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CINEMATICA DE LOS FLUIDOS
1. DEFINICION
Estudia el movimiento de los fluidos sin considerar las fuerzas que entran en juego; en
otros palabras estudia la forma del movimiento.
2. METODOS DE ESTUDIO
Pueden utilizarse dos métodos diferentes que dependen de la acción de las variables
adoptados. Estos métodos son el de Lagrange y el Euler.
a) Variable de Lagrange : son las coordenadas x, y, z de una partícula en el interior
“t” con respecto a un sistema de de ejes cartesianos Ox, Oy, Oz. El movimiento de
la partícula es dos iniciales en el instante “to”.
Se denomina “trayectoria” al lugar geométrico de las posiciones de la partícula en el
transcurso del tiempo.
b) Variables de Euler : Son las proyecciones u, v, w del vector velocidad V de la
partícula que pasa por un punto M(x, y, z) en el instante “t”.
El método de Euler es mas cómodo porque para los elementos mas importantes en
la practica (movimientos permanentes), u, v, w son independientes del tiempo y
además los vectores velocidad forman un campo al que se le aplican todos las
propiedades de los campos vectoriales.
3. ESTUDIO DE CAMPOS DE VELOCIDADES
a) Línea d corriente : es una línea tangente en todos sus puntos al vector velocidad.
En general el vector velocidad es función del tiempo, por consiguiente las líneas de
corriente se deforman con este y no las trayectorias.
La ecuación de las líneas de corriente la obtendremos comparando la definición que
hemos dado para la línea de corriente con la interpretación geométrica de la
derivada.
dx
dy
T
y = f(x)
y
x x
y
línea de corriente
T
v
ν
µ
Fig. a) Interpret. Geomet. De la derivada b) Definición de línea de corriente
La figura (a) nos indica, según un teorema muy conocido del calculó diferencial que
el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de
tangente a la curva en dicho punto.
La figura (b) por la definición de línea d corriente, nos indica que el vector de
componentes u, v, esta sobre la tangente T al pinto P; entonces, por semejanza se
triángulos tendremos:
vdy
udx =
En el espacio, la ecuación de líneas de corrientes será:
wdz
vdy
udx ==
En la “w” es la componente del vector V sobre el eje z.
b) Tubo de corriente : es el conjunto de corriente que se apoyan en un contorno
cerrado. También se le conoce como filete de corriente.
Tanto las líneas de corriente como las trayectorias pueden obtenerse
experimentalmente mediante la fotografía, para lo cual disemina, en el fluido en
movimiento, pequeños partículas de polvo de aluminio y fotografiado con u tiempo
de exposición muy corto para el caso de las líneas de corriente y con un tiempo de
exposición bastante grande para el caso de las trayectorias.
c) Línea de emisión : Es el lugar geométrico, en el instante “t”, de las partículas
fluidas que en un instante pasaron por el punto O.
∫∫ ∫∫ +== BEA ds.VADBEA ADB
ds.Vds.Vds.V
0AEB ds.VADB ds.Vds.V =+= ∫∫∫
4
5
321
t+dt
t
o
Si en le punto “O” se inyecta un colorante, se pueden de manifiesta las líneas de
emisión.
d) Circulación del vector velocidad a la largo de una curva
Se denomina circulación del vector V a la largo de la curva (C) cuyo elemento de
arco es ds, a la integral curvilínea del producto escalar V, ds, osea:
∫∫ ++==c
wdzvdyudxc
ds.VΓ
Si ADBEA es una curva cerrada
en una región dada, tendremos
entonces:
En este caso la circulación es independiente del camino seguido para ir de A hacia
B. para que esto suceda es necesario que V derive de un potencial, osea que debe
cumplirse que φVV = en todos los puntos en la región y que (x, y, z) sea
uniforme y con derivada continua en la región.
Por consiguiente cuando el valor de la circulación solo depende de la posición d los
puntos A y B y no del camino seguido por le vector V para ir de A hacia B,
entonces el flujo es con potencial de velocidades y podremos escribir:
1, 2, 3, son trayectorias.4, 5, son líneas de emisión.
ds
v
D
(C)
B
E
A
x
y
θr
Vθ rV
v
x
zz
yy
dxAB
xAAB
BdwdzvdyAB
udxAB
ds.VAB ∂∂∂+∂
∂∂+
∂∂=−==++== ∫∫∫∫
φφφφφφΓ
Identificando términos, tendremos que para los flujos potenciales se cumplirá:
zu;
yu;
xu
∂∂=
∂∂=
∂∂= φφφ
Luego:
φgradV =
Es un flujo con potencial de velocidades, en un instante dado, el vector de velocidad
es, en todo punto, perpendicular a la superficie equipotencial ø (x, y, z) = cte que
pasa por ese punto. En consecuencia las líneas de corriente las coordenadas polares,
r, θ:
∫∫∫ ∂∂∂+∂
∂∂==−=+= θ
θφφφφφθΓ r
rdABdlV
ABdr.VrAB
Identificando términos:
θθφθθ
φ ∂∂∂=∂
∂∂= rd.V;r
rdr.rV
θφ
θφ
∂∂=
∂∂=∴
r1V;
r.rV
En coordenadas cilíndricas (r, θ , z) las componentes de la velocidad son Vr, Vθ, w.
zw;
r1V;
rrV∂∂=
∂∂=
∂∂= φ
θφ
θφ
En este caso:
zz;rseny;cosrx === θθ
MVr
Vθ
Vr
θ
z
θ r
R
λ
V
x
y
z
e) Flujo potencial del vector velocidad
El rotacional del vector velocidad se escribe:
kyu
xvj
xw
zui
zv
yw
zvuzyx
kji
VV
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂
∂∂
∂∂=×
Por otro lado para los flujos potenciales s cumple:
zw;
yv;
xu
∂∂=
∂∂=
∂∂= φφφ
Si reemplazamos estos valores en el desarrollo anterior tendremos:
kxyyx
jzxxz
iyzzy
VV
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂=× φφφφφφ
Por consiguiente para los flujos potenciales se deberá cumplir:
0V =×∇
Por consiguiente para los flujos potenciales son conservativas puestos que es
cumplen las condiciones necesarias y suficientes:
φ∇==×∇ V;0V
Un flujo potencial es irrotacional.
4. ALGUNAS DEFINICIONES RELATIVAS A LOS FLUIDOS
a) Flujos permanente : Son aquellas en los que los parámetros que los definen son
independientes del tiempo. Estos parámetros son: la v4elocidad (3 componentes), la
masa volumétrica “ρ”, la presión “p” y la temperatura (T) y solo serán función de
las coordenadas x, y, z.
En este caso las líneas de corriente son curvos fijas y se confunden con las
trayectorias y con las líneas de emisión.
b) Flujos bidimensionales : Cuando el flujo depende solo de dos coordenadas.
Estos flujos pueden ser a su vez:
- Flujo planos : En los que la velocidad en un instante “t” es en todos
los puntos paralela a un plano fijo.
nV
v
ds
S
n
- Flujos de revolución : Alrededor de un eje “O” que se definen
íntegramente estudiando en un semi-plano meridiano limitado por el eje “O”
c) Fuente : Es un punto en el espacio del cual sale un fluido con un gasto constante.
d) Sumidero : Es una fuente negativa.
e) Gasto en masa : A través de una superficie S es el valor
∫ ∫=s
VndSmg ρ
f) Gasto en volumen o volumétrico : A través de una superficie S es el valor
∫ ∫=s
VndSwg
ds = elemento de superficie
ds = mas volumétrica
n = normal al elemento dS
Vn = componente normal de V respecto a dS.
5. ACELERACION DE UNA PARTICULA FLUIDA
Si V es la velocidad de la partícula, la aceleración a de la misma esta dad por
2dt
r2ddtVda ==
En la que
zkyjxir ++=
kdtdzj
dtdyi
dtdxV ++=
wkvjuiV ++=
Luego:
k2dt
z2dj2dt
y2di2dt
x2da ++= ó kdtdwj
dtdvi
dtdua ++=
Donde x (t), y (t), z (t), son las coordenadas de la partícula fluida o componentes del
vector posición; u, v, w son las componentes del vector velocidad; i, j, k son los
vectores unitarios.
a) Derivada substancial
El operador general de una derivada substancial es:
zw
yv
xu
tDtD
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
La derivada substancial puede expresarse para cualquier cantidad que sea por
ejemplo tanto del tiempo como de su posición en el espacio; tal es el caso por
ejemplo del vector velocidad, por lo que de una manera general podemos escribir:
zVw
yVv
xVu
tV
DtVDa
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂==
ac. local aceleración convectiva
La aceleración entonces dos componentes, una aceleración local que depende del
tiempo y otra denominada aceleración convectiva que depende de la posición de
la partícula.
Expliquemos la aceleración convectiva considerando
un flujo permanente en un conducto en el que existe un
convergente.
Tomemos 3 seccione diferentes 1, 2, 3, como el
movimiento es permanente, entonces es
independiente del tiempo. Además a través de las tres
secciones pasa el mismo caudal; consiguiente las
velocidades por ejemplo en el eje del conducto serán
distintas en las tres secciones. En el caso presente el
movimiento es acelerado pero solo por estrechamiento
de la sección del conducto. Esta aceleración es la
aceleración convectiva.
b) Campo de aceleraciones : Este campo se escribe:
zuw
yuv
xuu
tu
xa∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
1
3
2
Q
Q
zvw
yvv
xvu
tv
ya∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
zww
ywv
xwu
tw
za∂
∂+∂∂+
∂∂+
∂∂=
c)Expresión vectorial : vectorialmente la expresión de la aceleración se escribe:
( )V.VtV
DtVDa ∇+
∂∂==
6. ECUACION DE CONTINUIDAD
a) Caso general
La ecuación de continuidad expresa el principio de conversión de la masa. Para
obtenerla consideremos dentro de un fluido continuo en movimiento, sin fuentes ni
sumideros, un paralelepípedo fijo elemental de todos dx, dy, dz.
La masa de fluida que entra por la cara BCEF es, en el tiempo dt:
udzdydtρLa masa fluida que sale por la cara ADGH en el mismo tiempo dt es:
( ) dt.dz.dydx.xuu
∂∂+ ρρ
La perdida de masa a través de las dos caras mencionadas será entonces:
( ) dt.dz.dxdy.xu
∂∂ ρ
La perdida de masa a través de las caras ABGE y DCHF será:
( ) dt.dz.dxdy.yv
∂∂ ρ
La perdida de masa a través de las caras ABCD y GEFH será:
( ) dt.dz.dxdy.zw
∂∂ ρ
La masa perdida a través de las caras es:
dxdz
dy
E
GF
H
DA
B c
o y
z
x
( ) ( ) ( ) dt.dz.dxdy.zw
yv
xudm
∂
∂+∂
∂+∂
∂= ρρρ
Por otro lado, la masa contenido por el paralelepípedo elemental en el instante t es:
ρ dx dy dz.
La variación de esta masa es en consecuencia, en un tiempo dt:
dt.dz.dxdyt
dm∂∂−= ρ
Deberá cumplirse, por conservación de la masa que:
( ) ( ) ( ) dxdydzdtt
dt.dz.dy.dxzw
yv
xu
∂∂−=
∂
∂+∂
∂+∂
∂ ρρρρ
De donde obtenemos:
( ) ( ) ( )zw
yv
xu
t ∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂ ρρρρ
Esta ecuación es conocida como ecuación de continuidad, que puede adoptar también
formas:
( )0V.
t
0Vdivt
=∇+∂∂
=+∂∂
ρρ
ρρ
b) Caso de un flujo permanente
Debe cumplirse: :luego;0t
=∂∂ ρ
( ) ( ) ( ) 0V.;0zw
yv
xu =∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂ ρρρρ
c) Caso de un flujo permanente de un fluido incomprensible
Se deberá cumplir simultáneamente:
ctey0t
==∂∂ ρρ
Luego en este caso la ecuación de continuidad se escribe:
0V.ó0zw
yv
xu =∇=
∂∂+
∂∂+
∂∂
d) Ecuación de continuidad y flujo potencial
Si el campo de velocidades deriva de un potencial entonces como ya se demostró se
debe cumplir:
zw;
yv;
xu
∂∂=
∂∂=
∂∂= φφφ
Reemplazando estos valores en la ecuación de continuidad por fluido
incomprensible en movimiento permanente tendremos:
0zzyyxx
=
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂ φφφ
02z
2
2y
2
2x
2=
∂
∂+∂
∂+∂
∂ φφφ
Laplaciano 0o2o =/∇=/
Para este caso entonces la función potencia de velocidades es armónica.
e) Ecuación de continuidad para un tubo de corriente en movimiento permanente
- Para fluido comprensible: cte2S2V21S1V1 == ρρ
- Para fluido incomprensible: cte2S2V1S1V ==
7. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE VOLUMEN FLUIDO
a) Caso general del movimiento
En el caso general del movimiento de un fluido, todo el elemento de volumen de
este cambia de posición, de forma y de orientación.
Para conocer estas variaciones consideremos los puntos P de coordenadas x, y, z y
P’ de coordenadas x +a ; y + b ; z + c muy próximas en una masa fluida en
movimiento.
Si u, v, w son las componentes de la velocidad V en el punto P y u’, v’, w’ las
componentes de la velocidad 'V en el punto P’; podremos escribir, despreciando
los infinitamente pequeños de orden superior:
( )zuc
yub
xuaucz,by,axu'u
∂∂+
∂∂+
∂∂+=+++=
( )zvc
yvb
xvavcz,by,axv'v
∂∂+
∂∂+
∂∂+=+++=
( )zwc
ywb
xwawcz,by,axw'w
∂∂+
∂∂+
∂∂+=+++=
Ahora demos a estas ecuaciones otras formas, de manos tal que aparezcan las
proyecciones en x, y, z del rotacional de V . Tomemos la primera de las ecuaciones
la que se podrá escribir:
zuc
21
zuc
21
xvc
21
xwc
21
xvb
21
xvb
21
yub
21
yub
21
xuau'u
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+=
que ordenándolos convenientemente se escribirá a su vez:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂−
∂∂+=
xw
zuc
21
yu
xvb
21
xua
yu
xvb
xw
zuc
21u'u
Las demás componentes se escribirán:
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂−
∂∂+=
yw
zvc
21
yu
xva
21
yvb
zv
ywc
yu
xva
21v'v
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂−
∂∂+=
yw
zvb
21
xw
zua
21
zwc
xw
zua
zv
ywb
21w'w
A fin de simplificar la escritura llamemos:
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂=
∂∂−
∂∂=
yu
xv
21;
xw
zu
21;
zv
yw
21 γβα
a las componentes del vector “velocidad angular” o “vector torbellino” T en el que
.Vrot21T =
Igualmente llamemos:
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂+
∂∂=
yu
xv
21
3;xw
zu
21
2;zv
yw
21
1 δδδ
Con lo que podemos escribir abreviadamente:
( ) 2c3bxuabcu'u δδγβ ++
∂∂+−+=
( ) 1c3ayvbcav'v δδαγ ++
∂∂+−+=
( ) 1b2azwcabw'w δδβα ++
∂∂+−+=
Estas ecuaciones permiten expresar que la velocidad en el punto P’ es el resultado
de la composición de tres velocidades que son:
• La velocidad V de traslación en bloque y cuyas componentes
son u, v, w.
• La velocidad de rotación en bloque de velocidad angular T y
cuyas proyecciones son:
1Rbc =− γβ 2Rca =− αγ
1Rab =− βα• La velocidad de deformación D cuyas componentes son:
12c3bxua ∆δδ =++
∂∂
21c3ayvb ∆δδ =++
∂∂
31b2azwa ∆δδ =++
∂∂
zv,
yv,
xu
∂∂
∂∂
∂∂
son velocidades de deformación lineal o velocidad de
dilatación δδδ 3,2,1x son velocidades de deformación angular.
Podremos entonces escribir:
D'PPTV'V +×+=
Si introducimos una función ∆ (a, b, c) tal que:
( ) δδδ∆ 3ab2ac1bczw2c
yv2b
xu2a
21c,b,a +++
∂
∂+∂∂+
∂∂=
Y si derivamos parcialmente ∆ respecto a: a, b, c, tendremos:
13b2cxua
a∆∆ δδ =++
∂∂=
∂∂
23a1cyvb
b∆∆ δδ =++
∂∂=
∂∂
32a1bzwc
c∆∆ δδ =++
∂∂=
∂∂
Osea que: ∆gradD =
Entonces en este caso podremos escribir:
∆grad'PPTV'V +×+=
b) Velocidad angular T de una partícula fluida en función del campo de
velocidades.
Desarrollamos este punto como complemento a
lo rotacional o irrotacionalidad de un elemento
fluido. Para ello partiremos d la premisa de que
una componente d la velocidad angular de un
elemento fluido la semi- suma de las
velocidades angulares de dos segmentos
ortogonales contenidos en un
plano normal a la dirección
de la componente de la
velocidad angular que se
busca.
Tomemos un elemento
de volumen fluido tal como
el mostrado en la siguiente
figura:
La componente Tx de la
velocidad angular según el eje x la obtendremos de la siguiente forma:
Si en E, las componentes de V son u, v, w; en el punto A la velocidad será dz.zwv
∂∂+
. La velocidad en F será dy.yww
∂∂+ .
x
z
yo
DC
A B
FE
dz
T 1
v + d v dz d z
d yw + d w dy
w
vdy
X
x
A
FE
Si el segmento EA ira con una velocidad angular T1, la velocidad tangencial del
punto A, respecto al punto E será igual a: zzv ∂
∂∂
Esta velocidad tangencial será a su vez igual a la velocidad angular T1 multiplicada
por el radio, en este caso la longitud del segmento este caso dz; luego:
zv
1Tdz1Tzzv
∂∂−=→−=∂
∂∂
El signo es porque el giro de T1 estaría indicado por un vector sobre el eje x pero de
sentido negativo (según la regla del sacacorchos).
En forma similar, si T2 es la velocidad angular, la velocidad angular media respecto
al eje x, se tendrá:
yw
2T∂∂+=
Entonces por lo manifestado al inicio de este acápite, la velocidad angular media
respecto al eje x será Tx:
∂∂−
∂∂=
+=
zv
yw
21
22T1T
Tx
Así repetimos el procedimiento para los ejes y, z, tendremos:
−
∂∂−
∂∂=
xw
zu
21
yT
−
∂∂−
∂∂=
yu
xv
21
zT
Luego:
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂−
∂∂−
∂∂= k
yu
xvj
xw
zui
zv
yw
21T
Vrot21V
21T =×∇=
c) Otras expresiones de la aceleración de una partícula fluida
Habíamos ya dado la expresión vectorial de la aceleración:
( )V.VtV
DtDVa ∇+
∂∂==
También podemos escribir:
( )V.VtV
DTDVa ⊗∇+
∂∂==
En la que:
V⊗∇ es un producto tensorial denominado TENSOR gradiente del vector V ;
cuyo desarrollo permite escribir:
VT22V21
tVa ×+∇+
∂∂=
o también:
( ) VV2V21
tVa ××∇+∇+
∂∂=
Estas últimas expresiones de la aceleración las utilizamos mas adelante para la
demostración del teorema de Bernoulli, en movimiento irrotacional. En este último
caso se tiene:
2V21
tVa ∇+
∂∂=
