UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

Análisis Estructural

“Cuestionario # 4”

Profesor:

Dr. Mauricio Gamboa

Alumno:

Cuestionario 41. ¿Cuál es el teorema en el que se basa la relación de rigidez del elemento de marco por métodos energéticos?El teorema en el que se basa la relación de rigidez del elemento de marco por métodos energéticos es el teorema de Castigliano el cual expresa que la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a un desplazamiento es igual a la fuerza que origina ese desplazamiento. Matemáticamente expresado tenemos:

∂U∂∆

=F

2. ¿Cuál es la tarea más importante al aplicar el teorema de Castigliano para obtener la relación de rigidez en coordenadas locales del elemento de marco?La tarea más importante al aplicar el teorema de Castigliano para obtener la relación de rigidez en coordenadas locales del elemento de marco es el planteamiento de la energía de deformación U como en función del desplazamiento Δ.

3. ¿Cómo se divide la demostración de la relación de rigidez del elemento de marco y por qué?La demostración de la relación de rigidez del elemento de marco se divide en dos partes, la primera es la matriz de rigidez del elemento en flexión y la segunda, la aportación de los desplazamientos axiales a la matriz de rigidez del elemento. Esto se da ya que partimos de un elemento de marco, con seis grados de libertad o desplazamientos de extremos.

4. ¿Cuál es la fórmula de la energía de deformación que se usa para obtener la aportación de la flexión a la matriz de rigidez del elemento de marco?

U f=∫0

LM 2

2EIdx

Donde: M= momento flexionante. E = módulo de elasticidad. I = inercia.

5. ¿Cuál es la conocida relación fuerza desplazamiento de la que se parte para la obtención de la aportación de la flexión a la relación de rigidez del elemento de marco?

MEI

=d2 y (x )dx2 y (x )→elástica

La cual es la definición de curvatura, la cual esta relacionada con una ecuación llamada Y(x) (plano XY).

MEI

=d2 z (x )dx2 z (x)→elástica

La cual es la definición de curvatura, la cual está relacionada con una ecuación llamada Y(x) (plano XZ).

6. ¿Cuántos desplazamientos del elemento de marco aportan rigidez por flexión?Son 4 desplazamientos que aportan rigidez por flexión y son: ∆zi, Өyi, ∆zj, Өyj,

7. ¿Cuáles son las dos ecuaciones que se presumen lineal y cúbica para relacionar los desplazamientos de extremo con la energía de deformación del elemento de marco por flexión?La ecuación que se presume lineal es M = A x + B y la que se presume cúbica es:

y ( x )=ax3+bx2+cx+d

EI

8. ¿Qué se obtiene de la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de la ecuación de la elástica respectivamente?Si derivamos la ecuación cúbica de la elástica, obtenemos una ecuación cuadrática que representa la pendiente, θ z(x) en cualquier punto del elemento:

dy (x)dx

=θz ( x )=3ax2+2bx+cEI

Si derivamos nuevamente la elástica se obtiene la ecuación de la curvatura en función de los desplazamientos de extremo:

d2 y (x )dx2 =

Mz (x)EI

=⌊N 1 {N} rsub {2} N3 left none {N} rsub {4} ⌋ {

∆ y1

θ z1

∆ y1

θ z1

}conN1= {12x} over {{L} ^ {3}} - {6} over {{L} ^ {2}} ## {N} rsub {2} =6 x

L2 − 4L

N3 = {12x} over {{L} ^ {3}} + {6} over {{L} ^ {2}} ## {N} rsub {4} =6 xL2 − 2

L

¿¿

Si derivamos de nuevo la elástica, se obtiene la ecuación del cortante (constante) en función de los desplazamientos de extremo:

Si derivamos una vez más, se obtendrá la ecuación de la carga (nula) en función de los desplazamientos de extremo, la ausencia de carga en el elemento es correcta, ya que se partió de un conjunto de desplazamientos y fuerzas nodales:

9. ¿Qué representan las ecuaciones de interpolación que se obtienen a partir de la ecuación de la elástica en función de los desplazamientos de extremo y qué representan sus derivadas? Los polinomios cúbicos N1, N2, N3 y N4 son conocidas como funciones de

interpolación y cada uno de ellos está relacionado con un desplazamiento de extremo (Δyi, θ zi, Δyj y θ zj, respectivamente). Estos polinomios representan la aportación de

cada desplazamiento de extremo a la elástica. Si derivamos estos polinomios, sus derivadas representarán la aportación de cada desplazamiento de extremo a la pendiente.

10. Explicita la relación de rigidez obtenida de aplicar el Teorema de Castigliano a la energía de deformación por flexión en función de los desplazamientos de extremo y explica el porqué de las diferencias que se obtienen entre las aportaciones de la flexión a las matrices de rigidez del elemento de marco en los planos XY y XZ.Para el plano XY

Para el plano XZ

Como se puede apreciar hay cierta diferencia entre ambos planos de estudio. Esto se debe a que al trabajar en el plano XZ tanto para los productos fuerza-rotación y momento-desplazamiento debido al plano cambia su signo respecto al plano XY.

11. ¿Cuál es la fórmula de la energía de deformación que se usa para obtener la aportación de la carga axial a la matriz de rigidez del elemento de marco?

12. ¿Cuáles son las dos relaciones de las que se parte para la obtención de la aportación de la carga axial a la relación de rigidez del elemento de marco?

Donde: ε = desplazamiento unitario.u(x) = desplazamiento en x. σ = esfuerzo axial en x.E = módulo de elasticidad.

13. ¿Cuántos desplazamientos del elemento de marco aportan rigidez axial?Son dos desplazamientos, uno en el nodo inicial (Δxi) y uno en el nodo final (Δxj). 14. ¿Cuál es la ecuación que se presumen lineal para relacionar los desplazamientos de extremo con la energía de deformación axial del elemento de marco?

Fzi

Myi

Fzj

Myj

Δzi

Ѳyi

Δzj

Ѳyj

15. ¿Qué se obtiene de la primera derivada de la ecuación de la deformación axial?De la primera derivada de la ecuación de la deformación axial se obtiene la deformación unitaria axial.

16. ¿Qué representan las ecuaciones de interpolación que se obtienen a partir de la ecuación de la deformación axial en función de los desplazamientos de extremo y qué representa su derivada?Las ecuaciones de interpolación que se obtienen de la ecuación de la deformación axial representan la aportación de cada desplazamiento de extremo al desplazamiento axial total. Su derivada representa la aportación de cada desplazamiento de extremo al desplazamiento axial unitario.

17. Explicita la relación de rigidez obtenida de aplicar el Teorema de Castigliano a la energía de deformación axial en función de los desplazamientos de extremo y explica por qué no hay diferencias entre las aportaciones de la carga axial a las matrices de rigidez del elemento de marco en los planos XY y XZ.

Esta relación se obtiene tanto para el plano XY como para el plano XZ ya que la dirección del eje x, la cual es longitudinal al elemento, será igual para ambos planos.

18. Explicita la relación de rigidez del elemento de marco en coordenadas locales obtenida de superponer la aportación de la flexión y de la carga axial (para los planos XY y XZ).Para el plano XY

Para el plano XZ

19. Explica las cuatro características de la matriz de rigidez del elemento de marco en coordenadas locales.-Equilibrio: uno, dos o varios desplazamientos general fuerzas en equilibrio, en particular o en general sumándose.

-Movimiento de cuerpo rígido: movimiento del elemento sin deformarse. Como no hay deformación no se generan fuerzas

- Singularidad: la matriz de rigidez del elemento de marco es una matriz singular, es decir, no tiene inversa. El sistema de ecuaciones no tiene solución porque es la misma ecuación.

-Simetría: ya que los coeficientes por arriba y debajo de la diagonal son iguales.

Fxi

Fzi

Myi

Fxj

Fzj

Myj

Δxi

Δzi

Ѳyi

Δxj

Δzj

Ѳyj