écoulement de fluide

Écoulement des fluides

Équations de bilanspar André LALLEMAND

Ingénieur, Docteur ès sciencesProfesseur des Universités à l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

1. Bilan d’une grandeur quelconque. Équation de bilan .................... BE 8 153 - 5

2. Bilan de la masse ...................................................................................... — 62.1 Équation locale de la conservation de la masse........................................ — 62.2 Équation intégrale de la conservation de la masse................................... — 6

2.2.1 Cas d’un tube de courant. Vitesse moyenne..................................... — 6

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es systèmes énergétiques sont, par essence même, le siège de transferts et,pour l’essentiel, de transferts de masse et de chaleur. C’est en particulier le

cas lorsque ces systèmes comportent, ce qui est très fréquent, des fluides enécoulement. La qualité énergétique des transferts de chaleur est évidente. Dansle cas des transferts de masse, l’énergie est sous-jacente ; elle se trouve sous

2.2.2 Cas d’un filet de courant ..................................................................... — 7

3. Bilan de la quantité de mouvement..................................................... — 73.1 Forces appliquées au fluide......................................................................... — 7

3.1.1 Définition des forces ........................................................................... — 73.1.2 Forces de viscosité. Tenseur des contraintes.................................... — 83.1.3 Contrainte sur un plan d’orientation quelconque............................. — 9

3.2 Équation de Cauchy. Équation de Navier-Stokes....................................... — 103.3 Équation intégrale du bilan de la quantité de mouvement ...................... — 11

3.3.1 Application à un tube de courant. Vitesse moyenne de quantitéde mouvement..................................................................................... — 11

3.3.2 Application à un filet de courant ........................................................ — 113.4 Équation de Bernoulli. Fluide pesant incompressible en écoulement

stationnaire ................................................................................................... — 113.4.1 Intégration de l’équation de Navier-Stokes le long d’une lignede courant ..................................................................................................... — 123.4.2 Équation de Bernoulli. Charge d’un fluide. Pertes de charge.......... — 123.4.3 Cas particulier des trajectoires rectilignes ........................................ — 13

4. Bilan de l’énergie cinétique. Équation de Bernoulli généralisée. — 134.1 Cas général ................................................................................................... — 134.2 Cas d’un fluide pesant.................................................................................. — 144.3 Écoulement d’un fluide pesant en présence d’une machine.................... — 144.4 Fluide pesant contenu dans un tube de courant comportant

des éléments mobiles de machine ............................................................. — 154.5 Cas d’un filet de courant .............................................................................. — 15

5. Bilan de l’énergie. Premier principe .................................................... — 165.1 Cas général ................................................................................................... — 165.2 Fluide pesant en contact avec des éléments mobiles d’une

machine......................................................................................................... — 165.3 Fluide pesant s’écoulant dans un filet de courant et traversant

une machine ................................................................................................. — 165.4 Équation de la thermique des fluides en écoulement............................... — 16

L

ÉCOULEMENT DES FLUIDES ______________________________________________________________________________________________________________

forme d’énergie interne (caractérisée essentiellement par le niveau de tempéra-ture), d’enthalpie (l’énergie interne associée à l’énergie potentielle de pression),d’énergie cinétique, d’énergie potentielle gravifique, d’énergie chimique, etc.

La connaissance des transferts lors des écoulements de fluides apparaît ainsicomme fondamentale pour résoudre un grand nombre de problèmes énergéti-ques. Deux analyses différentes sont généralement appliquées pour cela : l’uneest du type local, l’autre du type global. L’une et l’autre peuvent être abordéespar la même étude, celle des bilans que nous présentons dans cet article.

Quelle que soit la grandeur examinée, il est possible d’écrire que sa variationau cours du temps, pour un domaine donné, est due à un flux de cette grandeurà travers la frontière du domaine, à une diffusion de la grandeur par rapport auflux moyen (superposition d’un mouvement microscopique au mouvementmacroscopique observé) et à des sources ou production (positive ou négative)de cette grandeur. La traduction de ce principe (de bon sens) sous forme« mathématique » est l’équation générale des bilans. Son application à la massed’un fluide conduit à l’équation dite de conservation de la masse (pas de sourceni de diffusion). Si la grandeur est la quantité de mouvement, c’est le principe deNewton qui est traduit par cette équation de bilan dans laquelle la diffusion estdue à la viscosité du fluide, la source étant due aux diverses forces de champ etde pression. Enfin, le premier principe de la thermodynamique se retrouve dansl’équation du bilan de l’énergie qui débouche sur un bilan enthalpique et dont le

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terme diffusif correspond à la conduction (linéaire-loi de Fourier) de la chaleurdans le fluide et le terme source à des apports thermiques par rayonnement parexemple ou par réactions chimiques. Le bilan de l’énergie cinétique présentédans cet article n’est pas un bilan indépendant par rapport aux autres bilans. Iln’est qu’une présentation « mécanicienne » du bilan de l’énergie et corresponden fait à l’intégration, sur une direction d’espace, du bilan de la quantité de mou-vement. D’autres bilans classiques auraient pu être présentés dans cet article,notamment celui des espèces (pour les écoulements de mélanges réactifs ounon) et celui de l’entropie. On ne l’a pas fait, afin de ne pas trop surcharger cette« introduction » à l’étude des bilans.

Par transformation mathématique d’intégrales, toutes les équations de bilanspeuvent prendre une forme locale à partir de laquelle une intégration, quasimenttoujours numérique, doit permettre, compte tenu des conditions aux limites etinitiales, de déterminer les champs vectoriels (vitesses) et scalaires (pression,température, masse volumique, etc.) et les transferts dans la totalité du domained’écoulement étudié. Cette résolution étant dans de nombreux cas longue, voiredélicate, et nécessitant des moyens de calcul importants en matériel et logiciel,des formes globales ou intégrées peuvent être utilisées. Elles sont beaucoupmoins riches en renseignements et nécessitent souvent de procéder à des hypo-thèses simplificatrices et de faire appel à des connaissances empiriques. Leurutilisation est plus légère, ce qui les rend encore attractives dans la résolution(souvent approchée) de beaucoup de problèmes pratiques. Les formes globalesprésentées dans cet article concernent l’intégration des équations de bilan à desdomaines particuliers : ceux qui sont délimités par deux sections droites et untube de courant, ou mieux, un filet de courant. Les équations correspondantessont celles du débit à travers une section, celle de l’enthalpie, celles d’Euler et deBernoulli dont les applications sont nombreuses, notamment dans les systèmesthermiques.

______________________________________________________________________________________________________________ ÉCOULEMENT DES FLUIDES

Notations et symboles

Symbole Unité Définition

a m2 · s−1 Diffusivité thermique

C m Charge du fluide

cp J · kg−1 · K−1 Capacité thermique massique du fluide

ea J · kg−1 Énergie interne massique d’arrêt

Ec J Énergie cinétique

ec J · kg−1 Énergie cinétique massique

ep J · kg−1 Énergie potentielle massique

et J · kg−1 Énergie totale massique

F N · m−3 Force de volume (ou de champ) par unité de volume


fv N · m−3 Force volumique de viscosité

G, G Grandeur scalaire ou vectorielle quelconque

g, g m · s−2 Accélération de la pesanteur ou grandeur volumique scalaire ou vectorielle quelconque

h J · kg−1 Enthalpie massique

he W · m−2 · K−1 Coefficient d’échange convectif

He m Hauteur effective

ht J · kg−1 Enthalpie totale massique

J m Perte de charge

M kg Masse du fluide

kg · s−1 Débit massique

kg · s−1 Débit massique dans un filet de courant

n Vecteur unitaire de la normale extérieure d’un élément de surface

P Pa Pression

QM kg · m · s−1 Vecteur quantité de mouvement

W · m−3 Puissance thermique volumique d’une source

W · m−2 Densité de flux thermique

R N Résultante des forces

s m Abscisse curviligne

t s Temps

Mú

mú

Qú vs

qúΩ


T K Température

Tij Pa Projection dans la direction i de la contrainte sur la face d’orientation j

Tn Pa Contrainte sur un élément de surface d’orientation n

u J · kg−1 Énergie interne massique

V m3 Volume

v m · s−1 Vecteur vitesse

m3 · s−1 Débit volumique

m3 · s−1 Débit volumique d’un filet de courant

vi m · s−1 Composante de la vitesse

Notations et symboles

Symbole Unité Définition

Vú

vú


wt J · kg−1 Travail technique massique

W Puissance technique

xi m Coordonnée

z m Altitude

β K−1 Coefficient de dilatation isobare

εi Déformation longitudinale selon la direction i

Φ W · m−3 Fonction de dissipation

γ m · s−2 Accélération

γij Déformation angulaire entre les directions i et j

η Pa · s Viscosité de dilatation

λ W · m−1 · K−1 Conductivité thermique du fluide

µ Pa · s Viscosité dynamique

ρ kg · m−3 Masse volumique

τ J · kg−1 Travail massique des forces de viscosité

ω N · m−3 Poids volumique

Ω m2 Surface frontière

Indices

i, j, k, n Direction de projection

1, 2 Relatif à l’amont et à l’aval respectivement

Wtú


1. Bilan d’une grandeur quelconque. Équationde bilan

Soit une grandeur G attachée à un volume V (figure 1) à un instantdonné et g sa valeur par unité de volume : g = g (xi, t), on a :

(1)

Considérons le cas où le volume V est fixe, ce qui correspond àl’étude de l’écoulement en système ouvert, et analysons la variationde G en fonction du temps, encore appelé taux de variation de G.Les causes de la variation éventuelle de G sont de deux types :

— un flux global non nul à travers la frontière Ω du volume V (parexemple, différence non nulle entre la quantité de fluide qui entre etcelle qui sort du volume) ;

— une création (ou une destruction) de la grandeur G. Cette créa-tion peut avoir lieu à l’intérieur (strictement) du volume et/ou en sur-

Cette équation peut encore être modifiée par la transformationd’une intégrale de surface en intégrale de volume par la relationd’Ostrogradski :

(4)

Ainsi, la variation totale par rapport au temps de la grandeur Gpeut s’écrire :

(5)

Dans ce qui précède, on a supposé que G est une grandeur sca-laire. Si G est une fonction vectorielle, la projection sur chaque axede g permet d’écrire des équations scalaires en gi analogues auxprécédentes et qui, par recomposition, donnent :

(6)

ou encore :

G g Vd

V∫=

g xi, t( )vn Ω div gv( ) Vd

V∫=d

Ω∫

dGdt-------- DG

dt--------- ∂g

∂t------- div gv( )+ V gin V gΩ Ωd

Ω∫+d

V∫=d

V∫= =

dG

dt--------

∂g

∂t------- V g vn( ) Ω gin V gΩ Ωd

Ω∫+d

V∫=d

Ω∫+d

V∫=


face.

On traduit cette constatation par l’équation suivante, dite équa-tion de bilan :

(2)

avec v vecteur vitesse du fluide,

n normale dirigée vers l’extérieur du volume V,

Ω aire de la surface frontière,

gin création intérieure volumique de la grandeur g,

gΩ création surfacique de cette grandeur,

gin et gΩ ne sont pas attachés aux particules s’écoulant à la vitesse v.

En général, dans l’équation du bilan, on sépare la partie « créationde la grandeur G (ou g) » du reste qui correspond à une variationtotale de la grandeur G en fonction du temps, ou encore au d’Alem-bertien de G. On écrit :

(3)

(7)

où le tenseur est défini par :

avec gi la composante selon i du vecteur g,

vj la composante selon j du vecteur vitesse v dufluide,

i et j étant respectivement les numéros de ligne et de colonne dutenseur.

Compte tenu de la relation d’Ostrogradski l’équation (6) devient :

(8)

où le vecteur divergence du tenseur correspond à :

(9)

Il convient de noter que cette expression est équivalente à :

(10)

où encore à :

(11)

Dans l’équation (10), le tenseur gradient du vecteur g a pourexpression :

Un cas particulier intéressant de l’application de l’équation debilan est celui où g = 1. En effet, la grandeur G correspond alors auvolume. L’équation de bilan (5) donne alors le résultat suivant :

(12)Figure 1 – Flux de la grandeur g à travers la surface dΩ frontièredu volume fixe V

∂g∂t------- Vd

V∫ g vn Ω gin V gΩ Ωd

Ω∫+d

V∫+d

Ω∫Ð=

dGdt-------- DG

dt---------

∂g∂t------- Vd

V∫= = g vn Ω gin V gΩ Ωd

Ω∫+d

V∫=d

Ω∫+

Ω

Ω

V

d

v

n

dG

dt--------

∂g

∂t------- V Gv n Ω gin V gΩ Ωd

Ω∫+d

V∫=d

Ω∫+d

V∫=

Gv

Gv givj=

dG

dt-------- ∂g

∂t------- div Gv+

dV

V∫=

Gv

div Gv∂

∂xj

-------- gi vj xi=

div Gv v grad g g div v+=

div Gv( )i v grad gi gi div v+=

grad g∂gi

∂xj

--------=

dVm

dt------------ div v dV

Vm

∫=


Cette relation traduit le fait que la variation du volume d’un fluideVm, ou sa dilatation, est égale à l’intégrale de volume de la diver-gence de sa vitesse v.

2. Bilan de la masse

2.1 Équation locale de la conservationde la masse

L’équation (3) permet de calculer la variation dans le temps de lamasse. En effet, si G représente la masse M du système, ρ est lagrandeur par unité de volume. La relation (3) devient alors, enconsidérant que la masse est conservative (pas de création demasse) et en utilisant le théorème d’Ostrogradski [équation (5)] :

(13)DMdt

----------∂ρ∂t------ V ρ vn Ω ∂ρ

∂t------ div ρ v+

dV 0=

V∫=d

Ω∫+d

V∫=

Figure 2 – Conservation de la masse dans un volume appartenantà un tube de courant

C1

C 2

v

v

v1

v2

n2

n1

Ω

Ω

1

2


Le domaine de contrôle V du fluide, limité par la surface Ω, étantquelconque, on peut écrire :

(14)

Cette équation n’est valable en toute rigueur que si, à l’intérieurdu système, il n’y a aucune source ou puits de matière, ce qui d’uncertain point de vue pourrait être assimilé à une création ou à unedestruction de matière. On dit alors que l’écoulement est conserva-tif. Dans le cas contraire, l’écoulement est non conservatif et, si onnote par le débit massique par unité de volume dû à la source,on a :

(15)

Si l’écoulement est conservatif et stationnaire (ou permanent),toute dérivée partielle par rapport au temps est nulle, et on a :

(16)

Enfin, si le fluide est incompressible et l’écoulement conservatif :

(17)

Ce cas correspond au domaine de l’hydraulique.

L’équation (14) qui, en coordonnées cartésiennes, s’écrit :

devient, en coordonnées cylindriques :

(18)

avec r, θ et z les coordonnées cylindriques,

vr, vθ, vz respectivement les vitesses radiale, tangentielleet axiale.

2.2 Équation intégrale de la conservation de la masse

2.2.1 Cas d’un tube de courant. Vitesse moyenne

Considérons le cas particulier d’un élément de volume apparte-nant à un tube de courant (figure 2). Soit V le volume compris entreles lignes de courant s’appuyant sur les contours C1 et C2 et les sur-faces Ω1 et Ω2 construites également sur C1 et C2. L’application à cevolume de l’équation (13) donne, en écoulement conservatif :

(19)

où ni est la normale extérieure à la surface Ωi . Cette relation tientcompte du fait que le flux à travers la surface latérale du tube decourant est nul.

Pour un écoulement stationnaire et en notant par vn la

projection de la vitesse sur la normale à la section Ω prise dans le

sens de l’écoulement, on obtient :

(20)

Si les sections Ω1 et Ω2 sont des sections droites (sections en toutpoint perpendiculaires au vecteur vitesse), on a : vni = vi. Dans cetterelation, le membre de gauche correspond au débit massique du fluide à travers la section 1, et le membre de droite au débit mas-sique à travers la section 2. Ainsi, on peut écrire :

(21)

C’est l’équation de la conservation du débit massique.

∂ρ∂t------ div ρ v+ 0=

mú vs

∂ρ∂t------ div ρ v+ mú vs=

div ρ v 0=

div v 0=

∂ρ∂t------

∂∂xi

-------- ρ vi+ 0=

∂ρ∂t------

1r--- ∂

∂r----- ρr vr( ) 1

r--- ∂

∂θ------ ρ vθ( ) ∂

∂z------ ρ vz( )+ + + 0=

∂ρ∂t------ V ρ1 v1n1 Ω1 ρ2 v2n2 Ω2 0=d

Ω2

∫+d

Ω1

∫+d

V∫

∂ρ∂t------ 0=

ρ1 vn1 Ω1 ρ2 vn2 Ω2d

Ω2

∫=d

Ω1

∫

Mú 1

Mú 2

Mú 1 Mú 2 Mú= =


Si le fluide est incompressible : ρ1 = ρ2. On a alors, pourl’équation (20) :

(22)

Vitesse moyenne capable du débit

Soit la vitesse, constante sur une section droite Ω d’un tube decourant, d’un fluide dont le débit à travers Ω aurait la même valeurque le débit du fluide dans le cas réel. On peut alors écrire :

d’où :

3. Bilan de la quantitéde mouvement

La quantité de mouvement QM attachée à un système matériel nepeut varier dans le temps (dans le sens d’une création ou d’une des-truction) que si le système est soumis à un torseur de forces non nul.Ainsi, en notant que la quantité de mouvement attachée à l’unité devolume de fluide est ρv, l’équation de bilan (6) attachée à cette gran-deur vectorielle s’écrit :

(26)

où R est la résultante de toutes les forces, volumiques et surfaci-ques, appliquées au fluide contenu dans le volume V.

3.1 Forces appliquées au fluide

Cette équation traduit le fait que le débit volumique d’unfluide incompressible à travers une section Ω quelconque d’untube de courant est indépendant de la section considérée.

vn Ωd

Ω∫ Vú constante= =

Vú

vd

vd Ω Vú v Ωd

Ω∫= =

D QM( )dt

--------------------∂ρv

∂t---------- V ρ v vn( ) Ω =d

Ω∫+d

V∫ R=


(23)

La vitesse est, par définition, la vitesse moyenne capable dudébit, encore appelée plus simplement vitesse moyenne.

2.2.2 Cas d’un filet de courant

Si Ω1 et Ω2 sont les sections droites d’un filet de courant enrégime permanent (figure 3), la relation (20) devient (v1, v2, ρ1 et ρ2étant constantes sur chacune des sections) :

(24)

où est le débit massique à travers une section droite du filet decourant. Si le fluide est incompressible, on a :

(25)

où est le débit volumique à travers une section droite quelconquedu filet de courant.

Ces équations sont utilisées fréquemment dans le cas d’un tubede courant lorsque l’hypothèse de la constance de la vitesse et de lamasse volumique sur une section droite est acceptable.

3.1.1 Définition des forces

Deux types de forces sont appliquées à un volume fluide :

a) Les forces intérieures sont les forces de cohésion molécu-laire, de viscosité et de pression qui forment un torseur nul puisquelocalement le principe de l’action et de la réaction doit être respecté.

b) Les forces extérieures sont elles-mêmes classées en deuxtypes :

— des actions à distance ou volumiques ou encore forces dechamp : ce sont les forces de gravitation, électromagnétiques, etc.Elles sont exercées par le milieu extérieur sur chacune des particu-les. Elles forment un torseur non nul dont la résultante par unité devolume est notée F ;

— des actions de contact ou surfaciques : ce sont des forces quitraduisent l’action des particules extérieures voisines de la surface Ωsur les particules intérieures appartenant à la surface Ω. Elles sontproportionnelles à l’importance de la surface. En un point de la sur-face, où la normale extérieure est n (figure 4), la force résultante parunité de surface ou contrainte de ce type de force est notée Tn.

Pour un fluide immobile cette contrainte se limite à la pression Pdu fluide qui est normale à la surface et opposée à la direction n :

Tn = − P n (27)

Figure 3 – Conservation de la masse dans un volume appartenantà un filet de courant

vd1Ω---- v Ωd

Ω∫=

vd

ρ1 v1 Ω1 ρ2 v2 Ω2 mú= =

mú

v1 Ω1 v2 Ω2 vú= =

vú

Ω

Ω

1

2 v2

v1

Figure 4 – Contrainte en un point de la surface frontièred’un volume V

dΩ

V

n

Tn


Dans le cas d’un fluide en mouvement, il y a lieu en plus de tenircompte des forces de viscosité qui peuvent être séparées en deuxtypes : normales et tangentielles.

3.1.2 Forces de viscosité. Tenseur des contraintes

La contrainte de viscosité est notée . On peut l’étudier à partir

du tenseur des contraintes visqueuses appliquées aux faces

d’un cube d’orientation x1, x2, x3 (figure 5). Dans la formulation duterme général du tenseur, les notations utilisées sont telles que i cor-responde à la direction de projection et j à la face d’application, per-pendiculaire à la direction j. L’action est celle du milieu extérieur surla face considérée.

Nous considérons ici, uniquement, le cas d’un fluide newtonien.Pour un tel fluide, la contrainte visqueuse, qui s’oppose à la défor-mation, est proportionnelle à la vitesse de déformation [BE 8 151,§ 2.3], que celle-ci soit angulaire ou longitudinale. À ces deux typesde déformation correspondent deux types de contrainte : unecontrainte tangentielle (i ≠ j) et une contrainte normale (i = j).

3.1.2.1 Contraintes visqueuses tangentielles

T n′

T ij′

x3

x1

x20

T13

T32

T22

T12

T21

T31

T11

T33

T23


Au cours du mouvement d’un fluide, la vitesse de déformationangulaire est liée aux dérivées partielles de la vitesse par la relation[BE 8 151, § 4] :

(28)

Alors, par définition d’un fluide newtonien, on a :

(29)

où est la projection selon la direction xi de la contrainte quis’exerce sur la face j orientée dans le sens positif de xj (xj = normaleextérieure). La réciprocité des contraintes tangentielles permetd’écrire :

(30)

3.1.2.2 Contraintes visqueuses normales

Le raisonnement développé ici fait appel à l’analogie avec la résis-tance des matériaux. En effet, les contraintes tangentielles ont lesexpressions suivantes :

— pour un solide : , où G est le module de Coulomb,ou module d’élasticité transversale, du matériau et γji la déformationangulaire ;

— pour un fluide : .

Or, dans le cas d’un solide, une contrainte normale Tii produit desdéformations selon i, j, et k (exemple de la barre soumise à de latraction pure) :

Tii = 2G εi + λ (εi + εj + εk)

avec :

Dans ces équations, E est le module d’Young ou module d’élasti-cité longitudinal et ν le coefficient de Poisson. Par analogie, pour unfluide newtonien, on admet que la contrainte normale de viscosité

est proportionnelle aux vitesses de déformation linéaire dans lestrois directions dεi /dt et on écrit :

(31)

Dans cette relation, η est appelé « second coefficient deviscosité » ou encore « viscosité de dilatation ». Cette secondeappellation est justifiée par le fait que, comme le montre larelation (32), ce coefficient n’a plus d’influence sur les contrainteslorsque la dilatation du fluide [équation (12)] est nulle : div v = 0.Compte tenu de l’expression liant la vitesse de déformation longitu-dinale et le gradient de la vitesse [BE 8 151, § 4] :

on a :

(32)

Dans le cas des fluides incompressibles, div v = 0, ce qui entraîne :

Dans ce cas, très fréquent en pratique, η n’intervient pas. Dans lecas des gaz parfaits monoatomiques, on montre à partir de la théo-rie cinétique des gaz que :

(33)

Cette valeur est souvent utilisée en dehors de ce cas particulier.C’est l’hypothèse de Stokes.

dγij

dt----------

∂vi

∂xj

--------=∂vj

∂xi

--------+

T ij′ µ

dγij

dt---------- µ

∂vi

∂xj

--------∂vj

∂xi

--------+ = =

T ij′

T ij′ T ji

′=

T ij′ Gγji=

T ij′ µ

dγij

dt----------=

λ ν E1 ν+( ) 1 2νÐ( )

-----------------------------------------=

Figure 5 – Contraintes de viscosité s’exerçant sur les facesd’un cube

Tii′ 2µ

dεi

dt-------- η

dεj

dt--------+=

dεi

dt--------

∂vi

∂xi

--------=

T ij′ 2µ

∂vi

∂xi

-------- η div v+=

T ij′ 2µ

∂vi

∂xi

--------=

η 23--- µÐ=


3.1.2.3 Contraintes visqueuses en coordonnées cylindriques

Pour un fluide incompressible en coordonnées cylindriques(figure 6), les composantes des contraintes sont :

Tr P 2µ ∂vr

∂r--------Ð=

Tθ P 2µ 1r---

∂vθ

∂θ---------

vr

r-----+

Ð=

Tz P 2µ ∂vz

∂z---------Ð=

Tzθ µ ∂vθ

∂z---------

1r---

∂vz

∂θ---------+

Tθz=Ð=

Trz µ ∂vr

∂z--------

∂vz

∂r---------+

Tzr=Ð=

Trθ µ 1r---

∂vr

∂θ-------- r ∂

∂r-----

vθ

r-----

+ Tθr=Ð=

Figure 6 – Élément de volume et contraintes dans un systèmede coordonnées cylindriques

θx1

x3

x2

r

Tr

Tz

θ

θ

θ

θTr

θTz

Tzr

vvz

vr

T r

θT z

T

Trz

z


3.1.2.4 Tenseur des contraintes

Si on associe toutes les contraintes, celles dues à la pression etcelles dues à la viscosité, le terme général du tenseur des contrain-tes, qui s’exerce sur la surface frontière du volume V considéré, apour expression :

(34)

où δij est le symbole de Kronecker (δij = 0 si i ≠ j ; δij = 1 si i = j).

L’équation (34) peut encore s’écrire sous forme tensorielle :

(35)

avec le tenseur des contraintes,

le tenseur des taux de déformation [BE 8 151,§ 4] :

,

le tenseur unité.

3.1.3 Contrainte sur un plan d’orientation quelconque

Soient ni les cosinus directeurs de la normale n au plan ABC(figure 7). La contrainte qui s’exerce sur ce plan est Tn. Pour trouverson expression, on écrit l’équilibre du tétraèdre OABC. En notant parΩ la surface de ABC, on a, sur chacune des faces perpendiculaires àune direction xj quelconque, de surface Ωj et dirigée vers les xjnégatifs :

car, en effet :

Ωj = nj Ω

Pour la face perpendiculaire à n, on a :

La nullité du torseur des forces appliqué à OABC implique que lasomme des composantes selon les xi soit nulle :

soit :

Tin = Tij nj (36)

ce qui s’écrit de manière complète :

(37)

T ij′ P δij µ+Ð

∂vi

∂xj

--------∂vj

∂xi

--------+ η div v δij+=

T Tij PIÐ 2µ D η div v I+ += =

T

D

D 12---

∂vi

∂xj

--------∂vj

∂xi

--------+=

I

ΩjTj =Ð

Tij Ωj TÐ ij nj Ω=Ð

Tjj Ωj TÐ jj nj Ω=Ð

Tkj Ωj TÐ kj nj Ω=Ð

Figure 7 – Contrainte sur un plan d’orientation n quelconque

x3

x1

x2

A

C

OB

n

Tn

Tn =

T1n ΩT2n ΩT3n Ω

Tin Tij njj

∑Ð 0=

Tn =

T1n T11 n1 T12 n2+= T13 n3+

T2n T21 n1 T22 n2+= T23 n3+

T3n T31 n1 T32 n2+= T33 n3+


où les termes Tij sont donnés par l’équation (34). En utilisant le ten-seur des contraintes [équation (35)], l’équation (36) peut être écritesous la forme :

(38)

3.2 Équation de Cauchy. Équationde Navier-Stokes

La résultante R des forces appliquées au système fluide étantdéterminée, l’application du théorème de la variation de la quantitéde mouvement [équation (26)] s’écrit :

(39)

ou encore :

(40)

C’est l’équation de Cauchy qui, sous forme scalaire, s’écrit :

(47)

Dans le cas où µ et η sont constantes et en notant que v est unefonction du point considéré :

l’équation (47) s’écrit :

Tn Tn=

∂ρv

∂t---------- V ρ v vn( ) Ω d

Ω∫+d

V∫ F V Tn Ω d

Ω∫+d

V∫=

∂ρv

∂t---------- V QM n Ω d∫+d∫ F V T n Ω d∫+d∫=

Cette équation est valable pour un fluide newtonien, com-pressible ou incompressible, en écoulement stationnaire ou ins-tationnaire.

ργi ρ ∂vi

∂t-------- vj

∂vi

∂xj

--------+ Fi ∂P

∂xi

--------Ð= =

∂∂xj-------- µ

∂vi

∂xj--------

∂vj

∂xi--------+

∂∂xi

-------- η div v( )+ +

∂∂xj--------

∂vj

∂xi-------- ∂

∂xi

-------- ∂vj

∂xj--------=

ργi Fi ∂P∂xi

--------Ð= µ ∂2vi

∂xj2

----------- µ ∂∂xi

-------- ∂vj

∂xj-------- η ∂

∂xi

-------- div v+ + +


Dans cette relation, le tenseur flux de quantité de mouvement a pour expression :

(41)

En utilisant le théorème d’Ostrogradski, la relation (40) devient :

(42)

Cette équation, applicable à un domaine quelconque, peut êtreremplacée par l’équation locale suivante :

(43)

Comme :

le membre de gauche de l’équation (43) devient, en vertu de l’équa-tion locale de la conservation de la masse :

(44)

Compte tenu de l’expression de la dérivée particulaire d’une gran-deur vectorielle [BE 8 151, § 3.2, équation (29)], on reconnaît dans lemembre de droite de l’équation (44), la dérivée du vecteur vitesse,c’est-à-dire l’accélération γ des particules. Ainsi, l’équation (44)s’écrit :

(45)

En prenant en compte l’expression (35) du tenseur des contrain-tes et en notant que pour une grandeur scalaire K quelconque :

on a :

(46)

ou encore :

(48)

Sous forme vectorielle, on a :

(49)

C’est l’équation de Navier qui, dans le cas de l’hypothèse de Sto-kes, devient l’équation de Navier-Stokes :

(50)

Dans le cas d’un fluide incompressible (div v = 0), l’équation deNavier-Stokes s’écrit simplement :

(51)

Dans un repère à coordonnées cylindriques, les composantes del’équation (51) sont les suivantes :

L’équation (49) peut être modifiée en transformant le Laplacien dela vitesse d’après la relation suivante :

∇ 2 v = grad div v − rot rot v

ΩV ΩV

QM

QM ρvi vj vi ρvj= =

∂ρv

∂t---------- div QM+

Vd

V∫ F div T+( ) Vd

V∫=

∂ρv

∂t---------- div QM+ F div T+=

div QM v div ρ v= ρ v grad v+

ρ ∂v

∂t------ v ∂ρ

∂t------ div ρ v+

ρ v grad v+ + ρ ∂v

∂t------ v grad v+

=

ρ ∂v

∂t------ v grad v+

ρ Dv

dt-------- ρ γ F div T+= = =

div K I grad K=

ργ F= grad PÐ 2div µ D grad η div v+ +

ργi Fi ∂P∂xi

--------Ð= µ ∇ 2 vi µ η+( ) ∂∂xi

-------- div v+ +

ργ F= grad PÐ µ ∇ 2 v µ η+( )+ + grad div v

ργ F= grad PÐ µ ∇ 2 v µ3---+ + grad div v

ρ ∂v

∂t------ v grad v+

ρ γ F= grad PÐ µ ∇ 2 v+=

ρ∂vr

∂t-------- vr

∂vr

∂r--------

vθ

r-----

∂vr

∂θ--------

vθ2

r------Ð vz

∂vr

∂z--------+ + + Fr

∂P∂r-------Ð µ

∂2vr

∂r2-----------+=

1r---

∂vr

∂r--------

vr

r2-----Ð

1r2-----

∂2vr

∂θ2----------- 2

r2-----

∂vθ

∂θ---------Ð

∂2vr

∂z2-----------+ + +

ρ∂vθ

∂t--------- vr

∂vθ

∂r---------

vθ

r-----

∂vθ

∂θ--------- vr

vθ

r----- vz

∂vθ

∂z---------+ + + + Fθ

1r--- ∂P

∂r-------Ð µ

∂2vθ

∂r2------------+=

1r---

∂vθ

∂r---------

vθ

r2-----Ð

1r2-----

∂2vθ

∂θ2------------ 2

r2-----

∂vr

∂θ--------Ð

∂2vθ

∂z2------------+ + +

ρ∂vz

∂t--------- vr

∂vz

∂r---------

vθ

r-----

∂vz

∂θ--------- vz

∂vz

∂z---------+ + + Fz

∂P∂z-------Ð µ

∂2vz

∂r2-----------+=

1r---

∂vz

∂r--------- 1

r2-----

∂2vz

∂θ2-----------

∂2vz

∂z2-----------+ + +


Ainsi :

(52)

Cette remarque est importante car elle permet de mettre en évi-dence le fait que, dans le cas d’un écoulement irrotationnel (rot v =0) d’un fluide incompressible (div v = 0), la viscosité n’intervientplus :

(53)

Le fluide réel s’écoule à la manière d’un fluide parfait.

3.3 Équation intégrale du bilande la quantité de mouvement

En général, l’écriture de l’équation intégrale du bilan de la quan-tité de mouvement ne fait intervenir aucune différence entre les for-ces appliquées au système. Elle est obtenue, pour un régimepermanent, à partir de l’équation du bilan de la quantité demouvement (26) :

« capable » du flux de la quantité de mouvement, dans le cas d’unfluide incompressible, par la relation :

ργ F= grad PÐ µ rot rot vÐ 2µ η+( ) grad div v+

ργ F= grad PÐ

Figure 8 – Application de l’équation intégrale de la quantitéde mouvement à un tube de courant

v2

n2

n1

ni normales extérieures aux secteurs quelconques

Ω

Ω

1

Ω1

2

Ω2

V

v1

et

2


(54)

Dans cette expression, la quantité :

(55)

correspond au débit massique du fluide à travers la surface dΩ,compté positivement si le fluide sort du volume V.

Ainsi, l’équation intégrale s’écrit :

(56)

3.3.1 Application à un tube de courant. Vitesse moyenne de quantité de mouvement

Considérons (figure 8) un volume V contenu à l’intérieur d’unesurface formée par un tube de courant et deux sections Ω1 et Ω2 quipeuvent être quelconques ou correspondre à deux sections droites.On peut alors écrire :

(57)

où, dans cette relation, les termes sont pris en module.

Si Ω1 et Ω2 sont des sections droites et si ni sont les vecteurs uni-taires perpendiculaires à ces sections dans le sens de l’écoulement,on a, d’après la relation (55) :

(58)

Dans cette relation, les termes du membre de droite correspon-dent au flux de la quantité de mouvement au travers des sectionsdroites du tube de courant. On définit alors une vitesse moyenne

(59)

L’équation (58) s’écrit alors :

(60)

Cette vitesse moyenne est bien sûr différente de la vitesse capabledu débit [équation (23)] :

3.3.2 Application à un filet de courant

Dans le cas d’un filet de courant les vitesses vi sont constantes surles sections droites Ωi. Comme par ailleurs le débit est constant[équation (24)], l’équation (57) s’écrit :

(61)

Cette équation est à la base de l’étude dynamique simple des tur-bomachines.

3.4 Équation de Bernoulli. Fluide pesant incompressible en écoulement stationnaire

Par définition, un fluide pesant est un fluide pour lequel les forcesvolumiques extérieures (forces de champ) sont réduites aux forcesde pesanteur. Dans ce cas, la force volumique F est donnée par larelation :

F = − ρ grad gz (62)

où gz est l’énergie potentielle de l’unité de masse du fluide, z étantl’altitude du point considéré. L’équation de Navier-Stokes (50)devient, en admettant que l’accélération de la pesanteur g soitconstante :

ρ v vn( ) Ω R v ρ vn( ) Ω d

Ω∫==d

Ω∫

ρ vn Ω = dMúd

v dMú

Ω∫ R=

R v2 dM2ú

Ω2

∫= v1 dM1ú

Ω1

∫Ð

dMiú

R n2 ρ2 v2 d2 Ω2

Ω2

∫= n1 ρ1 v1 d2 Ω1

Ω1

∫Ð

vQM 1Ω----= v2 Ωd

Ω∫

R ρ vQM22 Ω2 n2 vQM1

2 Ω1 n1Ð[ ]=

vQM vd≠

mú

R mú= v2 v1Ð( )

ργ grad PÐ ρg grad zÐ= µ ∇ 2 v µ3---+ + grad div v


Dans cette équation, si on globalise les forces de viscosité sous laforme fv, on peut écrire :

(63)

La force de viscosité étant toujours opposée au sens du mouve-ment, le signe moins affecté à fv permet de noter que fv a le mêmesens que le mouvement.

3.4.1 Intégration de l’équation de Navier-Stokesle long d’une ligne de courant

Appliquons l’équation (63) le long d’une ligne de courant(figure 9) et écrivons l’accélération dans le plan (t, n) ;

avec s l’abscisse curviligne,

L’équation (64) s’écrit alors :

soit :

(66)

Le produit (ft ds) qui sera noté ρdτ correspond au travail élémen-taire volumique des forces de viscosité le long de la trajectoire. Cetravail est toujours positif car la force de viscosité − ft est dirigéedans le sens opposé à ds. Ainsi, l’équation (66) peut être écrite sousla forme :

(67)

L’intégration de cette équation le long de la trajectoire entre lespoints 1 et 2 donne :

(68)

C’est l’équation de l’énergie le long de la trajectoire, dans laquelle

ργ grad PÐ ρg grad zÐ= fvÐ

γ

γ Dv

dt--------= =

Dvdt-------- ∂v

∂t------ v ∂v

∂s------+=

v2

R------

ρ v dvds------- dP

ds-------Ð ϖ dz

ds-------Ð ftÐ=

ρ v dv dPÐ ϖ dzÐ ft dsÐ=

dv2

2---------- dP

ρ------- g dz dτ+ + + 0=

∆ec12 ∆ep12dPρ

------- τ12 0=+

1

2

∫+ +


R le rayon de courbure au point courant M selon n,la direction de la normale.

Dans le plan (t, n), on peut écrire, en notant par ϖ la quantité ρg :

Alors les projections de l’équation de Navier-Stokes dans le plan(t, n) deviennent :

(64)

(65)

Si on limite l’étude à l’évolution sur la ligne de courant en écoule-ment stationnaire (la ligne de courant devient une trajectoire), laseule variable est l’abscisse curviligne s.

∆ec est la variation de l’énergie cinétique par unité de masse, ∆ep lavariation d’énergie potentielle (gravifique) et τ12 le travail massiquedes forces de viscosité entre 1 et 2.

3.4.2 Équation de Bernoulli. Charge d’un fluide. Pertes de charge

Si le fluide est incompressible, ρ = cte, l’équation (68) devient :

En transformant la référence à l’unité de masse en une référenceà l’unité de poids et en notant par :

J12 = τ12/g

on obtient :

(69)

C’est l’équation de Bernoulli dans laquelle la somme :

(70)

est appelée charge du fluide C. C’est l’énergie mécanique totale dufluide pesant incompressible par unité de poids. C est homogène àune longueur.

Avec cette définition, l’équation de Bernoulli (69) s’écrit :

C1 = C2 + J12 (71)

J12 prend le nom de pertes de charge. C’est une quantité toujourspositive.

Les différents termes de la charge ont les appellations suivantes :

Figure 9 – Écoulement le long d’une ligne de courant

grad P ϖ grad z =+

∂P∂s------- ϖ∂z

∂s----------+

∂P∂n------- ϖ∂z

∂n----------+

et fv = ft

fn

ρ ∂v∂t------ v ∂v

∂s------+

∂P∂s-------Ð ϖ∂z

∂s----------Ð ftÐ=

ρ v2

R------ ∂P

∂n-------Ð ϖ ∂z

∂n-------Ð fnÐ=

vt

1

2sM

n

= pression dynamique = pression d’arrêt

P = pression statique = hauteur piézométrique

z = altitude ϖC = pression totale

∆ec12 ∆ep12∆P12

ρ------------- τ12 0=+ + +

v12

2g-------

P1

ϖ------ z1+ +

v22

2g-------

P2

ϖ------ z2 J12+ + +=

v2

2g------- P

ϖ---- z+ + C=

ρv2

2--------- ρv2

2--------- P+

Pϖ---- z+ P∗

ϖ------=


Dans le cas d’un fluide incompressible ou compressible avec unefaible variation de ρ, on a :

soit :

P + ϖz = P* = f(s) (74)

La hauteur piézométrique est constante sur une normale à la tra-jectoire. Ce résultat est très utilisé en pratique.

4. Bilan de l’énergie cinétique. Équationde Bernoulli généralisée

4.1 Cas généralFigure 10 – Représentation des lignes caractéristiquesd’un écoulement

P2

z2

J12

Sens de l'écoulement

Altitude de référence

Ligne de chargeLigne piézométrique

Trajectoire

1 2

ω

v 22

2g

∂∂n------- P ϖz+( ) 0=


Quand on suit l’unité de poids de fluide dans son mouvement lelong de la trajectoire, on peut tracer trois lignes différentes(figure 10) :

— la ligne d’altitude z = f(s) qui représente la trajectoire du fluide ;— la ligne piézométrique, distante de la trajectoire de la quantité

P/ϖ ;— la ligne de charge, obtenue en ajoutant v2/2g à la ligne piézo-

métrique.

L’évolution de la ligne de charge met en évidence les pertes decharge J. De tels tracés sont courants dans les études d’hydrauliqueappliquée.

3.4.3 Cas particulier des trajectoires rectilignes

Dans le cas de trajectoires rectilignes, le rayon de courbure R estinfini. Dans l’équation (65) :

on a alors :

(72)

À partir de l’équation de Navier (49), la projection selon n de laforce de viscosité peut s’écrire :

Comme vn = 0, le premier terme du membre de droite est toujoursnul. Par ailleurs, même dans le cas d’un fluide compressible, àcondition d’avoir une variation pas trop forte de ρ avec la position dela particule fluide :

div v ≈ 0

Ainsi, le deuxième terme de fn est aussi nul. Alors l’équation (72)se réduit à :

(73)

Le théorème de l’énergie cinétique s’énonce :

Pour traduire ce théorème, on utilise l’équation de bilan d’unegrandeur scalaire [équation (3)]. Ici, la grandeur scalaire G est l’éner-gie cinétique Ec du fluide contenu à l’instant t dans le volume V et lagrandeur volumique g, l’énergie cinétique par unité de volumeρv2/2. Alors, en notant par Ω la surface frontière avec le milieu exté-rieur, on a :

(75)

Dans le membre de droite se trouvent :— la puissance des forces extérieures volumiques (à distance) ;— la puissance des forces de surface (pression et viscosité) ;— la puissance des forces intérieures au système.

Cette dernière puissance est due aux forces de pression et de vis-cosité à l’intérieur même du volume. Pour un volume élémentaireparallélépipédique (figure 11), le déplacement relatif de deux côtésdu volume est dû à la différence des vitesses. Par exemple, ce dépla-cement au cours du temps dt de la face j selon la direction i vaut :

Le travail de la force intérieure est :

et la puissance de cette force s’écrit :

v2

R------ 0=

0 ∂P∂n------- ρg ∂z

∂n------- fn+ +=

fnÐ µ∇ 2vn µ η+( ) ∂∂n------- div v+=

∂P∂n------- ρg ∂z

∂n-------+ 0=

La variation de l’énergie cinétique pendant l’unité de tempsd’un système matériel est égale à la puissance exercée par lesforces intérieures et extérieures appliquées à ce système.

DEc

dt----------

∂∂t----- ρ v

2

2------

V ρ v2

2------ v n Ω F v Vd

V∫=d

Ω∫+d

V∫=

Tn v Ω Wú int+d

Ω∫+

Wú int

∂vi

∂xj-------- dxj dt

Tij dxi dxk ∂vi

∂xj-------- dxj dtÐ Tij

∂vi

∂xj-------- dt dVÐ=

Tij ∂vi

∂xj-------- dVÐ


La généralisation de cette étude à toutes les faces et toutes lescontraintes, normales et tangentielles, pour l’ensemble du volume Vdonne :

Alors :

(80)

4.2 Cas d’un fluide pesant

Dans le cas où les forces volumiques sont dues uniquement à lapesanteur, leurs composantes s’écrivent :

Ainsi :

Figure 11 – Contrainte s’exerçant sur une face élémentaire perpendiculaire à xj et déplacement relatif de cette face

(vi) xj + dxj

xidxi

Tij

– Tij

xj

dxj

0

(vi )xj

∂∂t----- ρ v

2

2------

V P ρ v2

2------+

v n Ω F ivi dV Tij′ nj vi Ωd

Ω∫+

V∫=d

Ω∫+d

V∫

P div v dV Φ dV

V∫Ð

V∫+

Fi ρg ∂z∂xi--------Ð=

Fivi dV ρg ∂z∂xi-------- vi Vd

V∫Ð=

V∫


(76)

Compte tenu de l’expression des éléments du tenseur descontraintes [équation (34)], on peut écrire :

Dans les second et troisième termes du membre de droite n’inter-viennent que des puissances de forces de viscosité qui transformentde l’énergie mécanique en chaleur et qui sont la cause des irréversi-bilités. C’est pourquoi cette fonction, notée Φ, est appelée fonctionde dissipation mécanique :

(77)

Ainsi, les expressions (76) de la puissance des forces intérieureset (75) peuvent alors s’écrire, en tenant compte de l’expression deTn donnée par l’équation (36) :

(78)

(79)

L’équation (79) est l’équation de Bernoulli généralisée. Dans cetteéquation, on peut dissocier dans Tij les contraintes de pression descontraintes de viscosité. En effet, on sait que :

Or :

(81)

car, on peut écrire :

Considérant l’équation de continuité et le fait que z est indépen-dant de t, l’équation (81) est démontrée. Ainsi, et en utilisant le théo-rème d’Ostrogradski, on a :

En faisant passer ces termes de la puissance des forces à distancedans le membre de gauche, l’équation de Bernoulli généralisée,pour un fluide pesant, s’écrit :

(82)

Cette équation est applicable à un volume de fluide quelconque.

4.3 Écoulement d’un fluide pesanten présence d’une machine

Si une partie de la surface frontière entre le fluide et le milieu exté-rieur correspond à une surface de contact avec des pièces en mou-vement de machines, on fait apparaître à part la puissance desforces surfaciques correspondant à cette partie de frontière. Cettepuissance, qui correspond à une puissance échangée entre le fluide

Wú int Tij ∂vi

∂xj-------- dV

V∫Ð=

Tij

Tij ∂vi

∂xj

--------i,j∑ P div vÐ η div v( )2 µ

∂vi

∂xj

--------∂vi

∂xj

--------∂vj

∂xi

--------+

i,j∑+ +=

Φ η div v( )2 µ ∂vi

∂xj

--------∂vi

∂xj

--------∂vj

∂xi

--------+ +=

Wú int P div v dV Φ dV

V∫Ð

V∫=

∂∂t----- ρ v

2

2------

V ρ v2

2------ v n Ω Fi vi dV Tij nj vi Ωd

Ω∫+

V∫=d

Ω∫+d

V∫

P div v dV Φ dV

V∫Ð

V∫+

Tn Pn Tn′+Ð=

ρg vi ∂z∂xi--------

∂∂t----- ρgz( ) div ρgz v+=

∂∂t----- ρgz( ) div ρgz v+ ρg ∂z

∂t------ gz ∂ρ

∂t------ gz div ρv ρgv grad z+ + +=

ρg ∂z∂t------ vi

∂z∂xi--------+

= gz ∂ρ∂t------ div ρv+

+

Fivi dV ∂∂t----- ρgz( ) dV ρgzv n Ωd

Ω∫Ð

V∫Ð=

V∫

∂∂t----- ρ v

2

2------ ρgz+

V P ρ v2

2------ ρgz+ +

v n Ω =d

Ω∫+d

V∫

T ij′ nj vi Ωd

Ω∫ P div v dV Φ dV

V∫Ð

V∫+


et les éléments mobiles de machines, est appelée puissance techni-que et est notée . En considérant que cette puissance est positivesi elle est reçue par le fluide et en notant par Ω le reste de la fron-tière, l’équation de Bernoulli généralisée devient :

(83)

4.4 Fluide pesant contenu dans un tubede courant comportant des éléments mobiles de machine

Pour un fluide pesant s’écoulant dans un tube de courant conte-nant des éléments mobiles de machine (figure 12) et en considérantle volume compris entre deux sections droites Ω1 et Ω2,l’équation (83) devient : on a, en divisant par le débit massique :

Wú t

∂∂t----- ρ v

2

2------ ρgz+

V ρ v2

2------ P ρgz+ +

v n Ω d

Ω∫+d

V∫ =

T ij′ nj vi Ωd


V∫Ð

V∫ Wú t+ +

Figure 12 – Tube de courant contenant des éléments mobilesde machine entre deux sections droites Ω1 et Ω2

Ω2

Ω1

v2

v1

z2

z1

n2

n1

Élémentde machine


(84)

Si le régime est permanent, pour un fluide incompressible, on a,en divisant les deux membres de l’équation par ϖ pour faire apparaî-tre la charge C du fluide :

(85)

avec :

(86)

est la puissance mécanique (à ϖ près) dissipée par les frotte-ments dans le fluide.

4.5 Cas d’un filet de courant

Pour l’écoulement d’un fluide compressible pesant en régime per-manent dans un filet de courant, l’équation (84) devient :

Avec l’équation de conservation de la masse (24) :

(87)

Dans cette équation wt est le travail technique massique, ou éner-gie échangée entre l’unité de masse du fluide et les éléments mobi-les des machines contenues entre les sections Ω1 et Ω2. Les deuxderniers termes du membre de gauche correspondent au travailmassique des forces de viscosité intérieures et extérieures.L’équation (87), pour le cas où il n’y a pas de machine, combinée àl’équation (68), permet d’écrire :

(88)

Pour un fluide incompressible pesant s’écoulant en régime per-

manent entre deux sections droites d’un filet de courant contenantune machine, l’équation (85), divisée par le débit volumique,devient :

(89)

où J12 correspond au travail des forces de viscosité rapporté àl’unité de poids du fluide. C’est la perte de charge entre 1 et 2. Le tra-

vail technique par unité de poids wt/g est aussi appelé : hauteur

hydraulique ou hauteur effective He :

L’équation (89) correspond à l’équation de Bernoulli le long d’unetrajectoire avec présence d’une machine. En effet, pour toute lignede courant d’un filet de courant, la charge dans une section droiteest constante.

∂∂t----- ρ v

2

2------ ρgz+

V P1 ρ+ 1

v12

2------ ρ1gz1+

v1 Ω1d

Ω1

∫Ðd

V∫

P2 ρ+ 2

v22

2------ ρ2gz2+

v2 Ω2d

Ω2

∫+

Tij′ nj vi Ωd

Ω∫= P div v dV Φ dV

V∫Ð

V∫ Wú t+ +

v12

2g-------

P1

ϖ------ z1+ +

v1 Ω1d

Ω1

∫ v22

2g-------

P2

ϖ------ z2+ +

v2 Ω2d

Ω2

∫ Wú t

ϖ------- J+ú 12Ð=

Jú12 T ij′ nj vi

Ωdϖ

-------- Φϖ---- dV

V∫+

Ω∫Ð=

Jú12

P2 ρ+ 2

v22

2------ ρ2gz2+

v2 Ω2 P1 ρ+ 1

v12

2------ ρ1gz1+

v1 Ω1dÐ =

Tij′ nj vi Ωd


V∫Ð

V∫ Wú t+ +

ρ1v1Ω1 ρ2v2Ω2 mú= =

P2

ρ2------

P1

ρ1------Ð

P div v

mú--------------------- dV

V∫Ð ∆ec ∆ep

Φ dV

mú---------------

V∫+ + +

T ij′ nj vi

Ωd

mú-------- wt=

Ω∫Ð

dPρ

-------

1

2

∫ P2

ρ2

------P1

ρ1

------ P div v

mú--------------------- dV

V∫ÐÐ=

v12

2g-------

P1

ϖ------ z1+ +

v22

2g-------

P2

ϖ------ z2

wt

g------Ð J12+ + +=

Hewt

g------=


5. Bilan de l’énergie. Premier principe

5.1 Cas général

Le premier principe de la thermodynamique exprime que la varia-tion d’énergie d’un système dans l’unité de temps est égale à lapuissance des forces extérieures augmentée de la puissance thermi-que échangée entre le système et son milieu extérieur (si on selimite aux seules formes d’énergie mécanique et thermique).

Dans l’équation de bilan (3), la grandeur par unité de volume gcorrespond à l’énergie interne d’arrêt ρea par unité de volume dufluide. On a :

(90)

avec u l’énergie interne massique du fluide.

Dans ce qui suit, on néglige les échanges thermiques par rayon-nement et les apports d’énergie chimique par exemple. Seule la

et en tenant compte de l’expression (36) des composantes de lacontrainte surfacique agissant sur la face d’orientation n et del’expression du tenseur des contraintes (34) :

on a :

(92)

Intégrée dans le cas d’un fluide s’écoulant, par des canalisations,à travers un système matériel quelconque, cette équation n’est autreque le bilan enthalpique, dans lequel le premier terme du secondmembre est nul puisque vi = 0 le long des parois et qu’on néglige lapuissance des forces de viscosité sur les sections normales auxcanalisations. Le dernier terme du membre de droite représente lapuissance thermique échangée à travers les parois et les sectionsdroites de canalisations. La somme des termes :

g ρea≡ ρu ρ v2

2------+=

Tin Tijnj Pδij njÐ T ij′ nj+= =

∂∂t----- ρgz ρu ρ v

2

2------+ +

V P ρgz ρu ρ v2

2------+ + +

v n Ω =d

Ω∫+d

V∫

T ij′ nj vi Ω Wú t λ grad T( ) n Ωd

Ω Ω ′+∫+ +d

Ω∫

Qú


conduction entre particules de fluide en mouvement se déplaçant àdes vitesses sensiblement identiques est prise en considération. Ladensité du flux de chaleur échangé est alors donnée par l’équa-tion de Fourier :

avec la puissance thermique traversant l’unité desurface de la frontière,

T la température absolue du fluide à cet endroit,

λ la conductivité thermique du fluide.

Ainsi, l’équation du bilan de l’énergie, conformément au premierprincipe s’écrit :

(91)

5.2 Fluide pesant en contact avecdes éléments mobiles d’une machine

On peut, dans l’expression précédente, faire apparaître plus parti-culièrement la puissance échangée avec une machine, c’est-à-dire lapuissance technique. Elle intervient par l’intermédiaire de forces desurface sur une surface matérielle particulière Ω′ qui est la surfacefrontière entre le fluide et les pièces en mouvement, le reste de lasurface frontière étant noté Ω. Cette surface Ω′ n’est traversée paraucun flux de matière. On ajoute alors, dans le membre de droite, leterme . Si le flux thermique peut traverser cette surface maté-rielle en mouvement, l’intégration de ce flux doit avoir lieu surl’ensemble Ω + Ω′ de la surface frontière entre l’élément de fluideconsidéré et son milieu extérieur.

En reprenant le cas d’un fluide pesant pour lequel on a noté que(§ 4.2) :

est l’enthalpie totale massique alors que :

est l’énergie totale massique : énergie interne + énergie cinétique +énergie potentielle gravifique massique.

5.3 Fluide pesant s’écoulant dans un filet de courant et traversant une machine

Si le volume V correspond au fluide compris entre les sectionsdroites Ω1 et Ω2 d’un filet de courant, l’équation (92), compte tenu del’équation de conservation de la masse (24) et si on néglige les effetsde la viscosité à la surface du filet de courant, devient :

(93)

5.4 Équation de la thermique des fluides en écoulement

L’équation du bilan de l’énergie cinétique (79) dans laquelle on aajouté la puissance technique s’écrit :

qΩú

qΩú λ grad T( ) n=

qΩú

∂∂t----- ρu ρ v

2

2------+

V ρu ρ v2

2------+

v n Ω F v Vd

V∫=d

Ω∫+d

V∫

Tn v Ω λ grad T( ) n Ωd

Ω∫+d

Ω∫+

Wú t

Fivi dV ∂∂t----- ρgz( ) dV ρgz v n Ωd

Ω∫Ð

V∫Ð=

V∫

u v2

2------ P

ρ--- gz+ + + ht=

et u v2

2------ gz+ +=

∂∂t----- ρet( ) Vd

V∫ m ú ht2 ht1Ð[ ]+ Wú t Qú+=

Wú t Fi vi dV

V∫ Tij nj vi Ωd

Ω∫+ +

∂∂t----- ρ v

2

2------

V ρ v2

2------ v n Ωd

Ω∫+d

V∫=

P div v dV Φ dV

V∫+

V∫Ð


En reportant cette relation dans l’équation du bilan del’énergie (91), dans laquelle on prend également en compte la puis-sance technique, on obtient :

(94)

Pour un domaine quelconque et en appliquant le théorème de ladivergence (ou d’Ostrogradski), on a :

(95)

Dans cette équation, les deux premiers termes peuvent s’écrire :

ce qui, compte tenu de l’équation de la conservation de la massedonne :

Ainsi, l’équation (97) devient :

(98)

C’est l’équation de la thermique des fluides en écoulement.

Cas particuliers Dans le cas d’un gaz parfait, où le coefficient β est égal à

l’inverse de la température et la fonction dissipation Φ est négligea-ble, on a :

Quel que soit le fluide, on peut souvent faire l’hypothèse que laconductivité thermique du fluide est constante. L’équation (98)devient alors :

Si le fluide est immobile, la fonction dissipation Φ est nullepuisqu’il n’y a pas de déformation. Si, de plus, la pression est cons-tante, on a :

v∫ ∂

∂t----- ρu( ) V ρu v n Ω P div v dV Φ dV

V∫+

V∫Ð=d∫+d

λ grad T n Ωd

Ω∫+

∂ρu∂t

---------- div ρu v P div v+ + Φ div λ grad T+=

ρ ∂u∂t------- u ∂ρ

∂t------ u div ρ v ρ v grad u+ + +

∂u Du

ρ cp DTdt-------- Tβ DP

dt-------- Φ div λ grad T+ +=

ρ cp DTdt-------- DP

dt-------- div λ grad T+=

ρ cp DTdt-------- βT DP

dt-------- Φ λ ∇ 2 T+ +=


Par ailleurs, on peut aussi écrire :

soit :

Alors l’équation (95) devient :

(96)

En notant encore que :

l’équation (96) devient :

(97)

Dans cette expression, on reconnaît l’enthalpie du fluide h = u + P/ρ. Comme, pour un fluide monophasique :

où β est le coefficient de dilatation isobare :

le d’Alembertien de l’enthalpie s’écrit :

avec :

et

(99)

C’est l’équation de la chaleur en régime variable, qui s’écritégalement :

dans laquelle a est la diffusivité thermique :

a = λ / ρcp

Enfin, dans de nombreux cas pratiques, les quantités :

et Φ

sont négligeables. Alors l’équation (98) devient :

ou encore :

(100)

Avec l’hypothèse de la constance de λ, on obtient :

(101)

C’est l’équation du transfert thermique dans un fluide en mouve-ment lorsque les échanges thermiques n’ont lieu que par conduc-tion. Elle contient un terme de transport d’énergie thermique (ledeuxième du membre de gauche), un terme d’accumulation d’éner-gie thermique appelé souvent inertie thermique (le premier dumembre de gauche) et un terme dit de diffusion de l’énergie thermi-que (membre de droite). Elle peut être complétée par un termesource. En effet, dans l’équation (91), on a considéré uniquement lestransferts thermiques par conduction entre l’élément fluide et sonmilieu extérieur. Si un dégagement de chaleur interne a lieu (réac-tion chimique par exemple) ou si le fluide absorbe un rayonnementthermique, il faut tenir compte de ces phénomènes en ajoutant unterme de source (puissance volumique de la source) dans lemembre de droite.

ρ ∂t------- v grad u+ ρ

dt--------=

∂ρ∂t------ div ρ v+ 0 ∂ρ

∂t------ ρ div v v grad ρ+ += =

div v 1ρ--- ∂ρ

∂t------ v grad ρ+

Ð 1ρ---Ð Dρ

dt--------= =

ρ Dudt-------- P

ρ--- Dρ

dt--------Ð Φ div λ grad T+=

ρ D P ρ⁄( )dt

-------------------- DPdt--------

Pρ--- Dρ

dt--------Ð=

ρ Ddt------ u P

ρ---+

Dρdt--------Ð Φ div λ grad T+=

dh cp dT 1ρ--- 1 TβÐ( ) dP+=

β 1v--- ∂v

∂T-------

P

1ρ--- ∂ρ

∂T-------

P

Ð= =

Dhdt--------

∂h∂T------- DT

dt-------- ∂h

∂P------- DP

dt--------+=

∂h∂T------- cp= ∂h

∂P-------

1ρ--- 1 TβÐ( )=

ρ cp ∂T∂t------- λ ∇ 2 T=

∂T∂t------- a ∇ 2 T=

DPdt--------

ρ cp DTdt-------- div λ grad T=

ρ cp ∂T∂t------- ρ cp vi

∂T∂xi

--------+ div λ grad T=

ρ cp ∂T∂t------- ρ cp vi

∂T∂xi

--------+ λ ∂2T

∂xi2

---------=

Qú vs


Si un échange thermique a lieu localement entre le fluide et unesurface matérielle, on peut tenir compte de manière spécifique etartificielle de cet échange en considérant un terme supplémentaireau terme (grad T )n. Ce terme, qui correspond à un échange thermi-que par convection, a la forme générale suivante :

hc (Tp − Tf ) = hc ∆T

avec hc coefficient de convection,

Tp et Tf respectivement la température de la paroi et celledu fluide loin de la paroi.

L’équation générale de la thermique des fluides, déduite del’équation (98), est alors :

(102)

avec Ωf la surface de séparation fluide-fluide,

Ωm la surface de séparation fluide-paroi.

Cette équation peut être simplifiée dans le cas où la variation de

a)

b) div ρ cp T v = T div ρ cp v + ρ cp v grad T

c) T div ρ cp v = T cp div ρv + T ρv grad cp = 0

[la dernière relation n’est vraie que si on néglige la compressibilitédu fluide (div ρv = 0) et si cp est constante (grad cp = 0)], on a :

Enfin, en utilisant le théorème de la divergence, l’équation (102)devient :

(103)

C’est une équation de bilan qui ne contient que des termes d’éner-

ρ

V∫ cp DT

dt-------- dV Tβ DP

dt-------- Φ+

dV

V∫ λ grad T( ) n Ωfd

Ωf

∫+=

Qú vs dV

V∫ hc ∆T Ωmd

Ωm

∫+ +

ρ cp DTdt-------- ρ cp

∂T∂t------- ρ cp v grad T+=

ρ cp DTdt-------- ρ cp

∂T∂t------- div ρ cp T v +=

ρ

V∫ cp ∂T

∂t------- dV ρ cp T v n Ωfd

Ωf

∫+ λ grad T( ) n Ωfd

Ωf

∫=

hc ∆T Ωmd

Ωm

∫ Qú vs dV

V∫+ +


pression est faible et où la dissipation d’énergie mécanique estnégligeable. En notant, de plus que :

gie thermique, comme l’équation de Bernoulli généralisée ne conte-nait, de manière explicite, que des termes d’énergie mécanique.

Engineering

écoulement de fluide