1. Hallar el área de la región encerrada por los siguientes gráfico

A) f(x) = x²- 4, g(x)= x – 4 puntos de corte ײ -4 = x – 4 x²-x =0 x(x-1)=0 x=0 x=1

A= ∫0

1

x−4−(x ²−4)¿¿dx= ∫0

1

(x−x2)dx = x ²2

-x ᶟ3

¿ ₒ ¹=¿ 1/2 - 1/3 A= 1/3

b) y = xᶟ, y=4xpuntos de corte xᶟ = 4x xᶟ -4x=0 X(X² -4)= 0 X=0 X=2, X=-2

A= A₁ + A₂ por simetría A= 2A₁

A =2[ ∫²ₒ (4x-xᶟ)dx] = 4x²¿02 - x

4

2¿02 = 16-8 =8 A= 8

c) x=12y

x=0 y=1 y=e2´

A=∫12e2

1212X dx = 12lnx¿12

e2

12

= 12[ln12 -ln12

e2] =12lne2 =24

d) f(x)=tanx2 ,

el eje x y las rectas x=0, x=π2

A= ∫0

π2

tanx2

dx= ∫0

π2 sen

x2

cosx2

dx= -2lnlcosx2

l]ₒπ2

=

A=-2 lncosπ4

-2lncos0

A= -2ln√22

-2ln0

A=ln√2 +ln4

2. Hallar del volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las curvas dadasa) un arco de y=cos2x, alrededor del eje x

v= π∫a

b

[ f (x )] ²dx V= π∫−π2

π2

(cos 2x )2dx0V= π∫−π2

π2

¿¿)dx

V= π[½∫−π2

π2

dx +½∫−π2

π2

cos 4 xdx] V= π[½X¿ π2

π2 +18

sen4x¿ π2

π2 ]

V=12π2

b) x=4y x=3√ y alrededor de la recta x=8

y=x4 y=x3puntos de corte de las gráficas y=y

x4=x3 4x3-x=0

x(4x2-1)=0 x=0 x=½ x=-½

por simetría v=2v₁ método de la corteza cilíndrica

V=2[2 π∫0

½

(8−x ) ¿¿ -x3¿dx] V=4 π∫0

½

¿¿-x2

4 +x4)dx

V=4 π[x2 -2x4 -x3

12 +x5

5¿0½ V=

2960

c) Hallar el volumen del solido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse x2

a2 + y

2

b2 = 1 x

2

a2 = 1 - y

2

b2 x2 = b

2− y2

b2.a2 x=a

b√b2− y2

Por simetría V= 2v[

V=2[ 2 π∫0

b

y ¿¿dy) ∫ y √b2− y2 dy integración por sustitución u=b2 -y2

du=-2ydy ∫ y √b2− y2 dy = -13√(b2− y2)3

V=4 ab

π [13√(b2− y2)3¿0

b V=

4 a3

πb2

d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por

Y= 4 - x2 , el eje x, al girar alrededor de la recta x =3

Método de la corteza cilíndrica

V=2 π∫−2

2

(3−x ) (4−x2 )dx V= 2 π∫−2

2

¿¿ -4x+x3)dx

V= 2 π[12x-x3 -2x2 +x4 ¿−22 V=40 π

3. Hallar la longitud de la curva dada

a) Y= x3

6 +12x

desde x= 1 hasta x=3

L= ∫a

b

√1+¿¿¿dx y '= x2

2-12x

L=∫1

3

√1+¿¿¿-12 X

¿2dx

L= ∫1

3

√ x44 + 141

x4+ 12

dx L =∫1

3

√ x8+1+2 x44 x4dx =∫

1

3

√¿¿¿dx

L=∫1

3x4+12x2

dx = ∫1

3

¿¿ +1

2x2)dx = x

3

6-12x

¿13 L=4

b) Y=lnsecx desde x=0 hasta x=π3

y '= tanx L= ∫0

π3

√1+(tanx)² dx

L= ∫0

π3

√sec ² xdx =∫0

π3

secxdx=ln (secx+tanx)¿0π3 =lnl 2+√3