Cien problemas de programacion lineal parte 3

9. > 300

10. x 2 > 300

11. x 3 > 300

12. x . > 300 12. 4

X > 0 V¡ i= 1,2, 3,4, 5, 6,7, :

• Un país está atravesando una aguda crisis económica a raíz del enorme incremento de la deuda externa. Uno de los efectos más visibles de la crisis es el carácter especulativo que está adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: gobierno, Fondo Monetario Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc; hace que los indicadores económicos (inflación, devaluación, entre otros) experimenten constantes modificaciones haciendo muy poco fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado por una política de inversión a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la inestabilidad del mercado.

Uno de estos inversionistas está estudiando como invertir 100000000 de unidades monetarias, producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se recogen las posibles inversiones, su rendimiento y plazo, así como dos índices de calidad de la inversión, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera. Para la obtención de estos índices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez y riesgo, de difícil cuantificación; el índice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la mejor calidad, mientras que el índice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100, siendo 100 la mejor calidad.

ÍNDICE DE CALIDAD

Inversión Tipo Organismo Estatal

Fuente Extranjera Días Neto

1 Bonos empresa privada C 95 10 3,16 2 Bonos estatales B 85 15 3,99 3 Deuda pública nacional A 92 21 6,30 4 Deuda pública regional B 90 21 5,94 5 Pagarés estatales A 97 30 6,38 6 Moneda extranjera D 93 7 1,75

El inversionista pretende elegir su cartera de modo que alcance los máximos beneficios. No obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversión de acuerdo con los siguientes criterios:

a) La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido.

b) La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pública.

84

c) La razón entre las inversiones en efectos de titularidad pública (inversiones 2, 3,4 y 5) y las inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a lo sumo de tres a uno.

d) No se debe colocar más de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con un índice inferior o igual a B.

e) La calidad media de la inversión según el índice de fuente extranjera debe ser como mínimo 92.

f) Debido a las disposiciones legales, la cantidad máxima que puede invertirse en pagarés estatales es de 4000000 unidades monetarias.

g) La duración media de la inversión debe estar comprendida entre 14 y 21 días.

Plantear el anterior problema como un modelo de programación lineal.

VARIABLES REALES:

X,: Cantidad colocada en la inversión 1 (en millones de unidades monetarias) X,: Cantidad colocada en la inversión 2 (en millones de unidades monetarias) X3: Cantidad colocada en la inversión 3 (en millones de unidades monetarias) X4: Cantidad colocada en la inversión 4 (en millones de unidades monetarias) X5: Cantidad colocada en la inversión 5 (en millones de unidades monetarias) X6: Cantidad colocada en la inversión 6 (en millones de unidades monetarias) Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia obtenida de acuerdo con las inversiones

realizadas 1, 2, 3,4, 5 y/o 6

Modelo (primal):

MAX Z = 3,16 X, + 3,99 X2 + 6,30 X3 + 5,94 X4 + 6,38 X5 + 1,75 X6

Sujeta a:

1. X , + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 < 10

2. x 2 + x 3 + x 5 < 7

3. X , + X 2 < x 3 + X 4

4. x 2 + x 3 + x44- x 5 < 3 ( X , + X 6 )

5. X, + X 2 + X44- X5 < 6

6. 9 5 X , 4 - 85 X 2 4- 92 X 3 + 90 X 4 4- 97 X 5 + 93 X 6 > 92 X , + X 2 + X 3 4 -X 4 4 -X 5 4 -X 6

85

\

r

7. X s < 4

,„ 10X, + 15X, + 21X, +21X 4 o 14< 1 1 + 30 X5 + 7 X6 < 21 x , + x 2 + X 3 + X4 + X5 4- X6

21

9. 11 X, + 6X2 - 9X 5 + 14 X, 0 > 0

Resumiendo:

MAX Z = 3,16 X, + 3,99 X, + 6,30 X, + 5,94 X4 + 6,38 X5+ 1,75 X6

Sujeta a: 1. X, + x2 + x3 + x < + X 5

+ x6 < 10

2. X2 + X3 + < 7

3. X, + X2 - X3 - x 4 < 0 4. - 3 X, + X2 + X3 + X

4 + X 5 -3X6 < 0

5. X, + X2 + x4 + X 5 < 6

6. 3X, -7X 2 - 2X4 +5 X5 + X 6 > 0

7. # x 5 < 4

8. 4X, - X, - 7 X3 -7X4 -16 X5 + 7X, o < 0

9. - 11X, -6X 2 f9X s - 14X, 0 < 0

10. 11 X, + 6 X, - 9 X. + 14 X. 6 > 0

X. > O V¡ i = 1,2, 3, 4, 5, 6

• Una empresa de confecciones puede producir 1000 pantalones o 3000 blusas (o una combinación de ambos) diariamente. El departamento de acabado puede trabajar sobre 1500 pantalones o sobre 2000 blusas (o una combinación de ambos) cada día; el departamento de mercadeo requiere que se produzcan diariamente al menos 400 pantalones. Si el beneficio de un pantalón es de 4000 unidades monetarias y la utilidad de una blusa es de 3000 unidades monetarias. ¿Cuántas unidades se deben de producir de cada uno para maximizar las utilidades?


VARIABLES DE DECISIÓN: v

X, : Cantidad de pantalones a producir diariamente X, : Número de blusas a fabricar por día Z : Función de utilidad correspondiente a la ganancia por la venta de pantalones y blusas

86

Modelo (primal):

MAX Z = 4000 X, + 3000 X,

Sujeta a:

Xi X-) 1. — - + — — < \

1000 3000

Xi X-7 2. — L + — — < 1

1500 2000

3. X, > 400

Resumiendo:

MAX Z = 4000 X, + 3000 X2

Sujeta a:

1. 3X, + X2 < 3000

2. 4 X , + 3 X2 < 6000

3. x , > 400

Xp x2 > 0

• La Granja Manizales tiene como actividad principal la cría y engorde de cerdos destinados al consumo humano, como también a la fabricación de embutidos. La tarea principal encargada por medio del veterinario es supervisar la preparación de un alimento (salvado) especial, reconstituyente para alimentar una carnada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000 kg del alimento cuya composición debe cumplir las siguientes especificaciones:

a) La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%. b) La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. c) La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. d) La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%.

Para la preparación del alimento se puede recurrir a tres tipos de concentrado proporcionados por la compañía Finca, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa Purina o bien comprar directamente en el almacén paquetes de minerales con la composición adecuada. La siguiente tabla muestra la composición porcentual en peso de cada uno de estos productos, así como su costo por kilogramo:

87

Alimentos H P G M Costo/kg u.m.

Concentrado A 76 21 3 0 22 Concentrado B 64 24 12 0 31 Concentrado C 45 37 18 0 45 Harina 1 71 2 26 1 17 Harina 2 69 1,5 29 0,5 15 Minerales 0 0 0 100 125

El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un único proveedor, al tiempo que desea mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debería repartirse de manera equitativa entre ambas empresas Finca y Purina. En este sentido, lo más que podría tolerarse es una diferencia entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a ambos proveedores. Por otra parte, la compañía Finca ha avisado que las existencias de su concentrado más barato el A, son un tanto escasas, por lo que solo podrá suministrar a tiempo máximo 300 kg. El problema que debe resolver la gerencia es determinar qué cantidades compra de cada producto para fabricar el alimento necesario para el ganado porcino al menor costo posible.

DEFINICIÓN DE VARIABLES:

XA: Cantidad de kg de concentrado A para incluir en los 1000 kg de alimento Xg: Número de kg de salvado B a mezclar en los 1000 kg de alimento Xc: kg de alimento C para incluir en los 1000 kg de alimento X,: Cantidad de kg de harina tipo 1 para mezclar en los 1000 kg de alimento X;: Número de kg de harina tipo 2 para incluir en los 1000 kg de alimento Xj : kg de minerales a mezclar en los 1000 kg de alimento

W: Función de costo del alimento

Modelo (primal):

MIN W = 22 XA + 31 XB + 45 Xc + 17 X, +' 15 X, + 125 XM

Sujeta a:

1. xA + xB + xc + x, + x2 + xM < 1000

2 Q 1 ^ 0,76 XA + 0,64 XB + 0,45 X c + 0,71 X, + 0,69 X2 < 0 ?

i X A + X B + X c + X , + X 2

n i _ 0,21 XA +0,24 XB +0,37 X c +0,02 X, +0,015 X2 < n s 0,15 < ' —

X A + X B + X C + X , + X 2

4 0 ] < 0,03 XA +0,12 XB +0,18 X c + 0,26 X, + 0,29 X2

X A + X B + X C + X , + X 2

5. 0,03< 0,01 X, +0005 X2 +X X 1 + X 2 + X M

M

X A + X B + X C - x , - x 2

X A + X B + X C + X, + x 2 6.

Resumiendo:

MIN W = 22 XA + 31 XB+ 45 Xc + 17 X, + 15 X2 + 125 XM

Sujeta a:

< 0,3

<- 0,2

/g {* X ? &

*** SI

1. XA + XB + X C + X, + X2 + XM > 1000

2 . 0 , 3 6 X A + 0 , 2 4 X B + 0 ,05 X C + 0 , 3 1 X, + 0 , 2 9 X 2 > 0

3. - 0 , 0 6 X A + 0 , 0 6 X B + 0 ,25 X C - 0 , 0 1 X , + 0,01 X 2 « > 0

4. 0 , 0 6 X A + 0 , 0 9 X B + 0 , 2 2 X C - 0 , 1 3 X, + 0 , 1 3 5 X 2 > 0

5. 0 , 2 9 X A + 0 , 2 6 X B + 0 , 1 3 X C + 0 , 4 8 X, + 0 , 4 8 5 X 2 > U

0

6. - 0 , 0 7 X A + 0 , 0 2 X B + 0 , 0 8 X C + 0 , 1 6 X, + 0 , 1 9 X 2 > 0

7. 0 , 2 7 X A + 0 , 1 8 X B + 0 , 1 2 X C + 0 , 0 4 X, + 0 , 1 1 X 2 > 0

8. - 0 , 0 2 X, - 0 , 0 2 5 X 2 + 0 , 9 7 X M > 0

9. - 0 , 8 X A - 0 , 8 X B - 0 ,8 X C + 1 . 2 X , + 1,2 X2 > 0

10. 1,2 X A +1,2 X B + 1 ,2X C - 0 , 8 X , - 0 ,8 X 2 > 0

X > O V,. i = A, B, C, 1,2, M

65. Una empresa produce bobinas de papel de 500 metros de longitud y un metro de ancho; se ha estimado que la demanda para el mes próximo es de: 500 bobinas de 20 cm de ancho, 400 bobinas de 30 cm de ancho, 250 bobinas de 40 cm de ancho y 300 bobinas de 70 cm de ancho (todas las bobinas son de 500 metros de longitud).

El fabricante debe cortar las bobinas de un metro de ancho con el tamaño de las peticiones para satisfacer la demanda, pero también desea que el desperdicio en el corte (sobrantes iguales o superiores a 10 cm) sea tal que el número de bobinas que fabrique de un metro sea mínimo y reducir con ello el costo de producción

89

VARIABLES REALES:

X.: Número de bobinas a cortar de 500 metros según el patrón i, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10

W: Función de costo del desperdicio en el corte de las bobinas.

Patrones 20 30 40 70 Sobrantes (cm)

1 5 0 0 0 0 2 3 0 1 0 0 3 3 1 0 0 10 4 1 0 0 1 10 5 0 1 0 1 0 6 1 1 1 0 10 7 0 2 1 0 0 8 0 3 0 0 10 9 1 0 2 0 0 10 2 2 0 0 0

Modelo (primal):

MIN W = 10 X, + 10 X + 10 X,+ 10 X, 3 4 6 J

Sujeta a:

1. 5 X, + 3 X2 + 3X3 + X4

+ X6 + X , + 2X10 > 500

2. x 3 + x 5 + X6 + 2 X 7 + 3 X 8 + 2 X 1 0 > 400

3. X2 + x * + x 7 + 2 X , 250 > 250

4. X 4 + x 5 > 300

X 1 > 0 v¡ i = 1 ,2 ,3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10

• En la Empresa Colombiana de Petróleos ECOPETROL se procesan tres tipos de gasolina:

TIPO CLASE OCTANAJE OCTANOS

1 Popular 95 2 Corriente 92 3 Extra 98

90

Para ello se mezclan cuatro productos base, cuyo costo y disponibilidad son:

Producto Disponibilidad Costo/unidad (u.m./barril)

A 3000 90000 B 2000 180000 C 4000 120000 D 1000 150000

Para la clasificación de la mezcla en uno de los tres tipos de gasolina se atiende a la proporción de los productos que la componen de acuerdo con la siguiente tabla:

Producto Producto A Producto B Producto C Producto D Utilidad/unidad (u.m./barril)

1 <30% >40% < 50% — 150000 2 < 50% > 10% — . . . 120000 3 > 70% — — — 90000

—: Indica que no interesa la proporción de ese producto

VARIABLES DE DECISIÓN:

Y,: Cantidad de barriles de gasolina tipo 1 (popular)

Y,: Número de barriles de gasolina tipo 2 (corriente)

Y3: Cantidad de barriles de gasolina tipo 3 (extra)

Ya: Número de barriles del producto A

Y0: Cantidad de barriles del producto B

YC: Número de barriles del producto C

Yd: Cantidad de barriles del producto D

X..: Número de barriles del producto i {A, B, C, D} invertidos en j e {1,2, 3}

Z: Función de maximización de la útil idad

Modelo (primal):

MAX Z = 150000 X, + 120000 X, + 90000 X3 - 90000 YA -180000 YB - 120000 Yc - 150000YD

Sujeta a:

91

1. Y, = X A , + X B , + Xc, + Xo,

2. Y2 = X A 2 + X B 2 + XC2 + XD2

3. Y3 = X A 3 + X B 3

+ x c 3 + xD 3

4. YA = X A 1 + X A 2 + X A 3

5. YB = X B 1 + X B 2 + X B 3

6. YC = XC1 + XC2 + X C 3

7. YD = X D 1 + X D 2 + X D 3

8. YA < 3000

9. YA < 2000

10. YA < 4000

11. YA < 1000

12. X A , < 0,3 Y,

13. X B , < 0,4 Y,

14. XC1 < 0,5 Y,

15. XA2 < 0,5 Y2

16. X B 2 < O,I Y2

17. X A 3 < 0,7 Y3

Resumiendo:

MAX Z = 150000 X, + 120000 X,+ 90000 X3 - 90000 YA - 180000 YB - 120000 Yc - 150000YD

Sujeta a:

1. Y, X A I X B 1 X C 1 X D 1

= 0

2. Y2 X A 2 X B 2 X C 2 " X D 2 = 0

3. Y3 X A 3 X B 3 ~ X C 3 " X D 3 = 0

4. YA X A 1 X A 2 X A 3 = 0

5. YB " X B I ' X B 2 " X B 3 = 0

6. YC _ X C 1 " X C 2 " X C 3 = 0

7. YD • X D 1 " X D 2 " X D 3

= 0

8 . YA < 3000

9. YB < 2000

10. Yc < 4000

11. Yd < 1000

12. xA1 - 0,3 Y, < 0

13. X B , - 0,4 Y, < 0

14. X C 1 - 0,5 Y, < 0

15. - 0,5 Y2 . < 0

16. xB2 -0,1 Y2 < 0

17. X A 3 - 0,7 Y3 < 0

X > 0 Vjj i = A, B, C, D; j = 1,2,3

67. El gobierno actual requiere el máximo apoyo para que se apruebe en el congreso el plan de desarrollo propuesto para el próximo año. A través de sus consejeros ha sabido que hay 35 congresistas de un grupo de coalición y 27 de otro partido que aún no han definido su voto. El presidente decide entonces concertar por teléfono con estos congresistas indecisos para convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de éxito con los miembros de la coalición y 0,6 de otro partido. ¿Cuántos congresistas de cada partido deberá telefonear para maximizar su probabilidad de éxito si no puede realizar un número total de llamadas superior a 30 en el actual régimen de austeridad?


Xc : Cantidad de congresistas de la coalición

Xo: Número de congresistas de otro partido

Z: Función de maximización del éxito

Modelo (primal):

MAX Z = 0,9 X, + 0,6 X ' C ' o

Con sus restricciones:

30 35 27

0

1. X r + X < C o

2. X c < 3. Xo <

Xc, x0° >

93

• Una empresa requiere adquirir cuatro productos (1, 2, 3 y 4) y se conoce que hay tres compañías (A, B y C ) que los procesan y los venden. La diferencia entre las compañías hace que los artículos se distingan por su calidad, es decir, por la probabilidad de que sean menos defectuosos y por sus precios:

Calidad 1 2 3 4 Precio 1 2 3 4

A 0,4 0,6 0,8 0,7 A 6 4 2 3 B 0,6 0,7 0,4 0,9 B 8 7 5 9 C 0,7 0,6 0,5 0,8 C 3 5 7 6

Si se pretende tener una media no inferior a 8, 14, 23 y 15 unidades sin defecto de los productos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se desea minimizar el costo que se debe comprar.

VARIABLES REALES:

X.. : Cantidad de artículos i, i {1, 2, 3, 4} que se comprarán en la empresa j, j e {A, B, C}

W : Función de minimización de costos

Modelo (primal):

MAX Z = 6 X , A + 4X,A + 2X,A + 3X4A + 8X i n + 7X,R + 5X3B + 9X4B + 3X, c + 5X2C

+ 7X3C + 6X4C

Sujeta a:

1. 0,4 X |A + 0,6 X1B + 0,7 X1C > 8

2. 0,6 X,A + 0,7 X2B + 0,6 X,c > 14

3. 0,8 X3A + 0,4 X3B + 0,5 X3C > 23

4. 0,7 X4A + 0,9 X4B + 0,8 X4C > 15

X.. > 0 Vy i = 1 , 2 , 3,4; j = A , B , C

69. • Un granjero tiene 1000 hectáreas de terreno para cultivar próximamente y desea planificar tales cultivos; sabe que necesitará disponer de 300 toneladas de trigo y 270 toneladas de maíz para alimentar a su ganado, los cuales puede obtener mediante su propia cosecha o por medio de compra en el mercado. Lo que produzca y que no se dedique a su ganado, lo puede vender; los precios de venta son 500000 unidades monetarias y 450000 unidades monetarias por cada tonelada de trigo y de maíz, respectivamente. Los precios de compra son un 35% superior debido a las ganancias de intermediarios y a los costos de transporte.

94

Otro cultivo posible es de la caña de azúcar, que se vende a 300000 unidades monetarias cada tonelada producida. Sin embargo, normas del Mercado Común Latinoamericano imponen una cuota máxima para la producción de azúcar, lo que conlleva a que cada tonelada de caña de azúcar producida sobre tal cuota tendrá un precio de venta de 100000 unidades monetarias; para el próximo cultivo se espera que tal cuota sea de 4000 toneladas.

Basado en experiencias anteriores, el granjero conoce que la producción media es de 8, 5 y 4 toneladas por hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar. El costo de cultivar una hectárea de trigo, maíz y caña de azúcar es de 3000000 unidades monetarias, 3800000 unidades monetarias y 4300000 unidades monetarias.

Se debe plantear un modelo de programación lineal que le ayude al granjero a maximizar sus beneficios.


U |: Cantidad de hectáreas en las que cultivará trigo U, : Número de hectáreas en las que sembrará maíz U3 : Cantidad de hectáreas en las que plantará caña de azúcar V, : Número de toneladas que comprará de trigo V, : Cantidad de toneladas que comprará de maíz W, : Número de toneladas que venderá de trigo W, : Cantidad de toneladas que venderá de maíz W 3 : Número de toneladas que venderá de caña de azúcar a 300000 unidades monetarias W4 : Cantidad de toneladas que venderá de caña de azúcar a 100000 unidades monetarias Z : Función de maximización de utilidades

Modelo (primal):

MIN W = 500000 W, + 450000 W2 + 300000 W3 + 100000 W4 - 0,35*500000 V,

- 0,35*450000 V2 - 3000000*8 U, - 3800000 * 5 U2 - 4300000* 4 U3

Sujeta a:

1. u , + u 2 + u . 2. 8U,

3

+ V - w < 1000

300

3. 5 U + V. - w. 270

4. W > 4000

5. W, < 4000 4

u , , u2 , u3 , v , , v2 , w , , w 2 , w 3 , w 4 > o 3 '

95

• La gerencia de una planta termoeléctrica de generación de energía, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir con las nuevas leyes de contaminación ambiental; para esta planta, las tasas máximas de emisión son: máxima emisión de óxido de azufre, 4000 partes por millón (ppm); máxima emisión de partículas (humo), 10 kilogramos/ hora (kg/hora).

El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a la misma; de aquí se lleva con una cinta transportadora a la unidad pulverizadora, donde se pulveriza y alimenta directamente la cámara de combustión, a la velocidad conveniente; el calor producido en la cámara de combustión, se utiliza para crear vapor, el cual impulsa las turbinas.

Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de quema limpia con un bajo contenido en azufre (bastante caro) y tipo B, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido en azufre (ver tabla adjunta). El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón B, siendo de 26000 y 18000 libras por tonelada respectivamente.

CARBÓN ÓXIDO DE AZUFRE EN PARTÍCULAS

GASES COMBUSTIBLE

(emisión/t)

A 1600 ppm 0,5 kg/t

B 4800 ppm 1 kg/t

Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 18 toneladas de carbón A por hora; sin embargo, puede pulverizar hasta 22 toneladas de carbón B por hora. El sistema de carga de la cinta transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora y es independiente del tipo de carbón.

Uno de los interrogantes que se plantea la gerencia es que dados los límites de emisión de los agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón. ¿Cuál es la máxima producción posible de electricidad de la planta que le permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas de energía?


X, : Cantidad de carbón tipo A en toneladas utilizadas por hora en la quema

X2 : Número de toneladas de carbón tipo B en toneladas empleadas en una hora para quema

Z : Función de maximización de producción

Modelo (primal):

MAX Z = 26000 X, + 18000 X,

96

Sujeta a:

1. 0,5 X, + X, < 10

2. - X , 18 1

+ — X, 22

<

3. 1600 X) X, + x 2

+ 4800- ^ X, + x 2

4000 X, + x 2

4. X, + x . <

X, , x , >

20

0

Resumiendo:

MAX Z = 26000 X, + 18000 X2

Sujeta a:

1. 0,5 X , + X2 < 10

2. 11 X, + 9 X, < 198

3. - 3 X, + X2 < 0

4. X , + X2 < 20

X,, X2 > 0

7 1 • Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles/día. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B con costos de 12000 unidades monetarias y 15000 unidades monetarias por barril, en cantidades máximas de 600 y 400 barriles/día, respectivamente. La malta se puede mezclar directamente o destilar para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a lo sumo 800 barriles/día. Un barril destilado de la propia casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1 y 0,6 barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo 2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2.

La mezcla de malta no procesada se vende a 16000 unidades monetarias el barril, limitándo el mercado a 150 barriles/día; el sobrante de malta se debe destruir con costo de 1200 unidades monetarias el barril; con las maltas destiladas se pueden hacer dos productos: uno de superior calidad (S) que se vende a 20000 unidades monetarias el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1, otro de baja calidad (B) que se vende a 15000 unidades monetarias el barril y puede contener a lo sumo el 50% de producto 2.

97

La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 250 barriles por día y asegurarse un beneficio de 300000 unidades monetarias diarias; además, puesto que se espera un cambio en el mercado del producto de baja calidad, la destilería desea minimizar su producción.

Formular un modelo de programación lineal que responda al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada.

VARIABLES REALES:

X. : Barriles por día de malta disponible del distribuidor i, i = {A, B, C} donde C: malta disponible en la propia destilaría

X.. : Cantidad de malta disponible del distribuidor i, dedicada a la actividad j, j = {M, D, d}, donde M: mezcla, D: destilería y d: destrucción

X, : Producción de barriles de malta de tipo 1 por día

X,: Número de barriles de malta de tipo 2 a producir diariamente

X s : Cantidad de barriles de malta de alta calidad

XB : Número de barriles de malta de baja calidad

Xk| : Cantidad de barriles de malta de tipo k, k = {1,2} dedicada a la producción de calidad U={S ,B}

W: Función de volumen de producción de baja calidad

Modelo (primal):

MAXZ = X1B + X2B

Sujeta a:

1. x A < 600

2. X B < 400

3. x c < 300

4. X A D + X B D + X C D < 800

5. X + X AM BM + X C M

< 150

6. X... -i- x ._ AM AD + X A D = X A

7. X + X BM BD + X B D

= X B

8. X C M + X C D + X C D = X c

98

9. 0 ,3X c d + 0 ,4X a d + 0,7 XBD = ' X ,

10. 0,6XCD + 0,4XAD + o , i x B D = X 2

11. X 1 S + X 1 B = X ,

12. X 2 S + X 2 B =

X 2

13. x i s + x2 S = X s

14. X 1 B + X 2 B =

X B

15. 0,6 Xs < X 1 S

16. 0,5 XB < X 2 B

17. X H < 250

18. 16000 (XAM + XBM + XCM) + 20000 Xs + 15000 XB - 12000 XA - 15000 X,

- 1200 (X + X + X ) > 30000

Resumiendo:

MAX Z = X |B + X2B


1. X A < 600

2. X B < 400

3. X c < 300

4. X A D + X B D + X C D < 800

5. X + X + X AM BM CM

< 150

6. X A M + X A D + X A d " X A = 0

7. X B M + X B D + X B d " X B = 0

8. X C M + X C D + X C d " X C = 0

9. 0,3 X c d + 0 ,4X a d + 0 ,7X b d - X , = 0

10. 0 ,6X c d + 0 ,4X a d + 0 ,1X b d - X 2 = 0

11. X 1 S + X 1 B _ X 1 = 0

12. X 2 S + X 2 B " X 2 = 0

13. X 1 S + X 2 S " X S = 0

14. X 1 B + X 2 B " X B = 0

99

15. 0,6 Xs - X1S < 0

16. 0,5XB-X2 B < 0

17. X„ > 250 ri 18. 16000 X +16000 XRM + 16000 XrM + 20000 X, + 15000 XR -12000 X. -15000 XB AM BM CM a B A D

-1200 X - 1200 X - 1200 Xr„ > 30000 Ad • Bd C.d —

X, xij5 X,, x2, xs, XB, xkl > 0 I = A, B, C, j = M, D, d, k = l , 2 , 1 = S, B

• La Fábrica de Televisores Manizales FATEMA desea maximizar sus utilidades en la venta de sus artículos principales, televisión a color con pantalla de plasma y televisión a color de alta definición.

Un televisor a color con pantalla de plasma requiere en promedio cuatro horas por empleado en la producción de partes, dos horas por empleado para ensamble y 0,5 horas por empleado para inspección. Un televisor a color de alta definición necesita en promedio seis horas en producción de partes, tres horas para ensamble y una hora para inspección.

Durante cada período de producción hay disponibles: 2500 horas hombre para producción de partes, 1100 horas hombre para ensamble y 600 horas hombre para inspección. La utilidad neta para cada televisor a color con pantalla de plasma es de 50000 unidades monetarias y la ganancia neta de un televisor a color de alta definición es de 100000 unidades monetarias.



X,: Número de televisores a color con pantalla de plasma a producir durante el período de producción

X,: Cantidad de televisores a color de alta definición (plasma) a fabricar en el período de producción

Z: Función de utilidad

Modelo (primal):

MAX Z = 50000 X, + 100000 X2

Sujeta a:

1. 4X, + 6 X , < 2500

2. 2X, + 3 X , < 1100

100

1 3. - X, + X2 < 600

X,, X2 > 0

• Una empresa le hará publicidad a su producto estrella, con un programa semanal en el que se presentan cantantes y una sección de humor, con duración de una hora; en el que se emiten comerciales con diferentes duración y la compañía quiere tener al menos 5 minutos de comerciales en dicho espacio.

El reglamento en televisión requiere como máximo que los comerciales consuman 18 minutos en programas de 60 minutos y que nunca sea mayor el tiempo de comerciales que el de actuación de los cantantes.

Los cantantes no trabajan más de 30 minutos de los 60 que dura el programa; de manera que el humorista se utiliza para llenar los espacios en los que no haya comerciales o cuando los cantantes no están en presentación.

Por experiencia en televisión se sabe que por cada minuto de los cantantes en el aire 7000 televidentes más estarán viendo el programa; por cada minuto de trabajo del humorista 10000 personas, en cambio por minuto de comercial se pierden 1500 televidentes.

El humorista cobra 200000 unidades monetarias por minuto, los cantantes 500000 unidades monetarias por minuto y los comerciales 1000000 unidades monetarias por minuto.

La empresa quiere:

a) Maximizar el número de televidentes (al finalizar el programa de una hora).

b) Minimizar los costos para la producción del programa.


VARIABLES REALES:

X,: Número de minutos de los cantantes durante el programa

X2: Cantidad de minutos del humorista en el programa

X,: Número de minutos de comerciales durante el programa


W: Función de costos

Modelo (primal):

a) MAX Z = 7000 X, + 10000 X, - 1500 X3

101

Sujeta a:

1. X, + X 2 + X 3 = 60

2. X, < 30

3. X 3 < • 18

4. X, " X 3 > 0

5. X 3 > 5

X p X,,X3 > 0

Modelo (primal):

b) MIN W = 500000 X, + 200000 X2 + 1000000 X3

Sujeta a:

1. X , + x 2 + x 3 = 60

2. X , < 30

3. X 3 < 18

4. X , - X 3 > 0

5. X 3 > 5

X p X2, X3 > 0

• En un salón de eventos se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco días; el número de manteles por banquete es:

Banquete 1 2 3 4 5

Número de manteles 80 60 100 130 200

El problema del administrador es que se necesitan manteles diferentes a los que él usa, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles; el costo de cada mantel es de 8000 unidades monetarias y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de 1000 unidades monetarias por mantel. ¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizarle el costo total?

102

VARIABLES DE DECISION:

X: Número de manteles que se compran el día i i = 1, 2, 3, 4, 5

Y.: Cantidad de manteles que se envían a la lavandería el día j j = 1, 2, 3


/

Modelo (primal):

MIN W = 8000 (X, + X2 + X3 + X4 + X5) + 1000 (Y, + Y, + Y3)

Sujeta a:

1. X, = 80

2. X2 = 60

3. X3 + Y, = 100

4. X4 + Y, = 130

5. X5 + Y3 = 200

6. Y, < 80

7. Y2 < 8 0 - Y , + 60

8. Y3 < 80 + 60 - Y, - Y2 + Y, x , , x 2 , x 3 > 0

Resumiendo:

MIN W = 8000 (X, + X, + X3 + X4 + X5) + 1000 (Y, + Y, + Y3)


1. X, = 80

2. x 2 = 60

3. x 3 + Y , = 100

4. X4 + Y2 = 130

5. X5 + y 3 = 200

6. Y, < 80

7. Y , + Y2 < 140

8. Y2 + Y3 < 140

X,, X2, Xj, x4 , x5 , Y(, Y2, Y3 > 0

103

• Se quieren mezclar tres metales A, B y C para formar 20 toneladas de una mezcla, la cual debe satisfacer ciertas especificaciones: la mezcla debe contener por lo menos 25% de plomo, no más de 50% de estaño y por lo menos 20% de zinc; las composiciones y costos de los tres metales son:

Metal componente A B c

Plomo 0,1 0,1 0,4

Estaño 0,1 0,3 0,6

Zinc 0,8 0,6 0,0

U.M/t 14000 20000 30000

¿Cuál será la mezcla que producirá una aleación que satisfaga las especificaciones a costo mínimo?

VARIABLES REALES:

XA ; Número de toneladas de A en la mezcla

XB : Cantidad de toneladas de B en la mezcla

X c = 20 - (XA + XB) : Número de toneladas de C en la mezcla

W : Función de costos

Modelo (primal):

MIN W = 14000 XA + 20000 XB + 30000 (20 - (XA + XB))

Sujeta a:

1 . 0,1 x A + 0,1 xB-f 0,4 (20 > (20) (0,25)

2. 0,3 + 0,3Xb < 1

3. 0,1 X A + 0,3X b -f- 0,6 (20 < (20) (0,5) 4. 0,5 X A + 0,3Xb > 1

5. 0,8 XA + 0,6 XB > (20) (0,2)

XA ,XR ,XC > o

Resumiendo:

MIN W = - 16000 X4 - 10000 Xn + 300000 A B

104

Sujeta a:

L 0,3 XA + 0,3 XB < 1,5

2.0,3 XA + 0,3 XB < 1

3.0,5XA + 0,3 Xb > 1

4.0,5 XA + 0,3 XB > 1

5. 0,8 XA + 0,6 Xb > 2

X A ' X B ' X c > 0

• El departamento de reparaciones de un almacén brinda servicios de reparación para la mercancía vendida; durante una semana se devuelven cinco televisores para reparar, 12 radios y 19 licuadoras; se han contratado temporalmente dos mecánicos para trabajar en dicho departamento; en una jornada de ocho horas, Alberto puede reparar un televisor, tres radios o tres licuadoras; mientras que Bernardo puede dar al servicio un televisor, dos radios o dos licuadoras en el mismo tiempo. Si Alberto gana 25000 unidades monetarias diarias y Bernardo devenga 15000 unidades monetarias diarias, ¿por cuántas horas deberán ser contratados para que los costos totales de mano de obra de reparación sean mínimos?


XA: Número de horas que trabaja Alberto Xgi Cantidad de horas que labora Bernardo TA: Número de televisores por hora que repara Alberto Tb: Cantidad de televisores por hora que arregla Bernardo Ra: Número de radios por hora que repara Alberto Rb: Cantidad de radios por hora que arregla Bernardo La: Número de licuadoras por hora que repara Alberto Lb: Cantidad de licuadoras por hora que arregla Bernardo W: Función de costos

Una semana = cinco días; un día = ocho horas Salario por hora de Alberto = 2500/8 = 312,50 unidades monetarias Salario por hora de Bernardo = 1500/8 = 187,50 unidades monetarias Televisores 5/40 = 0,125; radios 12/40 = 0,3; licuadoras = 19/40 = 0,475

Modelo (primal):

MIN W = 312,50 X + 187,50 Xn A ' B

105

Sujeta a:

1. T . + T _ < 0,125 A B 7

2. Ra + Rb < 0,3

3. L, + L„ < 0,475 A B

4. X = 8 T4 + 2,67 R4 + 2,67 L4 A A ' A " A

5. XA = 8 Ta + 4 Ra + 4 La

X A ' X B ' T A ' T B ' R A ' R B ' L A + L B ^

Resumiendo:

MIN W = 312,50 X4 + 187,50 XR ' A ' B

Sujeta a:

1. TA + Tb < 0,125

2. R4 +'Ra < 0,3 A B

3. La + Lb < 0,475

4. X, - 8 T. - 2,67 R. - 2,67 L, = 0 A A ' A ' A

5. X a - 8 T a - 4 R a - 4 L a = 0

X A > X B ' Ta, Tb, Ra, Rb, La + Lb > o

7 7 . En Europa existen monedas de 0,01, 0,02, 0,05, 0,1, 0,25 y 0,5 céntimos de euro (€) y un cajero desea dar cambio con monedas, usando el menor número posible de ellas.

VARIABLES REALES:

X,: Número de monedas de 0,01 € X2: Cantidad de monedas de 0,02 € X3: Número de monedas de 0,05 € X4: Número de monedas de 0,1 € X5: Número de monedas de 0,25 € X&: Número de monedas de 0,5 € W: Función de costos

106

Modelo (primal):

MIN W = X, + X, + X, + X4 + X + X, 1 2 3 4 5 6

Sujeta a:

1.0,01 X, +0,02 X, +0,05 X3 +0,1 X4 +0,25 X5 +0,5 X6 = Y

X,, X2, X3, X4, X5, X6 > o

X. > 0 j = 1,2, 3 ,4 ,5 , 6 Y > 0 Y e E

• Se desea obtener una mezcla de arena y cemento que tenga 30% de arena y 70% de cemento; en el mercado venden tres clases de mezclas: la mezcla 1 tiene 20% de arena y 80% de cemento y vale 300000 unidades monetarias la tonelada; mezcla 2 está compuesta por 40% de arena y 60% de cemento y vale 200000 unidades monetarias la tonelada y la mezcla 3 tiene 50% de arena y 50% de cemento y vale 100000 unidades monetarias la tonelada. ¿Qué cantidad de cada mezcla se debe comprar para producir la mezcla deseada a un costo mínimo?


X: Número de toneladas de la mezcla i comprada para producir (al revolver con las otras mezclas) una tonelada de la mezcla deseada i = 1, 2, 3


Modelo (primal):

MIN W = 300000 X, + 200000 X2 + 100000 X3

Sujeta a:

1.20 X, + 40 X2 + 5OX3 = 30

2. 80 X, + 60 X2 + 50 X3 = 70

3. X, +X2 +X3 = 1

x , , x 2 , x 3 > o

• Una empresa produce puertas, escritorios y sillas; cada uno de estos productos pasan por los departamentos de corte, ensamble, pintura y embalaje. En todos los productos se consume madera, tiempo de corte, tiempo de ensamble, tiempo de acabado y tiempo de embalaje, así como otras materias primas (clavos, pegante). Existen limitaciones en cuanto al total de horas disponibles por departamento debido a consideraciones de seguridad social: exposición a productos volátiles, ruido, trabajo físico pesado; se trabajan cinco días a la semana.

107

Se desea conocer la producción semanal que maximice los beneficios. En la tabla siguiente se muestran los consumos de materia prima y las utilidades:

PUERTAS ESCRITORIOS SILLAS RECURSOS DISPONIBLES

Madera (m2) 2,5 3,5 2 1000 (m2) Corte (min/und) 10 15 20 8 h/día Ensamble (min) 5 20 15 8 h/día Pintura (min) 5 15 10 6 h/día Embalaje (min) 8 16 12 7 h/día Otros (kg) 0,5 0,8 0,7 105 kg/sem Utilidad/unidad (U.M.) 10000 28000 15000


VARIABLES REALES:

X,: Número de puertas a producir durante la semana

X,: Cantidad de escritorios a fabricar semanalmente

X3: Número de-sillas a producir durante la semana


Modelo (primal):

MIN W = 10000 X, + 28000 X2 + 15000 X3

Sujeta a:

1. 2,5 X, + 3,5 X2 4 2X3 < 1000

2. 10X, + 15X2 4 - 20 X3 < 2400

3. 5X, + 20 X2 4 - 15X, < 2400

4. 5Xj + 15X2 4 - i o x 3 < 1800

5. 8Xj + 16X, 4 - 12X3 < 2100

6. 0,5 X, + 0,8 X 2 4 " 0,7X3 < 105

X,. , X2,X3 > 0

• Una empresa tiene tres plantas con exceso de capacidad de producción. Las tres plantas tienen la capacidad de fabricar cierto producto y la dirección ha decidido usar parte de la capacidad de producción sobrante; el producto se puede hacer en tres tamaños: grande, mediano y pequeño; estos

108

tamaños dan una utilidad de 1200 unidades monetarias, 1000 unidades monetarias y 900 unidades monetarias respectivamente.

Las plantas 1, 2 y 3 tienen exceso de mano de obra y equipo para producir 500, 600 y 300 unidades diarias del producto, sin importar el tamaño o las combinaciones de tamaño que se hagan. Pero la cantidad disponible de espacio de almacenamiento de productos en proceso también limita las cotas de producción. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 9000, 8000 y 5000 nr para almacenar este producto.

Cada unidad de tamaño grande, mediano y pequeño producida por día, requiere 20, 15 y 12 m2

respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que se pueden vender 600, 800 y 500 unidades del tamaño grande, mediano y pequeño, por día; para buscar mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y conservar alguna flexibilidad, la administración ha decidido que la producción adicional asignada a cada planta, debe usar el mismo porcentaje de exceso de mano de obra y capacidad de equipo. La administración quiere saber cuántas unidades de cada tamaño se deben producir por cada una de las plantas, buscando maximizar las utilidades totales.



X : Número de artículos a ser producidos en la planta i, i = 1, 2, 3 del tamaño j, j =. G, M, P

Z : Función de utilidad .

Modelo (primal):

MAX Z = 1200 (X,G + X2G + X3G) + 1000 (X,M + X2M + X3M ) + 900 (X,p + X2P + X3P)

Sujeta a:

1. X 1 G + X 1 M + X 1 P < 500

2. X 2 G + X 2 M + X 2 P < 600

3. X 3 G + X 3 M + X 3 P < 300

4. 2 0 X , G + 1 5 X 1 M + 1 2 X | P < 9000

5. 20 X2G + 15 X2M + 1 2 X2p < 8000

6. 20 X 3 G + 1 5 X 3 M + 1 2 X 3 p < 5000

7. X ! G + X 2 G + X 3 G < 600

8. X 1 M + X 2 M + X 3 M < 800

109

9. X,p + X2p+ X3p

10. 6 X + 6 X, + 6 X,p - 5 X - 5 X - 5 X2P

11. 3 X |G + 3 X,M + 3 X,p - 5 X3G - 5 X3M - 5 X3P

Y Y Y Y Y Y Y Y Y 1G' I M ' ^ Í P ' 2& 2 P ' 3 G ' 3 M ' ^ 3 P

< 500

0

0

0

O I • En Manizales se estudia la factibilidad de introducir un sistema de buses de tránsito masivo que aliviará en parte el problema de la contaminación ambiental y reducir con ello el tránsito en la ciudad; el estudio inicial busca determinar el número mínimo con el cual sostener la demanda; después de recolectar información requerida, se advierte que el número mínimo de buses que se necesitan para cubrir la demanda fluctúa con la hora del día. Estudiando los datos más a fondo, se descubrió que el número requerido de buses se puede suponer constante en intervalos sucesivos de cuatro horas cada uno; se decidió, para facilitar el transporte, que cada bus puede operar sólo ocho horas consecutivas al día.

HORAS NÚMERO DE BUSES

12:00 a.m.-4:00 a.m. 40

4:00 a.m.-8:00 a.m. 80

8:00 a.m.-12:00 m. 100

12:00 m.- 4:00 p.m. 70

4:00 p.m.-8:00 p.m. 120

8:00 p.m.-12:00 p.m. 40


VARIABLES REALES:

X : Cantidad de buses que comienzan a operar a las 12:01 a.m.

X2: Número de buses que empiezan a laborar a las 4:01 a.m.

X3: Cantidad de buses que inician a trabajar a las 8:01 a.m.

X4: Cantidad de buses que comienzan a operar a las 12:01 p.m.

X5: Número de buses que empiezan a laborar a las 4:01 p.m.

X6: Cantidad de buses que trabajan desde las 8:01 p.m.

W: Función de costo

Modelo (primal):

MAX Z = X, + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

Sujeta a:

l .X , + X 6 > 40

2.X, + X 2 > 80

3. X 2 + X 3 > 100

4. X 3 + X 4 > 70

5. X 4 + X

5 > 120

6. X 5 + X 6 > 40

X,, X2, X3, X4, x 5 , x 6 > 0

• Una fábrica de automóviles y camiones tiene los siguientes departamentos: 1. Estampado de planchas metálicas, 2. Armado de motores, 3. Montaje de automóviles y 4. Montaje de camiones. El departamento 1 puede estampar por mes las planchas necesarias para 25000 automóviles o 35000 camiones, o las correspondientes combinaciones de automóviles y camiones. El departamento 2 puede armar por mes 33333 motores de automóviles o 16667 motores de camión, o las correspondientes combinaciones de motores de automóviles y camiones. El departamento 3 puede montar y terminar 22500 automóviles y 15000 camiones el departamento 4. Si cada automóvil deja una utilidad de 2000000 unidades monetarias y cada camión de 3000000 unidades monetarias. ¿Qué cantidad de automóviles y camiones se deben producir, de manera que las utilidades obtenidas sean las máximas posibles?


X,: Cantidad de automóviles a producir por mes

X2: Número de camiones a fabricar mensualmente


Modelo (primal):

MAX Z = 2000000 X, + 3000000 X,

Sujeta a:

1. — - — X , + — • — X 2 < 1 35000 35000

11 i

3. X, < 22500

4. X. < 15000

X , , X 2 < 0

Resumiendo:

MAX Z = 2000000 X, + 3000000 X,

Sujeta a:

1. 7 x , + 5 X2 < 175000

2. 16667 X," f33333X2 < 555561111

3. X, < 22500

4. X, < 15000

X . , X , >

83 Para la elaboración de un producto se cuenta con cuatro materias primas las cuales contienen el factor F en las proporciones indicadas a continuación:

MATERIA PRIMA CONTENIDO DE F EN %

COSTO POR kg EN U.M.

A 51 4

B 11 2

C 14 2,4

D 36 3

Se trata de obtener una tonelada de mezcla cuyo contenido del factor F, sea por lo menos del 18% con el mínimo costo posible. Además, las materias primas B y C no constituyan en conjunto más del 20% de la mezcla.


112

VARIABLES REALES:

X,: Cantidad de materia prima A que se debe mezclar para obtener una tonelada del producto

X2: Número de materia prima B que se debe mezclar para conseguir una tonelada del producto

X3: Cantidad de materia prima C que se debe mezclar para obtener una tonelada del producto

X4: Número de materia prima D que se debe mezclar para conseguir una tonelada del producto


Modelo (primal):

MIN W = 4 X, + 2 X, + 2,4 X3 + 3 X4

Sujeta a:

1. X, +X 2 +X 3 +X 4 = 1000

2. 0,51X, + 0,11 X2 + 0,14 X3 + 0,36X4 > 180

3. X2 +X 3 < 220

x , , x 2 , x 3 > 0 :. • .'• - : t»

V ,. 4 t

• Un industrial de frutos secos desea determinar el programa óptimo para tres mezclas diferentes que hace con distintas proporciones de macadamia, nueces y pasas; las especificaciones de cada una de ellas son: la mezcla 1 debe contener 50% de macadamia como mínimo y 25% de pasas cuando más; la libra de esta mezcla se vende a 5000 unidades monetarias. El segundo tipo debe contener el 25% de macadamia por lo menos y un 50% de pasas cuando más y la libra se vende a 4500 unidades monetarias. El tercer tipo no tiene especificaciones y se vende a 3000 unidades monetarias la libra.

Sin embargo, están restringidas las cantidades de materias primas que puede conseguir el industrial; las máximas por período son: 100 libras de macadamia, 100 libras de pasas y 60 libras de nueces. Cada libra de macadamia le cuesta 4000 unidades monetarias, la de pasas 3000 unidades monetarias y la de nueces 3500 unidades monetarias. Se trata de determinar cuántas libras se deben preparar de cada mezcla, de manera que se obtengan las máximas utilidades.


X..: Cantidad en la mezcla i, i = 1, 2, 3 con los componentes j, j = M, N, P para obtener el producto


% % ? «oYy««.» * t

113

M o d e l o (primal):

MAX Z = 5000 (X,M + X,N + Xlp) + 4500 (X2M + X2N + X2p) + 3000 (XJM + X3N + X3P)

- 4000 (X1M + X2M + X3M) - 3000 (Xlp + X2p + X3p) - 3500 (X)N+ X2N + X3N)

Sujeta a:

1 2

1- x I M > - (X1M + x1N + x,p)

2 - X , P * \ (X1M + X1N + X |P)

3- X2M > 4 (X2M + x2N + x2p)

4. x2p < - (X2M + X2N + x2p)

5- X1M + X2M + X3M < 100

6. X]p + X2p + X3p < 100

7. X1N + X2N + X3N <60 X X X X X X X X X 0

1M' 2M» 3 M ' I P ' 2?r 3 P ' I N ' 2 N ' 3N — U

Resumiendo:

MAX Z = 1000X1M+ 1500 X1N +2000 Xlp+ 500 X2M+ 1000 X,N+ 1500 X,p- 1000 X„

Sujeta a: - 500 X3N - 0 X3p

I I I 2 X l M " 2 X | N " 2 X , p > 0

3 1 1 2. - X I P- - XIM - - X < 0

4 IP 4 im 4 in

A l l 3- 4 X

2M - 4 X2N - 4 X2p > 0

1 1 1 4. - X - - X1N - - XIP < 0 y 1M O IN y IP

114

< 100

< 100

< 60

> 0

5 " X ! M + X 2 M + X 3 M

6. X | p + X2p + X3p

7. X |N + X2N + X3N

Y Y Y Y Y Y Y Y Y I M ' 2 M ' ^ " I P ' 2 P ' 3P ' 1N' ^ 2 N ' ^ 3 N

o c " La empresa Ferremanizales es una firma industrial que se dedica a la producción de tornillos. Tiene tres plantas localizadas en Armenia, Pereira y Manizales; la capacidad de producción de cada una de las plantas es la siguiente:

P L A N T A P R O D U C C I O N ( C A J A S / M E S )

Armenia 1 0 0 0 0 0

Pereira 1 2 0 0 0 0

Manizales 1 0 0 0 0 0

Esta empresa comercializa sus productos mediante cinco distribuidores localizados en diferentes zonas del país. La demanda pronosticada para cada distribuidor es:

Z O N A D E M A N D A

( C A J A S / M E S )

1 7 5 0 0 0

2 5 0 0 0 0

3 5 0 0 0 0

4 5 5 0 0 0

5 8 0 0 0 0

El costo De transportar una unidad de cada planta a cada zona es:

Z O N A P L A N T A

Z O N A A R M E N I A P E R E I R A M A N I Z A L E S

1 100 2 0 0 3 0 0

2 120 150 2 0 0

3 150 100 2 5 0

4 2 0 0 180 150

5 2 2 0 2 0 0 100

115

¿Cuáles rutas de distribución deben usarse y cuánta mercancía debe enviarse a cada una de ellas?



X : Número de cajas a enviar de la planta i a la zona j por mes

i = 1 Armenia, 2 Pereira, 3 Manizales j = 1, 2, 3, 4, 5.


Modelo (primal):

MIN W = 100 X n + 120 X]2 + 150 X,3 + 200 X14 + 220 XIS + 200 X21 + 150 X22 +

+ 100 X„ + 180 X,, + 200 X„ + 300 X„ + 200 X„ + 250 X„ + 150 X + 100 X„ 23 24 25 31 32 33 34 35

Sujeta a:

1. x u + x1 2 + X 1 3 +

X,4 + X 1 5

< 100000

2. X2| + X 2 2 + X 2 3 + X 2 4 + X 2 5

< 120000

3. X31 + X32 + X 3 3 + X 3 4 + X 3 5

< 100000

4. X„ + X21 + X 3 1

< 75000

5. X,2 + X 2 2 + X 3 2

< 50000

6. X13 + X 2 3 + X 3 3

< 50000

7- X14 + X 2 4 + X 3 4

< 55000

8. X15 + X 2 5 + X 3 5

< 80000

X > 0, i = l , 2 , 3 j = 1,2,3,4,5

• Una empresa produce válvulas de las cuales hay disponibles dos líneas de producción alternativas; la empresa acaba de recibir un pedido de producción de 1000 válvulas Hakim 1. La línea 1 puede producir las válvulas a razón de 15 minutos por válvula; la capacidad de producción de la línea 2 es de 5 válvulas por hora. La línea 1 estará disponible, para este pedido, hasta 200 horas con un costo de 800 unidades monetarias por hora. La línea 2 estará disponible, también para este pedido, hasta 170 horas a 700 unidades monetarias la hora. Encontrar el mejor plan de producción si se le quiere formular de dos maneras diferentes, de tal forma que en uno de los planteamientos las variables de decisión vayan en términos de horas.

1 16

Primera opción:


X,: Cantidad de horas de trabajo en la línea 1 X2: Número de horas de trabajo en la línea 1 W: Función de costo

Modelo (primal):

MIN W = 800 X, + 700 X,

Sujeta a:

1.4 X, + 5 X, = 1000

2. X, < 200 3. X, < 170

X,,X~ > 0

Segunda opción:


X,: Cantidad de válvulas a fabricar en la línea 1

X,: Número de válvulas a producir en la línea 2


Modelo (primal):

MIN W = 4 X, + 5 X,

Sujeta a:

1. x , + X2 — 1000

1 2.

4 x , < 200

1 3. — x 2 < 170

5 170

x „ X2 > 0

Resumiendo:

MIN W = 4 X, + 5 X2


1. x , + X2 1000

2. x , - 800

3. X2 < 850

x , > 0

• Una empresa produce tres chips: el A, cuyo costo por unidad es de 1000 unidades monetarias y se vende a 1500 unidades monetarias; el B, cuyo costo por unidad es de 600 unidades monetarias y se vende a 1000 unidades monetarias; y el C, cuyo costo por unidad es de 1200 unidades monetarias y se vende a 1500 unidades monetarias. La empresa está planificando el programa mensual de producción: el departamento de marketing requiere la producción de al menos 100 unidades del chip C y no más de 1000 unidades del chip A; el departamento de producción no puede fabricar más de 4000 chips de todos los modelos; la máquina que fabrica los chips puede producir 20,30 o 40 unidades por hora de los chips A, B o C respectivamente; la máquina tiene una disponibilidad de 100 horas mensuales. El departamento de marketing, requiere, además, que haya al menos el doble de unidades del chip B que del chip C en el programa mensual; el departamento financiero ha fijado un presupuesto máximo de 15000000 unidades monetarias para el programa.

¿Cuántas unidades de chips A, B y C debe producir la empresa si el objetivo de la empresa es maximizar las utilidades?

VARIABLES REALES:

X,: Cantidad de unidades de chip A a fabricar

X,: Número de unidades de chip B a producir

X3: Cantidad de unidades de chip C a fabricar


Modelo (primal):

MIN W = 1500 X, - 1000 X, + 1000 X2 - 600 X2 + 1500 X, - 1200 X3

Sujeta a:

1. X3 > 100

2. X, < 1000

118

3. X, > 2X 3

4. X, + X2 + X3 < 4000

5" * 1 0 0 0

X,,x2, x3 > o

Resumiendo:

MIN W = 500 X, + 400 X, + 300 X,

Sujeta a:

1. x3 > 100

2. X, < 1000

3. X, - 2 X , > 0

4. X, + X2 + X3 < 4000

5. 6X, + 4 X2 + 3X3 < 120000

X,, X2,X3 > 0

88. La empresa Caldas se dedica a la fabricación de piezas en general; actualmente está planeando su producción para el mes entrante, la cual consta de cinco órdenes; cada uno de los pedidos se puede trabajar en cualquiera de las cinco fresadoras que la compañía tiene disponibles. De acuerdo con las especificaciones técnicas, la empresa ha estimado la siguiente relación de costos, tanto de las órdenes como de las fresadoras:

O R D E N F R E S A D O R A

O R D E N 1 2 3 4 5

1 100000 80000 90000 60000 40000 2 70000 50000 50000 40000 50000 3 30000 60000 30000 50000 100000 4 25000 30000 50000 50000 10000 5 50000 20000 10000 30000 20000

Es decir, maquinar la orden 3 en la fresadora 2 le cuesta a esta empresa 60000 unidades monetarias, mientras que trabajar en la fresadora 4 le cuesta solo 50000 unidades monetarias. ¿Cómo deben asignarse las órdenes a las fresadoras?


119


X - fl, si la orden i se asigna a la fresadora j [O, si la orden i se asigna a la fresadora j

Z: Función de costo

Modelo (primal):

MIN W = 100 X„ + 80 X12 + 90 X,3 + 60 Xj4 + 40 X |5 + 70 X21 + 50 X,, + 50 X23

40 X 50 X25 + 30 X31 + 60 X32 + 30 X33 50 X34 + 100 X35 + 25 X41 +

30 X., + 50 X.. + 50 X44 42 43 44 10 X4 + 50 X + 20 X • 45 51 52 10 xc 30 X + 20 X 54 55

Sujeta a:

1. x u + x 1 2 + x 1 3 + x14 + x15 =

2. x21 + x22 + X23 + x24 + x25 =

3. X31 + X32 + X33 + X34 + X35 =

4. X4, + X42 + X43 + X44 + X45 =

5. X5, + X52 + X53 + X54 + X55 =

6. X„ + X21 + X31 + X41 + X51 =

7. X12 + X22 + X32 + X42 + X52 =

8. X13 + X23 + X33 + X43 + X53 =

9. X |4 + X24 + X34 + X44 + X54 =

10. x15 + x 2 5 + x35 + x4S + x55 =

x„ > 0 , i= 1 ,2 ,3 ,4 ,5 j = 1,2,3,4, 5

89. En una casa se desea hacer un almuerzo equilibrado utilizando los siguientes productos: carne, papas, habichuela, leche y guayaba. Los precios de estos alimentos son respectivamente: 10000 unidades monetarias kilo, 3000 unidades monetarias kilo, 1000 unidades monetarias kilo, 1200 unidades monetarias litro y 900 unidades monetarias kilo. La familia está compuesta de seis personas y cada persona debe consumir 800 calorías (en el almuerzo). Para que la alimentación sea equilibrada debe estar compuesta de 20% de proteínas, 30% de lípidos, 50% de glúcidos (estos porcentajes son con respecto a la materia seca, es decir, sin tener en cuenta el agua). Obviamente hay muchas más condiciones que se deben tener en cuenta y aquí se hace una simplificación para facilitar el problema. En la siguiente tabla se expresa la composición de cada alimento y su aporte calórico.

120

Proteínas Lípidos Glúcidos Agua Calorías por 20% 30% 50% % kilogramo

Carne 10 10 0 80 1300 Papas 2 0 20 78 880

Habichuelas 1 0 5 94 240 Leche 5 3 5 87 670/1 ¡tro

Guayaba 1 0 15 84 640

Se desea saber cómo organizar el mercado para minimizar el costo.

VARIABLES REALES:

X,: Cantidad en kilogramos de carne que se debe comprar

X,: Número en kilogramos de papas que se debe comprar

X3: Cantidad en kilogramos de habichuela que se debe comprar

X4: Número en litros de leche que se debe comprar

X5: Cantidad en kilogramos de guayaba que se debe comprar


Modelo (primal):

MIN W = 10000 X, + 3000 X, + 1000 X, + 1200 X, + 900 X, 1 2 3 4 5

Sujeta a:

1. 1300 X. + 880 X, + 240 X, + 670 X, + 640 X, = 4800 1 2 3 4 5

10 X] + 2 X2 + X3 + 5 X4 + X5 2" 20 X, + 2 2 X 2 + 6 X 3 +13X4 + 16X5

10X, + 3 X 4 3" 20X, + 2 2 X 2 +6X3 +13X4 +16X5

20 X] + 5 X3 + 5 X4 + 15 X5 4" 2 0 X 1 + 2 2 X 2 + 6 X 3 +13X4 +16X5

1 > -05 x 3 , x 41 > o

121

0,3

0,5

Resumiendo:

MIN W = 10000 X, + 3000 X2 + 1000 X3 + 1200 X4 + 900 X5

Sujeta a:

1. 1300 X, + 880 x 2 + 240 X3 + 670 X4 -+- 640 X5 = 4800

2. 6 X, - 2,4 X2 - 0,2 X3 + 2,4 X4 - 2,2 X5 = 0

3. 4X, - 6,6 X2 - 1,8 X3 + 0,9 X4 - 4,8 X5 = 0

4. - 10 X, + 9 X2 + 2 X 3 + l , 5 X4 + 7X5 = 0

X,, X2, X3, X4,X5 > o

• Un comerciante se dedica a la compraventa de arroz. Dispone de un almacén con capacidad para 7000 toneladas y pretende llevar a cabo la planificación del último trimestre del presente año. Debido a la situación actual del mercado, estima que para el primero de octubre tendrá un inventario de 1500 toneladas de arroz y una disponibilidad de 280000000 unidades monetarias. Los precios estimados de compra y venta (en miles de unidades monetarias) de la tonelada de arroz para el citado trimestre son:

PRECIO POR TONELADA

MES COMPRA VENTA

OCTUBRE 75 93

NOVIEMBRE 81 99

DICIEMBRE 79 95

Tanto la compra como la venta se hacen de contado; el arroz comprado en un mes no se puede vender hasta el mes siguiente; el comerciante desea tener al final del período un inventario de 2000 toneladas. Encontrar el plan de gestión de máximo beneficio.


C : Cantidad de arroz en toneladas comprada en octubre

C,: Número de toneladas de arroz compradas en noviembre

C3: Cantidad de arroz en toneladas comprada en diciembre

V : Número de toneladas de arroz vendidas en octubre

V,: Cantidad de toneladas de arroz vendidas en noviembre

V3: Número de toneladas de arroz vendidas en diciembre

I,: Inventario de arroz en toneladas en octubre

122

I2: Inventario de arroz en toneladas en noviembre I3: Inventario de arroz en toneladas en diciembre Z: Función de utilidad

Modelo (primal):

MAX Z = 93 V, + 99 V2 + 95 V3 - 75 C, - 81C, - 79 C3

Sujeta a:

1 . 1500 + C, < 7000

2. < 7000

3. I 2 + C 3 < 7000

4. V, < 1500

5. V 2 - I , < 0

6. V 3 " I 2 < 0

7. I . - C . + V, = 1500

8. I2 -1, - c 2 + v 2 = 0

9. W 2 - C 3 + V3 = 0

10 I3 = 2000

11. 75 C, < 280000000

12. 81 C2 + 75 C, - 93 V, < 280000000

13. 79 C3 + 75 C, + 81 C2 - 99 V2 < 280000000

C,, C2, c3 , V,, V2, V3,1,, I2,13 > 0

Q1 * • • Una pequeña compañía hace tres productos diferentes, cada producto requiere un trabajo en

dos procesos A y B . El proceso A tiene dos tipos de máquinas A: y A, y el proceso B tiene tres tipos de máquinas B p B, o B3, El producto 1 pasa por el proceso A, a través de la máquina A, o A., y por el proceso B, también por cualquiera de las tres máquinas B(, B, y B . El producto 2 puede ser procesado en cualquiera de las máquinas del tipo A y sólo en la máquina B,. Finalmente, el producto 3 puede ser hecho sólo en las máquinas A, y B2. El tiempo en minutos requerido por una unidad de cada producto en cada tipo de máquina, el tiempo disponible por semana, el costo de operación a plena capacidad de las máquinas, lo mismo que el costo de materiales por unidad, los precios de venta y la demanda semanal, están dados en la siguiente tabla:

123

Engineering

Cien problemas de programacion lineal parte 3