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Universidad Nacional de Misiones Ingeniería Electrónica Control Clásico y Moderno Informe de Trabajo Práctico N° 1 Controladores Autores: HOFF Romina A. KRUJOSKI Matías G. VIERA Juan R. Grupo Nº 4 Profesores Responsables: Dr. Ing. Fernando Botterón Ing. Guillermo Fernández Ing. Yonatan Aguirre Ing. Omar Bauernfeid Sr. Claudio Kruberto Sr. Germán Linder Oberá, Misiones, 24/05/2014

Controladores lineales - Proyecto por Ziegler-Nichols - Principio de Modelo Interno - Reubicación de polos método clásico

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Informe de trabajo práctico para la materia Control Clásico y Moderno en la carrera de Ingeniería Electrónica.

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Universidad Nacional de Misiones

Ingeniería Electrónica

Control Clásico y Moderno

Informe de Trabajo Práctico N° 1

Controladores

Autores:

HOFF Romina A.

KRUJOSKI Matías G.

VIERA Juan R.

Grupo Nº 4

Profesores Responsables:

Dr. Ing. Fernando Botterón

Ing. Guillermo Fernández

Ing. Yonatan Aguirre

Ing. Omar Bauernfeid

Sr. Claudio Kruberto

Sr. Germán Linder

Oberá, Misiones, 24/05/2014

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Ejercicio 1)

Sea la función de transferencia del sistema en la Figura 1.1 dada por la ecuación (1.1).

Proyectar el compensador Gc(s) por reubicación de polos método clásico, para satisfacer

las siguientes especificaciones de desempeño: sobrepaso máximo Mp=5% y tiempo de

establecimiento ts=10 seg. Además, el sistema debe ser capaz de seguir una entrada en

escalón r(t)=5 con error de régimen permanente nulo.

𝐺𝑝(𝑠) =𝑠 + 2

𝑠2 + 10 (1.1)

Nota: Considerar el valor de frecuencia del polo no dominante como 1000 veces el valor

de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado.

Figura 1.1: Diagrama de bloques del sistema

a) En un mismo gráfico, trazar la señal de salida y(t) para la entrada en escalón

definida, para el sistema sin compensación y para el sistema compensado.

Verificar sí se satisfacen las especificaciones y comentar los resultados.

b) En un gráfico trazar la señal de error e(t) y en otro gráfico, la señal de la acción

de control u(t). Para obtener éstas señales utilizar el programa PSIM. Comentar

los resultados.

Para realizar las simulaciones, utilizar PSIM o Simulink. Una vez que el sistema alcanzó

el régimen permanente, efectuar una variación en escalón de la referencia desde, por

ejemplo, el 50% al 100% de la misma para verificar el desempeño transitorio del sistema

compensado. Esto vale también para los ejercicios 2 y 3.

Resolución

Para el sistema presentado en la Figura 1.1 se aprecia que el orden de la planta es 2; en

tanto que el orden mínimo posible para el compensador está dado por la expresión (1.2).

𝑚 = 𝑛 − 1 = 1 (1.2)

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Partiendo de las especificaciones de desempeño transitorio se puede definir los polos

deseados, según la expresión (1.3).

𝜎 =4

𝑡𝑠=

4

10= 0,4 (1.3)

𝜉 =−ln(𝑀𝑝)

√ln(𝑀𝑝)2+ 𝜋2

= 0,69 (1.4)

En tanto que la frecuencia natural del sistema compensado, se obtiene como muestra la

expresión (1.5).

𝜔𝑛 =𝜎

𝜉=

0,4

0,69= 0,57 (1.5)

Por su parte, la función de transferencia a lazo cerrado para el esquema de la Figura 1.1

resulta como muestra la expresión (1.6).

𝐺𝑙𝑐(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐾𝑟𝐺𝑐𝐺𝑝

1 + 𝐺𝑐𝐺𝑝=

𝐾𝑟𝑁𝑐(𝑠)𝑁𝑝(𝑠)

𝐷𝑐(𝑠)𝐷𝑝(𝑠) + 𝑁𝑐(𝑠)𝑁𝑝(𝑠) (1.6)

De modo que el polinomio característico deseado -considerando que el polo no

dominante esté a 1000 veces del polo dominante- toma la forma de la ecuación (1.8).

𝐹(𝑠) = (𝑠 + 1000𝜎) ∙ (𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2) (1.7)

𝐹(𝑠) = 𝑠3 + 400, 8𝑠2 + 320,1𝑠 + 134,56 (1.8)

Según el método clásico de reubicación de polos, se debe resolver las ecuaciones

presentadas en forma matricial en (1.9).

[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1]𝑆𝑚 = [𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3] (1.9)

Dónde la matriz Sm está dada por el arreglo de los coeficientes de la planta mostrado en

la ecuación (1.10); y resulta de 2(m+1) filas por n+m+1 columnas.

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𝑆𝑚 = [

10 0 1 02 1 0 00 10 0 10 2 1 0

] (1.10)

De modo que la ecuación matricial presentada en (1.9); considerando los coeficientes

del polinomio característico deseado, dado en (1.8); toma la forma de (1.11).

[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1] [

10 0 1 02 1 0 00 10 0 10 2 1 0

] = [134,56 320,1 400,8 1] (1.11)

Resolviendo las ecuaciones dadas en (1.11), se obtienen los coeficientes del polinomio

del controlador, exhibidos en forma matricial en (1.12).

[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1] = [79,6 −330,78 1 320,39] (1.12)

Los coeficientes del controlador obtenidos, permiten escribirlo como el polinomio

presentado en (1.13).

𝐺𝑐(𝑠) =320,4 ∙ 𝑠 − 330,78

𝑠 + 79,6 (1.13)

Este sistema deberá seguir, con error en estado estacionario nulo, a una referencia

constante; de modo que la salida estará dada por la expresión (1.14).

𝐺𝑙𝑐(𝑠) = 𝐺𝑙𝑐(𝑠) ∙𝑎

𝑠 (1.14)

En consecuencia, por aplicación del teorema del valor final debe verificarse lo presentado

en (1.15).

𝐺𝑙𝑐(0) = 1 (1.15)

Dada esta condición, se puede dimensionar la constante de la referencia (Kr) para

compensar la ganancia estática que posee la función transferencia en lazo cerrado. De

modo que debe verificarse lo expuesto en (1.16); operando resulta la expresión dada en

(1.17); y finalmente la ganancia de la referencia resulta según (1.18).

𝐺𝑙𝑐(0) =𝐾𝑟𝑁𝑐(0)𝑁𝑝(0)

𝐹(0) (1.16)

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𝐺𝑙𝑐(0) =𝐾𝑟𝑁𝑐0𝑁𝑝0

𝐹0 (1.17)

𝐾𝑟 =𝐹0

𝑁𝑐0𝑁𝑝0=

134,56

−330,78 ∙ 2= −0,2034 (1.18)

Así, la función transferencia a lazo cerrado para el sistema compensado, presentada

previamente en (1.6), resulta como en (1.19).

𝐺𝑙𝑐(𝑠) =𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

−0,2034 ∙ (320,4 ∙ 𝑠 − 330,78)(𝑠 + 2)

(𝑠 + 79,6)(𝑠2 + 10) + (320,4 ∙ 𝑠 − 330,78)(𝑠 + 2) (1.19)

a)

Recurriendo al software PSIM se generó el diagrama de simulación presentado en la

Figura 1.2. Mediante esta simulación se obtiene la gráfica de comparación entre la salida

para la planta sin compensar y compensada, exhibida en Figura 1.3.

Figura 1.2: Diagrama de simulación en PSIM

0 10 20 30 40

Time (s)

0

-2

2

4

6

Ref Y-comp Y-s-comp

r(t)

Ycomp

Ys-comp

Figura 1.3: Salida para el sistema compensado y sin compensar

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En la Figura 1.3 se evidencia que el sistema compensado logra alcanzar a la referencia;

sin embargo, no puede seguir la referencia con un error de estado estacionario nulo. Esto

último se debe a que la planta en su naturaleza no incorpora un integrador, es decir, su

función transferencia no posee un polo en el origen; además, el compensador calculado

según el método clásico de reubicación de polos tampoco incorporó el mencionado polo

en el origen que llevaría el error en régimen estacionario a ser nulo.

Recurriendo a las herramientas de análisis gráfico del simulador se determinan los

parámetros característicos para la respuesta del sistema compensado dados en la Tabla

1.1.

Tabla 1.1: Parámetros de la respuesta compensada

Sobrepaso Mp 4,22% Tiempo de asentamiento ts 3,22s

b)

Valiéndose del mismo esquema de simulación presentado en la Figura 1.2, se genera la

comparación entre las señales de error del sistema compensado y sin compensar.

0 10 20 30 40

Time (s)

0

-2

-4

-6

-8

2

4

6

E-comp E-s_com Ref

r(t)

E-s_comp(t)

E-comp(t)

Figura 1.4: Error para el sistema compensado y sin compensar

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0 10 20 30 40

Time (s)

0

-50

-100

-150

-200

50

U Ylc

U(t)

Y(t)

Figura 1.5: Acción de Control para el sistema compensado

En la Figura 1.4 puede apreciarse que la señal de error del sistema compensado

adquiere magnitudes muy elevadas y de signo negativo; esto se debe a que la ganancia

de la referencia (Kr) posee signo negativo y al restársele la salida de la planta, se torna

de signo negativo con mayor módulo. En tanto que la magnitud del error es tan elevada

debido a que el compensador incorporado al sistema posee una ganancia muy elevada;

esto combinando a un error negativo de gran magnitud permite al controlador llevar la

planta hacia las cercanías del valor de referencia. Este comportamiento queda

evidenciado en la Figura 1.5 donde se aprecia que la acción de control aplicada sobre la

planta tiene una magnitud muy elevada.

Conclusiones:

El desarrollo del ejercicio presentado sirvió como introducción al proyecto de

controladores con el método clásico de reubicación de polos. Además, permitió apreciar

los efectos que se producen sobre la respuesta del sistema cuando la planta y el

controlador proyectado no poseen un polo en el origen; impidiendo así que el error en

estado estacionario sea nulo.

Resuelto por: Krujoski Matías G.

Ejercicio 2)

Para la misma planta del ejercicio 1, proyectar el compensador Gc(s) por ubicación de

polos método clásico, para cumplir con las especificaciones de régimen transitorio y de

régimen permanente (essp=0) especificados en el ejercicio 1, introduciendo el polinomio

θ(s) adecuado en serie con Gc(s), como muestra la Figura 2.1. Considerar en este caso,

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el valor de frecuencia del polo no dominante como 100 veces el valor de frecuencia de

la parte real del polo dominante deseado. Punto a y b, ídem ejercicio 1.

Figura 2.1: Diagrama de bloques de la planta más el compensador

Resolución

En el apartado previo se hizo mención al error de estado estacionario que presentaba el

sistema compensado al incorporar únicamente el controlador diseñado por el método

clásico de reubicación de polos. Como alternativa de solución a éste inconveniente se

propone la incorporación de un compensador, diseñado mediante la misma técnica,

contemplando el modelo interno. Tal y como se destacó, la ausencia de un polo en el

origen, en la naturaleza de la planta, causa el error de posición en estado estacionario;

en consecuencia, con el objetivo de contrarrestar dicho efecto indeseado, se propone

incorporar el polinomio θ(s) dado en la expresión (2.1) como denominador del polinomio

de modelo interno. En tanto que el numerador del modelo interno se fija en uno con el fin

de simplificar las operaciones algebraicas. De esta forma, la planta resulta de orden 3,

en consecuencia el mínimo orden del controlador a incorporar será 2; de modo que el

polinomio característico para el esquema propuesto resultará como se exhibe en la

ecuación (2.2).

θ(s) = 𝑠 (2.1)

𝐹(𝑠) = (𝑠 + 100𝜎)3 ∙ (𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2) (2.2)

Valiéndose de los resultados obtenidos en las expresiones (1.3), (1.4) y (1.5), el

polinomio característico de (2.2) resulta como se exhibe en (2.3).

𝐹(𝑠) = 𝑠5 + 120,78 ∙ 𝑠4 + 4894,72 ∙ 𝑠3 + 67814,67 ∙ 𝑠2 + 51901,9 ∙ 𝑠 + 20793,6 (2.3)

De modo que la ecuación matricial que debe resolverse, por el método clásico de

reubicación de polos, toma la forma presentada en la expresión (2.4).

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[𝐷𝑐0 𝑁𝑐0 𝐷𝑐1 𝑁𝑐1 𝐷𝑐2 𝑁𝑐2]𝑆𝑚 = [𝐹0 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐹5] (2.4)

En tanto que el arreglo de los coeficientes de la planta, resulta como el presentado en la

ecuación (2.5).

𝑆𝑚 =

[ 0 10 0 1 0 02 1 0 0 0 00 0 10 0 1 00 2 1 0 0 00 0 0 10 0 10 0 2 1 0 0]

(2.5)

Resolviendo el sistema de ecuaciones presentado previamente, se obtienen los

coeficientes para el controlador exhibidos en la expresión (2.6).

[−5154,98 10396,8 120,78 46527,46 1 10039,7] (2.6)

De modo que el controlador obtenido tiene una función transferencia como la presentada

en la ecuación (2.7).

𝐺𝑐(𝑠) =10039,7 ∙ 𝑠2 + 46527,46 ∙ 𝑠 + 10396,8

𝑠2 + 120,78 ∙ 𝑠 − 5154,98 (2.7)

Tomando las condiciones indicadas en la expresión (1.15), la nueva ganancia de la

referencia se obtiene de la ecuación (2.8).

𝐾𝑟 =𝐹0

𝑁𝑐0𝑁𝑝0=

20793,6

10396 ∙ 2= 1 (2.8)

Valiéndose del mismo esquema de simulación presentado en la Figura 2.2; se obtiene la

gráfica de salida para el sistema, presentada en la Figura 2.3.

Figura 2.2: Esquema de simulación en PSIM

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0 10 20 30

Time (s)

0

2

4

6

8

Ref Y-comp Y-s-comp

r(t)

Y-s_comp(t)

Y-comp(t)

Figura 2.3: Salida del sistema, compensado y no compensado

Puede apreciarse que el sistema compensado con el controlador proyectado mediante

la consideración del modelo interno sufre un sobrepaso extremadamente elevado – como

se detalla en la Tabla 2.1- que podría causar un daño físico a la planta, o verse limitado

a la energía disponible para aplicar en ese instante en calidad de “acción de control”. En

consecuencia, se determina que el diseño obtenido no es apto de ser implementado en

la práctica por no cumplir con las especificaciones.

Tabla 2.1: Parámetros de la respuesta compensada

Sobrepaso Mp 44,2% Tiempo de asentamiento ts 3,71s

En la Figura 2.4 se aprecia el error del sistema, y en la Figura 2.5 se puede ver la acción

de control.

0 10 20 30

Time (s)

0

-2

-4

2

4

6

Ref E-comp E-s-com

E-comp(t)

r(t)

E-s_comp(t)

Figura 2.4: Error del sistema, compensado y no compensado

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0 10 20 30

Time (s)

0

-50

50

100

150

200

Ref U

U(t)

r(t)

Figura 2.5: Acción de control aplicada al sistema

Tal y como se indicó previamente, la Figura 2.4 muestra que el error del sistema es

negativo en todo momento, evidenciando así el sobrepaso producido por la planta.

Además, en la Figura 2.5 se aprecia que la acción de control adquiere magnitudes

consideradas excesivas.

Conclusiones

En función de lo expuesto, y en base a los análisis realizados se determina que el

esquema de control propuesto no debe ser implementado; debido a las limitaciones que

posee para seguir a la referencia.

Resuelto por: Krujoski Matías G.

Ejercicio 3)

Sea la planta de primer orden dada en la figura 3.1, donde por 10

5p

sG

s

. Utilizar el

principio del modelo interno para determinar el polinomio ϕ(s) necesario para que este

sistema siga una referencia sinusoidal dada por ( ) 10 sen(2 50 )r t t . Sumar en serie con

el compensador por modelo interno, un compensador proyectado por reubicación de

polos método clásico, para las siguientes especificaciones de régimen transitorio: Mp =

0,65% y tp = 0,62seg.

Nota: Considerar el valor de frecuencia de los polos no dominantes igual a 80 veces el

valor de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado, que surge de las

especificaciones anteriores. Cambiar luego este valor de frecuencia a 200 veces el σ y

verificar el efecto sobre la velocidad de convergencia del error a cero.

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A) En un gráfico, trazar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón unitario, de

la planta sin compensación. En otro gráfico, la señal de salida y(t) para una entrada en

escalón unitario, de la planta solamente con el compensador por modelo interno, o sea,

1

( )mi

sG

. Finalmente, graficar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón

unitario, del sistema compensado con el controlador hallado por el método clásico más

el compensador por modelo interno. Comentar y justificar los resultados obtenidos en

cada uno de los gráficos anteriores.

B) En un gráfico trazar la señal de salida y(t) para la entrada sinusoidal especificada.

Comentar los resultados.

C) En un gráfico trazar la señal del error e(t) con referencia de entrada sinusoidal y en

otro gráfico la señal de la acción de control u(t) a la salida del bloque. Comentar los

resultados. Para obtener todos los gráficos pueden utilizarse tanto Matlab como PSIM.

D) verificar la estabilidad relativa del sistema con un diagrama de Nyquist.

Figura 3.1: diagrama de bloques del sistema

Desarrollo:

A)

La respuesta de la planta sin compensación, el lazo cerrado responde a la siguiente

ecuación:

10

2 15plc

sG

s

(3.1)

Cuya gráfica obtenida con Matlab se aprecia a continuación:

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Figura 3.2: Respuesta al escalón unitario, planta en lazo cerrado.

Para incluir el compensador a través del modelo interno, se debe tener en cuenta que

éste debe seguir la referencia dada en la ecuación (3.2)

( ) 10sen(2 50 )r t t (3.2)

La función de transferencia del compensador del modelo interno resulta:

2 22 2

1 1 1( )

( ) 2 100miG s

s s f s

(3.3)

Por lo que la función de transferencia de la planta más el compensador, en lazo

abierto resulta:

ˆ 3 2 2

10( )

5. (100 ) . 493480,2c

sG s

s s s

(3.4)

En la Figura 3.3 es presenta la respuesta al escalón del sistema compensado por modelo

interno, en lazo abierto. Se analiza en lazo abierto dado que en lazo cerrado, Glc(s)

posee un cero y un polo real negativo, y un par de polos complejos conjugados, cuya

parte real es positiva, por lo que el sistema se vuelve inestable y no cumple con las

especificaciones. Por lo tanto al agregar el compensador por el principio de modelo

interno, el sistema pasa a tener peores condiciones de estabilidad que anteriormente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Respuesta al escalón unitario

Tiempo (s)

Am

plit

ud

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Figura 3.3 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo abierto compensada por

modelo interno ϕ(s).

Analizando el diagrama de bode de la función en lazo abierto en la Figura 3.4, se

aprecia que el sistema resulta inestable, con lo que se verifica lo dicho anteriormente

Figura 3.4 Diagrama de bode de la planta compensada por modelo interno, en lazo

abierto

Para lograr que el sistema cumpla con las especificaciones, se propone un

controlador por el método clásico. Como el polinomio de la planta más el de modelo

interno es de tercer orden, n=3, el polinomio de compensador clásico deberá ser m=n-

1=2. Por lo que el orden de la función transferencia final resulta de n+m=5.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-5 Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

105

-225

-180

-135

-90

-45

0

System: untitled1

Phase Margin (deg): -1.82

Delay Margin (sec): 0.0199

At frequency (rad/sec): 314

Closed Loop Stable? Nofase (

deg)

-200

-150

-100

-50

0

50

System: untitled1

Gain Margin (dB): 35.9

At frequency (rad/sec): 314

Closed Loop Stable? NoMagnitud (

dB

)

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El polinomio deseado se presenta en la siguiente ecuación:

3 2 2( ) ( . ) ( 2 . )n nf s s f s s (3.5)

Donde los parámetros del polinomio deseado se calculan en función de las

especificaciones dadas.

2 2

ln0,848

ln

p

p

M

M

(3.6)

5,07d

pt

(3.7)

29,56

1

dn

(3.8)

8,12n (3.9)

Por lo que el polinomio en función de la frecuencia de los polos no dominantes será:

3 2( ) ( .8,12) ( 16,24. 91,74)F s s f s s (3.10)

La función transferencia deseada resulta de resolver el siguiente producto matricial

1

0 0 1 1 2 2 1 N N N 6 * 6 6mD D D F S

(3.11)

Donde Sm es la matriz con los coeficientes correspondientes a la función de

transferencia de la planta más el compensador diseñado por modelo interno debe ser

de 2(m+1)=6 filas por (n+m+1)=6 columnas.

493480,22 98696,04 5 1 0 0

10 1 0 0 0 0

0 493480,22 98696,04 5 1 0

0 10 1 0 0 0

0 0 493480,22 98696,04 5 1

0 0 10 1 0 0

mS

(3.12)

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Para el primer caso, donde la frecuencia de los polos no dominantes es 80 veces la de

los polos dominantes (80σ) el polinomio característico deseado resulta:

3 2

1( ) ( 80.8,12) ( 16,24. 91,74)F s s s s (3.13)

Realizando la distributiva de la ecuación anterior

5 4 3 6 2 6 6

1( ) 1966. 1298000. 295,1.10 . 4573.10 . 25150.10F s s s s s s (3.14)

Luego realizando el producto de la matriz Sm por el vector F1(s) se tiene que la función

de transferencia del controlador por reubicación de polos es:

6 2 6 6

1 2

1,1855.10 . 88,987.10 . 2308,1.10( )

1960. 3990,2c

s sG s

s s

(3.15)

En el segundo caso, donde la frecuencia de los polos no dominantes es 200 veces la de

los polos dominantes (200σ) el polinomio característico deseado resulta:

3 2

2( ) ( 200.8,12) ( 16,24. 91,74)F s s s s (3.16)

Realizando la distributiva de la ecuación anterior

5 4 3 9 2 9 9

2( ) 4890. 7996000. 4,416.10 . 70,37.10 . 392,9.10F s s s s s s (3.17)

Luego realizando el producto de la matriz Sm por el vector F2(s) se tiene que la función

de transferencia del controlador por reubicación de polos es:

6 2 6 6

2 2 3

8,0732.10 . 3853,8.10 . 49162.10( )

4884,7. 200,02.10c

s sG s

s s

(3.18)

Presentamos a continuación la gráfica de la señal de salida y(t) para una entrada en

escalón unitario de la planta mas los compensadores. Primeramente se gráfica para 80σ

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 18 de 47

Figura 3.5: Respuesta al escalón unitario en lazo cerrado de la planta compensada

por modelo interno más controlador clásico (con 80σ)

La siguiente gráfica es para 200σ

Figura 3.6: Respuesta al escalón unitario en lazo cerrado de la planta compensada

por modelo interno más controlador clásico (con 200σ)

Comparando las respuestas al escalón de las figuras 3.5 y 3.6, se ve que estas no cumple

con las especificaciones de tiempo de pico (Mp mucho mayor a 0,65%). Tampoco siguen

al valor de referencia unitario, se aprecia un tiempo de establecimiento mayor a uno

(poseen error de régimen permanente). Las respuestas de ambos casos no cumplen las

especificaciones dado que requieren una acción de control muy elevada, lo cual es difícil

lograr en un sistema físico real. Además ninguno de los controladores implementados

incorpora la dinámica del escalón para asegurar el error de régimen nulo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 Respuesta al escalón

Tiempo (s)

Am

plit

ud

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 Respuesta al escalón

Tiempo (s)

Am

plit

ud

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 19 de 47

B)

Recordando la expresión de la señal sinusoidal de entrada:

( ) 10 (100 . )r t sen t (3.19)

Se trazan las gráficas para las señales de salidas halladas con 80σ y 200σ,

respectivamente

Figura 3.7: Señal de salida ante una entrada sinusoidal, (con 80σ)

Figura 3.8: Señal de salida ante una entrada sinusoidal, (con 200σ)

Analizando las respuestas, se aprecia que en ambos casos la salida reproduce la

señal de entrada con mucha similitud. En el caso de la respuesta con 80σ, la salida

demora un tiempo pequeño en alcanzar la amplitud de la señal de entrada. Para 200σ

este tiempo es prácticamente nulo, por lo que el sistema responde mejor en este

caso.

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 20 de 47

C)

La señal de error para el primer caso es la siguiente

Figura 3.9: Señal de error ante una entrada sinusoidal, (con 80σ)

Figura 3.10: Señal de error ante una entrada sinusoidal, (con 200σ)

De la comparación de las gráficas de la señal de error se aprecia que la magnitud del

error es menor cuanto mayor es σ. La acción de control resultante pare el sistema

compensado con 80σ es el siguiente:

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 21 de 47

Figura 3.11: Acción de control del sistema compensado ante una entrada

sinusoidal, (con 80σ)

Realizando un zoom de la acción de control:

Figura 3.12: Zoom de la acción de control del sistema compensado ante una entrada

sinusoidal, (con 80σ)

La acción de control resultante pare el sistema compensado con 200σ es el siguiente:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

x 105

Accion de control

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 22 de 47

Figura 3.13: Acción de control del sistema compensado ante una entrada sinusoidal, (con

200σ)

Un zoom de la acción de control se va a continuación:

Figura 3.14: Zoom de la acción de control del sistema compensado ante una

entrada sinusoidal, (con 200σ)

Analizando las gráficas de las acciones de control, se ve que en un primer instante, la

acción es muy elevada, luego disminuye y finalmente oscila en régimen permanente

entorno a cero, con amplitudes mayores a la de la señal de referencia.

En el caso de 200σ la amplitud de la acción de control y de las oscilaciones es menor

que en el primer caso.

D)

Con el objetivo de analizar la estabilidad relativa del sistema compensado, en lazo

abierto, se realizan las gráficas del diagrama de Nyquist para 80σ y 200σ

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

x 106

Accion de control

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plit

ude

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 23 de 47

Figura 3.15: Diagrama de Nyquist, (con 80σ)

Utilizando la función de Matlab que nos la información acerca de la estabilidad del

sistema, podemos ver en la Figura 3.16 que el sistema es estable para 80σ.

Figura 3.16: zoom del diagrama de Nyquist, (con 80σ)

Las gráficas del diagrama de Nyquist para 200σ resultan:

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

x 1013

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

14Diagrama de Nyquist

Eje Real

Eje

Im

ag

ina

rio

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-2 -1 0 1 2 3 4-6

-4

-2

0

2

4

6

System: untitled1

Phase Margin (deg): 63.8

Delay Margin (sec): 0.00157

At frequency (rad/sec): 709

Closed Loop Stable? Yes

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 24 de 47

Figura 3.17: Diagrama de Nyquist, (con 200σ)

Nuevamente utilizando la función de Matlab que nos informa acerca de la estabilidad del

sistema, vemos que en este caso, también resulta estable.

Figura 3.18: zoom del diagrama de Nyquist, (con 200σ)

(Resuelto por Hoff Romina)

Ejercicio 4)

El modelo promedio de la planta lineal e invariante en el tiempo de un convertidor CC-

CA, está dada por la siguiente función de transferencia:

2

1/( )( )

/( ) 1/( )p

LCG s

s s RC LC

(4.1)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

x 1014

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

14Diagrama de Nyquist

Eje Real

Eje

Im

ag

ina

rio

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-4

-2

0

2

4

6

System: untitled1

Phase Margin (deg): 53.7

Delay Margin (sec): 0.000561

At frequency (rad/sec): 1.67e+003

Closed Loop Stable? Yes

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 25 de 47

Donde L = 1mHy, C = 25 µF y R = 2Ω. Utilizar el principio del modelo interno para

determinar el polinomio ø(s) necesario para que este sistema siga una referencia

sinusoidal dada por r(t) = 311sen(2π.50.t) . Conectar en serie con el compensador por

modelo interno, un compensador proyectado por reubicación de polos método clásico,

para las siguientes especificaciones de régimen transitorio: Mp = 2% y tp = 10mseg.

Nota: Considerar el valor de frecuencia de los polos no dominantes igual a 100 veces el

valor de frecuencia de la parte real del polo dominante deseado.

A) En un gráfico, trazar la señal de salida y(t) para una entrada en escalón unitario

de la planta en lazo cerrado sin compensación. En otro gráfico, representar la señal de

salida y(t) para una entrada en escalón unitario, del sistema compensado con el

controlador compuesto hallado; o sea ˆ ( ) ( ) ( )c c miG s G s G s . Comentar y justificar los

resultados obtenidos en cada uno de los gráficos anteriores.

B) En un gráfico trazar la señal de salida y(t) para la entrada sinusoidal especificada.

Comentar los resultados.

C) En un gráfico con referencia de entrada sinusoidal, trazar la señal del error e(t) y

en otro gráfico, la señal de la acción de control u(t) a la salida del bloque ˆ ( )cG s . Comentar

los resultados. Para obtener todos los gráficos pueden utilizarse tanto Matlab como

PSIM.

D) Verificar la estabilidad relativa del sistema con un diagrama de Bode.

Desarrollo:

A) Reemplazando los valores en la ecuación (4.1) se tiene la función transferencia

de la planta

6

2 6

40.10( )

20000. 40.10pG s

s s

(4.2)

La respuesta al escalón de la función de transferencia de la planta en lazo cerrado se

expone a continuación:

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 26 de 47

Figura 4.1: Respuesta al escalón unitario de la planta en lazo cerrado.

Para incluir el compensador a través del modelo interno, se debe tener en cuenta que

éste debe seguir la referencia dada en la ecuación

( ) 311sen(2 50 )r t t (4.3)

Por lo que la función de transferencia del compensador del modelo interno resulta:

2 22 2

1 1 1( )

( ) 2 100miG s

s s f s

(4.4)

Por lo que la nueva función que en lazo abierto resulta:

6

4 3 6 2 9 12

40.10ˆ ( )20000 40,1.10 . 1,974.10 . 3,948.10

cmi laG ss s s s

(4.5)

La siguiente figura es la respuesta al escalón del sistema compensado por modelo

interno, en lazo abierto

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x 10 -3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Respuesta al escalón

Tiempo (s)

Am

plit

ud

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 27 de 47

Figura 4.2 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo abierto compensada por

modelo interno ϕ(s).

A continuación se analiza la estabilidad del sistema a lazo abierto, mediante el diagrama

de Bode.

Figura 4.3 Diagrama de Bode de la planta en lazo abierto, compensada por modelo

interno

En la Figura 4.3 se aprecia que el sistema en lazo abierto compensado por modelo

interno es inestable. Esto indica que el sistema en lazo cerrado también es inestable, ya

que posee un par de polos complejos conjugados en el semiplano derecho (parte real

positiva). Además el compensador no se proyecta para una respuesta al escalón, sino

para una referencia sinusoidal.

-400

-300

-200

-100

0

100

Magnitud (

dB

)

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/sec)

100

102

104

106

-405

-360

-315

-270

-225

-180

System: Gplc

Phase Margin (deg): -17.9

Delay Margin (sec): 0.019

At frequency (rad/sec): 314

Closed Loop Stable? No

Fase (

deg)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0

0.5

1

1.5

2

2.5 x 10

-5 Respuesta al escalón

Tiempo (s)

Am

plit

ud

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 28 de 47

Para devolver la estabilidad al sistema y cumplir las especificaciones dadas, se procede

a conectar en serie a la planta y al compensador de modelo interno, un compensador

proyectado por el método de reubicación de polos.

Entonces, como el polinomio de la planta más el de modelo interno es de cuarto orden,

n=4, el polinomio de compensador clásico deberá ser m=n-1=3. Por lo que el orden de

la función transferencia final resulta de n+m=7.

El polinomio deseado se presenta en la siguiente ecuación:

5 2 2( ) ( . ) ( 2 . )n nf s s f s s (4.6)

Donde los parámetros del polinomio deseado se calculan en función de las

especificaciones dadas.

2 2

ln0,7797

ln

p

p

M

M

(4.7)

314,15d

pt

(4.8)

2501,73

1

dn

(4.9)

391,2n (4.10)

En este caso, la frecuencia de los polos no dominantes es 100 veces la de los polos

dominantes (100σ) por lo que el polinomio característico deseado resulta:

5 2 3( ) ( 100.391,2) ( 782,4. 251,7.10 )F s s s s (4.11)

Realizando la distributiva de la ecuación (4.11) se tiene el polinomio F(s):

7 5 6 10 5 14 4 19 3 23 2 25 28( ) s +1,964.10 .s +1,546.10 .s +6,107.10 .s +1,218.10 .s +1,009.10 .s +7,463.10 .s+2,306.10F s (4.12)

La función transferencia deseada resulta de resolver el siguiente producto matricial

1

0 0 1 1 2 2 3 3 N N N N 8 * 8 8mD D D D F S

(4.13)

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 29 de 47

Donde Sm es la matriz con los coeficientes correspondientes a la función de transferencia

de la planta compensada por modelo interno debe ser de 2(m+1)=8 filas por (n+m+1)=8

columnas.

12 9 63, 948.10 1, 974.10 40,1.10 20000 1 0 0 0

640.10 0 0 0 0 0 0 0

12 9 6 20000 1 0 00 3, 948.10 1, 974.10 40,1.10

0 0 60 40.10 0 0

Sm

0 0

12 9 60 0 3, 948.10 1, 974.10 40,1.10 20000 1 06

0 0 40.10 0 0 0 0 0

12 9 60 0 0 3, 948.10 1,974.10 40,1.10 20000 1

6 0 0 0 00 0 0 40.10

(4.14)

Resolviendo el producto de la inversa de la matriz Sm por el vector F(s), se obtienen los

coeficientes con los cuales se arma la función de transferencia del controlador por

reubicación de polos, esta se aprecia en la ecuación (4.15).

11 3 15 2 18 20

3 5 2 10 14

1,097.10 . 2,156.10 . 1,847.10 . 5,405.10( )

1,764.10 . 1,189.10 . 3,659.10c

s s sG s

s s s

(4.15)

A continuación se gráfica la señal de salida y(t) de la planta en lazo cerrado, compensada

por modelo interno más controlador por reubicación de polos. Ante una entrada en

escalón unitario.

Figura 4.4 Respuesta al escalón unitario, planta en lazo cerrado compensada por

modelo interno y por controlador clásico.

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Respuesta al escalón

Tiempo (sec)

Am

plit

ud

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 30 de 47

En la Figura 4.4 se aprecia que la señal de salida no responde según las

especificaciones, cuando la entrada es un escalón, ya que posee un tiempo de

asentamiento mayor a 10 ms, se establece en un valor menor a uno.

B)

En la Figura 4.5 se analiza la respuesta del sistema ante la entrada sinusoidal

especificada r(t)=311sen(100π.t)

Se observa que la señal de entrada queda totalmente superpuesta con la señal de salida,

esto indica que la salida sigue fielmente a la entrada desde el primer instante. Por lo que

el sistema compensado responde satisfactoriamente.

Figura 4.5: Respuesta de la planta en lazo cerrado compensada por modelo interno

y por controlador clásico.

C)

La señal de error, se aprecia en la Figura 4.6 donde el error es nulo prácticamente desde

el inicio de la acción de control. Es un sistema que responde con mucha precisión.

Figura 4.6 Señal de error, planta en lazo cerrado compensada por modelo interno

y por controlador clásico.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-300

-200

-100

0

100

200

300

Respuesta a una entrada sinusoidal

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-300

-200

-100

0

100

200

300

señal de error

Tiempo (sec)

Am

plitu

d

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 31 de 47

En la Figura 4.7 se presenta la acción de control del compensador, la cual es muy

elevada en un primer instante y luego se estabiliza.

Figura 4.7: Acción de control, planta en lazo cerrado compensada por modelo interno y

por controlador clásico.

En la Figura 4.8 se presenta un zoom de la acción de control. Se ve que la acción de

control es sinusoidal pero es muy elevada. Por lo cual no es viable implementar un

controlador físico real que realice dicha acción de control.

Figura 4.8: Zoom de la acción de control, planta en lazo cerrado compensada por modelo

interno y por controlador clásico.

D)

Para analizar si el sistema es estable, se realiza un Diagrama de Bode. Este se aprecia

en la Figura 4.9, y nos dice que el sistema resulta estable.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 x 10 -4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x 10 10 Acción de control

Tiempo (s)

Am

plit

ud

0.265 0.27 0.275 0.28 0.285 0.29 0.295 0.3

-4

-3

-2

-1

0

1

2 x 10 8 Acción de control

Tiempo (s)

Am

plit

ud

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 32 de 47

Figura 4.9: Diagrama de Bode de la planta en lazo abierto compensada por modelo

interno y por controlador clásico.

Finalmente se puede concluir que el sistema compensado resultó estable, la acción de

control responde rápidamente a la señal de entrada, posee una señal de error

prácticamente nulo. Pero para lograr la implementación de este controlador se requiere

de una acción de control muy elevada, por lo que el orden del controlador es grande. Así

mismo el diseño del controlador es complicado y existe una limitación en cuanto a

componentes físicos reales a la hora de la implementación.

(Resuelto por: Hoff Romina)

Ejercicio 5)

Sea la función de transferencia de un proceso dada por 𝐺𝑝(𝑠) =1

(100𝑠+1)(10𝑠+1)base a la

respuesta al escalón unitario de este sistema, proyectar, utilizando el método de Ziegler-

Nichols de lazo abierto: 1- Un compensador proporcional; 2- Un compensador

proporcional-integral y 3- Un compensador proporcional-integral-derivativo. En cada

caso, trazar la respuesta al escalón del sistema compensado y concluir sobre los

resultados obtenidos.

Resolución:

Primero se realizo el grafico de la respuesta de la función en lazo abierto con el programa

Matlab® y con este se aproximo una función por medio del método pedido.

El programa utilizado es el que se ve en la Tabla 5.1: script de Matlab ® para hallar la

respuesta al impulso en lazo abierto.

Diagrama de Bode

Frecuencia (rad/sec)

101

102

103

104

105

106

-360

-270

-180

-90

0

System: untitled1

Phase Margin (deg): 72

Delay Margin (sec): 0.000103

At frequency (rad/sec): 1.22e+004

Closed Loop Stable? Yes

Fa

se

(d

eg

)

-200

-100

0

100

200

300

400

System: untitled1

Gain Margin (dB): 13.4

At frequency (rad/sec): 4.58e+004

Closed Loop Stable? Yes

Ma

gn

itu

d (

dB

)

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HOFF – KRUJOSKI – VIERA Página 33 de 47

Tabla 5.1: script de Matlab ® para hallar la respuesta al impulso en lazo abierto.

clc clear all close all num=[0 0 0.001]; % numerador de lazo abierto den=[1 0.11 0.001]; %denominador de lazo abiero y=tf(num,den) %funcion de transferencia de lazo abiero step(y) % respuesta al escalon de la funcion de lazo abierto

El gráfico obtenido sobre el que se realizaron las mediciones para hallar el modelo de

Ziegler Nichols se encuentra en la Figura 5. 1: Resultado de la respuesta al escalón y

mediciones realizadas

Figura 5. 1: Resultado de la respuesta al escalón y mediciones realizadas

Se grafica la salida de la planta a lazo abierto, cuando a la entrada se aplica un escalón

unitario, trazando una recta tangente al punto de inflexión, donde esta recta corta la

asíntota de régimen permanente se mide una de las constantes T proyectando esta

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intersección al eje de tiempo. La otra constante L es el valor donde se intercepta tangente

al punto de inflexión de la curva con el eje de tiempo.

La escala de tiempo vale:

𝐸𝑠𝑐𝑡: 100𝑠 = 47,18 → 1 =100𝑠

47,18= 2,12 (5.1)

Esto es según (5.1)

𝐸𝑠𝑐𝑡 → 1: 2.12 5.2)

La constante T vale:

𝑇 = 67,93. 𝑒𝑠𝑐𝑡 = 67,93 ∗ 2,12 = 134 (5.3)

La constante L vale:

𝐿 = 2,87. 𝑒𝑠𝑐𝑡 = 2,87.2,12 = 6 (5.4)

Una vez encontrado estos puntos se procede a determinar los valores del compensador

propuestos por Ziegler-Nicholls. A continuación, se propone una tabla brindada por la

cátedra con los valores para la obtención de los parámetros.

Tabla 5.5.2: Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta al

escalón unitario

Tipo de

controlador Kp Ti Td

P

T

L 0

PI 0,9

T

L

0,3

L 0

PID 1,2

T

L 2L 0,5L

Reemplazando los valores de L y T encontrados por el método propuesto en la tabla

Tabla 5.5.2: Regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la respuesta al escalón

unitario, podemos calcular los valores que se presentan a continuación:

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Tabla 5.5.3: Valores de las constantes correspondientes a los diferentes

controladores.

Tipo de controlador Kp Ti Td

P 22,37

0

PI 20,1 20 0

PID 26,8 12 3

Con los datos obtenidos se procede a implementar los controladores.

1_Compensador proporcional (P):

Si se observa la figura 4.2 se tiene que la función transferencia del compensador es:

Gc(s)=22,37

La gráfica de salida se presenta en la figura 5.2

Figura 5. 2: Respuesta al escalón unitario de la planta compensada con un P.

Se puede apreciar que se mejorar el tiempo de respuesta, pero en este caso no se

anula el error de régimen permanente, dado que solo se incorporó un compensador

proporcional.

2_Compensador proporcional - integral (PI):

En base a los datos de la tabla 5.3 la función transferencia del compensador sería

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𝐺𝑐 = 𝐾𝑝 (1 +1

𝑘𝑖𝑆) =

20,1. 𝑆 + 1

𝑆 (5.5)

El gráfico que se obtiene es el que se observa en la figura Figura 5. 3:

Figura 5. 3: Sistema con compensador PI

Se puede apreciar que se mejora notablemente el tiempo de respuesta.

2_Compensador proporcional - integral (PI):

En base a los datos de la tabla 5.3 la función transferencia del compensador será la

que se muestra en la ecuación 5.6.

𝐺𝑐 =𝑘𝑝𝑘𝑑𝑆2 + 𝑘𝑝𝑆 +

𝑘𝑝

𝑘𝑖⁄

𝑠=

80,4𝑆2 + 26,8𝑆 + 2,33

𝑆

(5.6)

El gráfico de salida se aprecia en la Figura 5. 4:

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Figura 5. 4: Sistema con compensador PID

En este caso se puede apreciar que tanto el tiempo de respuesta disminuye respecto del

caso anterior así como el sobrepaso.

Conclusiones

Se observo que método de Ziegler – Nicholls es un método simple y muy práctico a la

hora de encontrar las constantes proporcionales para los diferentes compensadores

como fueron presentados de forma genérica en la tabla 5.2. Estas constantes se obtienen

con una sola medición a lazo abierto de la planta. Además es un método apropiado para

aplicar a plantas de las cuales se desconoce su función transferencia.

(Resuelto por Viera Juan)

Ejercicio 6)

Para la función de transferencia de segundo orden con polos reales, dada a continuación,

y, en base a la aplicación de un escalón unitario, utilizar la técnica de Ziegler-Nichols que

corresponda para proyectar: 1- Un compensador proporcional; 2- Un compensador

proporcional-integral y 3- Un compensador proporcional-integral-derivativo. En cada

caso, trazar la respuesta al escalón del sistema compensado y concluir sobre los

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resultados obtenidos.

Resolución:

La función de transferencia es:

𝐺𝑐 =1,66

𝑆2 + 0,55𝑆 + 0,061 (6.1)

Para resolver este ejercicio se utilizara el método de Ziegler Nichols para sistemas de

lazo abierto,

A continuación se presenta la respuesta en lazo abierto de la planta frente a un escalón

Figura 6 .1

Figura 6 .1: Respuesta ante un escalón unitario de la planta operando en lazo

abierto

La escala utilizada fue:

𝐸𝑠𝑐𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔 = 41,47 → 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,12𝑠 (6.2)

Los valores de T y L son:

𝑇 = 110,1𝐸𝑠𝑐𝑡 = 13,27 (6.3)

𝐿 = 7,67𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,925 (6.4)

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Con estos valores, el compensador proporcional vale:

𝐾𝑝 =𝑇

𝐿= 14,34 (6.5)

Con este valor el controlador proporcional vale:

𝐺𝑐 = 14,34 (6.6)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado es la que se observa en la

Figura 6.2

Figura 6.2: Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador

proporcional.

Con un controlador proporcional mejora notablemente el tiempo de repuesta pero la

respuesta se hace bastante oscilatoria hasta alcanzar el tiempo de establecimiento

Los parámetros del controlador proporcional integral quedan:

𝐾𝑝 = 0,9𝑇

𝐿= 12,91 (6.7)

𝐾𝑖 =𝐿

0,3= 3 (6.8)

Con lo que la ecuación del compensador será:

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𝐺𝑐 =𝑘𝑝𝑘𝑖𝑆 + 𝑘𝑝

𝑆=

38,73𝑆 + 12,91

𝑆 (6.9)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la

Figura 6.3

Figura 6.3: Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador

proporcional integral.

Con este controlador la frecuencia de las oscilaciones empeora y se extienden mas en

el tiempo que en el caso anterior.

Los parámetros del controlador proporcional integral derivativo quedan:

𝐾𝑝 = 1,2𝑇

𝐿= 17,21 (6.10)

𝐾𝑖 = 2𝐿 = 1,85 (6.11)

𝐾𝑑 = 0,5𝐿 = 0,46 (6.12)

Con lo que la ecuación del compensador será:

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𝐺𝑐 =𝑘𝑝𝑘𝑑𝑆2 + 𝑘𝑝𝑆 +

𝑘𝑝

𝑘𝑖⁄

𝑠=

7,91𝑆2 + 17,21𝑆 + 9,3

𝑆

(6.13)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la

Figura 6.4

Figura 6.4 Respuesta del sistema operando en lazo cerrado con un controlador

PID

El compensador PID es el que mejor respuesta tiene, se elimina la oscilación disminuye

el sobreimpulso y baja el tiempo de asentamiento.

Conclusiones:

En la realización del ejercicio puede destacarse que la implementación de un

compensador PI a la planta aumenta el tiempo de establecimiento y el sobre impulso de

su respuesta a un escalón unitario en comparación con la implementación de un control

proporcional. Dado que la misma posee una ganancia mayor, posteriormente se vio la

implementación de una acción integral si bien nos garantiza un error de régimen

permanente nulo, este tiende a aumentar el sobrepaso en régimen transitorio. Dado que

el sistema a lazo cerrado posee un régimen transitorio con características oscilatorias la

implementación del compensador PI tiende a incrementar las amplitudes de las

oscilaciones y aumentado también el tiempo de establecimiento. La mejor respuesta al

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escalón unitario se obtuvo mediante la implementación de un controlador PID; y como

se puede observar en la Figura 6.4 el sistema presenta un comportamiento aceptable

tanto en régimen transitorio como también en régimen permanente

(Resuelto por: Viera Juan R.)

Ejercicio 7)

Sea la siguiente función de transferencia de un determinado proceso𝐺𝑝(𝑆) =1

𝑆(𝑆+5)(𝑆+3).

Utilizando el método de Ziegler-Nichols de lazo cerrado proyectar: 1- Un compensador

proporcional; 2- Un compensador proporcional-integral y 3- Un compensador

proporcional-integral-derivativo. En cada caso, trazar la respuesta al escalón del sistema

compensado y concluir sobre los resultados obtenidos.

¿Considerando que en los métodos de Ziegler-Nichols el objetivo es conseguir que el

valor del sobrepaso para una entrada en escalón, sea menor al 25%, cuáles de los

parámetros (Kp, Ti o Td) modificaría para conseguir esta reducción del sobrepaso?

Sugerencia: Modificar los parámetros del compensador, obteniendo una configuración

para la cual, la respuesta del sistema resulte menos oscilatoria. Escribir las conclusiones

sobre este análisis.

Resolución

Desarrollando a función de transferencia queda como se puede observar en la ecuación

7.1

𝐺𝑝(𝑆) =1

𝑆3 + 8𝑆2 + 15𝑆 (7.1)

Para resolver este ejercicio se utilizara el método de Ziegler Nichols para sistemas de

lazo abierto,

Se presenta en la Figura 7. 2 la respuesta a un escalón de la planta a lazo cerrado.

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Figura 7. 1: Respuesta del sistema colocando en lazo cerrado a la planta sin

compensador.

Figura 7. 2: Respuesta del sistema colocando en lazo cerrado a la planta

multiplicándola por Kcr.

La escala utilizada fue:

𝐸𝑠𝑐𝑡 = 2𝑠𝑒𝑔 = 40,4 → 𝐸𝑠𝑐𝑡 = 0,05𝑠 (7.2)

Los valores de T y L son se calculan a partir de Pcr y Kcr

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𝑃𝑐𝑟 = 32,64𝐸𝑠𝑐𝑡 = 1,62 (7.3)

Por medio del criterio de Routh podemos encontrar que Kcr vale:

𝐾𝑐𝑟 = 120 (7.4)

Con estos valores el compensador proporcional vale:

𝐾𝑝 = 0,5𝐾𝑐𝑟=60 (7.5)

Con este valor el controlador proporcional vale:

𝐺𝑐 = 60 (7.6)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la Figura

6.2

Figura 7. 3: Respuesta del sistema con el controlador proporcional.

Con un controlador proporcional mejora el tiempo de respuesta, ganando algo se

sobreimpulso.

Los parámetros del controlador proporcional integral quedan:

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𝐾𝑝 = 0,45𝐾𝑐𝑟 = 54 (7.7)

𝑇𝑖 = 0.8𝐾𝑐𝑟 = 96 (7.8)

Con lo que la ecuación del compensador será:

𝐺𝑐 = 𝑘𝑝 (1 +1

𝑇𝑖𝑆) = 54 +

54

96𝑆=

54𝑆 +9

16

𝑆 (7.9)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la Figura

6.3

Figura 7.4: Respuesta del sistema con el controlador proporcional integral.

Con este controlador el sistema no presenta cambios notorios con respecto al

compensador proporcional.

Los parámetros del controlador proporcional integral derivativo quedan:

𝐾𝑝 = 0,6𝐾𝑐𝑟 = 72 (7.10)

𝑇𝑖 = 0,5𝑃𝑐𝑟 = 0,81 (7.11)

𝑇𝑑 = 0,125𝑃𝑐𝑟 = 0,2 (7.12)

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Con lo que la ecuación del compensador será:

𝐺𝑐 = 𝐾𝑝 (1 +1

𝑇𝑖𝑆+ 𝑇𝑑𝑆) = 72 (

0,81𝑆 + 1 + 0,16𝑆2

0,81𝑆) =

14,22𝑆2 + 72𝑆 + 88,88

𝑆 (7.13)

Aplicando este compensador la respuesta de lazo cerrado queda de acuerdo a la Figura

6.4

Figura 7 .5: Respuesta del sistema con un compensador PID

Para poder apreciar la deferencia entre los tres compensadores se realiza un solo grafico

con ellos superpuestos.

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Figura 7.6: Respuesta del sistema con un compensador PID

En la figura 7.6 puede apreciarse la pequeña diferencia entre los tres compensadores,

puede observarse que el PID es el que mejor desempeño tiene.

Conclusiones:

Como la planta tiene un polo en el origen, su respuesta ya tiene error en régimen

permanente nulo, el mayor trabajo de los compensadores es el de mejorar el tiempo de

respuesta.

(Resuelto por: Viera Juan R.)