Cálculo varias variables thomas - 11ma ed

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THOMAS

WEIRHASS

GIORDANO

UNDCIMAEDICIN

T H O M A SC L C U L OVARIAS VARIABLES

UNDCIMA EDICIN

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Este libro cuenta con una gran cantidad de materiales en lnea para alumnos y profe-sores; entre ellos se incluye un curso precargado en CourseCompass con ejercicios deautoevaluacin, exmenes, manuales, un libro de texto interactivo, vdeos y otros recur-sos multimedia. Adems, con su cuenta de CourseCompass, los profesores podrn ac-ceder a un sinnmero de recursos en lnea creados para apoyarlos en sus clases.

Para obtener ms informacin sobre estos recursos, visite:

www.pearsoneducacion.net/thomas

La undcima edicin de este texto no slo presenta los mtodos y las aplicaciones delclculo, sino tambin una manera de pensar con un enfoque totalmente matemtico. Apartir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos, revela la teora enun lenguaje legible que se centra en el pensamiento y la comunicacin de ideasmatemticas.

Cambios en la undcima edicin

En el captulo 11 se han desarrollado de manera ms completa los criterios deconvergencia para series.

En el captulo 12 se ha combinado el tratamiento de vectores en dos y tresdimensiones.

Un nuevo apndice para analizar brevemente la teora de los nmeros reales ysu aplicacin en el clculo.

C L C U L OV A R I A S V A R I A B L E SU N D C I M A E D I C I N

George B.Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School

Enrique Garibay RuizInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Len

Dr. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM)

Csar Luis Garca Garca Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM)

Claudia Gmez Wulschner Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM)

Enrique Rodrguez Rodrguez Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Abelardo Ernesto Damy Sols Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey,campus Guadalajara

Carlos Zea Coordinacin de Ciencias FsicoMatemticas Universidad Iberoamericana campus Torren

Jos Botto Universidad Nacional de Rosario,Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniera y Agrimensura Argentina

Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario,Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniera y Agrimensura Argentina

Eduardo Estrada Kassir Maestro de Ingeniera de Sistemas Universidad Nacional de Colombia

Vladimir Moreno G.Profesor de tiempo completo Universidad Nacional de Colombia

Bernarda Aldana Escuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito

Nstor Ral Pachn RubianoEscuela Colombiana de Ingeniera Julio Garavito

Ren Piedra Director del Departamento de Matemticas Pontificia Universidad Catlica Madre yMaestraRepblica Dominicana

Lida Nio Coordinadora de Ctedra Matemtica paraIngeniera Universidad Metropolitana Venezuela

TRADUCCIN

REVISIN TCNICA

scar Alfredo Palmas Velasco Vctor Hugo Ibarra MercadoFacultad de Ciencias, Escuela Superior de Fsica y MatemticasUniversidad Nacional Autnoma de Mxico Instituto Politcnico Nacional

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,publishing as Addison Wesley, Copyright 2005. All rights reserved.ISBN 0-321-185587

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Thomas calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,publicada como Addison Wesley, Copyright 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Miguel B. Gutirrez HernndezSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Datos de catalogacin bibliogrfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Clculo. Varias variables. Undcima edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005

ISBN: 970-26-0644-6 rea: Universitarios

Formato: 21 27 cm Pginas: 656

Edicin en ingls:Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: Benjamin Mendlowitz

UNDCIMA EDICIN, 2005

D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500, 5 pisoCol. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de MxicoE-mail: [email protected]

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Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacinde informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacino cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0644-6

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

gran persona, y amigo de todos

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 11.1 Los nmeros reales y la recta real 11.2 Rectas, crculos y parbolas 91.3 Funciones y sus grficas 191.4 Identificacin de funciones: modelos matemticos 281.5 Combinacin de funciones; traslaciones y cambio de escala en grficas 381.6 Funciones trigonomtricas 481.7 Graficacin con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68EJERCICIOS DE PRCTICA 69EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Lmites y continuidad 732.1 Razn de cambio y lmites 732.2 Clculo de lmites mediante las leyes de los lmites 842.3 La definicin formal de lmite 912.4 Lmites laterales y lmites al infinito 1022.5 Lmites infinitos y asntotas verticales 1152.6 Continuidad 1242.7 Tangentes y derivadas 134


3 Derivadas 1473.1 La derivada como una funcin 1473.2 Reglas de diferenciacin 159

iii

3.3 La derivada como razn de cambio 1713.4 Derivadas de funciones trigonomtricas 1833.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramtricas 1903.6 Diferenciacin implcita 2053.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 2133.8 Linealizacin y diferenciales 221


4 Aplicaciones de las derivadas 2444.1 Valores extremos de una ecuacin 2444.2 El teorema del valor medio 2554.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 2624.4 Concavidad y trazado de curvas 2674.5 Problemas de optimizacin aplicados 2784.6 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 2924.7 El mtodo de Newton 2994.8 Antiderivadas 307


5 Integracin 3255.1 Estimacin con sumas finitas 3255.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 3355.3 La integral definida 3435.4 El teorema fundamental del clculo 3565.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitucin 3685.6 Sustitucin y reas entre curvas 376


6 Aplicaciones de las integrales definidas 3966.1 Clculo de volmenes por secciones transversales y por rotacin

alrededor de un eje 3966.2 Clculo de volmenes por medio de casquillos cilndricos 4096.3 Longitudes de curvas planas 4166.4 Momentos y centro de masa 4246.5 reas de superficies de revolucin y el teorema de Pappus 4366.6 Trabajo 4476.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

iv Contenido


7 Funciones trascendentes 4667.1 Funciones inversas y sus derivadas 4667.2 Logaritmos naturales 4767.3 La funcin exponencial 4867.4 y log 4957.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 5027.6 Razones de crecimiento relativas 5117.7 Funciones trigonomtricas inversas 5177.8 Funciones hiperblicas 535


8 Tcnicas de integracin 5538.1 Frmulas bsicas de integracin 5538.2 Integracin por partes 5618.3 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 5708.4 Integrales trigonomtricas 5818.5 Sustituciones trigonomtricas 5868.6 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 5938.7 Integracin numrica 6038.8 Integrales impropias 619


9 Aplicaciones adicionales de integracin 6429.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 6429.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 6509.3 Mtodo de Euler 6599.4 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 6659.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673


a xax

Contenido v

Volumen II

10 Secciones cnicas y coordenadas polares 68510.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 68510.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad 69710.3 Ecuaciones cuadrticas y rotaciones 70210.4 Cnicas y ecuaciones paramtricas; la cicloide 70910.5 Coordenadas polares 71410.6 Grficas en coordenadas polares 71910.7 reas y longitudes en coordenadas polares 72510.8 Secciones cnicas en coordenadas polares 732


11 Sucesiones y series infinitas 74611.1 Sucesiones 74711.2 Series infinitas 76111.3 Criterio de la integral 77211.4 Pruebas de comparacin 77711.5 Pruebas de la raz y de la razn 78111.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 78711.7 Series de potencias 79411.8 Series de Taylor y de Maclaurin 80511.9 Convergencia de series de Taylor; estimacin de errores 81111.10 Aplicaciones de las series de potencias 82211.11 Series de Fourier 833


12 Los vectores y la geometra del espacio 84812.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 84812.2 Vectores 85312.3 El producto punto 86212.4 El producto cruz 87312.5 Rectas y planos en el espacio 88012.6 Cilindros y superficies cudricas 889


vi Contenido

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 90613.1 Funciones vectoriales 90613.2 Cmo modelar el movimiento de un proyectil 92013.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 93113.4 Curvatura y el vector unitario normal N 93613.5 Torsin y el vector unitario binormal B 94313.6 Movimiento de planetas y satlites 950


14 Derivadas parciales 96514.1 Funciones de varias variables 96514.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 97614.3 Derivadas parciales 98414.4 Regla de la cadena 99614.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 100514.6 Planos tangentes y diferenciales 101514.7 Valores extremos y puntos de silla 102714.8 Multiplicadores de Lagrange 103814.9 Derivadas parciales con variables restringidas 104914.10 Frmula de Taylor para dos variables 1054


15 Integrales Mltiples 106715.1 Integrales dobles 106715.2 rea, momentos y centros de masa 108115.3 Integrales dobles en forma polar 109215.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 109815.5 Masas y momentos en tres dimensiones 110915.6 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 111415.7 Sustitucin en integrales mltiples 1128


Contenido vii

16 Integracin en Campos Vectoriales 114316.1 Integrales de lnea 114316.2 Campos vectoriales, trabajo, circulacin y flujo 114916.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 116016.4 Teorema de Green en el plano 116916.5 rea de superficies e integrales de superficie 118216.6 Superficies parametrizadas 119216.7 Teorema de Stokes 120116.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 1211


Apndices AP-1

A.1 Induccin matemtica AP-1A.2 Demostracin de los teoremas de lmites AP-4A.3 Lmites que aparecen comnmente AP-7A.4 Teora de los nmeros reales AP-9A.5 Nmeros complejos AP-12A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23A.8 El rea de la proyeccin de un paralelogramo en un plano AP-28A.9 Frmulas bsicas de lgebra, geometra y trigonometra AP-29

Respuestas R-1

ndice I-1

Breve tabla de integrales T-1

Crditos C-1

viii Contenido

PREFACIO

INTRODUCCIN Al preparar la undcima edicin de Clculo de Thomas, hemos queridomantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas.Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores caractersticas de las edicionesclsicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estndares en mente, hemos reconstruidolos ejercicios y aclarado algunos temas de difcil comprensin. De acuerdo con el autor,George Thomas, hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisin como hasido posible. Adems, hemos restablecido los contenidos para que sean ms lgicos ycongruentes con los programas de estudio de mayor difusin. Al revisar esta labor en re-trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudadoa crear un texto de clculo til y atractivo para la siguiente generacin de ingenieros ycientficos.

En su undcima edicin, el texto no slo presenta a los estudiantes los mtodos y lasaplicaciones del clculo, sino que plantea tambin una manera de pensar totalmente mate-mtica. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revelala teora en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicacinde ideas matemticas. El clculo tiene gran relacin con muchos de los paradigmas clave delas matemticas, y establece los fundamentos reales para la reflexin precisa y lgica entorno de temas fsicos y matemticos. Nuestro propsito se centra en ayudar a los estu-diantes a alcanzar la madurez matemtica necesaria para dominar el material y aplicar susconocimientos de manera ntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensin de loanalizado en las pginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creacinvalga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarn bien instruidos enel lenguaje matemtico que se necesita para aplicar los conceptos de clculo a numerosassituaciones de ciencias e ingeniera. Tambin estarn preparados para tomar cursos deecuaciones diferenciales, lgebra lineal o clculo avanzado.

Cambios en la undcima edicin

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje delclculo. En esta edicin hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecan en versionesanteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero losproblemas computacionales para luego abordar los relativos a la teora y las aplicaciones.Esta disposicin permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los m-todos del clculo y adquieran una comprensin ms profunda de sus aplicaciones en elmarco de una estructura matemtica coherente.

ix

RIGOR En comparacin con las ediciones anteriores, en esta versin el contenido del tex-to es ms riguroso y consistente. En l se brindan anlisis formales e informales, haciendouna clara distincin entre ambos; adems, se incluyen definiciones precisas y demostracio-nes accesibles para los estudiantes. Este texto est organizado de manera que el materialpueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, apesar de que no se prueba que una funcin continua en un intervalo cerrado y acotado tieneun mximo ah, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobarvarios resultados subsecuentes. Ms an, el captulo de lmites ha sido reorganizado demanera sustancial, haciendo hincapi tanto en su claridad como en su precisin. Como enlas ediciones anteriores, el concepto de lmite se basa en la importante idea de obtener lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos puesto especial atencin a las su-gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Clculo deThomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los captulos.

TOMO I Preliminares Hemos reescrito el captulo 1, de manera que proporcione una breve

revisin de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podran optar porobviar este captulo, su estudio permite a alumnos un fcil repaso de conocimientospara que unifiquen notaciones. Tambin contiene material til que muchos estudian-tes podran desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente enlas calculadoras o computadoras para construir la grfica de una funcin.

Lmites En el captulo 2 se incluyen las definiciones epsiln-delta, las demostra-ciones de muchos teoremas, as como lmites en el infinito y lmites infinitos (y susrelaciones con las asntotas de una grfica).

Antiderivadas En los captulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicacionesms importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-blecen las bases para la integracin.

Integracin Despus de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el captulo 5introducimos la integral definida en la forma tradicional del rea debajo de la curva.Continuamos con el anlisis del teorema fundamental del clculo, relacionando de-rivadas y antiderivadas, y con la presentacin de la integral indefinida, junto con laregla de sustitucin para integracin. Luego proseguimos con el captulo tradicionalde aplicaciones de las integrales definidas.

Tcnicas de integracin En el captulo 8 se presentan las principales tcnicas deintegracin, incluyendo integracin numrica. Despus se ofrece una introduccin alas funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y lafuncin exponencial como su inversa.

Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuacionesdiferenciales bsicas ahora est organizado solamente en el captulo 9. Esta disposi-cin permite que los profesores encuentren la flexibilidad idnea para cubrir los te-mas correspondientes.

TOMO II

Cnicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el captulo 10 ha sido total-mente reescrito. Por otro lado, este captulo completa el material de ecuaciones param-tricas, dando las parametrizaciones para las parbolas, las hiprbolas y las cicloides.

Series En comparacin con ediciones anteriores, en el captulo 11 hemos desarro-llado de manera ms completa los criterios de convergencia para series. Tambin in-cluimos, al final del captulo, una breve seccin para presentar las series de Fourier(cuyo estudio puede omitirse, segn convenga).

x Prefacio

Vectores Para evitar la repeticin de los conceptos algebraicos y geomtricos fun-damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensionesen un solo captulo, el 12. A esta presentacin le sigue el captulo de funciones devalores vectoriales en el plano y en el espacio.

Los nmeros reales Hemos escrito un nuevo apndice para analizar brevementela teora de los nmeros reales y su aplicacin en el clculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de granimportancia en el aprendizaje del clculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras deeste libro, buscando mayor claridad en la relacin entre stas y los conceptos a que hacenreferencia. Esto resulta especialmente evidente en las grficas tridimensionales, en las quepodemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotacin (vea las figuras siguientes).

y

x

0a

xb

y R(x)

y r(x)

0

x

y y

0

x

(x, R(x))

(x, r(x))

Arandela

xx

4

1

0

2

y

y

x

x

2y , y

2yx

2yx

2yR(y)

2yR(y)

0

1

4

y

2

(a)

(b)

y

Prefacio xi

FIGURA 6.13, pgina 403Las secciones transversalesdel slido de rotacingenerado aqu son arandelas,no discos.

FIGURA 6.11, pgina 402Determinacin del volumen del slidogenerado al hacer girar la regin (a)alrededor del eje y.

Otras caractersticas

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que apare-cen despus de cada seccin, los captulos terminan con preguntas de repaso, ejerciciosprcticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales yavanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayorenvergadura. Asimismo, casi todos los captulos incluyen la descripcin de varios proyectospara que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos mslargos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TERICO Los ejercicios de desarrollo terico que aparecena lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedadde conceptos y aplicaciones del clculo. Adems, al final de cada captulo se halla una lis-ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos deestos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido terico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando esadecuado; la correccin de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidadoen afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemtico. Cadadefinicin, teorema, corolario y demostracin han sido revisados para garantizar su clari-dad y exactitud matemtica.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-ca ser fcil de leer, interactivo y matemticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordadocon claridad, ilustrado con ejemplos de fcil comprensin y reforzado con aplicaciones aproblemas reales que involucran el clculo en ciencias e ingeniera, y que resultan de inte-rs para los estudiantes. Estos problemas de aplicacin se han actualizado, mejorado y am-pliado a lo largo de las ltimas ediciones.

TECNOLOGA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnolgicasdel clculo, a partir de la dcima edicin esto resulta menos evidente dentro de los captu-los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fcilmente la tecnologa segn lospropsitos del profesor. Para ello, cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso dela tecnologa, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolucin. Con el texto EXPLORACIN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemtico (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en lnea (en ingls)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOSMaple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State UniversityMathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State UniversityStanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth CollegeTI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrecegua detallada para la integracin de un paquete de software o una calculadora graficadoraa lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

T

xii Prefacio

COURSECOMPASSCourseCompass es una plataforma para cursos en lnea que Pearson Educacin ofrece demanera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL,el sistema de tutoriales, tareas y evaluacin en lnea de Addison Wesley. MyMathLab pro-porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, as como ejerciciosgenerados algortmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos puedenutilizar tambin herramientas en lnea, como clases en vdeo, animaciones, una versinelectrnica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensin ydesempeo. Adems, los estudiantes pueden responder exmenes por captulo y obtenerun plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesorespueden emplear los administradores de tareas y exmenes que proporciona CourseCom-pass para seleccionar y asignar ejercicios en lnea relacionados directamente con el libro,as como importar exmenes de TestGen para obtener ms flexibilidad. El libro de notasde MyMathLab diseado especficamente para matemticas y estadstica lleva unregistro automtico de las tareas y los resultados de los exmenes de los alumnos, y dacontrol al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass est disponiblepara quienes adopten el libro. Para obtener ms informacin, visite nuestro sitio Web enwww.coursecompass.com, o pida una demostracin del producto al representante de ven-tas de Pearson Educacin que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTERTestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exmenes medianteun banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear mltiplesversiones de la misma pregunta o del mismo examen con slo hacer clic en un botn. Losmaestros pueden tambin modificar las preguntas del banco de exmenes o agregar nuevosreactivos utilizando adems el editor integrado para crear o importar grficas, insertarnotacin matemtica, nmeros variables o texto. Los exmenes pueden imprimirse o dis-tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass oBlackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebasen una red de rea local. El software est disponible en un CD-ROM para las plataformasWindows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomasEl sitio Web del libro Clculo de Thomas proporciona al alumno biografas ms ampliasde los personajes histricos referidos en el libro, as como artculos relacionados. Asimis-mo, pone a su disposicin un conjunto de mdulos de Maple y Mathematica que puedeutilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio tambin ofrece al profesor unvnculo hacia el sitio de descarga de materiales (en ingls) de este libro.

Agradecimientos

Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edicin.

Editores de desarrollo CorrectoresElka Block William ArdisDavid Chelton Karl KattcheeFrank Purcell Douglas B. Meade

Robert PierceFrank PurcellMarie VaniskoThomas Wegleitner

Prefacio xiii

xiv Prefacio

Jefatura de revisinHarry Allen, Ohio State UniversityRebecca Goldin, George Mason UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyDominic Naughton, Purdue UniversityMaria Terrell, Cornell UniversityClifford Weil, Michigan State University

Revisin tcnicaRobert Anderson, University of WisconsinMilwaukeeCharles Ashley, Villanova UniversityDavid Bachman, California Polytechnic State UniversityElizabeth Bator, University of North TexasWilliam Bogley, Oregon State UniversityKaddour Boukaabar, California University of

PennsylvaniaDeborah Brandon, Carnegie Mellon UniversityMark Bridger, Northeastern UniversitySean Cleary, The City College of New YorkEdward Crotty, University of PennsylvaniaMark Davidson, Louisiana State UniversityRichard Davitt, University of LouisvilleElias Deeba, University of Houston, Downtown CampusAnne Dougherty, University of ColoradoRafael Espericueta, Bakersfield CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityWilliam Fitzgibbon, University of HoustonCarol Flakus, Lower Columbia CollegeTim Flood, Pittsburg State UniversityRobert Gardner, East Tennessee State UniversityJohn Gilbert, The University of Texas at AustinMark Hanish, Calvin CollegeZahid Hasan, California State University, San BernardinoJo W. Heath, Auburn UniversityKen Holladay, University of New OrleansHugh Howards, Wake Forest UniversityDwanye Jennings, Union UniversityMatthias Kawaski, Arizona State UniversityBill Kincaid, Wilmington CollegeMark M. Maxwell, Robert Morris UniversityJack Mealy, Austin CollegeRichard Mercer, Wright State UniversityVictor Nestor, Pennsylvania State UniversityMichael OLeary, Towson UniversityBogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union UniversityFerinand Rivera, San Jose State UniversityMohammed Saleem, San Jose State UniversityTatiana Shubin, San Jose State UniversityAlex Smith, University of Wisconsin-Eau ClaireDonald Solomon, University of Wisconsin-MilwaukeeChia Chi Tung, Minnesota State UniversityWilliam L. VanAlstine, Aiken Technology CollegeBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts at Boston

Participantes en encuestasOmar Adawi, Parkland CollegeSiham Alfred, Raritan Valley Community CollegeDonna J. Bailey, Truman State UniversityRajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State UniversityRobert C. Brigham, University of Central Florida (retired)Thomas A. Carnevale, Valdosta State UniversityLenny Chastkofsky, The University of GeorgiaRichard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-

nical CollegeLloyd Davis, College of San MateoWill-Matthis Dunn III, Montgomery CollegeGeorge F. Feissner, SUNY College at CortlandBruno Harris, Brown UniversityCeleste Hernandez, Richland CollegeWei-Min Huang, Lehigh UniversityHerbert E. Kasube, Bradley UniversityFrederick W. Keene, Pasadena City CollegeMichael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-

geRobert Levine, Community College of Allegheny County,

Boyce CampusJohn Martin, Santa Rosa Junior CollegeMichael Scott McClendon, University of Central Okla-

homaChing-Tsuan Pan, Northern Illinois UniversityEmma Previato, Boston UniversityS.S. Ravindran, University of AlabamaDan Rothe, Alpena Community CollegeJohn T. Saccoman, Seton Hall UniversityMansour Samimi, Winston-Salem State UniversityNed W. Schillow, Lehigh Carbon Community CollegeW.R. Schrank, Angelina CollegeMark R. Woodard, Furman University

Agradecemos a todos los profesores que hansido leales usuarios y han impartido la materiade Clculo en los pases de habla hispana conel apoyo del reconocido libro de Thomas. Susvaliosos comentarios han servido para enri-quecer el desarrollo de la actual edicin. Espe-ramos que con el uso de este texto cumplan sa-tisfactoriamente los objetivos del programa delcurso y preparen a sus alumnos para enfrentarlos retos actuales dentro del mbito de las Ma-temticas. En especial deseamos agradecer elapoyo y retroalimentacin que nos han dadolos siguientes profesores:

COLOMBIA

Escuela Colombiana de Ingeniera JulioGaravito

Ana Alicia Guzmn Benjamn Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elas Velosa Carlos Abel lvarezCarlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Trivio Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzn Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Ins Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueas Isabel Carlota Lpez Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Prez Jorge Bateman Jos Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Daz Margarita Mnica Rey Mara Consuelo Corts Mara Viviana Bernal Nstor Ral Pachn Olga Maritza Camacho scar Antonio Pulido scar Daro Zrate

Rafael Guzmn Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutirrez Vctor Ardila William Estrada

Fundacin del rea Andina Mario Duarte Rosario Granados

INPAHU Edgar Borras

Pontificia Universidad JaverianaAbrahan Jimnez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy HerreraEduardo Estrada Fabio Molina Fernando Surez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Hctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael Garca Ivn Castro Jess Fernando Novoa Jos Humberto Serrano Jos Severino Nio Juan Carlos Quintero Julio Csar Melo Lennin Reyes Liliana ngelLiliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Meja Luz Marina Moya Luz Mary Ariza Mara C. Rodrguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde PezNelson Urrego Nicols Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno

Universidad Antonio NarioOrlando Vanegas

Universidad AutnomaGladys Villamarn Marco Tulio Milln

Universidad Catlica de ColombiaAna Mercedes Mrquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzn Felipe Lara Gerardo Ardila Germn Beltrn Javier Manotas Libardo Ortegn Lorenzo Zubieta Miguel ngel Martnez Rgulo Miguel Hernndez Rubn Daro Castaeda

Universidad de AmricaEdgar Rodrguez Hctor Lozano Jaime Bolaos Margarita Ruiz

Universidad de la Sabana Hctor Lpez Mara Lilia Perilla

Universidad de San BuenaventuraElmer VillegasHernn Pineda Patricia Mateus Wilson Soto

Universidad de San Martn Jaime Preciado

Universidad del BosqueLibardo Munevar

Universidad Distrital Francisco Jos deCaldas

Abrahan Jimnez Adrin Ricardo Gmez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodrguez Janeth Galeano Jos Mara Pino Jos Villada Luis Martn Mara Astrid Cuida Mara del Pilar BohrquezNayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz

Universidad INCCA de Colombia Jorge Elicer Rodrguez

Agradecimientos a los profesores

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramrez Felipe A. Riao Jos Farid Patio Luis Antonio Meza

Universidad Nacional Hctor Useche Herbert Dueas

Universidad Piloto Carlos Garzn William Arley Rincn

Universidad Santo Toms Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzn

GUATEMALA

Universidad de San Carlos Arturo Samayoa

MXICO

Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico(ITAM)

Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gmez Wulschner Lorena Zogaib Mara del Carmen Lpez Laiseca

Unidad Profesional Interdisciplinaria deIngeniera y Tecnologas Avanzadas

Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros

Universidad Anhuac del Sur Vicente Rivera

Universidad Iberoamericana Humberto Mondragn Surez

Universidad La Salle Gustavo Velzquez Garduo

Instituto Tecnolgico de Estudios Superioresde Ecatepec

Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramrez Dmaso

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Estado deMxico

Faustino Yescas Martnez Rubn Daro Santiago Acosta

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Toluca

Jos Arturo Tar Ortiz Peralta

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Sinaloa

Jos Benigno Valdez Torres

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campusGuadalajara

Abel Vzquez Prez Abelardo Ernesto Damy Sols Guillermo Rodrguez Lpez Humberto Hiplito Garca Daz Jess Cuauhtmoc Ruvalcaba lvarez Luis Eduardo Falcn Morales Luz Mara Gonzlez Urea Mara Elisa Barrn Garca

Instituto Tecnolgico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Len

Enrique Garibay Ruiz

Instituto Tecnolgico de Estudios Superioresde Occidente (ITESO), Guadalajara

Csar Espinosa Abundis Enrique Rodrguez Ruiz Hctor Vidaurri Aguirre Roberto Nez Malherbe

Centro de Enseanza Tcnica Industrial,Guadalajara

Michael Vollger Zaepfel

Universidad de GuadalajaraFrancisco Javier Gonzlez Pia Guadalupe Isabel Rodrguez Medina Jorge Mario Arellano Hernndez Jos de Jess Uribe Madrigal Luca Gonzlez Rendn Mara de Lourdes Martnez Silva Mara Esther Meja Marn Toms Ignacio Villaseor Saavedra

Universidad Autnoma de Nuevo LenAlejandro Garca Garca Anglica Tovar Gmez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cant Mara Magdalena de la Rosa Resndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo

Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodrguez Escamilla Ma. Teresa Narvez Flores Neyda Eliza Lpez Leal

Universidad Autnoma de San Luis Potos Jos Csar Hernndez Garca Mara Guadalupe Silva Esparza

Universidad Autnoma de TamaulipasRamiro Garza Molina

Instituto Tecnolgico de Veracruz Mario Martnez Cano

Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel Garca Ortiz

PER

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Agustn Curo

REPBLICA DOMINICANA

Instituto Tecnolgico de Santo DomingoCoride Prez Mximo A. Campuzano

Pontificia Universidad Catlica Madre yMaestra

Masako Saito

Universidad Autnoma de Santo DomingoCarlos Feliz Snchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez

Universidad Apec Justo Bez

Universidad Catlica Tecnolgica del Cibao Cristian Mercedes Cruz

Universidad Iberoamericana Mximo Santana

VENEZUELA

Universidad Central de Venezuela Mara de Armas Martha Zerpa

Universidad MetropolitanaAntonio Syers Lida Nio

Universidad Simn BolvarMara Rosa Brito

Universidad del Zulia Daniel Duque

xvi Agradecimientos a los profesores

INTRODUCCIN En este captulo daremos la definicin geomtrica de las parbolas, laselipses y las hiprbolas y deduciremos la forma cannica de sus ecuaciones. Estas curvasse llaman secciones cnicas, o simplemente cnicas, y modelan, por ejemplo, las trayecto-rias recorridas por los planetas, satlites y otros cuerpos cuyos movimientos estn regidospor fuerzas del tipo cuadrado inverso. En el captulo 13 veremos que, una vez que sabe-mos que la trayectoria de un cuerpo en movimiento es una curva cnica, tenemos de inme-diato la informacin sobre la velocidad del cuerpo y las fuerzas que lo impulsan. El movi-miento planetario se describe mejor con la ayuda de coordenadas polares, por lo quetambin analizaremos curvas, derivadas e integrales en este nuevo sistema de coordenadas.

685

SECCIONES CNICAS YCOORDENADAS POLARES

C a p t u l o

10

Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas

En el captulo 1 definimos un crculo (o circunferencia) como el conjunto de puntos enun plano cuya distancia (el radio)a un punto fijo, llamado centro, es constante. Si el centroes (h, k) y el radio es a, la forma cannica para la ecuacin de la circunferencia es

ste es un ejemplo de una seccin cnica, es decir, de unacurva que se forman al cortar un cono doble con un plano (figura 10.1); de aqu el nombrede seccin cnica.

A continuacin describimos parbolas, elipses e hiprbolas como las grficas deecuaciones cuadrticas en el plano coordenado.

Parbolas

sx - hd2 + s y - kd2 = a2 .

10.1

DEFINICIONES Parbola, foco, directrizUn conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de unpunto fijo dado y de una recta fija dada en el plano es una parbola. El puntofijo es el foco de la parbola. La recta fija es la directriz.

Si el foco F est en la directriz L, la parbola es la recta que pasa por F y es perpen-dicular a L. Esto se considera un caso degenerado, por lo que de aqu en adelante supon-dremos que F no est en L.

La ecuacin ms sencilla para una parbola se obtiene cuando su foco se encuentra enuno de los ejes y su directriz es perpendicular a ste. Suponga que el foco est en el puntoF(0, p) en la parte positiva del eje y y que la directriz es la recta (figura 10.2). Eny = -p

un punto P(x, y) est en la parbola si y slo si PF = PQ. De la frmula de la distancia,

Cuando igualamos estas expresiones, elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos

(1)

Estas ecuaciones revelan la simetra de la parbola con respecto al eje y. Al eje y lo llama-mos eje de la parbola (una forma abreviada de eje de simetra).

El punto en donde la parbola cruza su eje es el vrtice. El vrtice de la parbolaest en el origen (figura 10.2). El nmero positivo p es la distancia focal de la

parbola.x2 = 4py

y = x2

4p o x2 = 4py .

PQ = 2sx - xd2 + ( y - s -pdd2 = 2s y + pd2 . PF = 2sx - 0d2 + s y - pd2 = 2x2 + s y - pd2

686 Captulo 10: Secciones cnicas y coordenadas polares

Circunferencia: plano perpendicular al eje del cono

Elipse: plano oblicuo al eje del cono

Punto: el plano pasa slo por el vrtice del cono

Una recta: el plano es tangente al cono

Par de rectas que se intersecan

Parbola: plano paralelo al lado del cono

Hiprbola: el plano corta las dos mitades del cono

(a)

(b)

FIGURA 10.1 Las secciones cnicas estndar (a) son las curvas en las que un plano corta un cono doble. Las hiprbolas constan dedos partes, llamadas ramas. El punto y las rectas que se obtienen al hacer pasar el plano por el vrtice del cono (b) son secciones cni-cas degeneradas.

Directriz: y p

El vrtice se encuentra a la mitad de la distancia entre la directriz y el foco.

Q(x, p)

P(x, y)

F(0, p)Foco

p

p

x2 4py

L

x

y

FIGURA 10.2 Forma cannica de la par-bola x2 = 4py, p 7 0.

Forma cannica

Si la parbola abre hacia abajo, con foco en y con directriz la recta en-tonces las ecuaciones correspondientes a (1) son

(figura 10.3). Obtenemos ecuaciones similares para parbolas que abren hacia la derechao hacia la izquierda (figura 10.4 y tabla 10.1).

y = - x2

4p y x2 = -4py

y = p ,s0, -pd

10.1 Secciones cnicas y ecuaciones cuadrticas 687

x

y

Directriz: y p

Vrtice en el origen

Foco (0, p)x2 4py

FIGURA 10.3 La parbolax2 = -4py, p 7 0.

Vrtice

Directrizx p

0

Foco

F(p, 0)

y2 4px

x

y

(a)

Directrizx p

0

Foco

F(p, 0)

y2 4px

Vrtice

x

y

(b)

FIGURA 10.4 La parbola (b) La parbola y2 = -4px .y2 = 4px .

TABLA 10.1 Ecuaciones en forma cannica para parbolas con vrtice en el origen

Ecuacin Foco Directriz Eje Abre hacia

(0, p) eje y arriba

eje y abajo

( p, 0) eje x derecha

eje x izquierda x = ps -p, 0dy2 = -4pxx = -py2 = 4pxy = ps0, -pdx2 = -4pyy = -px2 = 4py

sp 7 0d

EJEMPLO 1 Determinar el foco y la directriz de la parbola

Solucin Determinamos el valor de p en la ecuacin estndar

Luego determinamos el foco y la directriz para este valor de p:

Directriz: x = -p o x = - 52

.

Foco: s p, 0d = a52

, 0b

4p = 10, de modo que p = 104

= 52

.

y2 = 4px :

y2 = 10x .

Si los focos estn en y (figura 10.7) y se denota por2a, las coordenadas de un punto P en la elipse satisfacen la

Para simplificar esta ecuacin, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos alcuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos nuevamente al cuadrado paraobtener,

(2)

Como es mayor que la longitud (la desigualdad del tringulo para eltringulo ), el nmero 2a es mayor que 2c. En consecuencia, , y el nmero

en la ecuacin (2) es positivo.Los pasos algebraicos que conducen a la ecuacin (2) pueden revertirse para

demostrar que cada punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuacin de esta forma, contambin satisface la ecuacin Por lo tanto, un punto est en

la elipse si y slo si sus coordenadas satisfacen la ecuacin (2).S

(3)

entonces y la ecuacin (2) se puede escribir as:

(4)x2

a2+

y2

b2= 1.

a2 - c2 = b2b = 2a2 - c2 ,

PF1 + PF2 = 2a .0 6 c 6 a

a2 - c2a 7 cPF1 F2

F1 F2PF1 + PF2

x2

a2+

y2

a2 - c2= 1.

2sx + cd2 + y2 + 2sx - cd2 + y2 = 2a .PF1 + PF2F2sc, 0dF1s -c, 0d

La manera ms rpida de construir una elipse se basa en esta definicin. Ponga unacuerda, unida por sus extremos, alrededor de dos tachuelas y tense la cuerda con unlpiz en el punto P y mueva el lpiz para trazar una curva cerrada (figura 10.5). La curvaes una elipse, ya que la suma siendo la longitud de la cuerda menos la dis-tancia entre las tachuelas, permanece constante. Los focos de la elipse estn en y F2 .F1

PF1 + PF2 ,

F2 ,F1

F1 F2

P(x, y)


FIGURA 10.5 Una manera de dibujar unaelipse consiste en guiar un lpiz utilizandodos tachuelas y una cuerda atada por susextremos.

DEFINICIONES Eje focal, centro, vrticesLa recta que pasa por los focos de una elipse es su eje focal. El punto que est so-bre el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Los puntos endonde el eje focal y la elipse se cruzan son los vrtices de la elipse (figura 10.6).

Las frmulas para el desplazamiento horizontal y vertical que se comentaron en laseccin 1.5 pueden aplicarse a las ecuaciones de la tabla 10.1 para obtener las ecuacionesde diversas parbolas que estn en otras posiciones (vea los ejercicios 39, 40 y 45 a 48).

Ellipses

Vrtice VrticeFoco FocoCentro

Eje focal

FIGURA 10.6 Puntos en el eje focal deuna elipse.

x

y

Foco Foco

Centro0F1(c, 0)F2(c, 0)

P(x, y)

a

b

FIGURA 10.7 La elipse definida por laecuacin es la grfica dela ecuacin endonde b2 = a2 - c2.

sx2>a2d + s y2>b2d = 1,PF1 + PF2 = 2a

DEFINICIONES Elipse, FocosUna elipse es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fi-jos en el plano tienen una suma constante. Los dos puntos fijos son los focos dela elipse.

La ecuacin (4) muestra que esta elipse es simtrica con respecto al origen y con res-pecto a ambos ejes coordenados. Est dentro del rectngulo acotado por las rectas y La elipse cruza los ejes en los puntos y Las tangentes en es-tos puntos son perpendiculares a los ejes, ya que

es cero si e infinita si El eje mayor de la elipse en la ecuacin (4) es el segmento de recta de longitud 2a

que une los puntos El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b que unelos puntos El propio nmero a es el semieje mayor y el nmero b es el semiejemenor. El nmero c, obtenido a partir de la ecuacin (3) como

es la distancia entre el centro y el foco de la elipse.

EJEMPLO 2 Eje mayor horizontal

La elipse

(5)

(figura 10.8) tiene

EJEMPLO 3 Eje mayor vertical

La elipse

(6)

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuacin (5), tiene su eje mayor vertical en lugarde horizontal (figura 10.9). Con tambin igual a 16 y igual a 9, tenemos

No hay razn para confundirse al analizar las ecuaciones (5) y (6). Basta con que de-terminemos las intersecciones con los ejes coordenados; de esa manera sabemos cul es ladireccin del eje mayor, ya que es el de mayor longitud de los dos ejes. El centro siempreest en el origen y los focos y vrtices estn en el eje mayor.

Centro: s0, 0d .

Vrtices: s0, ;ad = s0, ;4d

Focos: s0, ;cd = A0, ;27 BDistancia entre el centro y el foco: c = 216 - 9 = 27Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3b

2a2

x2

9+

y2

16= 1,

Centro: s0, 0d .

Vrtices: s ;a, 0d = s ;4, 0d

Focos: s ;c, 0d = A ;27, 0 BDistancia entre el centro y el foco: c = 216 - 9 = 27Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3

x2

16+

y2

9= 1

c = 2a2 - b2 ,

s0, ;bd .s ;a, 0d .

y = 0.x = 0

dydx

= - b2x

a2y

s0, ;bd .s ;a, 0dy = ;b .x = ;a


Obtenida de la ecuacin (4)por medio de la derivacinimplcita

x

y

(0, 3)

(0, 3)

Vrtice(4, 0)

Vrtice(4, 0)

Foco Foco

Centro

0(7, 0) (7, 0)

x2

16y2

9 1

FIGURA 10.8 Una elipse con su eje ma-yor horizontal (ejemplo 2).

x

y

(0, 4) Vrtice

(0, 4)Vrtice

Foco

Foco

Centro 0

(3, 0)(3, 0)

(0, 7)

(0, 7)

x2

9y2

16 1

FIGURA 10.9 Una elipse con su eje ma-yor vertical.

Hiprbolas


Si los focos estn en y (figura 10.10) y la diferencia constante es2a, un punto (x, y) est en la hiprbola si y slo si

(7)

Para simplificar esta ecuacin, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos alcuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado para obtener

(8)

Hasta aqu, esta ecuacin se parece a la de la elipse. Pero ahora es negativo, yaque 2a, siendo la diferencia de dos lados del tringulo es menor que 2c, el tercerlado.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuacin (8) se pueden revertir parademostrar que todo punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuacin de esta forma, con

tambin satisfacen la ecuacin (7). Por lo tanto, un punto est en la hiprbolasi y slo si sus coordenadas satisfacen la ecuacin (8).

Si denotamos por b a la raz cuadrada positiva de

(9)

entonces y la ecuacin (8) se escribira en forma compacta as:

(10)x2

a2-

y2

b2= 1.

a2 - c2 = -b2

b = 2c2 - a2 ,c2 - a2 ,

0 6 a 6 c

PF1 F2 ,a2 - c2

x2

a2+

y2

a2 - c2= 1.

2sx + cd2 + y2 - 2sx - cd2 + y2 = ;2a .

F2sc, 0dF1s -c, 0d

x

y

0F1(c, 0) F2(c, 0)

x a x a

P(x, y)

FIGURA 10.10 Las hiprbolas tienen dosramas. Para puntos en la rama de la derecha de la hiprbola que se muestra,

Para puntos en la ramade la izquierda, Entonces hacemos b = 2c2 - a2.

PF2 - PF1 = 2a .PF1 - PF2 = 2a .

DEFINICIONES Hiprbola, focosUna hiprbola es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos pun-tos fijos del plano tienen diferencia constante. Los dos puntos fijos son los focosde la hiprbola.

Ecuaciones en forma cannica para elipses con centro en el origen

En cada caso, a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Vrtices: s0, ;adFocos: s0, ;cdDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 - b2

Focos en el eje x: x2

b2+

y2

a2= 1 sa 7 bd

Vrtices: s ;a, 0dFocos: s ;c, 0dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 - b2

Focos en el eje x: x2

a2+

y2

b2= 1 sa 7 bd

Las diferencias entre la ecuacin (10) y la ecuacin para una elipse (ecuacin 4) son elsigno menos y la nueva relacin

De la ecuacin (9)

Al igual que la elipse, la hiprbola es simtrica con respecto al origen y con respectode los ejes coordenados. Cruza el eje x en los puntos Las tangentes en estos pun-tos son verticales, ya que

es infinita cuando La hiprbola no tiene intercepciones con el eje y; de hecho,ninguna parte de la curva se encuentra entre las rectas y x = a .x = -a

y = 0.

dydx

= b2x

a2y

s ;a, 0d .

c2 = a2 + b2 .


DEFINICIONES Eje focal, centro, vrticesLa recta que pasa por los focos de una hiprbola es el eje focal. El punto que esten el eje focal a la mitad de la distancia entre los focos es el centro de la hipr-bola. Los puntos en donde el eje focal y la hiprbola se cruzan son los vrtices(figura 10.11).

Asntotas y grficas de hiprbolas

Si despejamos y en la ecuacin (10), obtenemos

o, tomando races cuadradas,

Cuando el factor se aproxima a 1, y el factor es domi-nante.As, las rectas

son las dos asntotas de la hiprbola definida por la ecuacin (10). Las asntotas propor-cionan la gua que necesitamos para graficar las hiprbolas. La manera ms rpida paradeterminar las ecuaciones de las asntotas consiste en reemplazar el 1 en la ecuacin (10)por 0 y despejar y en la nueva ecuacin:

x2

a2-

y2

b2= 1 : x

2

a2-

y2

b2= 0 : y = ; ba x.

('')''* ('')''* (')'*

y = ; ba x

; sb>adx21 - a2>x2x : ; q ,y = ; ba x B1 -

a2

x2.

= b2

a2 x2 a1 - a2

x2b

y2 = b2 ax2a2

- 1b

Foco Foco

Centro

Eje focal

Vrtices

FIGURA 10.11 Puntos en el eje focal deuna hiprbola.

Obtenida de la ecuacin (10)por medio de la derivacinimplcita

hiprbola 0 por 1 asntotas

EJEMPLO 4 Focos en el eje x

La ecuacin

(11)

es la ecuacin (10) con y (figura 10.12). Tenemos

EJEMPLO 5 Focos en el eje y

La hiprbola

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuacin (11), tiene sus vrtices en el eje y en lu-gar de tenerlos en el eje x (figura 10.13). Con tambin igual a 4 y igual a 5, tenemos

Centro: (0, 0)

Propiedades reflectoras

Las aplicaciones principales de las parbolas incluyen su uso como reflectores de luz y on-das de radio. Los rayos originados en el foco de la parbola se reflejan hacia afuera de laparbola, en lneas paralelas al eje de la parbola (figura 10.14 y ejercicio 90). An ms, eltiempo que tarda en llegar cualquier rayo del foco a una recta paralela a la directriz de la

Asntotas: y2

4- x

2

5 = 0 o y = ;2

25 x .

Focos: s0, ;cd = s0, ;3d, Vrtices: s0, ;ad = s0, ;2dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3b2a2

y2

4- x

2

5 = 1,

Asntotas: x2

4-

y2

5 = 0 o y = ;252

x .

Centro: s0, 0d

Focos: s ;c, 0d = s ;3, 0d, Vrtices: s ;a, 0d = s ;2, 0dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3b2 = 5a2 = 4

x2

4-

y2

5 = 1


Ecuaciones en forma cannica para hiprbolas con centro en el origen

Observe la diferencia en las ecuaciones de las asntotas (en la primera b a, en la segunda a b).>> Asntotas: x

2

a2-

y2

b2= 0 o y = ; ba x

Vrtices: s ;a, 0d Focos: s ;c, 0d Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2Focos en el eje x: x

2

a2-

y2

b2= 1

x

y

F(3, 0)F(3, 0)

22

y x52

y x52

x2

4y2

5 1

FIGURA 10.12 La hiprbola del ejemplo4 y sus asntotas.

x

y

F(0, 3)

F(0, 3)

y x52 y x

52

y2

4x2

5 1

2

2

FIGURA 10.13 La hiprbola del ejemplo5 y sus asntotas.

Asntotas: y2

a2- x

2

b2= 0 o y = ; a

b x

Vrtices: s0, ;ad Focos: s0, ;cd Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2Focos en el eje y:

y2

a2- x

2

b2= 1


Filamento (punto fuente) en el foco

Luz reflejada paralela al ejeReflector

parablico de luz

FANAL

Reflector parablico de ondas de radio

Las sea

les de rad

io incide

ntes

se concen

tran en e

l foco

RADIOTELESCOPIO

FIGURA 10.14 Reflectores parablicos pueden generar un rayo de luz paralelo al eje de laparbola desde una fuente situada en el foco, o recibir los rayos paralelos al eje y concentrar-los en el foco.

F1 F2

FIGURA 10.15 Un espejo elptico (mos-trado de perfil) refleja la luz de un foco ha-cia el otro.

Hiprbola

FH FP

FE FH

Elipse

Parbola

Espejo primario

FE

FIGURA 10.16 Dibujo esquemtico deun telescopio reflector.

parbola (y por lo tanto perpendicular a su eje) es el mismo para cada uno de los rayos. Es-tas propiedades se utilizan en linternas, faros de automviles, reflectores de proyectores yen antenas de transmisin de microondas.

Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor para generar una superficie (de-nominada elipsoide) y el interior es cromado para producir un espejo, la luz de un focoser reflejada hacia el otro foco (figura 10.15). Los elipsoides reflejan el sonido de lamisma manera y esta propiedad se utiliza para construir galeras de susurros, habitacionesen las que una persona parada en un foco puede escuchar un susurro emitido desde el otrofoco. (El Saln de los Estatutos del Capitolio sede del Congreso de Estados Unidos, enWashington es una galera de susurros).

La luz que se dirige hacia uno de los focos de un espejo hiperblico se refleja hacia elotro foco. Esta propiedad de las hiprbolas se combina con las propiedades reflectoras delas parbolas y las elipses en el diseo de algunos telescopios modernos. En la figura10.16 la luz estelar se refleja en un espejo parablico primario hacia el foco del espejo Luego se refleja, por medio de un pequeo espejo hiperblico cuyo foco es ha-cia el segundo foco de la hiprbola Como este foco es compartido por unaelipse, la luz se refleja por el espejo elptico hacia el segundo foco de la elipse, donde unobservador pueda verla.

FE = FH .FH = FP ,

FP .

EJERCICIOS 10.1

Identificacin de grficasHaga corresponder las parbolas de los ejercicios 1 a 4 con las ecua-ciones siguientes:

Luego determine el foco y la directriz de cada parbola.

1. 2.

x

y

x

y

x2 = 2y, x2 = -6y, y2 = 8x, y2 = -4x .

3. 4.

Haga corresponder cada seccin cnica de los ejercicios 5 a 8 con unade estas ecuaciones:

y2

4- x2 = 1, x2

4-

y2

9= 1.

x2

4+

y2

9= 1, x2

2+ y2 = 1,

x

y

x

y


Despus determine los focos y vrtices de cada seccin cnica. Si laseccin cnica es una hiprbola, determine tambin sus asntotas.

5. 6.

7. 8.

ParbolasEn los ejercicios 9 a 16 se dan ecuaciones de parbolas. Determine elfoco y la directriz de cada parbola. Luego haga un bosquejo de laparbola, incluyendo su foco y directriz.

9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16.

ElipsesEn los ejercicios 17 a 24 se dan ecuaciones de elipses. Ponga cadaecuacin en la forma cannica. Luego haga un bosquejo de la elipse,incluyendo sus focos.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

Los ejercicios 25 y 26 proporcionan informacin acerca de los focos yvrtices de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada casodetermine la ecuacin en la forma cannica a partir de la informacindada.

25. Focos: 26. Focos:

Vrtices: Vrtices:

HiprbolasEn los ejercicios 27 a 34 se dan ecuaciones de hiprbolas. Ponga cadaecuacin en la forma cannica y determine las asntotas de las hipr-bolas. Luego haga un bosquejo de la hiprbola, incluyendo sus asnto-tas y focos.

27. 28. 9x2 - 16y2 = 144x2 - y2 = 1

s0, ;5ds ;2, 0ds0, ;4dA ;22, 0 B

169x2 + 25y2 = 42256x2 + 9y2 = 549x2 + 10y2 = 903x2 + 2y2 = 62x2 + y2 = 42x2 + y2 = 27x2 + 16y2 = 11216x2 + 25y2 = 400

x = 2y2x = -3y2y = -8x2y = 4x2y2 = -2xx2 = -8yx2 = 6yy2 = 12x

x

y

x

y

x

y

x

y

29. 30.

31. 32.

33. 34.

En los ejercicios 35 a 38 se proporciona informacin respecto de losfocos, vrtices y asntotas de hiprbolas con centro en el origen delplano xy. En cada caso, y con base en la informacin dada, determinela ecuacin en forma cannica de la hiprbola.

35. Focos: 36. Focos:

Asntotas: Asntotas:

37. Vrtices: 38. Vrtices:

Asntotas: Asntotas:

Desplazamiento de secciones cnicas39. La parbola se desplaza 2 unidades hacia abajo y

1 unidad a la derecha para generar la parbola

a. Determine el vrtice, el foco y la directriz de la nuevaparbola.

b. Trace los nuevos vrtice, foco y directriz y bosqueje laparbola.

40. La parbola se desplaza 1 unidad hacia la izquierda y 3unidades hacia arriba para generar la parbola

a. Determine el vrtice, foco y directriz de la nueva parbola.

b. Trace los nuevos vrtice, foco y directriz y bosqueje laparbola.

41. La elipse se desplaza 4 unidades hacia laderecha y 3 unidades hacia arriba para generar la elipse

a. Determine los focos, los vrtices y el centro de la nuevaelipse.

b. Trace los nuevos focos, vrtices y bosqueje la elipse.

42. La elipse se desplaza 3 unidades hacia laizquierda y 2 unidades hacia abajo para generar la elipse

a. Determine los focos, los vrtices y el centro de la nuevaelipse.

b. Trace los nuevos focos, vrtices y centro y bosqueje la elipse.

43. La hiprbola se desplaza 2 unidades haciala derecha para generar la hiprbola

a. Determine el centro, los focos, los vrtices y las asntotas dela nueva hiprbola.

sx - 2d2

16-

y2

9= 1.

sx2>16d - sy2>9d = 1

sx + 3d2

9+

sy + 2d2

25= 1.

sx2>9d + sy2>25d = 1

sx - 4d2

16+

s y - 3d2

9= 1.

sx2>16d + s y2>9d = 1

-4sy - 3d .sx + 1d2 =

x2 = -4y

8sx - 1d .s y + 2d2

y2 = 8x

y = ; 12

xy = ; 43

x

s0, ;2ds ;3, 0d

y = ; 123 xy = ;xs ;2, 0dA0, ;22 B

64x2 - 36y2 = 23048y2 - 2x2 = 16

y2 - 3x2 = 38x2 - 2y2 = 16

y2 - x2 = 4y2 - x2 = 8

b. Trace los nuevos centro, focos, vrtices y asntotas y bosquejela hiprbola.

44. La hiprbola se desplaza 2 unidades haciaabajo para generar la hiprbola

a. Determine el centro, los focos, los vrtices y las asntotas dela nueva hiprbola.

b. Trace los nuevos centro, focos, vrtices y asntotas y bosquejela hiprbola.

Los ejercicios 45 a 48 proporcionan ecuaciones para parbolas, e indi-can cuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha ohacia la izquierda se desplaza cada parbola. Determine una ecuacinpara la nueva parbola y determine los nuevos vrtice, foco y direc-triz.

45. izquierda 2, abajo 3 46. derecha 4, arriba 3

47. abajo 7 48. abajo 2

Los ejercicios 49 a 52 proporcionan ecuaciones para elipses, e indicancuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o haciala izquierda se desplaza cada elipse. Determine una ecuacin para lanueva elipse y determine los nuevos focos, vrtices y centro.

49. izquierda 2, abajo 1

50. derecha 3, arriba 4

51. derecha 2, abajo 3


Los ejercicios 53 a 56 proporcionan ecuaciones para hiprbolas, e in-dican cuntas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha ohacia la izquierda se desplaza cada hiprbola. Determine una ecuacinpara la nueva hiprbola y determine los nuevos centro, focos, vrticesy asntotas.



55. izquierda1, abajo 1


Determine el centro, los focos, los vrtices, las asntotas y el radio,cuando corresponda, de las secciones cnicas de los ejercicios 57 a 68.

57.

58.

59. 60.

61. 62.

63. x2 + 2y2 - 2x - 4y = -1

9x2 + 6y2 + 36y = 0x2 + 5y2 + 4x = 1

y2 - 4y - 8x - 12 = 0x2 + 2x + 4y - 3 = 0

2x2 + 2y2 - 28x + 12y + 114 = 0

x2 + 4x + y2 = 12

y2

3- x2 = 1,

y2 - x2 = 1,

x2

16-

y2

9= 1,

x2

4-

y2

5= 1,

x2

16+

y2

25= 1,

x2

3+

y2

2= 1,

x2

2+ y2 = 1,

x2

6+

y2

9= 1,

x2 = 6y, izquierda 3 ,x2 = 8y, derecha 1 ,y2 = -12x,y2 = 4x,

sy + 2d2

4- x

2

5= 1.

s y2>4d - sx2>5d = 164.

65. 66.

67. 68.

DesigualdadesEn los ejercicios 69 a 74, bosqueje las regiones en el plano xy cuyascoordenadas satisfacen las desigualdades o pares de desigualdadesdadas.

69.

70.

71.

72.

73. 74.

Teora y ejemplos75. Frmula de Arqumedes para calcular el volumen de un sli-

do parablico La regin acotada por la parbola y la recta se hace girar alrededor del eje y para generar elslido que se muestra a continuacin. Demuestre que el volumendel slido es 3 2 del volumen del cono correspondiente.

76. Cables de puentes colgantes describen parbolas El cable delpuente colgante que se muestra a continuacin soporta una cargauniforme de w libras por pie horizontal. Puede demostrarse que siH es la tensin horizontal del cable en el origen, la curva del cablesatisface la ecuacin

Para demostrar que el cable cuelga describiendo una parbola, re-suelva esta ecuacin diferencial sujeta a la condicin inicial

cuando

x

y

Puente colgante

0

x = 0.y = 0

dy

dx= w

H x .

h

0b2

y x24hb2

x

y

b2

, h

>y = h

y = s4h>b2dx2

x2 - y2 14y2 - x2 4sx2 + y2 - 4dsx2 + 9y2 - 9d 0x2 + 4y2 4 y 4x2 + 9y2 36x2 + y2 1 y 4x2 + y2 49x2 + 16y2 144

y2 - 4x2 + 16x = 242x2 - y2 + 6y = 3x2 - y2 + 4x - 6y = 6x2 - y2 - 2x + 4y = 4

4x2 + y2 + 8x - 2y = -1


77. Determine la ecuacin para la circunferencia que pasa por lospuntos (1, 0), (0, 1) y (2, 2).

78. Determine la ecuacin para la circunferencia que pasa por lospuntos (2, 3), (3, 2) y

79. Determine la ecuacin para la circunferencia que tiene centro eny que pasa por el punto (1, 3). El punto (1.1, 2.8) se en-

cuentra dentro, fuera o sobre la circunferencia?

80. Determine ecuaciones para las tangentes a la circunferencia (x 2)2 en los puntos donde la circunferencia cruzalos ejes coordenados. (Sugerencia: Utilice derivacin implcita).

81. Si se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenados, de maneraque pasen por un punto P en la parbola laparbola divide la regin rectangular acotada por estas rectas ylos ejes coordenados en dos regiones ms pequeas, A y B.

a. Si las regiones A y B se hacen girar alrededor del eje y,demuestre que generan slidos cuyos volmenes tienen razn4:1.

b. Cul es la razn de los volmenes generados al hacer girarlas regiones alrededor del eje x?

82. Demuestre que las tangentes a la curva desde cualquierpunto en la recta son perpendiculares.

83. Determine las dimensiones del rectngulo con mayor rea quepuede inscribirse en la elipse si sus lados sonparalelos a los ejes coordenados. Cul es el rea del rectngulo?

84. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la reginacotada por la elipse alrededor (a) del eje x, (b)del eje y.

85. La regin triangular en el primer cuadrante, acotada por el ejex, la recta y la hiprbola se hace girar al-rededor del eje x para generar un slido. Determine el volumendel slido.

86. La regin acotada a la izquierda por el eje y, a la derecha por lahiprbola arriba y abajo por las rectas sehace girar alrededor del eje y para generar un slido. Determine elvolumen del slido.

87. Determine el centroide de la regin acotada por abajo por el eje xy por arriba por la elipse

88. La curva que es parte de la ramasuperior de la hiprbola se hace girar alrededor deleje x para generar una superficie. Determine el rea de la super-ficie.

89. Las ondas circulares de la fotografa siguiente se produjeron al to-car la superficie del agua de un tanque, primero en A y luego enB. Conforme las ondas se expanden, sus puntos de interseccin

y2 - x2 = 1,y = 2x2 + 1, 0 x 22,

sx2>9d + s y2>16d = 1.

y = ;3x2 - y2 = 1,

9x2 - 4y2 = 36x = 4,

9x2 + 4y2 = 36

x2 + 4y2 = 4

x = -py2 = 4px

0x

y

A

B

P

y2 kx

y2 = kx, k 7 0,

5+ sy - 1d2 =

s -2, 1d

s -4, 3d .

parecen describir una hiprbola. Realmente es as? Para determi-narlo podemos modelar las ondas con circunferencias con centrosen A y B.

En el instante t, el punto P est a unidades de A y aunidades de B. Como los radios de las circunferencias au-

mentan a razn constante, la velocidad a la que estn viajando lasondas es

Concluya de sta ecuacin que tiene un valor constante,de modo que P debe estar en una hiprbola con focos en A y B.

90. Propiedad reflectora de las parbolas La figura siguientemuestra un punto tpico en la parbola Larecta L es tangente a la parbola en P. El foco de la parbola esten F(p, 0). El rayo y , que se extiende a partir de P hacia la de-recha, es paralelo al eje x. Para comprobar que la luz que va de Fa P se reflejar a lo largo de y , demostramos que es igual a

Establezca esta igualdad realizando los pasos siguientes.

a. Demuestre que

b. Demuestre que

c. Utilice la identidad

para demostrar que

Como y son agudos, implica que b = a .tan b = tan abatan a = 2p>y0 .

tan a =tan f - tan b

1 + tan f tan b

tan f = y0>sx0 - pd .tan b = 2p>y0 .

a .bL

L

y2 = 4px .Psx0 , y0d

rA - rB

drAdt

=drBdt

.

rBstdrA std

A B

rA(t)rB(t)

P(t)


91. Cmo utiliz el astrnomo Kepler una cuerda para dibujarparbolas El mtodo de Kepler para dibujar una parbola (conherramientas ms modernas), requiere de una regla T, de unacuerda con la misma longitud de la regla T y una mesa cuyo bordepueda servir como la directriz de la parbola. Fije un extremo dela cuerda en el punto en donde quiere que est el foco y el otro ex-tremo en la punta superior de la regla T. Despus, manteniendotensa la cuerda contra la regla T con un lpiz, deslice la regla T alo largo del borde de la mesa. El lpiz trazar una parbola a me-dida que la regla T se mueva. Por qu?

Cuerda

FFoco

Directriz

A

P

B

x

y

0 F( p, 0)

P(x0, y0)

L

L'

y0

y2 4px

92. Construccin de una hiprbola Los diagramas siguientes apa-recieron (sin rtulos) en Ernest J. Eckert, Constructions WithoutWords, Mathematics Magazine, vol. 66, nmero 2, abril de 1993,pgina 113. Explique las construcciones determinando las coor-denadas del punto P.

93. Ancho de una parbola en el foco Demuestre que el nmero4p es el ancho de la parbola en el foco, com-probando que la recta corta a la parbola en los puntos queestn separados 4p unidades.

94. Asntotas de Demuestre que la dis-

tancia vertical entre la recta y la mitad superior de

la rama derecha de la hiprbola

tiende a 0, comprobando que

Resultados anlogos se cumplen para las partes restantes de la hi-prbola y las rectas y = ; sb>adx .

lmx: q

aba x - ba2x2 - a2b = ba lmx: q Ax - 2x2 - a2 B = 0.sx2>a2d - s y2>b2d = 1

sx2>a2dy = sb>ad2x2 - a2y = sb>adx

sx2>a2d - s y2>b2d = 1

y = px2 = 4py s p 7 0d

x

y

x

y

O O

A PA

C P

B

D(1, 0) D(1, 0)

1 1

(a) (b)

10.2 Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad 697

Clasificacin de secciones cnicas por su excentricidad

A continuacin demostramos cmo asociar a cada seccin cnica un nmero llamado laexcentricidad de la cnica. La excentricidad revela el tipo de seccin cnica (circunferen-cia, elipse, parbola o hiprbola) y, en el caso de elipses e hiprbolas, describe las pro-porcines generales de la seccin cnica.

Excentricidad

Aunque la distancia entre el centro y el foco, c, no aparece en la ecuacin

de una elipse, an podemos determinar c a partir de la ecuacin Si fija-mos a y variamos c sobre el intervalo las elipses resultantes variarn en forma (figura 10.17). Si , son circunferencias (pues ) y se aplanan cuando caumenta. Si los focos y los vrtices se traslapan y la elipse degenera en un segmen-to de recta.

Utilizamos la razn de c a a para describir las diferentes formas que puede tomar laelipse. A esta razn se le llama excentricidad de la elipse.

c = a ,a = bc = 0

0 c a ,c = 2a2 - b2 .

x2

a2+

y2

b2= 1, sa 7 bd

10.2

Los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol en rbitas (aproximadamente)elpticas, con el Sol en uno de los focos. La mayora de las rbitas son casi circulares, co-mo sealan las excentricidades listadas en la tabla 10.2. Plutn tiene la rbita ms excn-trica, con seguido de Mercurio, con Otros miembros del sistema so-lar tienen rbitas todava ms excntricas. caro, un asteroide de aproximadamente 1 millade ancho que da una vuelta alrededor del sol cada 409 das terrestres, tiene una rbita conexcentricidad de 0.83 (figura 10.18).

EJEMPLO 1 Cometa Halley

La rbita del cometa Halley es una elipse de 36.18 unidades astronmicas (U.A.) de largopor 9.12 U.A. de ancho. (Una unidad astronmica equivale a 149,597,870 km, el semiejemayor de la rbita terrestre). Su excentricidad es

Mientras que una parbola tiene un foco y una directriz, cada elipse tiene dos focos ydos directrices. stas son las rectas perpendiculares al eje mayor a distancias es delcentro. La parbola tiene la propiedad de que

(1)

para cualquier punto P en ella, donde F es el foco y D es el punto ms cercano a P en la di-rectriz. Para una elipse, puede demostrarse que las ecuaciones que reemplazan a la ecua-cin (1) son

(2)

Aqu, e es la excentricidad, P es cualquier punto en la elipse, y son los focos, y y son los puntos en las directrices ms cercanos a P (figura 10.19).En ambas ecuaciones (2) la directriz y el foco deben corresponder; esto es, si utilizamos ladistancia de P a tambin debemos usar la distancia de P a la directriz en el mismo ex-tremo de la elipse. La directriz corresponde a to y la directriz

corresponde a

La excentricidad de una hiprbola tambin es e = c/a, slo que en este caso c es igual

a en lugar de En contraste con la excentricidad de una elipse, la

excentricidad de una hiprbola siempre es mayor que 1.

2a2 - b2 .2a2 + b2F2sc, 0d .x = a>e

F1s -c, 0d ,x = -a>eF1 ,

D2D1F2F1

PF1 = e # PD1, PF2 = e # PD2 .

PF = 1 # PD

;a>e

e = 2a2 - b2a = 2s36.18>2d2 - s9.12>2d2

s1>2ds36.18d =2s18.09d2 - s4.56d2

18.09L 0.97.

e = 0.21.e = 0.25,


DEFINICIN Excentricidad de una elipseLa excentricidad de la elipse es

e = ca =2a2 - b2

a .

sx2>a2d + s y2>b2d = 1 sa 7 bd

TABLA 10.2 Excentricidades delas rbitas plane-tarias

Mercurio 0.21 Saturno 0.06

Venus 0.01 Urano 0.05

Tierra 0.02 Neptuno 0.01

Marte 0.09 Plutn 0.25

Jpiter 0.05

Marte

Tierra

Venus

Sol

Mercurio

caro

FIGURA 10.18 La rbita del asteroidecaro es muy excntrica. La rbita de laTierra es casi circular, a tal grado que susfocos estn dentro del Sol.

BIOGRAFA HISTRICA

Edmund Halley(16561742)

c 0

F1 F2

e 0

c a e 1

F1

F1 F2

F2

c 4a5

e 45

FIGURA 10.17 La elipse cambia de una circunferencia a un segmento de recta cuando caumenta de 0 a a.

En una elipse, los focos estn ms cercanos entre s que los vrtices y la razn es menorque 1. En una hiprbola, los focos estn ms alejados entre s que los vrtices y la razn esmayor que 1.

EJEMPLO 2 Determinacin de los vrtices de una elipse

Localizar los vrtices de una elipse de excentricidad 0.8 cuyos focos estn en los puntos

Solucin Como los vrtices son los puntos , donde

o

EJEMPLO 3 Excentricidad de una hiprbola

Determinar la excentricidad de la hiprbola

Solucin Dividimos ambos lados de la ecuacin de la hiprbola entre 144 para ponerlaen forma cannica, con lo que obtenemos

Con y determinamos que as

Al igual que con la elipse, podemos demostrar que las rectas actan comodirectrices para la hiprbola, y que

(3)

Aqu P es cualquier punto en la hiprbola, y son los focos y y son los puntosms cercanos a P en las directrices (figura 10.20).

Para completar el cuadro, definimos la excentricidad de la parbola como En-tonces, las ecuaciones (1) a (3) tienen la forma comn PF = e # PD .

e = 1.

D2D1F2F1

PF1 = e # PD1 y PF2 = e # PD2 .x = ;a>e

e = ca =54

.

c = 2a2 + b2 = 216 + 9 = 5,b2 = 9,a2 = 169x2

144-

16y2

144= 1 y x2

16-

y2

9= 1.

9x2 - 16y2 = 144.

s0, ;8.75d .

a = ce =7

0.8= 8.75,

s0, ;ade = c>a ,s0, ;7d .

Tanto en la elipse como en la hiprbola, la excentricidad es la razn de la distancia en-tre los focos y la distancia entre los vrtices (ya que ).c>a = 2c>2a


DEFINICIN Excentricidad de una hiprbolaLa excentricidad de la hiprbola es

e = ca =2a2 + b2

a .

sx2>a2d - s y2>b2d = 1

Excentricidad = distancia entre los focosdistancia entre los vrtices

x

yDirectriz 1x ae

Directriz 2x aeb

b

0

ac ae

ae

D1 D2P(x, y)

F1(c, 0) F2(c, 0)

FIGURA 10.19 Focos y directrices de laelipse La directriz 1 corresponde al foco y la directriz 2 al foco F2 .

F1 ,sx2>a2d + s y2>b2d = 1.

Directriz 1x ae

Directriz 2x ae

a

c ae

ae

F1(c, 0) F2(c, 0)

D2D1P(x, y)

x

y

0

FIGURA 10.20 Focos y directrices de lahiprbola Noimporta en donde est P en la hiprbola,

y PF2 = e # PD2 .PF1 = e # PD1

sx2>a2d - sy2>b2d = 1.

La ecuacin foco-directriz unifica la parbola, la elipse y la hiprbolaen el siguiente sentido: suponga que la distancia PF entre un punto P y un punto fijo F(el foco) es un mltiplo constante de su distancia a una recta fija (la directriz). Es decir, suponga que

PF = e # PD


DEFINICIN Excentricidad de una parbolaLa excentricidad de una parbola es e = 1.

(4)PF = e # PD ,

donde e es la constante de proporcionalidad. Entonces, la trayectoria descrita por P es

(a) una parbola si

(b) una elipse de excentricidad e si y

(c) una hiprbola de excentricidad e si

No hay coordenadas en la ecuacin (4), y cuando tratamos de expresarla con coordenadasel resultado vara dependiendo del tamao de e. Al menos esto es lo que sucede en coorde-nadas cartesianas. Sin embargo, como veremos en la seccin 10.8, en coordenadas polaresla ecuacin se traduce en una sola ecuacin sin importar el valor de e, unaecuacin tan sencilla, que es la que han elegido utilizar los astrnomos y cientficos espa-ciales durante casi 300 aos.

Dado el foco y la directriz correspondiente de una hiprbola con centro en el origen ycon foco en el eje x, podemos utilizar las dimensiones que se muestran en la figura 10.20para determinar e. Al conocer e, podemos deducir la ecuacin cartesiana de la hiprbolaa partir de la ecuacin como en el ejemplo siguiente. Podemos determinarlas ecuaciones de elipses con centro en el origen y con focos en el eje x de una manera si-milar, por medio de las dimensiones que se muestran en la figura 10.19.

EJEMPLO 4 Ecuacin cartesiana para una hiprbola

Determinar una ecuacin cartesiana para la hiprbola con centro en el origen, que tiene unfoco en (3, 0) y a la recta como la directriz correspondiente.

Solucin Primero utilizamos las dimensiones que se muestran en la figura 10.20 paradeterminar la excentricidad de la hiprbola. El foco es

La directriz es la recta

Cuando los combinamos con la ecuacin , que define la excentricidad, estos re-sultados dan

e = ca =3e , de modo que e2 = 3 y e = 23.

e = c>ax = ae = 1, as que a = e .

sc, 0d = s3, 0d por lo que c = 3.

x = 1

PF = e # PD ,

PF = e # PD

e 7 1.e 6 1,

e = 1,

Conocida e, ahora podemos deducir la ecuacin que necesitamos con base en la ecua-cin En la notacin de la figura 10.21, tenemos

Ecuacin (4)

x2

3-

y2

6= 1.

2x2 - y2 = 6

x2 - 6x + 9 + y2 = 3sx2 - 2x + 1d

e = 23 2sx - 3d2 + s y - 0d2 = 23 x - 1 PF = e # PD

PF = e # PD .


0 1 F(3, 0)

D(1, y)

P(x, y)

x

x 1

y

x2

3y2

6 1

FIGURA 10.21 Hiprbola y directriz delejemplo 4.

EJERCICIOS 10.2

ElipsesEn los ejercicios 1 a 8, determine la excentricidad de la elipse. Luegodetermine y grafique sus focos y directrices.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 a 12 se dan los focos y las excentricidades de elip-ses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determine laecuacin cannica de la elipse.

9. Focos: 10. Focos:Excentricidad: 0.5 Excentricidad: 0.2

11. Vrtices: 12. Vrtices:Excentricidad: 0.1 Excentricidad: 0.24

Los ejercicios 13 a 16 dan los focos y las directrices correspondientesde elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, utilicelas dimensiones en la figura 10.19 para determinar la excentricidad dela elipse. Luego determine la ecuacin en forma cannica de la elipse.

13. Foco: 14. Foco: (4, 0)

Directriz: Directriz:

15. Foco: 16. Foco:


17. Dibuje una elipse de excentricidad 4 5. Explique el procedimien-to que utiliz.

18. Dibuje a escala la rbita de Plutn (excentricidad 0.25). Expliqueel procedimiento que utiliz.

19. Los puntos extremos de los ejes mayor y menor de una elipse son(1, 1), (3, 4), (1, 7) y Haga un bosquejo de la elipse, pro-porcione su ecuacin en forma cannica, y determine sus focos,excentricidad y directrices.

s -1, 4d .

>x = -222x = -16

A -22, 0 Bs -4, 0dx = 16

3x = 925

A25, 0 B

s ;10, 0ds0, ;70d

s ;8, 0ds0, ;3d

169x2 + 25y2 = 42256x2 + 9y2 = 54

9x2 + 10y2 = 903x2 + 2y2 = 6

2x2 + y2 = 42x2 + y2 = 2

7x2 + 16y2 = 11216x2 + 25y2 = 400

20. Determine una ecuacin para la elipse de excentricidad 2 3 quetiene la recta como una directriz y el punto (4, 0) como elfoco correspondiente.

21. Qu valores de las constantes a, b y c hacen que la elipse

sea tangente al eje x en el origen y pase por el punto Cul es la excentricidad de la elipse?

22. Propiedades reflectoras de las elipses Una elipse se hace gi-rar alrededor de su eje mayor para generar un elipsoide. La super-ficie interna del elipsoide se croma para fabricar un espejo. De-muestre que un rayo de luz que sale de un foco se reflejar haciael otro foco. Las ondas de sonido tambin siguen estas trayecto-rias y esta propiedad se utiliza en la construccin de galeras desusurros. (Sugerencia: Coloque la elipse en posicin estndar enel plano xy y demuestre que las lneas que van del punto P en laelipse a los dos focos, forman ngulos congruentes con la tan-gente a la elipse en P).

HiprbolasEn los ejercicios 23 a 30, determine la excentricidad de la hiprbola.Luego determine y grafique los focos y directrices de la hiprbola.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 34 se dan las excentricidades y los vrtices o losfocos de hiprbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso,determine la ecuacin en forma cannica de la hiprbola.

31. Excentricidad: 3 32. Excentricidad: 2Vrtices: Vrtices:

33. Excentricidad: 3 34. Excentricidad: 1.25Focos: Focos: s0, ;5ds ;3, 0d

s ;2, 0ds0, ;1d

64x2 - 36y2 = 23048y2 - 2x2 = 16y2 - 3x2 = 38x2 - 2y2 = 16y2 - x2 = 4y2 - x2 = 89x2 - 16y2 = 144x2 - y2 = 1

s -1, 2d?

4x2 + y2 + ax + by + c = 0

x = 9>

En los ejercicios 35 a 38 se dan los focos y las directrices correspon-dientes de hiprbolas con centro en el origen del plano xy. En cada ca-so, determine la excentricidad de la elipse. Luego determine la ecua-cin en forma cannica de la hiprbola.

35. Foco: (4, 0) 36. Foco:


37. Foco: 38. Foco:


39. Una hiprbola de excentricidad 3 2 tiene un foco en Ladirectriz correspondiente es la recta Determine una ecua-cin para la hiprbola.

40. El efecto de la excentricidad en la forma de una hiprbolaQu le sucede a la grfica de una hiprbola cuando su excen-tricidad crece? Para decidirlo, reescriba la ecuacin

en trminos de a y e en lugar de a y b. Haga la grfi-ca de la hiprbola para varios valores de e y describa sus observa-ciones.

41. Propiedad reflectora de las hiprbolas Demuestre que, comose ve en la figura siguiente, un rayo de luz dirigido hacia uno delos focos de un espejo hiperblico se refleja hacia el otro foco.(Sugerencia: Compruebe que la tangente a la hiprbola en P bi-secta el ngulo que forman los segmentos y ).PF2PF1

sy2>b2d = 1sx2>a2d

y = 2.s1, -3d .>

x = -2x = - 12

s -6, 0ds -2, 0dx = 22x = 2

A210, 0 B

42. Una elipse y una hiprbola cofocales Demuestre que una elip-se y una hiprbola que tienen los mismos focos A y B, como semuestra en la figura siguiente, se cortan en ngulo recto en suspuntos de interseccin. [Sugerencia: Un rayo de luz que parte delfoco A y toca la hiprbola en P, se reflejara en la hiprbola comosi viniese directamente desde B (ejercicio 41). El mismo rayo sereflejara desde la elipse para pasar por B (ejercicio 22)].

A B

P

C

x

y

0

P(x, y)

F1(c, 0) F2(c, 0)


Ecuaciones cuadrticas y rotaciones

En esta seccin examinaremos la grfica en el plano cartesiano de cualquier ecuacin

(1)

en la que A, B y C no son todas cero, y demostraremos que casi siempre es una seccin c-nica. Las excepciones son, entre otras, los casos en los que no existe la grfica o sta con-siste de dos rectas paralelas. Por convencin todas las grficas de la ecuacin (1), curvadaso no, se denominan curvas cuadrticas.

El trmino con producto cruzado

Habr notado que el trmino Bxy no aparece en las ecuaciones de las secciones cnicas dela seccin 10.1. Esto sucede porque los ejes de las secciones cnicas eran paralelos a (dehecho, coinciden con) los ejes coordenados.

Para ver qu sucede cuando no hay paralelismo, escribamos una ecuacin para una hi-prbola con y focos en y (figura 10.22). La ecuacin

se convierte en y

Cuando despejamos un radical, elevamos al cuadrado, despejamos el radical que an apa-rece y volvemos a elevar al cuadrado, la ecuacin se reduce a

(2)

un caso de la ecuacin (1) en el que el trmino con producto cruzado est presente. Lasasntotas de la hiprbola de la ecuacin (2) son los ejes x y y y el eje focal forma un ngu-

2xy = 9,

2sx + 3d2 + s y + 3d2 - 2sx - 3d2 + s y - 3d2 = ;6. PF1 - PF2 = 2s3d = 6 PF1 - PF2 = 2a

F2s3, 3dF1s -3, -3da = 3

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

10.3

x

y

Eje

foca

l2xy 9

P(x, y)

F2(3, 3)

F1(3, 3)

0

4

FIGURA 10.22 El eje focal de lahiprbola forma un ngulo de

radianes con la parte positiva del eje x.p>42xy = 9

T

lo de radianes con la parte positiva del eje x. Como en este ejemplo, el trmino conproducto cruzado est presente en la ecuacin (1) slo cuando los ejes de la cnica estninclinados.

Para quitar el trmino xy de la ecuacin de una cnica, rotamos los ejes coordenadospara eliminar la inclinacin en los ejes de la cnica. Las ecuaciones que utilizamos paralas rotaciones se deducen de la siguiente manera. En la notaci

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Cálculo varias variables thomas - 11ma ed