Bodee nyquist

Resposta em frequência

Se a entrada é senoidal, a saída também é senoidal (após um transitório)de mesma frequência mas com fase e amplitude diferentes. A relação entre osinal de entrada e o de saída é dada por

H ( jω) = aH (ω)e jφH(ω) (1)

aH (ω) = |H ( jω)| (2)

φH (ω) = arg(H ( jω)) (3)

O número complexo H ( jω) pode ser representado por um vetor comcomprimento aH(ω) que forma um ângulo φH (ω) com o eixo-real.

Saulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 1

Resposta em freqüência ...

Se u(t) =U0e jωt =U0 (cosωt + j sinωt) então

y(t) =∫ ∞

−∞h(τ)u(t − τ)dτ

=∫ ∞

−∞h(τ)U0e jω(t−τ)dτ =U0

∫ ∞

−∞h(τ)e jωte− jωτdτ

=U0e jωt

∫ ∞

−∞h(τ)e− jωτdτ

= u(t)H ( jω) = u(t) |H ( jω)|e jφ(ω)

y(t) =U0 |H ( jω)|e j(ωt+φ(ω)).



u(t) =U0e jωt (4)

U0 cosωt =Re{u(t)} ,U0 sinωt = Im{u(t)} (5)

y(t) =U0 |H ( jω)|e j(ωt+φ(ω)) (6)

Re{y(t)}=U0 |H ( jω)|cos(ωt +φ(ω)) (7)

Im{y(t)}=U0 |H ( jω)|sin(ωt +φ(ω)) (8)

• Modificação de amplitude e fase.

• Variando ω em [0,∞) tem-se a caracterização do sistema |H ( jω)|e jφ(ω).

• Diagrama de amplitude e fase ou resposta em freqüência.



H(s) = 5e−2s

10s+1(9)

H( jω) = 5e−2 jω

10 jω+1(10)

|H( jω)|= 5√

(10ω)2+1

(11)

∡H( jω) =−arctan(10ω)−2ω (12)

u(t) = sin(0.2t) (13)

|H( j0.2)|= 2.24,∡H( j0.2) =−1.51rad (14)

y(t) = 2.24sin(0.2t −1.51) (15)


0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo, t(s)

u(t)y(t)


Aproximação de Padé

A função transcendental e−sT pode ser aproximada por

e−sT ≈ 1− T s2+ (T s)2

8− (T s)3

48+ · · ·

1+ T s2+ (T s)2

8+ (T s)3

48+ · · ·

(16)

e−sT =2− sT

2+ sT(17)

H(s) =5e−sT

10s+1≈ 5(2− sT )

(2+ sT )(10s+1). (18)

O sistema acima tem dois pólos estáveis mas apresenta um zero no semi-planodireito. Esse tipo de sistema é denominado sistema de fase não-mínima.


Traçado assintótico

Se a função de transferência é dada por

H(s) = K(s+ z1)(s+ z2) · · ·(s+ zm)

(s+ p1)(s+ p2) · · ·(s+ pn)(19)

H(s) = Kz1z2...zm

p1p2...pn

·

(

1+ s 1z1

)(

1+ s 1z2

)

...(

1+ s 1zm

)

(

1+ s 1p1

)(

1+ s 1p2

)

...(

1+ s 1pn

) (20)

Considerando Kz1z2...zm

p1p2...pn= K0, então

H(s) = K0

(

1+ s 1z1

)(

1+ s 1z2

)

...(

1+ s 1zm

)

(

1+ s 1p1

)(

1+ s 1p2

)

· · ·(

1+ s 1pn

) (21)


Forma de Bode: H(s) = K0

(1+ sτ1)(1+ sτ2) · · ·(1+ sτm)

(1+ sT1)(1+ sT2) · · ·(1+ sTn)(22)

Resposta em frequência:

H( jω) = K0

(1+ jωτ1)(1+ jωτ2) · · ·(1+ jωτm)

(1+ jωT1)(1+ jωT2) · · ·(1+ jωTn)(23)

Possíveis termos:

• K0( jω)L

• (1+ jωτ)±1

•[(

jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]±1


1. Pólos na origem: K0( jω)L

Magnitude: 20log∣∣K0( jω)L

∣∣= 20logK0+20log

∣∣( jω)L

∣∣= 20logK0+20L log |ω|

Em ω = 1, a assíntota passa por 20logK0

ω0 7−→ 10ω0, mudança de +20L dB

{20logK0+20L log |10ω0|}−{20logK0+20L log |ω0|}= 20L log |10|+20L log |ω0|−20L log |ω0|= 20L

A assíntota é uma reta com variação de 20L dB por década

Fase: ∡(K0( jω)L) = ∡K0+∡( jω)L = 0◦+L ·90◦ = L ·90◦


2jω= 2( jω)−1

Magnitude: 20log10

∣∣∣

2jω

∣∣∣= 20log10 |2|−20log10 | jω|= 20log10 2−20log10 ω

Fase: ∡( 2jω) =−90◦

20log 2

1 2-20 dB/dec


2. Termo de primeira ordem: 1+ jωτ

Assíntota em baixas frequências ωτ ≪ 1, jωτ+1 ∼= 1

Assíntota em altas frequências ωτ ≫ 1, jωτ+1 ∼= jωτ

Frequência de corte ω = 1τ

Fase

Para ωτ ≪ 1, ∡1 = 0o

Para ωτ ∼= 1, ∡( jωτ+1)∼= 45o

Para ωτ ≫ 1, ∡ jωτ ∼= 90o


Traçado assintótico - Década

20log | jωτ|= 20log |ωτ|= 20log |ω|+20log |τ|

Zero, zi, ω0 7−→ 10ω0, mudança de +20dB

20log | j10ω0τ|−20log | jω0τ|= 20log |10ω0|+20log |τ|−20log |ω0|−20log |τ|== 20log |10ω0|−20log |ω0|= 20log |10|=+20dB

Pólo, pi, ω0 7−→ 10ω0, mudança de −20dB

−20log | j10ω0τ|− (−20log | jω0τ|) ==−20log |10ω0|−20log |τ|− (−20log |ω0|−20log |τ|) ==−20log |10ω0|− (−20log |ω0|)=−20log |10|=−20dB


Ex.: jω10+1, a frequência de corte ω = 1τ= 0.1

Para ω10 ≪ 1, jω10+1 ∼= 1, ∡1 = 0◦


Para ω10 ∼= 1, ∡( jω10+1)∼= 45◦


Para ω10 ≫ 1, jω10+1 ∼= jω10, ∡ jωτ ∼= 90◦




3. Termo de segunda ordem:

[(jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]±1

k

s2+2ζωns+ωn2=

k

ωn2· 1

1+ s2ζωn+ s2

ωn2

k

ωn2· 1

1+( jωωn)2+ jω 2ζ

ωn

=k

ωn2· 1

1− ( ωωn)2+ j

2ζωωn

• Frequência de corte ω = ωn

• Assíntota em baixas frequências ω ≪ ωn,

[(jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]

∼= 1

• Assíntota em altas frequências ω ≫ ωn,

[(jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]

∼=−(

ωωn

)2


• Para frequências maiores que a frequência de corte, o módulo muda+40dB/dec se o termo está no numerador, e −40dB/dec se o termo estáno denominador.

20logω2

ω0 → 10ω0

20log(102ω02)−20logω0

2 = 20log102 = 40

• A fase muda ±180◦

• A transição na frequência de corte depende do fator de amortecimento ζ

• Se o termo está no numerador, então |G( jωn)|= 2ζ

• Se o termo está no denominador, então |G( jωn)|= 12ζ


Ex.

[(jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]

com ωn = 1


Ex.

[(jωωn

)2

+2ζ jωωn+1

]−1

com ωn = 1


Expressão genérica

H ( jω) =K ∏Z

i=1 (1+ jωτi)

( jω)N∏J

j=1 (1+ jωτ j)∏Lk=1

[

1+2ζk

ωnkjω+

(jω

ωnk

)2] (24)

20log |H( jω)|= 20logK +20Z

∑i=1

log |1+ jωτi|−20log

∣∣∣( jω)N

∣∣∣−20

J

∑i=1

log |1+ jωτ j|

−20L

∑k=1

log

∣∣∣∣∣1+

(2ζk

ωnk

)

jω+

(jω

ωnk

)2∣∣∣∣∣

φ(ω) =Z

∑i=1

arctanωτi

︸︷︷︸zeros

−(

Nπ

2+

J

∑j=1

arctanωτ j +L

∑k=1

arctan

(

2ζkωnkω

ω2nk−ω2

))

︸︷︷︸pólos

(25)


Exemplo

G(s) =2000

(s+ 1

2

)

s(s+10)(s+50)=

2000 · 12(1+2s)

10 ·50s(1+ s10)(1+ s

50)

(26)

G( jω) =2

jω· 1+2 jω

(1+ jω10)(1+ jω

50)

(27)

Frequências de corte

ω10

ω 10ω

0.05 0.5 5

1 10 100

5 50 500

O eixo das frequências deve ser de 0.01 a 1000, ou seja, ter 5 décadas


0,01 0,1 1 10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

20

40

-20

90º

0º

-90º

-180ºSaulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 24

0,01 0,1 1

20

10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

2

-20dB/dec

40

-20

90º

0º

-90º

-180ºSaulo O. D. Luiz, AMNLima/Controle Analógico/UFCG/DEE - 25

0,01 0,1 1 10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

20

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

0,5

20dB/dec

0,50,05 5


0,01 0,1 1 10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

20

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

-20dB/dec


0,01 0,1 1 10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

20

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

-20dB/dec

50

505 500


0,01 0,1 1

20

10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

2

-20dB/dec

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

0,5

0,50,05 5

50

50 500


0,01 0,1 1

20

10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

2

-20dB/dec

-20dB/dec

-40dB/dec

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

0,5

0,50,05 5

50

50 500

10


0,01 0,1 1

20

10 100 1000

0,01 0,1 1 10 100 1000

2

-20dB/dec

-20dB/dec

-40dB/dec

40

-20

90º

0º

-90º

-180º

0,5

0,50,05 5

50

50 500

10


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Sistemas com atraso

L [ f (t −a)] = e−asF (s) (28)

Considere um sistema com função de transferência H(s) = e−as. EntãoH( jω) = e− jωa e

|H( jω)|=∣∣e− jωa

∣∣= 1 (29)

Um atraso no tempo meramente desloca o sinal no tempo e não modifica amagnitude do sinal

∡H( jω) = ∡e− jωa =−ωa (rad) (30)

T =1

f=

1ω2π

(31)

−a

T2π =−ωa

2π2π =−ωa (32)


Exemplo: H(s) = e−34·

2π10s

u(t) = sin(10t) (33)

−a

T2π =−

34· 2π

102π10

2π =−3

42π (rad) =−270◦ (34)


Exemplo: H(s) = 5 e−2s

10s+1


Sistemas de Fase Mínima

• Sistemas de Fase mínima: não apresentam zeros no semi-plano direito

• Sistemas de Fase não-mínima: apresentam zeros no semi-plano direito

– A fase é maior do que se todos os polos e zeros estivessem no semi-planoesquerdo


Ex. G1(s) = 10 s+1s+10

, G2(s) = 10 s−1s+10

G1(s) =10(s+1)

(s+10)= 10

(1+ s)

10(1+s

10)=

1+ s

1+s

10

G1( jω) =1+ jω

1+jω

10

; G2( jω) =−1+ jω

1+jω

10



Correlação Freqüência x Tempo

H(s) =ω2

n

s2+2ζωns+ω2n

(35)

y(t) = L−1

[

H(s)1

s

]

= 1− e−σt

(

cosωdt +σ

ωd

sinωdt

)

(36)

σ = ζωn,ωd = ωn

√

1−ζ2,0 ≤ ζ ≤ 1 (37)

tp =π

ωd

(38)

Mp = exp

− πζ

√

1−ζ2

(39)


Ressonância

Por outro lado a resposta em freqüência desse mesmo sistema é calculadapor

H( jω) =1

(

1− ω2

ω2n

)

+2 jζ ωωn

. (40)

O pico da resposta em freqüência ocorre na freqüência de ressonância

d

dω|H ( jω)|= 0 ⇒ ωr = ωn

√

1−2ζ2 (41)

para valores de 0 < ζ ≤√

22

.


Ressonância ...

Na freqüência ω = ωr a expressão

(

1− ω2

ω2n

)2

+

(

2ζω

ωn

)2

(42)

é mínima e valor do ganho do sistema vale

Mr = |H( jω)|ω=ωr=

1

2ζ

√

1−ζ2. (43)


Banda Passante

10−2

10−1

100

101

102

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

log(ω) (rad/s)

20lo

g(|H

(jω)|

) (d

B)

ωBW

0dB

10dB − 3dB


H(s) =ω2

n

s2+2ζωns+ω2n

(44)

|H( jωBW)|= 1√2|H(0)| ⇒ ωBW

ωBW = ωn

√

(

1−2ζ2)

+

√(

1−2ζ2)2

+1

e

φBW =−180◦+ tan−1

2ζ

√(

1−2ζ2)

+

√(

1−2ζ2)2

+1

−2ζ2+

√(

1−2ζ2)2

+1


Margem de fase

1+KG(s)H(s) = 0 ⇒ KG(s)H(s) =−1 ⇒{

|KG(s)H(s)|= 1

∡(KG(s)H(s)) =±180◦ (2l +1)(45)

|KG(s)H(s)|= 1 ⇒ 20log10 |KG(s)H(s)|= 0

{|KG(s)H(s)|= 1

∡(KG(s)H(s)) =±180◦ (2l +1)(46)

Fazendo s = jω:

{|KG( jω)H( jω)|= 1

∡(KG( jω)H( jω)) =±180◦ (2l +1)(47)

Essas equações são satisfeitas pelos pontos no eixo imaginário quepertencem ao lugar das raízes.


Exemplo: L(s) = 1

s(s+1)2

K<2

K=2 K>2



Exemplo: L(s) = 1

s(s+1)2

Nesse caso, se o ganho K > 2, o sistema é instável. Para o sistemaestudado, em que o aumento do ganho causa instabilidade e |KL(s)| cruza0dB apenas uma vez, a condição de estabilidade é

∠KL( jωc)>−180◦ para ωc em que 20log10 |KL( jωc)|= 0 (48)


Margem de fase

Considere um sistema com função de tranferência de malha aberta L(s)

Nos diagramas de Bode, determinar a frequência de cruzamento do ganhoωc

1) Se ∠L( jωc) <−180◦ , então o sistema é instável

2) Se ∠L( jωc) =−180◦ , então o sistema é marginalmente estável

3) Se ∠L( jωc)>−180◦ , então o sistema é estável

Seja ∠L( jωc) = φc, e φc > −180◦ . Então γ = φc − (−180◦) = φc + 180◦ é amargem da fase




Para o sistema

H(s) =ω2

n

s(s+2ζωn). (49)

|H ( jωc)|= 1 (50)

para

ωc = ωn

√√

1+4ζ4−2ζ

2 (51)

eφ(ωc) =−(∡ jωc+∡( jωc+2ζωn)) (52)


Margem de fase ...

φ(ωc) =−π

2− arctan

(ωc

2ζωn

)

(53)

φ(ωc) =−π

2− arctan

√√

1+4ζ4−2ζ

2

2ζ

(54)

ts =4

ζωn

(55)

φ(ωc) =−π

2− arctan

(ωcts

8

)

(56)


Margem de fase ...

PM = ∠L( jωc)+180

|L( jωc)|= 1

PM =π

2− arctan

(ωcts

8

)

(57)

tan(π

2− x)

= cot(x) =1

tan(x)(58)

tan(PM) =8

ωcts(59)


Margem de fase ...

PM = ∠L( jωc)+180

|L( jωc)|= 1

PM =π

2− arctan

√√

1+4ζ4−2ζ

2

2ζ

(60)

PM = arctan

2ζ√√

1+4ζ4−2ζ

2

(61)

PM ≈ 100ζ para 0◦ ≤ PM ≤ 60◦ (62)


Margem de ganho


Considere um sistema com função de transferência de malha aberta L(s)

ω180◦ é a frequência tal que ∠L( jω180◦) =−180◦

Para que ele seja estável, é necessário respeitar ωc < ω180◦ para ter∠L( jωc) >−180◦

Considere que o ganho de malha aberta será multiplicado por um fator Kg,resultando na FTMA KgL(s)

Qual o valor de Kg em que o sistema se torna marginalmente estável?

Note que 20log |L( jω180◦)|< 0

20log |KgL( jω180◦)|= 0 ⇒ |KgL( jω180◦)|= 1 ⇒ Kg |L( jω180◦)|= 1 ⇒

⇒ Kg =1

|L( jω180◦)|é a margem de ganho

Margem de ganho em dB:

20logKg = 20log1

|L( jω180)|=−20log |L( jω180)| (63)


Desse modo, para o sistema de segunda ordem H(s) = ω2n

s(s+2ζωn), a margem

de ganho é ∞ já que a fase tende assintoticamente para −180◦


Kg =1

|L( jω180◦)|⇒ |L( jω180◦)|= 1

Kg

γ = φc− (−180◦) = φc+180◦


Constantes de Erro - Cp, Cv e Ca

10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

log(ω) (rad/s)

20lo

g(|H

(jω)|

) (d

B)

Cv

ω=1

Os valores das constantes de erro de regime permanente (Cp, Cv e Ca)podem ser determinadas diretamente dos Diagramas de Bode, a partir dainterseção da assíntota de baixa freqüência com a linha vertical traçada emω = 1.


H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)

sN(1+ sT1)...(1+ sTm−N)

• N = 0 : tipo 0

• N = 1 : tipo 1

• N = 2 : tipo 2


H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)

(1+ sT1)...(1+ sTm−N)

Constante de erro estático de posiçao Cp = lims→0 H(s) = k

Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) = k

Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20logk


H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)

s(1+ sT1)...(1+ sTm−N)

Constante de erro estático de velocidade Cv = lims→0 sH(s) = k

Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) =k

jω

Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20log

∣∣∣∣

k

j1

∣∣∣∣= 20logk


H(s) =k(1+ sτ1)...(1+ sτn)

s2(1+ sT1)...(1+ sTm−N)

Constante de erro estático de aceleração Ca = lims→0 s2H(s) = k

Quando ω → 0 , a FTMA tende a G( jω) =k

( jω)2

Quando ω = 1 rad/s : 20log |G( j1)|= 20log

∣∣∣∣

k

( j1)2

∣∣∣∣= 20logk



Tipo 0 Degrau Rampa Parabola

Fórmula 1/(1+Cp) 1/Cv 2/Ca

Constante Cp 6= 0 Cv = 0 Ca = 0

Erro 1/(1+Cp) ∞ ∞



Constante Cp = ∞ Cv 6= 0 Ca = 0

Erro 0 1/Cv ∞



Constante Cp = ∞ Cv = ∞ Ca 6= 0

Erro 0 0 2/Ca


Critério de Nyquist

F(s) é uma função s ∈ C. Para s0 ∈ C, F(s0) ∈ C, cujo módulo, |F(s0)|, e afase, ∠F(s0), dependem de s0. Se s0 ∈ Γs (percurso fechado) então F(s0) ∈ ΓF(s)

(percurso fechado).

A forma da curva descrita por ΓF(s) muda quando muda a forma de Γs e aexpressão de F(s). Se s0 ∈ Γs e

F(s) = ks+a

(s+b)(s+ c)(s+d),k > 0,a > 0,b > 0,c > 0,d > 0 (64)

então F(s0) ∈ ΓF(s).


- 4 - 2 0 2 4 6- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

s0

sΓ

F(s)Γ

C


Teoria ...

Considerando este fato pode-se demonstrar que o número de voltas queΓF(s) dá em torno da origem é vinculado ao número de singularidades (pólos ezeros) situadas no interior da curva fechada Γs. De fato, sendo mais explícitopode-se afirmar que quando o ponto de teste s0 percorre a curva Γs no sentidohorário, a variação angular total da fase de F(s) considerada positiva no sentidotrigonométrico é igual a

∆ = 2π(P−Z), (65)

com P e Z sendo o número de pólos e o número de zeros (contada suasmultiplicidades) da função F(s) situados no interior de Γs. Dito de outramaneira, o número de voltas T que o lugar geométrico ΓF(s) efetua, no sentidotrigonométrico, em torno da origem do plano complexo é dada por

T = P−Z (66)


Convenções básicas

Antes de prosseguir convém destacar as três convenções básicasempregadas na seqüência deste desenvolvimento. A primeira delas é que acurva fechada Γs será sempre percorrida no sentido horário. A segunda é queos ângulos são medidos no sentido trigonométrico (anti-horário). A terceira éque a função F(s) é do tipo racional expressa como

F(s) = k∏m

i=1(s+ zi)µi

Πni=1(s+ pi)νi

= k(s+ z1)

µ1(s+ z2)µ2 · · ·(s+ zm)

µm

(s+ p1)ν1(s+ p2)ν2 · · ·(s+ pn)νn(67)

onde k é um ganho, µi e νi são as multiplicidades dos zeros e pólosrespectivamente. Os pólos e zeros podem eventualmente ser reais oucomplexos. Os pólos complexos aparecerão sempre juntamente com seusconjugados. Sem perda de generalidade consideraremos que

µ1 = · · ·= µm = ν1 = · · ·= νn = 1 (68)

n ≥ m (69)


Pólos e zeros

Dado um ponto de teste, s0, a fase de sua imagem, F(s0), pode ser calculadapor

Φ = Φz−Φp (70)

ondeΦz = ∠(s0+ z1)+∠(s0+ z2)+ · · ·+∠(s0+ zm) (71)

Φp = ∠(s0+ p1)+∠(s0+ p2)+ · · ·+∠(s0+ pn) (72)

No caso de existirem zeros ou pólos múltiplos, a multiplicidade deve serlevada em consideração. Por exemplo, se zi é um zero de multiplicidade µi, suacontribuição angular em Φz é

µi∠(s0+ zi) (73)


Pólos e Zeros ...

Cada termo de Φz (Φp) é calculado computando-se o ângulo entre a retareal (segmento 0x) e o vetor −→zis0 (−→pis0). Este ângulo é representado por (0x,−→zis0)e, deste modo

Φz = (0x,−→z1s0)+(0x,−→z2s0)+ · · ·+(0x,−−→zms0) (74)

Φp = (0x,−−→p1s0)+(0x,−−→p2s0)+ · · ·+(0x,−−→pns0) (75)

O valor da variação de fase ∆Φ de F(s) é igual à soma das variações decada termo de Φz e Φp quando s0 percorre uma curva fechada Γs no sentidohorário. Antes de chegar a uma conclusão genérica analisa-se a contribuiçãode cada termo.


Contribuição dos zeros de F(s)

x0z1

s0

Γ s

Veja animação em $ https://sites.google.com/a/ee.ufcg.edu.br/controle-analogico/home/2014-2/animacoesnyquist $

• Zero fora do percurso fechadoΓs:


Neste caso ∆(0x,−→z1s0) = 0.



x0

z1

s0

Γ s

• Zero dentro do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−→z1s0) =−2π.



• Considerando que Z representa o número de zeros no interior de Γs (z1, z2,· · · ,zk), então a soma das variações dos termos relativos aos zeros vale

∆(0x,−→z1s0)+∆(0x,−→z2s0)+ · · ·+∆(0x,−→zks0) =−2πZ (76)


Contribuição dos polos de F(s)

x0p1

s0

Γ s

• Pólo fora do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 0.



x0

s0

Γ sp1

• Pólo dentro do percurso fechado Γs:Neste caso ∆(0x,−−→p1s0) = 2π.



• Considerando que P representa o número de pólos no interior de Γs (p1, p2,· · · ,pk), então a soma das variações dos termos relativos aos pólos vale

∆(0x,−−→p1s0)+∆(0x,−−→p2s0)+ · · ·+∆(0x,−−→pks0) = 2πP (77)


Pólos e Zeros ...

• Se Z e P são respectivamente os números de zeros e pólos de F(s)circundados por Γs então

∆Φ = 2π(P−Z) (78)


Aplicação

A utilização prática dos resultados anteriores requer, inicialmente, quea função F(s) dos desenvolvimentos anteriores seja igual ao polinômiocaracterístico do sistema de controle. Desta forma, os resultados acima podemser aplicados na análise de sistemas de controle em malha fechada.

Neste caso tem-se que

F(s) = 1+G(s)H(s) (79)

onde

G(s)H(s) = k∏m

i=1(s+ zi)µi

Πni=1(s+ pi)νi

(80)


representa a função de transferência de malha aberta de um sistema decontrole com realimentação unitária.


Aplicação ...

O segundo passo é a definição do percurso Γs que será utilizado para avaliarF(s). O percurso Γs que é empregado para fins práticos foi proposto em 1945por H. Nyquist e é especificado como segue:

• Uma reta paralela, do lado direito do plano complexo, ao eixo imaginário. Adistância entre esta reta e o eixo imaginário é infinitesimal.

• Uma semi-circunferência de raio infinito no lado direito do plano complexo.O centro desta semi-circunferência fica sobre o eixo real a uma distânciainfinitesimal da origem.

O percurso assim definido é denominado percurso de Nyquist (Γn) e envolvequalquer zero ou pólo que tenha parte real positiva.


ε

R

Γn


Percurso de Nyquist

Quando s0 percorre Γn é necessário distinguir duas situações:

• Quando s0 percorre a reta paralela no sentido horário, s0 ∈ ( j0, j∞), aimagem descreve o lugar geométrico de 1+G( jω)H( jω) que é completadopelo seu lugar simétrico em relação ao eixo real 1+G(− jω)H(− jω) coms0 ∈ (− j∞, j0).

• Quando s0 percorre a semi-circunferência no sentido horário s0 = Re jθ (R → ∞e θ ∈ [π/2,0]), para o caso das funções consideradas (racionais, próprias ouestritamente próprias) não há variação de fase da imagem. Se G(s)H(s) éprópria então

lims→∞

F(s) = 1+ lims→∞

G(s)H(s) = 1+ k (81)

por outro lado, se G(s)H(s) é estritamente própria então

lims→∞

F(s) = 1+ lims→∞

G(s)H(s) = 1 (82)


Percurso de Nyquist ...

Se o diagrama de Nyquist de 1 + G(s)H(s) circunda a origem, então odiagrama de Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real.



1+G(s)H(s) = 1+b(s)

a(s)=

a(s)+b(s)

a(s)(83)

As raízes de a(s)+b(s) = 0 são os polos de malha fechada

As raízes de a(s) = 0 são os polos de 1+G(s)H(s) e de malha aberta

Os polos de 1+G(s)H(s) são também os polos de G(s)H(s)

Os polos de malha aberta em G(s)H(s) são conhecidos

Se não há polos de G(s)H(s) no semi-plano direito (P = 0), e o diagramade Nyquist de G(s)H(s) circunda −1 no eixo real, verifica-se a partir de ∆Φ =2π(P−Z) que há Z zeros de 1+G(s)H(s) no semi-plano direito, ou seja, polosdo sistema em malha fechada no semi-plano direito

Reformulando a conclusão anterior pode-se dizer que se

Z = número de zeros de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (84)


P = número de pólos de 1+G(s)H(s) com parte real positiva (85)

ou equivalentemente

P = número de pólos de G(s)H(s) com parte real positiva (86)

contadas as respectivas multiplicidades, então a variação de fase de 1 +G( jω)H( jω) quando ω cresce de −∞ a +∞ vale

2π(P−Z) no sentido anti-horário (87)

Considere N voltas no sentido horário

N = Z −P ⇒ Z = N +P (88)



As funções G(s)H(s) e 1+G(s)H(s) tem os mesmos pólos.

O envolvimento da origem para 1 + G( jω)H( jω) é equivalente aoenvolvimento do ponto de −1+ j0 para G( jω)H( jω).

A estabilidade de um sistema de controle em malha fechada poder serdeterminada a partir do exame dos envolvimentos do ponto −1+ j0 do lugargeométrico de G( jω)H( jω).


Critério

Definida a função do ramo direto G(s)H(s) de um sistema realimentado arelação

Z = N +P (89)

determina o número Z de zeros instáveis de 1+G(s)H(s) em função do

1. número de pólos instáveis P de G(s)H(s)

2. número de envolvimentos N que G( jω)H( jω) faz em torno do ponto −1+ j0

no sentido horário

Um sistema de controle é dito estável se Z = 0


Exemplo 5

(s+1)2

Polos : -1 e -1. Não há pólo no semi - plano direito. Então P = 0

Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) =5

(s+1)2

Trecho I: s = jω

E( jω) =5

( jω+1)2=

5(1− jω)2

(1+ jω)2(1− jω)2=

5(1−2 jω−ω2)

(1+ω2)2=

=5(1−ω2)

(1+ω2)2− j

10ω

(1+ω2)2

ω = 0, E( jω) = 5− j0

ω → ∞, E( jω) =−δ− jδ , (δ → 0)


Trecho II: s = Re jφ

E(Re jφ) =5

(Re jφ+1)2

limR→∞ E(Re jφ) = 0

O trecho II é mapeado na origem.

Trecho III : E(− jω) =5

(1− jω)2=

5(1+ jω)2

(1− jω)2(1+ jω)2=

5(1−ω2+2 jω)

(1+ω2)2=

5(1−ω2)

(1+ω2)2+ j

10ω

(1+ω2)2

E( jω) é simétrico a E(− jω) em relação ao eixo das abscissas.


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

N = 0 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malhaaberta no semi-plano direito, há Z = N+P = 0 polos de malha fechada no semi-plano direito. Então o sistema em malha fechada é estável.


Exemplo 7s(s+1)(s+2)

Polos: 0, -1, -2

Vamos mapear a curva fechada C usando a função E(s) = 7s(s+1)(s+2)

Trecho I: s = εe jφ

E(εe jφ) =7

εe jφ(εe jφ+1)(εe jφ+2)=

7

2εe− jφ , pois ε → 0

φ de −π

2a

π

2. Então E(εe jφ) de

π

2a −π

2

Trecho II : s = jω

E( jω) =7

jω( jω+1)( jω+2)=

− j7(1− jω)(2− jω)

ω(1+ω2)(4+ω2)=

− j7(2−ω2− j3ω)

ω(1+ω2)(4+ω2)=

−21ω+ j7(ω2−2)

ω(1+ω2)(4+ω2)=

−21ω

ω(1+ω2)(4+ω2)+

j7(ω2−2)

ω(1+ω2)(4+ω2)


ω = 0 : E( jω)→ −21

4− j∞

ω → ∞ : E( jω)→−δ+ jδ

ω2 − 2 = 0 ⇒ ω =√

2, que é a frequência para a qual a parte imaginária éigual a 0

E( j√

2) =−21

(1+2)(4+2)=

−21

18

Trecho III: s = Re jφ

E(Re jφ) =7

Re jφ(Re jφ+1)(Re jφ+2)

limR→∞ E(Re jφ) = 0


-10 -8 -6 -4 -2 0-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.5 0-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-10 -5 0 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

N = 2 voltas em torno de −1 no plano E(s). Como P = 0 polos de malhaaberta no semi-plano direito, há Z = N+P = 2 polos de malha fechada no semi-plano direito. Então o sistema em malha fechada é instável.


Segundo Método de Ziegler & Nichols

O método em freqüência de Ziegler-Nichols para a sintonia de controladoresPID usa o ponto na curva de resposta em frequência no qual a fase é igual a−180◦. Este ponto é chamado de ponto crítico e a frequência de cruzamento édenominada freqüência crítica.

O método de Ziegler-Nichols original baseia-se na observação deque muitos sistemas podem se tornar instáveis quando sujeitos a umarealimentação proporcional. Aumentando o ganho proporcional, o sistemapode atingir o limite da estabilidade (ganho limite).

KcH ( jωc) =−1,H ( jωc) =− 1

Kc

(90)

a(ωc) =1

Kc

,ϕ(ωc) = 180◦ (91)


Determinação do ganho crítico

H(s) + -

R(s) Y(s) E(s) U(s) K

O experimento é difícil de ser implementado, pois deve-se ir aumentando oganho até que o sistema oscile.

A amplitude de oscilação depende do sistema e pode não ser controlada,podendo ser inaceitável.

Além disso, manter um processo próximo à instabilidade pode ser perigoso.

A observação que muitos processos oscilam com um ciclo limite quandoé acrescentado um relé em sua malha de realimentação é um método maisconfiável para obter a informação desejada.


Usando o relé em malha fechada

H(s) + -

R(s) Y(s) E(s) U(s)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t (s)

A vantagem da introdução do relé é que a amplitude de oscilação na saída


do processo pode ser controlada variando-se a amplitude da saída do relé (Vr),ou seja:

u(t) =

{+Vr,e(t)> 0

−Vr,e(t)< 0ou u(t) =

{+Vr,e(t)> h

−Vr,e(t)<−h


Método da função descritiva ...

Considerando o comportamento do sistema realimentado para o primeiroharmônico, pode-se considerar que o elemento não linear pode ser modeladocomo um número complexo (modulo e fase).

Desse modo, se r (t) = 0, t > t0 então o sinal de erro que aciona o relé é opróprio sinal de saída do processo.

e(t) =−y(t) =−Y1 sin(ωct)

então o ganho do relé é, consequentemente,

Kr =4Vr

πY1

Entretanto, a amplitude do sinal de saída é dado por

Y1 =4Vr

π|H ( jωc)|


Método da função descritiva ...

A condição para que haja oscilação é

KrH ( jωc) =−1,H ( jωc) =− 1

Kr

(92)

então

H ( jωc) =−πY1

4Vr

Isso significa que o experimento do relé permite levar o sistema a umaoperação oscilatória controlada pois a amplitude de oscilação é proporcionalà magnitude do sinal de saída do relé.


Parâmetros do controlador

Considerando que o controlador é modelado por

G(s) = Kp

(

1+1

sTi

+Tds

)

seus parâmetros podem ser determinados realizando o experimento do relé.Os parâmetros do controlador podem ser calculados a partir do ganho limite Kr

e do período de oscilação Tc = 2π/ωc utilizando-se a tabela de Ziegler & Nichols.

Controlador Kp Ti Td

P 0.5Kr ∞ 0

PI 0.45Kr 0.83Tc 0

PID 0.6Kr 0.5Tc 0.125Tc

(93)


Parâmetros do controlador ...

O método de sintonia baseado na Tabela de Ziegler & Nichols pode servisto como um técnica de projeto que determina os parâmetros do controladorde tal forma que o ponto crítico seja movido para −0.6+0.28 j. A resposta emfrequência do controlador é dada por

GPID ( jωc) = Kp

(

1+1

j0.5Tcωc

+ j0.125Tcωc

)

(94)

GPID ( jωc) = 0.6Kr

(

1+ j

(2π

8− 1

π

))

(95)

GPID ( jωc) = Kr (0.6+0.28 j) (96)

|GPID ( jωc)|= 0.66212Kr e arg(GPID ( jωc)) = 25.017◦ (97)


Compensação - fórmulas

Considere um compensador cuja função de transferência é dada por

G(s) =a1s+a0

b1s+1(98)

na qual a0 é o ganho de regime permanenente, −a0/a1 é o zero docompensador e −1/b1 é o pólo do compensador.

Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM

tenha-sea1 ( jωPM)+a0

b1 ( jωPM)+1H ( jωPM) = e j(−180

◦+PM) (99)

na qual PM > 0 é a margem de fase.


Compensação - fórmulas ...

A partir dessa expressão pode-se mostrar que

a1 =1−a0 |H ( jωPM)|cosθ

ωPM |H ( jωPM)|sinθ(100)

b1 =cosθ−a0 |H ( jωPM)|

ωPM sinθ(101)

θ =−180◦+PM−∠H ( jωPM) (102)

θ = ∠G( jωPM) (103)

Ao final do projeto, verificar se a1 e b1 são positivos.



Dado o valor do ganho de regime permanente a0 e a resposta em freqüênciado sistema a controlar (i.e.|H ( jω)|, ∠H ( jω) ω ∈ [0,∞)) pode-se projetar ocompensador que garantirá a margem de fase desejada (PM) na freqüênciaespecificada (ωPM).



De modo geral o ganho de regime permanente do compensador édeterminado para satisfazer uma especificação de erro estacionário. Por outrolado a escolha da margem de fase na freqüência de projeto é feita a partir dotempo de estabelecimento desejado (ts), isto é

tan(PM) =8

tsωPM

(104)

A representação usual de um compensador em avanço é

G(s) = KT s+1

αT s+1(105)

com α < 1.



A contribuição de fase desse compensador é

φ = arctan(T ω)− arctan(αT ω) (106)

cujo valor máximo ocorre em

ωmax =1

T√

α(107)


Exemplo: H(s) = 10s(s+1) e compensador avanço de fase G(s)

FT da planta com o ganho compensado: G1(s) =20

s(s+1)







Exemplo: H(s) = 1s(s+1)(0.5s+1) e compensador atraso de fase G(s)






Compensador PID

A função de transferência do compensador PID é

G(s) = kp+ki

s+ kds =

kps+ ki+ kds2

s=

ki

s(kd

ki

s2+kp

ki

s+1) (108)

G( jω) = kp+ki

jω+ kd jω =

ki

jω

jω√

ki

kd

2

+ jωkp

ki

+1

(109)

• A ação integral tem um efeito em baixas frequências

• A ação derivativa tem um efeito em altas frequências


40

50

60

70

80

90

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

Diagrama de Bode para G(s) = kp + k

i/s + k

d s

Frequency (rad/s)


Deseja-se projetar esse compensador de modo que na freqüência ω = ωPM

tenha-seG( jωPM)H ( jωPM) = e j(−180◦+PM) (110)

na qual PM > 0 é a margem de fase.

|G( jωPM)|e j∠G( jωPM) · |H( jωpn)|e j∠H( jωPM) =

= |G( jωPM)| · |H( jωPM)|e j(∠G( jωPM)+∠H( jωPM)) = 1e j(−180◦+PM)

|G( jωPM)| · |H( jωPM)|= 1 ⇒ |G( jωPM)|= 1|H( jωPM)|

∠G( jωPM)︸︷︷︸

θ

+∠H( jωPM) =−180◦+PM ⇒

⇒ θ = ∡G( jωPM) =−180◦+PM−∡H ( jωPM)

Kp+ j

(

kdωPM − ki

ωPM

)

= |G( jωPM)|(cosθ+ j sinθ) =cosθ+ j sinθ

|H ( jωPM)|


Igualando as partes reais e imaginárias:

Kp =cosθ

|H ( jωPM)|(111)

ki pode ser determinado por uma especificação de regime permanente

kdωPM − ki

ωPM

=sinθ

|H ( jωPM)|⇒ kd =

sinθ

ωPM |H ( jωPM)|+

ki

ω2PM

(112)


Exemplo: H(s) = 3

s2+0.4s+4e compensador PID G(s)

Especificação:

• PM = 80◦

• ωPM = 50rad/s

• Se a entrada de referência for uma rampa, o erro em regime permanentedeve ser menor ou igual a 0.01


10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 20.4 degFreq: 2.61 rad/sec

Frequency (rad/sec)

-80

-60

-40

-20

0

20

G.M.: InfFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1 (OL1)

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1)

Real Axis

∡H ( jωPM) =−179.5409◦, |H ( jωPM)|= 0.0012

θ = ∡G( jωPM) =−180◦+PM−∡H ( jωPM) = 79.5409◦


-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

System: HFrequency (rad/s): 0.1Magnitude (dB): -2.48

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

20logCp =−2.4775 ⇒Cp = 10−2.4775

20 = 0.7518

Kp =cosθ

|H ( jωPM)|= 151.0407 (113)


Da especificação de regime permanente, ess =1

C′v⇒ C′

v = 1ess

, onde C′v é a

constante de erro de velocidade da planta com o compensador

C′v = lim

s→0skds2+ kps+ ki

s·H(s) = ki lim

s→0H(s) = kiCp (114)

kiCp =1

ess

⇒ ki =1

essCp

= 133.0067 (115)

kd =sinθ

ωPM |H ( jωPM)|+

ki

ω2PM

= 16.4173 (116)


10-2

10-1

100

101

102

103

104

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 80 degFreq: 50 rad/s

Frequency (rad/s)

-20

0

20

40

60

80

G.M.: infFreq: NaNStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)

Real Axis


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Linear Simulation Results

Time (seconds)

Am

plitu

de

y*(t)y

MA(t)

yMF

(t)


9.99 9.992 9.994 9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006 10.008

9.98

9.985

9.99

9.995

10

10.005

System: y(t)Time (seconds): 10Amplitude: 9.99


Time (seconds)

Am

plitu

dey*(t)y(t)


Exemplo: H(s) = 3

s2+0.4s+4e compensador PID G(s)

G(s) = kp+ki

s+ kd pd

s

s+ pd

(117)

Foram utilizados kp, ki e kd do exemplo anterior

Foi escolhido pd = 1000 para afetar minimamente a margem de fase PM =80◦ em ωPM = 50rad/s


0

100

200

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

104

105

-90

0

90

Pha

se (

deg)


i/s + k

d s

Frequency (rad/s)

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

104

105

-90

0

90

Pha

se (

deg)


i/s + k

d p

d s/(s+p

d)

Frequency (rad/s)


10-2

100

102

104

106

-180

-135

-90

-45

0

P.M.: 77.3 degFreq: 50.4 rad/s

Frequency (rad/s)

-100

-50

0

50

100

G.M.: infFreq: InfStable loop

Open-Loop Bode Editor for Open Loop 1(OL1)

-1000 -800 -600 -400 -200 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus Editor for Open Loop 1(OL1)

Real Axis


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Time (seconds)

Am

plitu

de

y*(t)y

MA(t)

yMF com pd

(t)


9.996 9.998 10 10.002 10.004 10.006

9.986

9.988

9.99

9.992

9.994

9.996

9.998

10

10.002

10.004

10.006

System: y_{MF com pd}(t)Time (seconds): 10Amplitude: 9.99


Time (seconds)

Am

plitu

de

y*(t)y

MF com pd(t)


Engineering

Bodee nyquist