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo teniendo la misma dirección de la fuerza,

(entendiéndose por momentum de un objeto al producto de su masa m multiplicado por

su velocidad v).

3. A cada acción existe una reacción igual y opuesta.

La segunda ley nos proporciona una relación importante, conociéndose como la ley de

Newton.

La tasa de cambio o variación en el momentum en el tiempo es así d (mv) /dt.

Si por F entendemos a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, por la segunda ley tenemos: 𝑑

𝑑𝑡(𝑚𝑣) 𝛼 𝐹 siendo α el símbolo que indica proporcionalidad. Introduciendo la constante

de proporcionalidad k, obtenemos:

𝒅

𝒅𝒕(𝒎𝒗) = 𝒌𝑭

Si m es una constante, 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑘𝐹 o ma = kF, dónde 𝑎 =

𝑑

𝑑𝑡 es la aceleración.

Así vemos que 𝐹 =𝑚𝑎

𝑘 donde el valor de k depende de las unidades que deseemos usar.

Para el sistema CGS (o sistema Centímetro, Gramo, Segundo), k = 1 siendo la ley F = ma.

En la simbología del cálculo podemos escribir las leyes de Newton en formas diferentes, al

notar que la aceleración a puede expresarse como la primera derivada de la velocidad v

(esto es, dv/dt), o como la segunda derivada de v de un desplazamiento s (esto es, d2 s/dt2).

Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las

formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los

conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas.


Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad,

partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la

ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a

solventarla.



Diagrama de fuerzas:

Formulación matemática:

Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en

cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades

vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales

necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un

sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En

este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x.

La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o

a = d2 x/dt2. La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton

tenemos:

𝒎𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒎𝒈 o

𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒈

Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras

v(0) =0 .

Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial v(t)

𝒅𝒗𝒕

𝒅𝒕= 𝒈 v(0) =0

Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida.

Otra manera de formular el problema es escribir:

𝒎𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = 𝒎𝒈 o 𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = 𝒈



En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos

dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en t = 0. La segunda

puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro

sistema de coordenadas en A).

La formulación matemática es:

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = 𝒈 x=0 y 𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝟎 en t = 0

Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley,

siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de

las constantes arbitrarias en la solución general.

Solución:

Empezando con 𝒅𝒗

𝒅𝒕= 𝒈 (separación de variables) obtenemos por integración v = gt + c1.

Puesto que v =0 cuando t = 0, c1 = 0, ó v = gt, esto es, 𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝒈𝒕

Otra integración produce de la anterior ecuación 𝒙 =𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐 + 𝒄𝟐 . Puesto que x= 0 en t = 0,

c2 = 0. Por tanto 𝒙 =𝟏

𝟐𝒈𝒕𝟐 . Podríamos haber llegado al mismo resultado al empezar con

𝒎𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = 𝒎𝒈 o 𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = 𝒈

El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia

abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia

arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es:

𝒅𝒗

𝒅𝒕= −𝒈 o

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐 = −𝒈

Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos.

Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma.

3. APLICACIONES A LA MECÁNICA:

Los sistemas mecánicos son aquellos sistemas constituidos fundamentalmente por

componentes, dispositivos o elementos que tienen como función específica transformar o

transmitir el movimiento desde las fuentes que lo generan, al transformar distintos tipos de

energía.

Se caracterizan por presentar elementos o piezas sólidos, con el objeto de realizar

movimientos por acción o efecto de una fuerza. En ocasiones, pueden asociarse con

sistemas eléctricos y producir movimiento a partir de un motor accionado por la energía

eléctrica. En general la mayor cantidad de sistemas mecánicos usados actualmente son

propulsados por motores de combustión interna.



En los sistemas mecánicos, se utilizan distintos elementos relacionados para transmitir un

movimiento. Como el movimiento tiene una intensidad y una dirección, en ocasiones es

necesario cambiar esa dirección y/o aumentar la intensidad, y para ello se utilizan

mecanismos. En general el sentido de movimiento puede ser circular (movimiento de

rotación) o lineal (movimiento de translación) los motores tienen un eje que genera un

movimiento circular.


Un tanque de una cierta forma geométrica esta inicialmente lleno de agua hasta una altura

H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A pie2. Se abre el orificio y el líquido

cae libremente. La razón volumétrica de salida dQ/dt es proporcional a la velocidad de

salida y al área del orificio, es decir:

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝑘𝐴 𝑣 (Principio de Torricelli)

Aplicando la ecuación de energía: 1/2mv2 = mgh ⇒ 𝑣 = √2𝑔ℎ , por lo tanto,

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ

Donde g = 32 pie/seg2 = 9,81 m/seg2

La constante k depende de la forma del orificio:

Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.

Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0,75.

Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.

Cilindro circular de longitud H0 pies y radio r pies, dispuesto en forma horizontal y con un

orificio circular al fondo de diámetro φ ′′ (pulgadas) (Ver figura). Calcular el tiempo de

vaciado (tv).

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = −0.6𝜋 (

∅

2𝑥12)

2

√2𝑥𝑔𝑥ℎ = −4.8𝜋∅2

576√ℎ



𝑑𝑄

𝑑𝑡= −𝑘𝐴 √2𝑔ℎ = −

4.8𝜋∅2

576 √ℎ ……………………….. (1)

pero de la figura del tanque, tenemos: dQ = (2x )( H0 ) (dh)

y también

(x − 0)2 + (h − r) 2 = r 2 ⇒ x 2 + h 2 − 2rh + r 2 = r 2

Luego 𝑥 = √2𝑟ℎ − ℎ2

Sustituyendo:

𝑑𝑄 = 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜 𝑑ℎ

𝑑𝑄

𝑑𝑡= 2√2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜

𝑑ℎ

𝑑𝑡 ………………………………… (2)

Igualando (1) y (2):

2 √2𝑟ℎ − ℎ2 𝐻𝑜

𝑑ℎ

𝑑𝑡= −

4.8𝜋∅2

576 √ℎ

2𝐻𝒐√ℎ√2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ

𝑑𝑡= −

4.8𝜋∅2

576 √ℎ

√2𝑟 − ℎ 𝑑ℎ = −4.8𝜋∅2

2 ∗ 𝐻𝑜 ∗ 576 𝑑𝑡

Condiciones iniciales: en t0 = 0 h = 2r, con ella hallo constante de integración.

El tiempo de vaciado tv se produce cuando h = 0. Hallar tv.

∫ √2𝑟 − ℎ 2𝑟

0

𝑑ℎ = − ∫4.8𝜋∅2

2 ∗ 𝐻𝑜 ∗ 576

𝑡𝑣

0

𝑑𝑡

𝑡𝑣 = 113.14√𝑟 𝐻0

𝜋 ∗ 𝑟

II. LA RESONANCIA EN UN SISTEMA SENCILLO

Para ilustrar algunos de los aspectos más relevantes del fenómeno de la resonancia, es

conveniente desarrollar el análisis de un sistema sencillo como es el de una masa “m” ligada a un



resorte de constante elástica K, ya que este caso, pese a su sencillez ilustra conceptos básicos del

fenómeno que se presentan en casos más complejos. Para describir la dinámica de una masa

acoplada a un resorte se parte de la 2ª Ley de Newton

………………………………………….. (1)

Se propone como solución para su posición en función del tiempo un movimiento armónico

simple

…………………………….…………….. (2)

al sustituir esta función en la ecuación 1 se tiene que la frecuencia angular con que en el estado

estacionario se moverá la masa es

……………………………………………. (3)

Es de hacer notar que la frecuencia angular no depende de la amplitud sino solo de la constante

K del resorte y de la masa, por tanto, este sistema tiene una sola frecuencia que “adopta” en

forma espontánea en cuanto se le deja oscilar libremente, por ello se le denomina “frecuencia

natural del sistema”. Analicemos ahora el caso de un oscilador forzado, para ello se aplica sobre

la masa otra fuerza más la cual tendrá un carácter periódico con una amplitud F, frecuencia

angular ω y actuando en la dirección del eje del resorte, tal como se observa en la figura 1.

FIGURA 1. Resorte con oscilación forzada.

Si la fuerza externa periódica tiene la forma F = F cosωt, entonces la fuerza total que actúa sobre

la masa m es

F = −Ky + F cosωt ………………………………………….. (4)

ahora la segunda ley de Newton toma la forma

……………………………….. (5)

Si al igual que el caso anterior se propone como solución de la anterior ecuación y = Acosωt, con

ω la frecuencia angular de la fuerza externa, al sustituir este valor de y, así como de su segunda

derivada respecto al tiempo se tiene que



………………….…….… (6)

y al despejar el valor A de la amplitud de la oscilación ésta tiene el valor

…………………………………………….. (7)

Pero de acuerdo a (3), 𝐾 = 𝑚𝜔02, así es que sustituyendo este valor en la anterior relación se

obtiene finalmente que

…………………………………………….. (8)

Se observa que cuando ω tiende a ωo, el valor absoluto de la amplitud A tiende a infinito. En esta

situación en que el sistema elástico tiende a oscilar con una máxima amplitud se dice que el

sistema entra en un estado de Resonancia. Si nos aproximamos a la frecuencia natural con

valores mayores que ωo El valor de la amplitud tendrá valores negativos; para evitar este

comportamiento anómalo se introduce en la solución propuesta un ángulo de fase α

…………………………………………. (9)

Tal que α será igual a 0 para valores de ω menores que ωo, y π para valores mayores. Para que

este comportamiento sea un modelo más realista se tiene que tomar en cuenta la fricción. Si se

supone que la fuerza de fricción es proporcional a la velocidad de la masa, la segunda ley de

Newton ahora es

……………………………… (10)

Con b una constante de proporcionalidad, la amplitud resultante resulta

……………………………….. (11)

Donde γ=b/m

Aunque ahora la amplitud máxima ya no ocurre cuando la frecuencia de la fuerza externa es

exactamente la frecuencia natural ωo, para muchos problemas de interés la diferencia no es

considerable. El fenómeno de la resonancia requiere por tanto:

a) De un sistema elástico que presente frecuencias naturales de vibración,

b) De una fuerza externa de tipo periódico que actúe sobre el sistema elástico,

c) De una coincidencia entre ambos tipos de frecuencia.

¿Qué tan factible es que este tipo de condiciones se presenten en la vida real?

La respuesta a esta pregunta permitirá ver el campo de aplicación de este concepto así como su

gran capacidad explicativa para el entendimiento de una gran cantidad de fenómenos.



III. LA PRESENCIA DE LA RESONANCIA EN LA VIDA REAL

Si estamos en un mundo sometido continuamente a fuerzas oscilantes, y si además estamos

rodeados de estructuras elásticas tales como ventanas, puentes, edificios, etc., es factible que

en muchos casos la frecuencia de las fuerzas oscilantes coincida con alguna de las frecuencias

naturales de las estructuras elásticas provocando fenómenos de resonancia.

Se mostrarán algunos ejemplos:

1) Cuando decenas o cientos de soldados marchan dando golpes rítmicos de frecuencia muy

constante en el piso, al cruzar sobre un puente, que como se ha señalado es una estructura

elástica con sus propias frecuencias naturales de vibración, en caso de que conserven su

marcha acompasada se corre el peligro de que su frecuencia de golpeteo – aproximadamente

de 1 Hz - coincida con alguna de las frecuencias naturales del puente; hay que tomar en

cuenta además que la fuerza del golpe colectivo puede alcanzar magnitudes de decenas de

miles de N, para evitar ese peligro es que a las formaciones de soldados se les ordena romper

la marcha cuando cruzan un puente.

2) Es una experiencia común que cuando se escucha música dentro de un cuarto, algunas veces

al aparecer sonidos de frecuencia muy baja los vidrios de las ventanas empiezan a vibrar

violentamente. Esto ocurre, naturalmente, porque hay un fenómeno de resonancia, ya que

en tales casos la frecuencia de los sonidos graves coincide con alguna de las frecuencias

naturales de oscilación de los vidrios de las ventanas.

3) Los autos están hechos de muchas partes elásticas, como por ejemplo el volante, la palanca de

velocidades, los vidrios de las ventanas, etc.; de hecho, cuando al volante se le da un golpe, se

siente inmediatamente su vibración; pues bien, cuando el motor genera vibraciones que

coinciden con la frecuencia natural de vibración de algunas de estas partes sucede el

fenómeno de resonancia; es por ello que los diseñadores de las carrocerías deben tener en

cuenta que la potente fuente de vibraciones del motor no provoque la coincidencia con las

frecuencias naturales de los diversos componentes de los automotores.

4) El cuerpo humano está conformado con estructuras elásticas como son los huesos, y es así

que en el mundo de la medicina laboral se debe cuidar que la frecuencia de golpeteo de

máquinas como los taladros que rompen las capas de pavimento, no coincida con la

frecuencia natural de algunas de las partes de la estructura ósea. Cuando el cuerpo humano

está sometido a vibraciones de baja frecuencia, éste se mueve como un todo, pero a

frecuencias altas la respuesta del cuerpo es específica; así de 4 a 12 Hz las caderas y los

hombros comienzan a resonar, entre 20 y 30 Hz es el cráneo el que resuena, a frecuencias

más altas de 60 a 90 Hz son los globos oculares los que pueden entrar en resonancia [2].

5) Un caso muy conocido de resonancia es cuando un ó una cantante dirigen su voz hacia una

copa de cristal; es aparente que la copa es una estructura elástica que vibra a frecuencias

claramente reconocibles por el oído humano, por tanto, el afinado oído de los cantantes se

entona con esos sonidos y lanza contra la copa un sonido potente de la misma frecuencia, con



ello se forman en la copa ondas estacionarias, y si la intensidad y la frecuencia se mantienen

el tiempo suficiente, se produce el fenómeno de resonancia hasta que la copa a causa de sus

intensas vibraciones se rompe.

6) En el mundo animal se tienen también ejemplos muy hermosos de resonancia; por ejemplo

¿cómo pueden los mosquitos machos detectar a los mosquitos hembras? De acuerdo a H.

Schmidt [3], las frecuencias de aleteo de los machos y las hembras son diferentes; los machos

aletean a una frecuencia aproximada de 500 Hz, mientras que las hembras lo hacen a una

frecuencia aproximada de 300 Hz; pues bien, se encuentra que las antenas de los machos

tienen una frecuencia natural de vibración muy cercana a los 300 Hz, por tanto, el aleteo de

las hembras provoca en ellos resonancia de sus antenas y es así como se efectúa el

reconocimiento (Figura 3).

a)

b)

FIGURA 2. En esta figura se muestran: a) en la parte superior la señal acústica producida por una

copa, y b) la frecuencia principal de la señal (señales obtenidas por los autores)

7) Finalmente, un ejemplo muy drástico de los efectos destructivos que pueden producirse en

caso de resonancia, se presenta cuando una ciudad es afectada por un sismo; la ciudad está

llena de estructuras elásticas de gran escala, tales como edificios y puentes; la frecuencia de

los sismos, es decir, la frecuencia con que se mueve el suelo, está ante todo en el rango de los

0.5 -2 Hz, son frecuencias relativamente bajas, pero las grandes masas de los edificios de más

de 5 pisos de altura por su propia inercia tienden a tener frecuencias bajas y propician por

tanto la ocurrencia del fenómeno de resonancia. En este caso la amplitud de las oscilaciones

mecánicas de los edificios tiende a crecer tanto en cada ciclo que pueden llegar al punto de



ruptura, tal como sucedió con muchos edificios en el gran terremoto de la ciudad de México

en 1985.

IV. LA RESONANCIA EN EL LABORATORIO

En los párrafos anteriores se ha tratado de mostrar la importancia de analizar detalladamente

el fenómeno de la resonancia ya que como se ha indicado, tal fenómeno se presenta en

muchos casos de la vida cotidiana, por estas razones es que es muy importante que en un

laboratorio de enseñanza se le dedique la mayor atención posible a éste fenómeno.

A. Resonancia en vigas voladizas

De acuerdo a Feynman [4], el desplazamiento vertical del extremo libre de una viga voladiza

a la cual se le aplica una fuerza en este extremo está dado por

………………………………………………. (12)

Donde W es el peso aplicado, Y el módulo de Young, I el momento de inercia de la sección

transversal, L su longitud y Z el desplazamiento del extremos libre; si hacemos que 𝐾 =3𝑌𝐼

𝐿3 ,

entonces

W = KZ ……………………………………………….. (13)

Es claro que esta relación para la fuerza de restauración de una viga nos permite afirmar

que una masa acoplada a su extremo desarrollará un movimiento armónico simple, y que

por tanto si se le aplica a la placa una fuerza periódica de frecuencia adecuada entrará en

resonancia.

Para visualizar el fenómeno recurrimos a un montaje experimental como el de la figura 3;

como viga voladiza se utilizará una placa alargada de metal (en este experimento se ha

utilizado una segueta de arco). Los pulsos de fuerza periódicos se aplican con un

electroimán conectado a un generador de pulsos de fuerza magnética como el descrito más

adelante, o también utilizando el equipo comercial mencionado anteriormente.

Para medir la frecuencia natural de oscilación de la placa para diferentes longitudes, hay 3

opciones:

a) Se le agrega un pequeño imán colocado a la mitad de su longitud, y enfrente del imán se

coloca una bobina; se amplifica la señal de la bobina y se visualizan las señales de voltaje en

un osciloscopio cuando se hace oscilar la placa; esto nos permite medir el período de las

oscilaciones y por tanto su frecuencia natural para una longitud dada;

b) Otra opción es adherirle a la placa una pequeña pantalla opaca que interrumpa la luz que

incide sobre una celda solar; la señal de la celda solar se amplifica y se visualiza igualmente

con un osciloscopio, y

c) Usar luz estroboscópica hasta alcanzar una frecuencia en que la varilla casi parezca

detenida.



FIGURA 3. Arreglo experimental para visualizar la resonancia en una placa elástica

Para analizar este caso se ha diseñado y construido un generador de pulsos de fuerza magnética a

partir de un generador de pulsos de frecuencia variable como el mostrado en la figura 4. Los

pulsos de voltaje abren y cierran un interruptor digital como el mostrado en la figura 5 que

conecta un electroimán a la línea. El circuito original reportado en [5] se ha modificado agregando

un diodo a la salida de la bobina.

FIGURA 4. Generador de pulsos; los valores seleccionados para inducir resonancia en la placa son los siguientes: Ra=

Pot. de 50kΩ, Rb= 1kΩ, RC =500Ω, C1=10μF, C2=0.01 μF, +V= 9 V, -V=-9V, la variación de la resistencia Ra

permite variar la frecuencia de los pulsos de salida.

FIGURA 5. La salida S del circuito generador de pulsos se conecta a un interruptor digital de la corriente que

alimenta a la bobina la cual produce los pulsos de fuerza magnética. El valor de R es de 500 Ω y el

Triac utilizado fue el 2N6073B.

Se muestra en la figura 6 las oscilaciones naturales de la placa, así como su frecuencia. Para hacer

estas mediciones se ha utilizado una tarjeta de captura de National Instruments, así como un

programa hecho en LabVIEW, y asimismo en la figura 7 se observa cómo se amplifican

progresivamente las oscilaciones cuando la frecuencia de la fuerza externa coincide con la

frecuencia natural.



FIGURA 6. Oscilaciones y frecuencia natural de la placa

FIGURA 7. En estas figuras se muestra el crecimiento paulatino de la amplitud de la oscilación en la placa, así

como la frecuencia a la cual ocurre este comportamiento



REFERENCIAS

[1] Resnick, R. y Halliday, D., Física, (Compañía Editorial Continental, México, 1984)

[2] http://www.fio.unicen.edu.ar/usuario/segumar/Laura/mate rial/Vibraciones.pdf, Consultado el

21 de Marzo de 2009.

[3] Schmid, H., Cómo se comunican los animales, (Salvat, España, 1986).

[4] Feynman, R., Física: Electromagnetismo y materia, Vol. II, (Addison-Wesley Iberoamericana, E.

U. A. 1972).

[5] Peralta, J. A. y Miller, C. G., Resonancia en placas delgadas, Cuaderno Catarinense de Ensino de

Física 14, 209- 217 (1997).

[6] Saal R. Cesar; Ecuaciones diferenciales.

[7] ANALISIS DE CIRCUITOS DE INGENIERIA, Willian Hayt - Jack E.Kemerly - Jairo Osuma

[8] MURRAY R. SPIEGEL, ecuaciones diferenciales aplicadas

[9] M. BRAUN, ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

http://www.fio.unicen.edu.ar/usuario/segumar/Laura/mate

Engineering

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales