Continuidaddos

Capítulo 1

Funciones de varias variables

Problema 1 Sea f : IR2 −→ IR definida por:

f(x, y) =

x2 − y2

ex+y − 1x > −y,

2x x ≤ −y.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2.(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f(x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en sucaso, calcular g′.

•

Solución:

(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = −y} por ser composición de funciones ele-mentales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a,−a), a ∈ IR.Para el cálculo de lım

(x,y)→(a,−a)f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función

está definida a trozos.

lım(x,y)→(a,−a)

x>−y

x2 − y2

ex+y − 1= lım

(x,y)→(a,−a)x>−y

(x− y)(x + y)ex+y − 1

= 2a


x≤−y

2x = 2a.

Por tanto, el límite existe y vale 2a = f(a,−a), es decir, f es continua en estos puntos.

(ii) La función g está definida como

g(x) = f(x, 1) =

x2 − 1

ex+1 − 1x > −1,

2x x ≤ −1.

1

2 Problemas

Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR− {−1}por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar quéocurre con x = −1. Procedemos mediante la definición de derivada.

lımx→−1

g(x)− g(−1)x + 1

= ...

Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.

• lımx→−1+

x2 − 1ex+1 − 1

+ 2

x + 1= lım

x→−1+

x2 − 3 + 2ex+1

(ex+1 − 1)(x + 1)= lım

x→−1+

2x + 2ex+1

ex+1(x + 1) + (ex+1 − 1)

= lımx→−1+

2 + 2ex+1

ex+1(x + 1) + 2ex+1= 2

• lımx→−1−

2x + 2x + 1

= lımx→−1−

2 = 2.

En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L’Hopital.

Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g′.

g′(x) =

ex+1(2x− x2 + 1)− 2x

(ex+1 − 1)2x > −1,

2 x ≤ −1.

Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

f(x, y) =

x2 cos(

1x

)+ y x 6= 0,

y x = 0.

•

Solución:

La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (0, y)} por ser producto, cociente, suma ycomposición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiarlos puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en unentorno de estos puntos la función cambia de definición.

lım(x,y)→(0,b)

x2 cos(

1x

)+ y = [0× acotada ] = b = f(0, b).

Por tanto, f también es continua en los puntos (0, b).

Varias variables 3


f(x, y) =

y2 sin(1y) + x y 6= 0,

x y = 0.

•

Solución:

La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, 0)} por ser producto, cociente, suma ycomposición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiarlos puntos de la forma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en unentorno de estos puntos la función cambia de definición.

lım(x,y)→(a,0)

y2 sin(

1y

)+ x = [0× acotada ] = a = f(a, 0).

Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0).


f(x, y) =

(1 +

exy − 1xy

(x2 + y2)) 1√

x2 + y2xy 6= 0,

(1 + y2)1/|y| x = 0 e y 6= 0,

(1 + x2)1/|x| y = 0 y x 6= 0,

1 (x, y) = (0, 0).

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2.

(ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) =(f( 1√

2x, 1√

2x)

)|x|. Analizar la derivabilidad de g y, en

su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0.

•

Solución: (i) f es continua en IR2−{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición de funcioneselementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir, (0, a), a ∈ IR ey = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0).

Para el cálculo de lım(x,y)→(0,a)

f(x, y), a 6= 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la

función está definida a trozos.

lım(x,y)→(0,a)

x6=0

(1 +

exy − 1xy

(x2 + y2)) 1√

x2 + y2=∗ (1 + a2)1/|a|

lım(x,y)→(0,a)

x=0

(1 + y2)1/|y| = (1 + a2)1/|a|

4 Problemas

Para ∗ utilizamos el infinitésimo lım(x,y)→(0,a)

x6=0

exy−1xy = 1 y, en ambos límites, que a 6= 0.

Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, a), a 6= 0. Calculamos ahorael lım

(x,y)→(b,0)f(x, y), b 6= 0 :

lım(x,y)→(b,0)

y 6=0

(1 +

exy − 1xy

(x2 + y2)) 1√

x2 + y2= (1 + b2)1/|b|

lım(x,y)→(b,0)

y=0

(1 + x2)1/|x| = (1 + b2)1/|b|

Luego la función también es continua en estos puntos. Finalmente analizamos la continuidadde la función en el origen de coordenadas:

• lım(x,y)→(0,0)

xy 6=0

(1 +

exy − 1xy

(x2 + y2)) 1√

x2 + y2= [1∞] =

e

lım(x,y)→(0,0)

xy 6=0

1√x2 + y2

(exy − 1xy

(x2 + y2))

=

e

lım(x,y)→(0,0)

xy 6=0

exy − 1xy

√x2 + y2

= [ infinitésimo ] = e0 = 1

• lım(x,y)→(0,0)

x=0

(1 + y2)1/|y| = [1∞] = e

lım(x,y)→(0,0)

x=0

y2

|y|= e

lım(x,y)→(0,0)

x=0

yy

|y|= e0 = 1

• lım(x,y)→(0,0)

y=0

(1 + x2)1/|x| = [1∞] = e

lım(x,y)→(0,0)

y=0

x2

|x|= e

lım(x,y)→(0,0)

y=0

xx

|x|= e0 = 1

Así pues la función es continua en todo IR2.

(ii) La función g está definida como

g(x) =(f(

1√2x,

1√2x)

)|x|=

(2ex2/2 − 1

)x 6= 0,

1 x = 0.

Puesto que f es continua en IR2, su restricción g es continua en IR. Además, g es derivable enIR−{0} por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizarqué ocurre con x = 0. Procedemos mediante la definición de derivada.

lımx→0

g(x)− g(0)x

= lımx→0

2ex2/2 − 2x

= lımx→0

ex2/2 − 1x2/2

x = 0.

Varias variables 5

Por tanto g es derivable en x = 0 y g′(0) = 0.

La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y − g(0) = g′(0)(x− 0) =⇒ y = 1.

Problema 5 Estudiar la continuidad de f : IR2 −→ IR definida por:

f(x, y) =

x2 − y2

ex+y − 1x > −y,

2x x = −y,

sin(x2 − y2)x + y

x < −y.

•

Solución:

(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x + y = 0} por ser composición de funcioneselementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas: x + y = 0, es decir, (a,−a), a ∈IR.

Para el cálculo de lım(x,y)→(a,−a)

f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función

está definida a trozos.


x>−y

x2 − y2

ex+y − 1= lım

(x,y)→(a,−a)x>−y

x + y

ex+y − 1(x− y) = 2a


x<−y

sin(x2 − y2)x + y

= lım(x,y)→(a,−a)

x<−y

x2 − y2

x + y= lım

(x,y)→(a,−a)x<−y

(x− y) = 2a

Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a,−a).


f(x, y) =

x sin(xy)√

x2 + y2(x, y) 6= (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0).

•

Solución:

La función f es continua en IR2 − {(0, 0)} por ser producto, composición y cociente deelementales y no anularse el denominador. Para estudiar la continuidad en el (0, 0), debemosestudiar el límite de la función.

lım(x,y)→(0,0)

x sin(xy)√x2 + y2

= lım(x,y)→(0,0)

x2y√x2 + y2

= [0× acotada ] = 0.

6 Problemas

Por tanto, lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 = f(0, 0) y f es continua en este punto.


f(x, y) =

ex+y − 1

x + yy 6= −x,

1 y = −x.

Estudiar la continuidad de f en IR2.

•

Solución: La función es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x,−x)} por ser cociente de elemen-tales y no anularse el denominador. Estudiamos que ocurre en los puntos de la forma (a,−a),a ∈ IR.


ex+y − 1x + y

= [ infinitésimos equivalente] = 1 = f(a,−a).

Por tanto, f es continua en estos puntos.

Problema 8 Estudiar la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

f(x, y) =

sin(xy)x

x > 0,

0 x = 0,

x2 − y

xx < 0.

•

Solución: (i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = 0} por ser composición de funcioneselementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta:x = 0, es decir, (0, b), b ∈ IR.

Para el cálculo de lım(x,y)→(0,b)

f(x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función

está definida a trozos.lım

(x,y)→(0,b)x>0

sin(xy)x

= lım(x,y)→(0,b)

x>0

xy

x= b

lım(x,y)→(0,b)

x<0

x2 − y

x=∗∗ −b

0= ∞

∗∗ Si b = 0, el límite es 00 que es indeterminado, es el caso que nos falta por analizar.

Varias variables 7

Por tanto, la función no es continua en los puntos de la forma (0, b), b 6= 0. Para calcular el

límite lım(x,y)→(0,0)

x<0

x2 − y

xtenemos que calcular los límites direccionales: y = mx.

lımx→0x<0

x2 −mx

x= lım

x→0x<0

x−m = −m.

Como los límites direccionales dependen de la dirección, lım(x,y)→(0,0)

x<0

x2 − y

xno existe. Por tanto,

f no es continua en (0, 0).

Problema 9 (i) Estudiar la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:

f(x, y) =

ex2−y2 − 1

x + yx 6= −y,

2x x = −y.

(ii) Sea g(x) = ex2 − 1. Hallar el desarrollo de Taylor de orden cuatro de la función g(x) en elpunto x = 0.

•

Solución:

(i) La función es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x,−x)} por se cociente de elementalesy no anularse el denominador. A continuación estudiamos que pasa con los puntos de la forma(a,−a), a ∈ IR.


ex2−y2 − 1x + y

= lım(x,y)→(a,−a)

x2 − y2

x + y= lım

(x,y)→(a,−a)(x− y) = 2a = f(a, 0).

Por tanto f es continua en (a,−a), a ∈ IR.

(ii) Para calcular el desarrollo de Taylor de 4 orden de la función g(x) en el punto x = 0 pode-mos proceder de dos formas. La primera de ellas consiste en calcular las derivadas directamentey construir el polinomio:

g(x) = g(0) + g′(0)x +g′′(0)

2x2 +

g′′′(x)6

x3 +giv)(x)

24x4.

g′(x) = 2xex2, g′′(x) = ex2

(2 + 4x2), g′′′(x) = ex2(4x + 8x + 8x3),

8 Problemas


f(x, y) =

sen(x) sen(y)exy − 1

xy 6= 0,

sen(x)x

x 6= 0, y = 0,

sen(y)y

x = 0, y 6= 0,

1 x = y = 0.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2.

(ii) Sea g(x) =(ex2 − 1

)f(x, x). Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 de g en un entorno

del punto x = 0.

•

Solución:

(i) f es continua en IR2−{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición y producto de funcioneselementales y no anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectasx 6= 0, y = 0, es decir, (a, 0), a 6= 0 y x = 0, y 6= 0, es decir, (0, b), b 6= 0 y en el punto (0, 0).

• (a, 0), a 6= 0.

lım(x,y)→(a,0)

xy 6=0


= lım(x,y)→(a,0)

xy 6=0

sen(x)yxy

=sen(a)

a= f(a, 0).

Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (a, 0), a 6= 0.

• (0, b), b 6= 0.

lım(x,y)→(0,b)

xy 6=0


= lım(x,y)→(0,b)

xy 6=0

x sen(y)xy

=sen(b)

b= f(0, b).

Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b), b 6= 0.

• Calculamos ahora el límite en el (0, 0).

lım(x,y)→(0,0)

xy 6=0


= lım(x,y)→(0,0)

xy 6=0

1 = f(0, 0)

La función es continua en (0, 0).

(ii) Calculamos g(x) =(ex2 − 1

)f(x, x) = sen2(x). El polinomio de Taylor de orden 4 de g

en un entorno del punto x = 0 es:

P4,0(g)(x) = g(0) + g′(0)x +g′′(0)

2!x2 +

g′′′(0)3!

x3 +giv)(0)

4!x4.

Varias variables 9

Calculamos en primer lugar las derivadas y las evaluamos en x = 0.

g(x) = sen2(x) g(0) = 0

g′(x) = 2 sen(x) cos(x) g′(0) = 0

g′′(x) = 2(cos2(x)− sen2(x)) g′′(0) = 2

g′′′(x) = 2(−2 cos(x) sen(x)− 2 sen(x) cos(x)) = −8 sen(x) cos(x) g′′′(0) = 0

giv)(x) = −8(cos2(x)− sen2(x)) giv)(0) = −8

Por tanto,

P4,0(g)(x) = x2 − x4

3.


f(x, y) =

senh(xy)

xx 6= 0,

y x = 0.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2.(ii) Sea g(x) = f(x, x). Demostrar que g es C1(IR) y hallar el polinomio de Taylor de orden 1de g en un entorno del punto x = 0.(Indicación: Si lım

x→ak(x) = 0 entonces senh(k(x)) es un infinitésimo equivalente a k(x), x ∈ IRn.)

•

Solución:

(i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = 0} por ser cociente de funciones elementales yno anularse el denominador. Falta examinar qué ocurre en puntos de la recta: x = 0, es decir,puntos de la forma (0, b).

lım(x,y)→(0,b)

x6=0

senh(xy)x

= lım(x,y)→(0,b)

x6=0

xy

x= b = f(0, b)

Por tanto, la función es continua en los puntos de la forma (0, b).

(ii) Calculamos g(x) = f(x, x).

g(x) =

senh(x2)x

, x 6= 0

0, x = 0.

Para demostrar que g ∈ C1(IR) tenemos que probar que g es continua y derivable concontinuidad en IR.

10 Problemas

La función g es continua en IR por ser la restricción de una función continua. Por otro lado,para cualquier punto x 6= 0 tenemos que

g′(x) = 2 cosh(x2)− senh(x2)x2

,

que es continua por ser composición de funciones elementales y no anularse el denominador.

Para calcular la derivada en x = 0 aplicamos la definición.

g′(0) = lımx→0

g(x)− g(0)x− 0

= lımx→0

senh(x2)x2

= 1.

Por tanto, g es derivable en x = 0 y g′(0) = 1. Además,

lımx→0

g′(x) = lımx→0

2 cosh(x2)− senh(x2)x2

= 2− 1 = 1 = g′(0).

Por tanto g ∈ C1(IR).

El polinomio de Taylor de orden 1 de g en un entorno del punto x = 0 es:

P1,0(g)(x) = g(0) + g′(0)x = x.

Problema 12 Sea f : IR2 −→ IR la función definida por

f(x, y) =

(y3 − x)(ex−y − 1)

x2 − y2si x2 − y2 6= 0

x2−12 si x2 − y2 = 0

.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2.(ii) Sea g : IR −→ IR definida como g(x) = f(x, 1). Estudiar la derivabilidad de g en IR y en sucaso calcular la función g′.

•

Solución:

(1) La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x2 − y2 6= 0} por ser composición defunciones elementales que son continuas. Debemos estudiar sólo la continuidad en los puntos delas rectas x−y = 0 y x+y = 0, ya que entorno de estos puntos la función cambia de definición.

• x− y = 0, los puntos son de la forma (a, a), a ∈ IR.

lım(x,y)→(a,a)

y3 − x

x2 − y2(ex−y − 1) = lım

(x,y)→(a,a)

y3 − x

x + y

ex−y − 1x− y

=

a3 − a

2a=

a2 − 12

= f(a, a) si a 6= 0

indeterminado si a = 0

Varias variables 11

Para resolver la indeterminación debemos calcular el límite mediante los límites por rectas:

y = mx =⇒ lımx→0

m3x3 − x

x + mx= lım

x→0

m3x2 − 11 + m

=−1

1 + m.

Como este último límite depende de las rectas, la función no es continua en el (0, 0), pero sílo es en los puntos de la forma (a, a), a 6= 0.

• x + y = 0, los puntos son de la forma (a,−a), a ∈ IR. Podemos suponer a 6= 0, ya que delapartado anterior sabemos que no será continua en este caso.


y3 − x

x2 − y2(ex−y − 1) = lım

(x,y)→(a,−a)

y3 − x

x + y

ex−y − 1x− y

=

(−a3 − a)(e2a − 1)0

= ∞,

Luego f no es continua en los puntos de la forma (a,−a).

(ii) La función g(x) = f(x, 1) está dada por:

g(x) =

(1− x)(ex−1 − 1)x2 − 1

si x 6= 1,−1

0 si x = 1,−1=

−(ex−1 − 1)x + 1

si x 6= 1,−1

0 si x = 1,−1

La función g es continua en IR−{−1}, ya que la función f no era continua en (−1, 1). Por tantotambién sabemos que g no será derivable en x = −1. Por otro lado g es derivable en IR−{1,−1}por ser composición de funciones derivables y no anularse el denominador. Luego sólo nos faltapor estudiar la derivabilidad en el punto x = 1, que debemos efectuar mediante la definición.

g′(1) = lımx→1

g(x)− g(1)x− 1

= lımx→1

− ex−1−1x+1

x− 1= lım

x→1−ex−1 − 1

x− 11

x + 1= −1

2,

lo que implica que g es derivable en x = 1.

Por último la función derivada es:

g′(x) =

{− ex−1x+1

(x+1)2 si x 6= 1

− 12 si x = 1

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