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INTRODUCCION A RESISTENCIA DE mATERIALES
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Universidad Nacional de Asunción
Clase Práctica Nº 1 Grados de libertad Cálculo de reacciones Método de las Secciones Trazado de Líneas de Estado (N, V y M) Ejemplos Principio de superposición Ejercicios Propuestos
Facultad de Ingeniería
Mecánica de Materiales I – 4to Semestre
Grados de libertad ( ) ( ) ΣE 1m 3ΣR 1n 2T3S2P3NL −−−−⋅−⋅−−=
N : Nº de barras
P : Apoyos de 1er genero
S : Apoyos de 2do genero
T : Apoyos de 3er genero
n : Nº de barras que concurren a rotulas
R : Rotula en la que concurren igual nº de barras
m : Nº de barras que concurren a empotramientos internos
E : Empotramiento interno en la que concurren igual nº de barras
L : Grados de libertad
G : Grados de hiperestaticidad
Isostático I = E
Hiperestático I > E
Hipostático I < E
G = – L
Isostático G = 0 (cero)
Hiperestático G > 0
Hipostático G < 0
E : nº de ecuaciones de la estática
I : nº de incógnitas del sistema
Calcular el grado de hiperestaticidad
P
2
2
2
4
4
4
1
23
4
5
67
9
8
L = 3N – P – 2S – 3T – 2(n – 1)R – 3 (m – 1)E
L = 3x9 – 1 – 2x1 – 3x0 – 2(2 – 1)3 – 2(4 – 1)3
3 rótulas 2 barras = 2(2 – 1)3 = 6
3 rótulas 4 barras = 2(4 – 1)3 = 18
L = 27 – 1 – 2 – 6 – 18 = 0 (Isostático)
2
1 2
32 2
Calcular el grado de hiperestaticidad
L = 3N – P – 2S – 3T – 2(n – 1)R – 3 (m – 1)E
L = 3x3 – 0 – 2x2 – 3x0 – 2(2 – 1)3
3 rótulas 2 barras = 2(2 – 1)3 = 6
L = 9 – 4 – 6 = -1
G = - L = 1 (hiperestático)
1
2
2L = 3N – P – 2S – 3T – 2(n – 1)R – 3 (m – 1)E
L = 3x2 – 0 – 2x2 – 3x1 – 2(2 – 1)1
1 rótula 2 barras = 2(2 – 1)1 = 2
L = 6 – 4 – 3 – 2 = -3
G = - L = 3 (hiperestático)
Cálculo de reacciones.
1) Se sustituyen los vínculos por las fuerzas de ligación (Reacciones)
2)Se arbitra un sentido para cada reacciónAcción y reacción
Acción y reacción
Tip
os d
e re
accion
es
1erGenero
2doGenero
3erGenero
tangentenormal
superficie de contacto
normal
rotulanormal
tensor
Acción y reacción
Cálculo de reacciones. 3) Se aplican las ecuaciones de equilibrio
Σ Fxi = 0Σ Fyi = 0Σ Fzi = 0
→a) R = 0
Σ Mzi = 0
Σ Mxi = 0Σ Myi = 0
→b) M = 0
Para un sistema coplanar se reduce
Σ Fxi = 0Σ Fyi = 0Σ Mzi = 0 Σ Mc = 0
Σ Ma = 0Σ Mb = 0o bien
Σ Mc = 0
Σ Fxi = 0Σ Mb = 0o bien
4) Si las reacciones resultaren positivas se conservan los sentidos arbitrados, caso contrario se invierten dichos sentidos.
a, b y c no alineados
Método de las secciones.
Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de un conjunto cualquiera de fuerzas externas, se puede afirmar que cualquier parte de el también está en equilibrio.
El equilibrio se logra gracias a las fuerzas que se generan internamente
Fuerzas internas
CargamentoSolicitaciones Externas
NV
M
Método de las secciones.Convención de signos para las fuerzas internas
en un sistema coplanar
(+)M M
N N
V
V
M = Momento flector interno
V = Fuerza cortante interna
N = Fuerza normal interna
Línea de visualización
Método de las secciones.Procedimiento
a) Definir un sistema de ejes x-y-z (definir el eje de la pieza)
b) Calcular las reacciones externas Ay, By y Bx (DCL total)
c) Definir la sección a estudiar a-a (DCL de la porción elegida)
d) Calcular las reacciones internas M, V, N para el equilibrio según una línea de visualización y la convención de signos
a
a
x
y
z s
M
V
N
By
BxB A B
(+)M M
N N
V
V
Relación entre fuerza cortante y momento flector.
q
DFV
DMF
M + ΔMM
V
V +
ΔV
Δx
O
q
M
ΔM
VΔV
x Δx
Σ Mo = 0
M + V.Δx – (M + ΔM) – q. Δx. (Δx/2) = 0
Σ Fy = 0
V - q.Δx – (V + ΔV) = 0
ΔM ΔxV =
q.Δx
ΔVΔxq = -
Conclusiones
dxdV
q −=
Las cargas distribuidas son positivas cuando actúan de manera descendente y negativas cuando actúan de modo ascendenteq
DFV
DMF
M
ΔM
VΔV
x Δx
Pendiente negativa DFV → q positivo ↓
Diferencia de fuerzas cortantes → área bajo la curva q = q (x)
∫−=−B
A
ab qdxVV
Formulas aplicables solo en regiones donde no actúa ninguna Fuerza concentrada
Conclusiones
dxdM
V =
Las cargas distribuidas son positivas cuando actúan de manera descendente y negativas cuando actúan de modo ascendente
Pendiente DMF → Fuerza cortante
Si V = 0 → M = cte
Diferencia de momentos flectores → área bajo DFV
∫=−B
A
(x)ab dxVMM
Formula aplicable solo en regiones donde no actúan fuerzas concentradas
Formula aplicable solo en regiones donde no actúa ningún Momento flector concentrado
q
DFV
DMF
M
ΔM
VΔV
x Δx
Regiones de fuerza concentrada.
M + ΔMMV
V +
ΔV
Δx
O
F
Σ Fy = 0
V – F – (V + ΔV) = 0
ΔV = - F
Si F actúa hacia abajo sobre la viga, ΔV es negativo, por lo que el diagrama de fuerza cortante salta hacia abajo, si F actúa hacia arriba, el salto (ΔV) será hacia arriba.
V
F
V + ΔV V
F
V + ΔV
Regiones de momento concentrado.
Σ Mo = 0
M + V.Δx – (M + ΔM) – Mo = 0
Haciendo Δx = 0 obtenemos
ΔM = - Mo
Si Mo se aplica en sentido antihorario, ΔM es negativo, por lo que el diagrama de momento flector saltará haciéndose más negativo, si Mo actúa en sentido horario, el salto (ΔM) será más positivo.
M M + ΔM
Mo
DMF
M+
x
M M + ΔM
Mo
DMF
M+
x
M + ΔMM
V
V +
ΔV
Δx
OMo
Diagrama de fuerzas solicitantes.
Las fuerzas internas son función de la distancia x medida según el eje longitudinal
( )xfN =
( )xfV = ( )xfM f =
( )xfM t =
x
A
Bs
Casos importantes a saber de memoria
(+)
(+)(-)
ba
P
RA RB
A B
babP
RA +⋅=
baaP
RB +⋅=
babaP
M+
⋅⋅=
1
1
2
2
Cálculo de reacciones
( )
( )ba
aPR
0aPbaR
0M
B
B
A
+⋅=
=⋅−+⋅
=∑0H
0F
A
x
=
=∑
( )ba
bP
+⋅=
=−+
=∑
A
BA
Y
R
0PRR
0F
Corte 1–1 (0 ≤ x ≤ a)
Corte 2–2 (a ≤ x ≤ a+b)
x
x
⋅==⋅
=∑
A
A
1
RM
0R-M
0M
A
A
Y
RV
0R
0F
==−
=∑V0N
0Fx
=
=∑
( )( )a-xPRM
0R-a-xPM
0M
A
A
1
−⋅==⋅+
=∑
x
x
B
A
Y
RV
0VPR
0F
−==−−
=∑0N
0Fx
=
=∑
xRA
NM
V
x
aN
M
V
P
RA
L
q
RA RB
A B
2L
qRA ⋅=
2L
qRB ⋅=
8L
qM2
⋅=
(+)
(-)
(+)
Casos importantes a saber de memoriaCálculo de reacciones
2
LqR
02
LqLR
0M
B
2
B
A
⋅=
=⋅−⋅
=∑0H
0F
A
x
=
=∑
2R
0PRR
0F
A
BA
Y
Lq ⋅=
=−+
=∑
Corte 1–1 (0 ≤ x ≤ L)
)(2
M
22M
02
R-M
0M
2
2
A
1
xLxq
qxx
qL
qxx
−⋅=
−⋅=
=+⋅
=∑qx
Vqx
−==−−
=∑
A
A
Y
RV
0R
0F
0N
0Fx
=
=∑x
RA
NM
V
ecuación de una recta
Pendiente “-q”
Distancia al origen “RA”ecuación de
una parábola
RA VA
NA
α
αcos2L
qVB ⋅⋅=
8L
qM2
⋅=
αcos2L
qVA ⋅⋅=
L
q
A
B
(+)
(+)(-)
(-)
(+) αsen⋅⋅=2L
qNB
αsen⋅⋅=2L
qNA
α2L
qRB ⋅=
2L
qRA ⋅=
Casos importantes a saber de memoria
RA VA
NA
α
2L
qVB ⋅=
αcos8L
qM2
⋅⋅=
2L
qVA ⋅=
L
q
A
B
(+)
(+)(-)
(-)
(+) αtan2L
qNB ⋅⋅=
αtan2L
qNA ⋅⋅=
ααcos2
LqRB ⋅
⋅=
αcos2L
qRA ⋅⋅=
Casos importantes a saber de memoria
L
P
RA
A
B
PRA =
LPM ⋅=
(+)
(-)
M
Casos importantes a saber de memoria
(-)
(+)
LRA
AB
LqRA ⋅=
2L
qM2
⋅=
q
M
Casos importantes a saber de memoria
(+)
(-)
(+)
ba
P
RA RB
AB
abP
RA
⋅=
bP×=M
( )abaP
RB
+⋅=
Casos importantes a saber de memoria
Principio de superposición.
Los efectos (tensión, deformación, desplazamientos y reacciones) que un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando por separado
Condiciones para que sea aplicable el principio de superposición de esfuerzos
a) pequeños desplazamientos: la carga no debe cambiar significativamente la geometría original o configuración del miembro.
En vigas, los giros pequeños garantizan la linealidad de la ecuación diferencial de la curva de deflexión, y las deflexiones pequeñas asegura que las líneas de acción de las cargas y reacciones no varíen en forma significativa a partir de sus posiciones originales.
b) ley de Hooke: la carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el desplazamiento que va a determinarse
Principio de superposición.
El estado final (tensional y deformacional)no depende del orden de aplicación de las
cargas.
P = P1 + P2
V = V1 + V2
M = M1 + M2
δ = δ1 + δ2
Ø = Ø1 + Ø2
PLP1 P2
R R1R2
δ δ1δ2
= +Ø Ø1 Ø2
DFV
DMF
R = R1 + R2
+=
Reacciones
Esfuerzos internos Desplazamientos
Ejercicios Propuestos
200 cm 200 200
200
P = 6 t
q = 2 t/m
Mori_F1_L2_5
Trazar los diagramas de N, V y M
Ejercicios Propuestos
400 cm 150
150 cm
10 t
3 t/m
Mori_F1_L2_13
45º
Trazar los diagramas de N, V y M
Ejercicios Propuestos
Mori_F1_L2_19
300 cm
2,5 t/m
300
200
200
200
Trazar los diagramas de N, V y M
Ejercicios Propuestos
Mori_F1_L2_25
4 m
0,6 t
23
3 m
0,8 t
1,2 t
Trazar los diagramas de N, V y M
Ejercicios PropuestosDada la estructura de la figura se solicita:a)Calcular las reacciones (verificar resultados)b)Trazar y definir línea de visualización c)Trazar las líneas de estado N, V y M de la barra ABC por el método de las seccionesd)Trazar las líneas de estado N, V y M de las barras FB y CDEG por el método gráficoe)Detallar el equilibrio del nudo “D”
2 m 2 m 2 m3 m
2 m
2 t / m
5 t
1 t
4 m
3 tm
3 tm2 tmA B
C
D E
F G
MM1_1ra ET_2009_FIUNA
MM1_1ra ET_2006_FIUNA
Ejercicios PropuestosPara la viga de la fig. trazar por el “Método Gráfico”, diagramas de solicitación: normal, cortante y flector
Obs.: explicar el equilibrio de los puntos singulares de la viga y sus criterios de análisis adoptados.
MM1_1er Parcial_2007_FIUNA
Ejercicios Propuestos
Mori_F1_L2_29
Trazar los diagramas de N, V y M y determinar el valor del momento flector máximo
Ejercicios Propuestos
Mori_F1_L2_30
Trazar los diagramas de N, V y M y determinar el valor del momento flector máximo
Ejercicios Propuestos
MM1_1er Parcial_2007_FIUNA
La estructura de la figura está formada por barras de características mecánicas idénticas. Los nudos B y C expresan rotulas que unen dos barras, los nudos D y E expresan vínculos de segundo genero.Se pide:a) Calcular los valores de las reacciones externas, verificando que estén correctas.b) Trazar por el método de las secciones los diagramas de solicitación normal, cortante y momento flector de la barra ABC.c) Trazar por el método grafico los diagramas de solicitación normal, cortante y momento flector de las barras CDE y BFD.
A
B
C
F
DE
2,00 m 2,00 m 2,50 m 2,50 m
1,50 m
1,50 m
0,60 t / m
OBS: explicar el equilibrio en los puntos singulares de la estructura y los criterios adoptados para su análisis.
Ejercicios PropuestosUn sistema de cargas verticales aplicado a la viga produce el diagrama de momentos flectores indicado. a) trazar el diagrama de fuerzas cortantes b) hallar las cargas y reacciones
Mori_F1_L2_49
2 m 2 m 1 m 1 m
0,3 tm
5,8 tm4,4 tm
Parábola de2do grado
Ejercicios Propuestos
Trazar los diagramas de Fuerza Normal, Fuerza Cortante y Momento Flector
30
100
L
0,6 L
P
q
RM – Previo Complementario_2003_FIUNA
Mori_F1_L2_59
4 m
2 m
6 t 1,2 t/m
3 m
4 m
Trazar los diagramas de N, V y M
Ejercicios Propuestos
Fonseca – E. Isostáticas
Determinar la posición más conveniente para la rótula, de modo que la viga esté sujeta al mínimo momento flector.
Ejercicios Propuestos
L
q
aA
CB
Ejercicios PropuestosTrazar los diagramas de Fuerza Normal, Fuerza Cortante y Momento Flector
1 t/m
A
B
CD
E
F2 t
8 m
3 m
32
2
El elemento centrifugo mostrado en la figura gira en un plano horizontal (el plano xy) sobre una superficie lisa alrededor del eje z (que es vertical) con una aceleración angular a. Cada uno de los dos brazos tiene un peso w por unidad de longitud y soporta un peso W=5wL en su extremo libre. Determinar fórmulas para la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo en los brazos, si se supone que b=L/8 y c=L/10
W
W
α
Ejercicios Propuestos
Timoshenko, Gere, Mecánica de Materiales, Grupo Editorial Iberoamérica, 2da E, México, 1986, p214