Artigo sobre Filtros de frequências Butterworth e Chebyshev

FILTROS PASSA-BAIXAS POR APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH E

CHEBYSHEV UTILIZANDO TOPOLOGIA SALLEN-KEY

Douglas de Florio Ubeda Almeida

Aluno do curso de Engenharia Elétrica: Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Pato Branco - PR

e-mail: [email protected]

Resumo - Este trabalho aborda o funcionamento de

filtros analógicos passa-baixas, projetados por meio de

amplificadores operacionais utilizando modelos

matemáticos de funções de Aproximação Butterworth e

Chebyshev e comprovando suas eficácias por meio de

simulações e análise prática. Tal projeto demonstra a

resposta de um filtro implementado pela topologia

Sallen-Key, ou seja, o seu comportamento em relação ao

ganho do amplificador quando submetido a altas

frequências, permanecendo inalterável nas baixas.

Palavras-Chave – Filtro passa-baixas, Sallen-Key,

Aproximações Butterworth e Chebyshev.

I. INTRODUÇÃO

Na eletrônica analógica, os processamentos de

sinais analógicos são feitos usando filtros que podem ser

classificados de passivos ou ativos. Os filtros passivos são

constituídos de resistores, capacitores e indutores e,

geralmente, usados para frequências acima de 1MHz. Já os

ativos são construídos com capacitores, resistores e amp-

ops, úteis em frequências abaixo de 1 MHz [3].

A utilização de filtros, sejam eles passivos ou ativos, é de

grande importância para a eletrônica quando se fala em

frequências, pois quase todos os sistemas eletrônicos ou de

comunicação utilizam a implementação do mesmo para

filtrar, de modo exato, determinada frequência especifica de

acordo com o projeto desejado [2].

Em suas diversas topologias adotadas (Sallen-Key, RC,

MFB), existem cinco tipos de filtros e cada um com sua

determinada característica: passa-baixas, passa-altas, passa-

faixa, rejeita-faixa e passa-todas [1]. Sendo assim, um

quadripolo capaz de atenuar certas frequências de sinais de

entrada e permitir a passagem das demais, tendo como

resposta o ganho de tensão de acordo com a frequência.

Ainda, a dinâmica da resposta depende da ordem do filtro

projetado [2].

Hoje em dia, os filtros são implementados como

elementos constitutivos básicos em equipamentos tais como

MODEM (MOdularos-DEMmodulador) que conectam

computadores nas redes de comunicação de dados e em

equipamentos de diversas áreas da engenharia que

necessitam separar, bloquear, melhorar e modificar sinais,

ou ainda, para o atendimento aos limites de injeção de

harmônicos em conversores. Além disso, vale ressaltar o

uso de filtros ativos passa-baixas dentro da área de

instrumentação, em que a eletromedicina e bioeletrônica

utilizam de equipamentos que necessitam operar em

frequências baixas [2].

É evidente que, para o planejamento de um filtro, é

necessário atender as especificações do projeto, ou seja, a

faixa de frequência na qual irá operar para tal fim. Para isso,

alguns parâmetros têm que ser definidos tais como banda de

passagem, banda de corte, frequência de corte, ordem do

filtro e atenuação máxima e mínima das respectivas bandas

[1][2].

II. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO

Embora exista uma variedade de filtros, o foco para este

projeto é em filtros passa-baixas nos quais, como já dito,

permite a passagem de todas as frequências desde 0 Hz até

a frequência de corte denominadas banda de passagem e

impedindo as demais frequências consideradas altas na

banda de corte, logo após essa frequência de corte fc. Para

uma análise mais detalhada, denomina-se ainda a banda de

transição, na qual dispõe-se de uma faixa de frequências f1

e f2 em que o ganho decaí de forma mais realista. Esses

parâmetros estão ilustrados na Figura 1, que demostra a

resposta real e ideal do filtro em questão em função da

frequência, onde G corresponde ao ganho [1].

Fig. 1. Resposta em frequência real na curva em pontilhado e

ideal no retângulo em azul

Para os cinco tipos de filtros e suas respectivas respostas

em frequência, existem padrões de aproximações que traduz

a forma mais ideal possível de representa-los de maneira a

atender as expectativas do projetista [1]. Essas formas são

denominadas funções matemáticas que determinam as

equações de transferência de um filtro. E são elas:

aproximação de Butterworth, aproximação de Chebyshev,

aproximação Elíptica ou de Cauer e aproximação de Bessel,

entre outras [3].

A. Aproximação de Butterworth

Cognominada de aproximação maximamente plana, a

aproximação de Butterworth é considerada o modelo

matemático que admite atenuação quase zero na banda de

passagem onde se localiza o ripple. Ainda, seu desvio

máximo do valor de ganho KPB (adorando ideal unitário)

ocorre apenas na borda da banda de passagem, caindo

gradativamente para um valor de atenuação Ap aceitável.

Isso se deve ao fato de que as derivadas de primeira ordem

2n – 1 do modulo da função de transferência, da expressão

(1), em relação a frequência são zeros em ω=0, fazendo com

que a resposta seja plana e dando, assim, origem ao seu

cognome. Entretanto, sua desvantagem em relação a outro

tipo de aproximações é o seu decaimento ser relativamente

lento [1], [4].

Pode ser notado que, a resposta para este tipo de

aproximação, em relação ao grau de nivelamento do filtro

projetado, depende exclusivamente de sua ordem n, ou seja,

à medida que n aumenta mais ideal se apresenta a resposta

de frequência do mesmo [4]. Além do mais, sua taxa de

decaimento, medida em dB (decibéis) por década, é igual a

20n dB/década [1].

O projeto em si desse tipo de aproximação é expressado

por meio de modelos matemáticos capazes de encontrar a

ordem n do filtro de acordo com os parâmetros requisitados

do projeto e, por consequência, os polos para a equação de

transferência que represente o seu comportamento frente as

frequências. O procedimento adotado é realizado da

seguinte forma [2]:

1) Método de projeto utilizado para Butterworth.

Da função de transferência dada pela expressão (1), para

filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da

função-resposta característica expressada por (5).

Onde: n - Ordem do filtro a ser determinada.

ω0 - Frequência normalizada.

KPB - Ganho quando ω=0.

ω - Frequências angulares da banda de transição.

Fazendo KPB=1 e variando o valor de n, temos as curvas

correspondentes para cada resposta dependendo da ordem

do sistema, representado pela Figura 2.

Fig. 2 - Curvas para resposta de ordem n para aproximação de

Butterworth

Uma vez que a função de transferência é expressada, é

possível encontrar os polos que representam a aproximação

em questão utilizando o denominador da expressão (1) e

admitindo que ela não possui zeros. Este procedimento é

dado pela expressão (2) e (3), em que substitui ω=s/j [5].

Encontrando, assim, a expressão (4) que representa as

raízes Pk do polinômio da expressão (3), em que k=1,2,3...n

é o número de polos [5]:

Com os polos encontrados e substituindo na expressão

(5), obtêm-se uma nova função de transferência que

representa a aproximação de Butterworth [5]:

Entretanto, as expressões encontradas são genéricas para

ordem n. Assim, para encontrar a ordem são realizadas

algumas manipulações algébricas [5].

Com os valores de atenuações especificados em dB,

facilmente se encontram os ganhos aplicando a função

logarítmica de conversão para decibéis dadas pelas

expressões (6) e (7).

Onde:

A1 - Atenuação superior para faixa de transição.

A2 - Atenuação inferior para faixa de transição

G1 - Ganho superior para faixa de transição.

G2 - Ganho inferior para faixa de transição.

Substituindo na expressão (1) em que ω 1 tem-se G1 e

em ω2, tem-se G2, obtêm-se as expressões (8) e (9):

Isolando ω 0 da expressão (8), tem-se a expressão (10):

5( )

4( )

3( )

2( )

6( )

7( )

1( )

8( )

1

1

1

0

G1

1

1

2

0

G2

9( )

H j( )

KPB

1

0

2 n

20 log G1 A

1

20 log G2 A

2

1s

j0

2 n

0

sn

1( )n

0

2 n 0

Pk

0 e

j

2 e

j 2 k 1( )

2 n

H s( )

P1

P2

P3

... Pn

s P

1 s P

2 s P

3 ... s P

n

Substituindo a expressão (10) em (9) tem-se a expressão

(11) para valores de n:

B. Aproximação de Chebyshev

Em respostas de filtros de baixa ordem, o modelo de

Butterworth não é apropriado para frequências próximas a

frequência de corte. Assim sendo, o modelo de Chebyshev

é bem empregado pois possui comportamento satisfatório

para essas frequências [2].

Pode ser notado que, esse tipo de aproximação é utilizado

quando não se tem preocupação com a resposta de

frequência na banda passagem, pois a ocorrência de

ondulações (ripple) nessa banda é inevitável. Porém, para

projetos que necessitam de um decaimento mais rápido na

banda de transição, este tipo de modelo matemático é bem

utilizado [1].

Apesar de apresentar maior atenuação na banda de

transição, a resposta de frequência na banda de passagem

não é satisfatória devido a quantidade de oscilações de

ripples que ela apresenta. Por consequência disso, a

determinação da quantidade de ondulações é determinada

pela ordem do filtro, ou seja, o número de ondulações é

igual a ordem do filtro dividido por 2 e, ainda, pelo efeito

da constante ε, da função-resposta, na amplitude dos ripples

[1], [2].

1) Método de projeto utilizado para Chebyshev.

Da função de transferência dada pela expressão (12),

para filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da

função-resposta característica expressada por (5) [2].

Onde:

n - Ordem do filtro a ser determinada.

ω0 - “Largura de banda".

KPB - Ganho quando ω=0.

Cn2(ω/ω0) - Polinômio de Chebyshev.

ε - constante de ripple.

Para visualizar melhor a característica da função-

resposta de Chebyshev, o gráfico da Figura 3 descreve o

comportamento das ondulações e das correspondentes

bandas de frequência para valores de KPB unitário onde a

frequência é é nula (ω=0), levando em consideração o efeito

da constante ε na amplitude dos ripples, de acordo com a

função de transferência da aproximação sugerida por

Chebyshev.

Para o método de aproximação de Chebyshev, é

necessário encontrar a ordem do filtro com os requisitos

especificados do projeto, tal como as frequências angulares

da banda de transição e suas respectivas atenuações, para

poder designar o Polinômio de Chebyshev da Tabela 1, pois

o mesmo depende da ordem do sistema [2].

TABELA I

Polinômio de Chebyshev 𝒙 =Cn(ω/ω0)

Ordem n Polinômio Chebyshev

0 1

1 𝑥

2 2𝑥2 − 1

3 4𝑥3 − 3𝑥

4 8𝑥4 − 8𝑥2 + 1

A procedimento para encontrar a ordem é da seguinte

forma [2]:

Para encontrar ε, substitui A1 na expressão (13) e, da

mesma forma para encontrar G2, substitui A2 na expressão

(7).

Com o valor de G2 definido, substitua-o na expressão

(14), adotando que a primeira frequência angular ω1 da

banda de transição seja igual a frequência ω0 e que a

segunda frequência ω2 seja igual a ω. Por fim, com os

valores substituídos, encontra-se a ordem do filtro desejado

[2].

Com o valor da ordem definido, faz-se uma recorrência

na Tabela 1 para escolher o devido polinômio e substituí-lo

na expressão (12). Adquirindo, assim, a função resposta de

ordem n.

13( )

14( )

12( )H j( )

KPB

1 2

Cn

0

2

0

2 n

1 2 n

1

G1

21

2 f1

2 n

1

G1

1

10( )

A1

20 log 1 2

G21

1 2

cosh n acosh2

0

2

Fig. 3 - Curvas para resposta de ordem n para Aproximação de

Chebyshev

2

1

2 n

1

G22

1

1

G12

1

11( )

O método para encontrar os polos de Chebyshev é

substituindo os parâmetros encontrados na expressão (15)

[2]:

Por fim, com os polos determinados substituindo na

expressão (5), obtêm-se uma nova função de transferência

que representa a aproximação de Chebyshev.

C. Topologias de Filtro Utilizada

Para implementação das aproximações de Butterworth e

de Chebyshev, é necessário escolher uma das topologias

para implementação dos respectivos filtros. Essas

topologias podem ser, por exemplo, filtro RC, filtro Salen-

Key, filtro MFB, etc.

Contudo, o mais usual das topologias é o Sallen- Key e

RC, no qual necessitam serem calculados valores de

capacitores e resistores que dependam do fator de qualidade

e frequências de corte dos filtros a serem projetados.

O fator de qualidade é adquirido de forma genérica para

ordem 2 pela expressão (16) e (17), em que cada filtro

possui seus correspondentes valores de fator de qualidade

Q1 e Q2 de acordo com os polos encontrados pelas

expressões 4 e 15. Consequentemente, é análogo para os

valores dos componentes do circuito.

O fator de qualidade é iqual a [5]:

Em que, pela expressão (18), encontra-se a frequência de

corte [2]:

Os valores de capacitores e resistores da topologia

Sallen-key, representados pelas Figuras 8 e 13, são dados

pelas expressões (19), (20) e (21) para ordem genérica dois,

em que a expressão (19) está relacionada com as expressões

(16) e (17) [2].

Onde:

ωx - Frequência angular ressonante.

Para ordem um, o resistor e o capacitor é dado da

seguinte forma para a Topologia RC:

Para filtros de ordem n, faz-se uma associação dos

estágios de segunda ordem em cascata em que se deseja

ordens pares.

No entanto, para ordens ímpares, usa-se filtros passivos

utilizando componentes calculados pela expressão (22) [1].

III. DESENVOLVIMENTO DO PROJETO

Para o desenvolvimento do projeto de filtros, foi

especificado os requisitos mínimos, representados na

Tabela 2, para montagem e obtenção dos resultados

esperados utilizando as aproximações de Butterworth e de

Chebyshev.

Para tanto, os valores de capacitores e resistores deverão

ser obtidos tomando como partida esses parâmetros

especificados e, posteriormente, serem implementados na

topologia Sallen-Key.

TABELA II

Requisitos para o projeto de filtros A1 (dB) A2 (dB) f1(kHz) f2 (kHz) ω1(rad/s) ω2(rad/s)

0,5 14 22,5 45 1,414×105 2,827×105

A. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Butterworth

Utilizando Topologia Sallen-Key

Primeiramente, utilizando as expressões 6 e 7 para obter

G1 e G2, substituindo esses valores juntamente com ω1 e ω2

na expressão (10) e isolando n da expressão (11), obtêm-se

n=3,8136. Adotando arredondamento para cima, a ordem

será n=4 para o filtro de Butterworth.

Com o valor de n encontrado, a frequência angular de

corte ω0 é dada por:

De onde se obtém ω0 = 1,839×105 rad/s.

Em seguida, substituindo este valor da frequência

angular de corte na expressão (4), obtém-se os quatros

valores dos polos apresentados pela expressão (20) para k

variando até 4:

15( )

17( )

16( )

22( )

23( )

24( )19( )

20( )

21( )

Pk

0 sin2 k 1( )

2 n

sinh1

nasinh

1

i 0 cos2 k 1( )

2 n

cosh1

nacosh

1

Q1

P1

Pn

P

1 P

n

Q2

P2

P3

P

2 P

3

Q0

f0

fc2

fc1

18( )

x

P1

Pn

C21

R1 R2 2 Q( )2

x

C1 2 Q( )2C2

C1

R x

0

2 n

1( )2 n

1

G12

1

A partir dos valores encontrados e substituídos na

expressão (12), obtém-se o gráfico de bode da Figura 4 em

escalas logaritmo.

Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 5.

Para o dimensionamento dos componentes

correspondentes a topologia Sallen-Key, é preciso utilizar

as expressões 16, 17 e 19, substituindo os polos encontrados

nas mesmas para obter os valores dos fatores de qualidade

e frequência de ressonância e, assim, usá-los para encontrar

os capacitores e resistores do filtro passa-baixas.

Os fatores de qualidades são Q1=1,307 e Q2=0,541, e o

valor da frequência de ressonância é ωx= 1,839×105 rad/s.

Logo, com esses valores, encontra-se os valores dos

capacitores C1=14,21×10-9 F e C2=2,081 ×10-9 F do

primeiro estágio de ordem 2 pelas expressões 20 e 21,

escolhendo resistores comerciais de 1kΩ.

Por fim, os capacitores e resistores do segundo estágio de

ordem 2 são calculados de forma análoga ao primeiro

estágio, apenas renumerando-os para uma melhor

organização da análise dos resultados. Tais valores

calculados são C3=5,886×10-9 F e C4=5,024×10-9 F, para a

mesma frequência de ressonância ωx. Os valores estão

apresentados na Tabela 3.

TABELA III

Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passa-

baixas Resultados para ordem n=3,8136 e ωx= 1,839×105 rad/s

Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 2

Capacitor 1 14,21×10-9 F Capacitor 3 5,886×10-9 F

Capacitor 2 2,081 ×10-9 F Capacitor 4 5,024×10-9 F

Resistor 1 1 kΩ Resistor 3 1 kΩ


B. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev

Utilizando Topologia Sallen-Key e RC

Para projeto de filtro utilizando o modelo matemático de

Chebyshev, faz-se necessário encontrar, em primeiro caso,

a ordem do filtro a ser analisado para posteriormente

designar o polinômio de Chebyshev. Com isso, utilizando a

expressão (13), obtêm-se o valor de ε=0,349 e, da expressão

(7), o valor de G2= 0,2. Substituindo esses valores na

expressão (14), adotando que ω0= ω1= 1.414×105 rad/s,

obtêm-se n=2,532. Adotando arredondamento para cima, a

ordem será n=3 para o filtro de Chebyshev.

Com o valor de n encontrado, o polinômio de Chebyshev

da Tabela 1 será:

T(x) = 4x3 − 3x (25)

Substituindo Cn(ω/ω0), tem-se a expressão (26):

𝐶𝑛(𝜔𝜔0⁄ ), = 4(𝜔 𝜔0⁄ )3 − 3𝜔 𝜔0⁄ (26)

A partir do polinômio da expressão (26), substituindo na

expressão (12), tem-se a equação que representa o gráfico

da Figura 6, em escala logaritmo.

Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 7.

Por meio do valor de n=3 e adotando que ω0= ω1=

1.414×105 rad/s, substitui-se esses valores na expressão

(15) para obter os polos representados pela expressão (27).

100 1 103

1 104

1 105

1 106

100

50

0

A2

A1

HdB f( )

f1 f2

f

100 1 103

1 104

1 105

1 106

0

0.5

1

G2

G1

H f( )

f1 f2

f

100 1 103

1 104

1 105

1 106

0

0.5

1

G2

G1

H f( )

f1 f2

f

Fig. 5. - Gráfico da função de transferência em escala decimal do

filtro passa-baixas por aproximação de Butterworth

Fig. 6. - Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passa-

baixas por aproximação de Chebyshev

100 1 103

1 104

1 105

1 106

100

80

60

40

20

0

A2

A1

HdB f( )

f1 f2

f

Fig. 7. - Gráfico da função de transferência em escala decimal

do Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev

Fig. 4. - Gráfico de bode em escala logaritmo do filtro passa-

baixas por aproximação de Butterworth

De forma semelhante ao procedimento para filtro com

aproximação de Butterworth, porém, adotando agora ordem

n=3 e modificando a estrutura da topologia do segundo

estágio para RL e permanecendo a topologia Sallen-Key

para o primeiro estágio.

Para o primeiro estágio, obteve-se os valores calculados

da frequência de ressonância ωx= 1,496 ×105 rad/s, do fator

de qualidade, obtendo Q1=1,69 e, também, os capacitores e

resistores do primeiro estágio com valores iguais a C1= 22,583 ×10-9 F e C2= 1,978 ×10-9 F, escolhendo os mesmos

valores de resistores comerciais de 1kΩ.

Contudo, para o resistor e capacitor da topologia RC, fora

necessário calcular uma nova frequência de ressonância

utilizando o modulo do valor do polo real da expressão (26)

igual a ωx=8,856×104 rad/s, na expressão (22) e obter o

valor de C3=11,291 ×10-9 F adotando, ainda, o resistor

utilizado até agora. Os valores calculados estão listados na

Tabela 4.

TABELA IV

Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passa-

baixas Resultados para ordem n=2,532e ωx= 1,496 ×105

rad/s e

8,856×104 rad/s

Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 1

Capacitor 1 22,583×10-9 F Capacitor 3 11,291×10-9 F

Capacitor 2 1,978 ×10-9 F Capacitor 4 -


Resistor 2 1 kΩ Resistor 4 -

IV. RESULTADOS

Uma vez que os valores dos componentes do circuito a

serem analisados foram calculados, obteve-se uma análise

prática e simulada para comprovar a eficiência dos filtros

adotados pelas aproximações usadas. Para tal feito, fora

utilizado o Software de simulação PSIM e comprovados os

valores na prática.

A. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de

Butterworth

1) Simulação Butterworth.

Na primeira parte da simulação, com os valores de

capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos

apresentados na Tabela 3, foi possível montar o circuito da

Figura 8.

Da Figura 8, nota-se que os capacitores são dispostos no

circuito de forma a respeitar o valor do fator de qualidade

de cada associação de estágio PB de segunda ordem.

Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas

para a banda de transição e, analisando a frequência radial

calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na

Figura 9 para a simulação do circuito da Figura 8.

2) Prática Butterworth.

Para a prática, fora implementado o circuito da Figura 8

com os valores aproximados de resistores e capacitores,

obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas frequências

antes da borda da banda de transição superior, na frequência

de corte, e na frequência da borda da banda de transição

inferior, respectivamente, 15 kHz, 29,24 kHz e 45kHz,

representadas pelas Figuras 10, 11 e 12.

Fig. 9. Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passa-

baixas por aproximação de Butterworth

Fig. 10. - Resposta do filtro utilizando aproximação

Butterworth para um sinal de entrada de 15kHz. Canal 1 (amarelo)

tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída

(1V/div). Escala de tempo de 25µs.

27( )

Fig. 8. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de

Butterworth por topologia Sallen-Key

B. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de

Chebyshev

1) Simulação Chebyshev

Na segunda parte da simulação, com os valores de

capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos

apresentados na Tabela 4, foi possível montar o circuito da

Figura 13.

Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas

para a banda de transição e, analisando a frequência radial

calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na

Figura 14 para a simulação do circuito da Figura 13.

2) Prática Chebyshev

Para a prática, fora implementado o circuito da Figura

13 com os valores aproximados de resistores e capacitores,

obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas

frequências antes da borda da banda de transição superior,

na frequência dentro da banda de transição, e na frequência

da borda da banda de transição inferior, respectivamente,

20 kHz, 29,24 kHz e 45kHz, representados pelas Figuras

10, 11 e 12.

Fig. 14. Gráfico de bode em escala logarítmica do Filtro Passa-

baixas por aproximação de Chebyshev

Fig. 15. - Resposta do filtro utilizando Aproximação

Chebyshev para um sinal de entrada de 20 kHz. Canal 1 (azul)

tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída



Butterworth para um sinal de entrada de 29,247 kHz. Canal 1

(amarelo) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de

saída (1V/div). Escala de tempo de 10µs.


Butterworth para um sinal de entrada de 45 kHz. Canal 1 (amarelo)

tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída

(200mV/div). Escala de tempo de 10µs.

Fig. 13. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de

Chebyshev por topologias Sallen-Key e RC.

C. Resultados.

No final da prática e da simulação, fora obtido os valores

reais dos parâmetros analisando os gráficos das simulações

e das práticas com os resultados ideais calculados contidos

nas Tabelas 2. Esses valores obtidos nesta secção estão

contidos na Tabela 5 e 6.

TABELA V

Resultados Obtidos e Calculados Butterworth Filtros passa-baixas

Frequências 15 kHz 29.2 kHz 45 kHz

Ganho simulação -0,0079 dB -3,008 dB -15,1247 dB

Ganho Pratica -0,0069 dB -2,76 dB -14,59 dB

Ganho Teórico 0 dB -3.01 dB -15.084 dB

TABELA VI

Resultados Obtidos e Calculados Chebyshev Filtros passa-baixas

Frequências 20 kHz 26,18 kHz 45 kHz

Ganho simulação -0,11 dB -3.19 dB -19,47 dB

Ganho Prática 0.13 dB -3,06 dB -19,43 dB

Ganho Teórico -0,011 dB -2.931 dB -19,216 dB

Analisando as Tabelas 5 e 6, e comparando-as com a

Tabela 2, nota-se que os valores chegaram próximos do

esperado havendo apenas algumas discrepâncias devido a

aproximação dos capacitores e resistores na implementação

da prática.

Nota-se nesta comparação que, para valores de

frequências próximos da banda de transição não há

atenuação considerável, ou seja, em frequências abaixo da

frequência de corte não foi percebida atenuação.

Vale ressaltar que, para a Aproximação Chebyshev existe

uma oscilação no ganho antes da faixa de frequências da

banda de transição, e o que comprova isso seria o ganho

positivo de 0,13 dB para a frequência de 20kHz, ou seja,

abaixo da frequência da borda superior da banda de

transição. Esse fato pode ser identificado na Figura 15, em

que o valor da amplitude da saída é maior que o valor da

amplitude da entrada. Porém, nota-se ainda que, para uma

frequência de 26,18 kHz na Aproximação Chebyshev, a

atenuação foi de -3,06 dB e para a Aproximação de

Butterworth em uma frequência maior de 29,2 kHz, que

aliás, é a frequência de corte do filtro de Butterworth, teve

uma atenuação de -3,008 dB, ou seja, para o filtro de

Chebyshev caiu mais rápido.

Na análise do filtro modulado pelas equações de

Butterworth, pode-se notar que, em uma frequência anterior

a frequência da banda de transição, sua saída parece sempre

estar inalterável, pois os valores dos ganhos na frequência

de 15 kHz tende a zero, segundo os resultados obtidos. Essa

afirmação se comprova analisando o gráfico da Figura 10,

em que a saída permanece inalterável para esta frequência.

V. CONCLUSÕES

Com os resultados obtidos nas Tabelas 5 e 6, e a teoria

sobre filtros, foi possível concluir o funcionamento dos

filtros para as duas aproximações, em que ambos permitem

a passagem de frequências baixas, porém impedem a

passagem das frequências mais altas, apesar de sua

dinâmica de resposta de frequência serem diferentes um do

outro.

Ademais, comparando as características essências das

duas aproximações utilizadas, pode-se concluir que, o

método de Butterworth é de essencial importância para

aplicações em que a resposta necessita de um nivelamento

máximo na banda de passagem, já na sua banda de transição

não é favorável quando se necessita de uma resposta rápida

de decaimento do sinal de entrada. Porém, quando a banda

de passagem é um requisito irrelevante para o projetista,

seria recomendável, segundo a análise dos resultados, a

utilização do filtro de Chebyshev se a intenção é obter uma

resposta rápida na saída do sistema. Ainda, o que

comprovaria esta característica desse filtro seria ordem em

que ele foi implementado, ou seja, em uma ordem menor




(200mV/div). Escala de tempo de 10µs.





que o filtro de Butterworth e ainda consegue obter uma

atenuação mais rápida.

Logo mais, para uma possível melhora na resposta seria

o aumento da ordem dos filtros para obter uma melhor

resposta do sistema. Poderia, também, ser interessante

juntar as duas características dos projetos de filtros para este

trabalho e obter a melhor resposta possível em níveis de

filtragem de frequência.

Portanto, conclui-se que, tanto a modelagem Butterworth

quanto a de Chebyshev são eficientes em suas respectivas

características e qualidades.

REFERÊNCIAS

[1] MALVINO, Albert Paul; BATES, David

J. Eletrônica. 7. Ed, vo. 2. São Paulo: McGraw-Hill,

c2007-2008. 2v.

[2]PERTENCE JÚNIOR, Antônio. Amplificadores

operacionais e filtros ativos: teoria, projetos,

aplicações e laboratório. 5. ed. São Paulo: Makron,

1996. xvi, 359 p. ISBN 85-346-0498-3.

[3] GRANDA MIGUEL, Mercedes; MEDIAVILLA

BOLADO, Elena. Instrumentación

electrónica: transductores y acondicinadores de

. Santander, Espanha: Universidad de Cantabria, 2010.

vii, 495 p. ISBN 9788481925682.

[4] SEDRA, Adel S.; SMITH, Kenneth

Carless. Microeletrônica. São Paulo, SP: Makron

Books, 1995. 2 v. ISBN 853460293.

[5] RAZAVI, Behzad. Fundamentos de microeletrônica.

Rio de Janeiro: LTC, c2010. xxv, 728 p. ISBN

9788521617327.

Engineering

Artigo sobre Filtros de frequências Butterworth e Chebyshev