INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

ESCUELA DE INGENIERÍA

EXTENSIÓN MATURÍN

MATERIA: TEORIA DE CONTROL

TRANSFORMADA DE LA PLACE

Profesor: Bachiller:

.

Sección: “V”

Jose Rivas

Maturín, Enero de 2017.

1) Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes

funciones:

a) 2sent+ 3cos2t

L{eat. f(t)} = f(s − a) ; a = 2

f(t) = sen(3t) => 𝐿{f(t)} = f(s) => 𝐿{sen(3t)}

L{sen(wt)} ; w = 3

Aplicando la tabla de Laplace, tenemos que:

L{sen(wt)} =w

s2 + w2=

3

s2 + 32= f(s)

L{e2t. sen(3t)} =3

(s − 2)2 + 32=

3

(s − 2)2 + 9

b) T2e4t

3L{e−t. cos(2t)} = 3L{e2tf(t)} = f(s − a)

f(t) = cos(2t) => 𝐿{cos(2t)} = s

s2 + w2 ; w = 2 => 𝐿{cos(2t)}

s

s2 + 22=> 3𝐿{e−t. cos(2t)} =

3(s + 1)

(s + 1)2 + 4

c) E-2tsen5t

L{t3. sen(3t)} = L{tnf(t)} = (−1)nf n(s) ; f n(s) =dn

dsn ; n = 3

L{sen(3t)} =w

s2 + w2 ; w = 3 => 𝐿{sen(3t)} =

3

s2 + 32= f(s)

L{t3. sen(t)} = (−1)3f 3(s) ; f 3(s) = Tercera derivada de f(s). f ′′′(s)

f(s) = 3

s2 + 32=> f ′(s) =

−2s(3)

(s2 + 32)2=

−6s

(s2 + 32)2

f ′′(s) =(−6)(s2 + 32)2 − 2(s2 + 32)(2s)(−6s)

((s2 + 32)2)2

f ′′(s) =(−6)(s4 + 18s2 + 81) − 2(s2 + 32)(2s)(−6)

(s2 + 32)4

f ′′(s) =−6s4 − 108s2 − 486 − 2(12s4 − 108s2)

(s2 + 32)4

f ′′(s) =−6s4 + 24s4 − 108s2 + 216s2 − 486

(s2 + 32)4=

18s4 + 108s2 − 486

(s2 + 32)4

f ′′(s) =(72s4 + 216s)(s2 + 32)4 − 4(s2 + 32)3(18s4 + 108s2 − 486)

(s2 + 32)3

L{t3sen(t)} = (−1)f ′′′(s)

"Porque: L{tnf(t)} = (−1)nfn(s) ; siendo f n(s) ; La derivada enesima de f(s)

d) 𝐭𝟐𝐞𝐭𝐜𝐨𝐬(𝐭)

L{t2etcos(t)} = L{tnf(t)} = (−1)ndnf(s)

dsn= (−1)nf n(s)

f(t) = etcos(t); L{etcos(t)} =s + a

(s + a)2 + w2 ; a = 1; w = 1

L{etcos(t)} =s + 1

(s + 1)2 + 1

L{t2etcos(t)} = (−1)1f′(s); f(s) =s + 1

(s + 1)2 + 1

f ′(s) =(1)(s + 1)2 + 1 − 2(s + 1)(s + 1)

((s + 1)2 + 1)2

f ′(s) =s2 + 2s + 1 + 1 − (2s − 2)(s + 1)

[(s + 1)2 + 1]2=

s2 + 2s − 2s2 − 2s + 2s

[(s + 1)2 + 1]2

f ′(s) =−s2 + 2s + 4

[(s + 1)2 + 1]2

L{t2etcos(t)} = (−1) [−s2 + 2s + 4

[(s + 1)2 + 1]] =

s2 − 2s − 4

[(s + 1)2 + 1]2

e) 𝐞−𝟑𝐭𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭 + 𝟒)

L{e−3tcos(2t + 4)} = L{eatf(t)} = f(s + a)

f(t) = cos(2t + 4) => 𝑐𝑜𝑠(wt + y)

L{cos(wt + y)} ; w = 2 ; y = 4

cos(wt + y) = cos(wt) + cos(y) − sen(wt). sen(y)

cos(wt + y) = cos(4)cos(2t) − sen(4)sen(2t) cos(4)y sen(4) Son Constantes

L{cos(wt + y)} = cos(4)L{cos(2t)} − sen(4)L{sen(2t)}

L{cos(2t)} =s

s2 + w2 ; L{sen(2t)} =

w

s2 + w2

L{cos(2t)} =s

s2 + 22 ; L{sen(2t)} =

2

s2 + 22

L{e−3tcos(2t + 4)} = (cos4)(s + 3)

[(s + 3)2 + 22]− (sen4) (

2

(s + 3)2 + 22)

f) ∫ 𝒓.𝐜𝐨𝐬(𝒓) 𝒅𝒓𝒕

𝒐

𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)𝑑𝑟𝑡

0

} =𝐹(𝑠)

𝑠= 𝐿 {∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢

𝑡

0

}

𝐹(𝑢) = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)𝑑𝑟 => 𝐿{𝐹(𝑢)} = 𝐹(𝑠)

𝐿{𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)} = 𝑟 = 𝑡 => 𝐿{𝑡. 𝑐𝑜𝑠(𝑡)} = 𝐿{𝑡𝑛 . 𝐹(𝑡)} = (−1)𝑛. 𝐹𝑛(𝑠)

𝐹(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) => 𝐿{𝑐𝑜𝑠(𝑡)} =𝑠2

𝑠2 + 12

𝐿{𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)} = (−1).𝑑

𝑑𝑠(

𝑠2

𝑠2 + 12) = (−1) [

2𝑠(𝑠2 + 1) − 2𝑠(𝑠2)

𝑠2 + 1]

𝐿{𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)} = (−1) [2𝑠3 + 2𝑠 − 2𝑠3

𝑠2 + 1] =

−2𝑠

𝑠2 + 1= 𝐹(𝑠)

𝐿 {∫ 𝑟. 𝑐𝑜𝑠(𝑟)𝑑𝑟𝑡

0

=}1

𝑠(

−2𝑠

𝑠2 + 1) =

𝑠

𝑠2 + 1

2) Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones:

a) 𝓛−𝟏 {𝟏

𝐬(𝐬+𝟏)}

Aplicamos fracción parcial:

1

s(s + 1)=

A

s+

B

(s + 1)

1

s(s + 1)=

A(s + 1) + B(s)

s(s + 1)

1 = As + A + Bs

1 = s(A + B) + A

Buscamos los valores de A y B:

A = 1 ; A + B = 0

B = −A

B = −1

Sustituimos

ℒ −1 = {1

s(s + 1)} = ℒ −1 {

1

s} − ℒ −1 {

1

s + 1}

ℒ −1 = {1

s(s + 1)} = 1 − et

b) 𝓛−𝟏 = {𝟑

(𝒔−𝟏)𝟐} = 𝟑𝓛−𝟏 {𝟏

(𝒔−𝟏)𝟐} = 𝟑𝒕𝒆𝒕

c) 𝓛−𝟏 = {𝟓

𝒔𝟐(𝒔−𝟓)}

Aplicamos fracción parcial:

5

s2(s − 5)=

A

s2+

B

s+

C

s − 5

5

s2(s − 5)=

(s − 5)A + s(s − 5)B + s2C

s2(s − 5)

5 = sA − 5A + (s2 − 5s)B + s2C

5 = (B + C)s2 + (A − 5B)s − 5A

Buscamos los valores de A, B y C

ℒ −1 = {5

s2(s − 5)} = −ℒ −1 {

1

s2} −

1

5ℒ −1 {

1

s} +

1

5ℒ −1 {

1

s − 5}

ℒ −1 = {5

s2(s − 5)} = −t −

1

5+

1

5e5t

d) 𝓛−𝟏 {𝟏

(𝐬−𝐚)(𝐬−𝐛)}

Aplicando fracciones parciales

1

(s − a)(s − b)=

A

s − a+

B

s − b

1

(s − a)(s − b)=

A(s − b) + B(s − a)

(s − a)(s − b)

1 = s(A + B) + (−bA − aB)

Buscamos los valores de A y B

{A + B = 0

−bA − aB = 1 { bA + bB = 0

−bA − aB = 1

B + C = 0

C = −B

C =1

5

A − 5B = 0

−5B = −A −5B = 1

B = −1

5

−5A = 5

A = −5

5

A = −1

(𝑏 − 𝑎)𝐵 = 1

𝐵 =1

𝑏 − 𝑎

𝐴 = −𝐵

𝐴 = −1

𝑏 − 𝑎

ℒ −1 {1

(s − a)(s − b)} = −

1

b − aℒ −1 {

1

s − a} +

1

b − aℒ −1 {

1

s − b}

ℒ −1 {1

(s − a)(s − b)} = −

1

b − aeat +

1

b − aebt

ℒ −1 {1

(s − a)(s − b)} =

ebt − eat

b − a

e) 𝓛−𝟏 {𝟏

𝐬𝟐+𝟒𝐬+𝟐𝟗}

s2 + 4s + 29

s =−b ± √b2 − 4ac

2a

s =−4 ± √−100

2 ; s = −2 ± j5 ;

s2 + 4s + 29 = (s + 2 − j5)(s + 2 + j5)

Aplicando fracciones parciales.

1

s2 + 4s + 29=

k1

s + 2 − j5+

k2

s + 2 + j5

1

s2 + 4s + 29=

k1(s + 2 + j5) + k2(s + 2 − j5)

s2 + 4s + 29

1 = k1s + 2k1 + j5k1 + k2 s + 2k2 − j5k2

1 = (k1 + k2 )s + 2(k1 + k2) + j5(k1 − k2)

Buscamos los valores de k1 y k2

𝑘1 + 𝑘2 = 0 No satisface la ecuación

2(𝑘1 + 𝑘2) = 1 2(2𝑘1) = 1

4𝑘1 = 1

𝑘1 =1

4

𝑘1 − 𝑘2 = 0 Si satisface la ecuación

𝑘1 = 𝑘2 =1

4

ℒ −1 {1

s2 + 4s + 29} = k1ℒ −1 {

1

s + 2 − j5} + k2ℒ −1 {

1

s + 2 + j5}

ℒ −1 {1

s2 + 4s + 29} =

1

4ℒ −1 {

1

s + 2 − j5} + ℒ −1 {

1

s + 2 + j5}

=1

4 ℒ −1 {

s + 2 + j5 + s + 2 − j5

s2 + 4s + 29} =

1

4ℒ −1 {

2(s + 2)

s2 + 4s + 29}

Competición de cuadrado

𝑠2 + 4𝑠 + 29 + (4

2)

2

− (4

2)

2

= 0

𝑠2 + 4𝑠 + 4 + 25 = 0

(𝑠 + 2)2 + 25 = 𝑠2 + 4𝑠 + 29

1

4ℒ −1 {

2(𝑠 + 2)

(𝑠 + 5)2 + 25} =

1

2ℒ −1 {

𝑠 + 2

(𝑠 + 2)2 + 52}

ℒ −1 {1

𝑠2 + 4𝑠 + 29} =

1

2𝑒−2𝑡 cos(5𝑡)

f) 𝓛−𝟏 {𝟐𝐬

(𝐬𝟐+𝟏)𝟐} = 𝟐𝓛−𝟏 {

𝐬

(𝐬𝟐+𝟏)𝟐}

ℒ −1 {2s

(s2 + 1)2} =

2t. sen (at)

2a=

t. sen(at)

a

3) Hallar la transformada de Laplace de:

a) 𝐟(𝐭) = {𝟎 ; 𝐭 ≤

𝟏

𝟐

𝟏 + 𝐭 ; 𝐭 >𝟏

𝟐

Corte con los ejes

f(s) = 1 + t = l

para t = 0 → f(t) = 1 → (0; 1)

para f(t) = 0 → t = 1 +1

2=

3

2→ (

3

2; 0)

ℒ = r (t −1

2)

ℒ = {f(t)} = ℒ {r (t −1

2)} +

3

2ℒ {u (t −

1

2)}

1

(s −12)

2+

3

2

1

(s −12

)= f(s)

b) 𝒇(𝐭) = {𝐭 , 𝐭 ≤ 𝟐𝟐 , 𝐭 > 2

f(t) = r(t) − r(t − 2) + 2u(t − 2)

ℒ{f(t)} = ℒ{r(t)} − ℒ{r(t − 2)} + 2ℒ{u(t − 2)}

f(s) =1

s2−

1

(s − 2)2+

2

s − 2