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ELEMENTU FINITUEN METODOAREN OINARRIAK
GAI ZERRENDA: 1. Sarrera 2. Metodoaren oinarriak 3. Barra elementua 4. Habe elementua 5. Ariketak
1. INTRODUCCIÓN
Diseño preliminar
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Desarrollo de sistemas mecánicos y procesos de fabricación
Cálculo de componente: - Dimensionamiento
- Verificación del diseño - Selección del material
Cálculo de proceso: - Selección de parámetros de
proceso - Diseño de útiles
Industrialización
1. INTRODUCCIÓN:
Métodos de cálculo
- Métodos analíticos:
- Empleo de ecuaciones analíticas que representan la pieza, producto o proceso a analizar.
- Ventajas: relativamente rápidos de resolver.
- Inconvenientes: difícil de representar fielmente piezas, productos o fenómenos complejos (no siempre aplicables).
- Métodos numéricos (Método de los elementos finitos MEF)
- Dividir un problema complejo en muchos problemas sencillos (elementos).
- Obtención de resultados mediante métodos numéricos.
- Ventajas: capacidad de resolver problemas muy complejos
- Inconvenientes: • proceso de resolución largo y costoso. • necesidad del empleo de ordenadores.
1. INTRODUCCIÓN:
Métodos de cálculo
Mecánica de sólidos: cálculos estructurales estáticos
Puesta a punto Diseño FEM
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
Mecánica de sólidos: procesos de conformado y mecanizado
vc = 300 m/min vc = 600 m/min
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
Simulación flujo del aire en un F1
Mecánica de fluidos: ejemplos lineales y no lineales
Simulación de un huracán
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
Termodinámica:
Simulación de la transferencia de calor en una turbina
Simulación del patrón de temperaturas de un tubo y el molde
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
•Elemento finito (EF): porción del volumen bajo análisis, de geometría sencilla, en la cual es sencillo resolver las ecuaciones de comportamiento.
•Nodos: puntos de referencia en los que se van a calcular los desplazamientos (grados de libertad). Por lo general se encuentran en los límites del elemento (vértices, aristas, centroide,…).
• Funciones de interpolación: permiten determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
Elemento finito
Nodos
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Definiciones
u v w θx θy θz
6 Grado de Libertad (GDL) por nodo en 3D.
X Y
Z
u v
w
θx
θy
θz
u: Desplazamiento en X v: Desplazamiento en Y w: Desplazamiento en Z θx: Rotación respecto de X θy: Rotación respecto de Y θz: Rotación respecto de Z
=
Problema real División del problema en sub-problemas de solución conocida.
DISCRETIZAR
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Grados de libertad
• Por geometría:
- Unidimensionales
- Bidimensionales
- Tridimensionales
• Según el orden de interpolación:
- Lineales
- Parabólicos
- …
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
Lineales Parabólicos
Unidimensionales: una dimensión prima frente al resto
Bidimensionales: una dimensión es despreciable frente al resto
Tridimensionales:
geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
Atendiendo a la GEOMETRÍA:
• Menos nodos, más imprecisos.
• Se adaptan mejor a geometrías complejas
• Más nodos, más precisos.
• Mayor tiempo de cálculo.
• Dificultad de adaptar a geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
v1 v2 v1 v3 v2
Interpolación lineal Interpolación parabólica
v(x) = m x + b v(x) = a x2 + b x + c
x x
Según el orden de interpolación:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
Elementos lineales vs. parabólicos:
• Ventaja: los elementos parabólicos dan un resultado más exacto porque aproximan mejor la solución.
• Inconveniente: mayor número de nodos, cálculo más costoso.
Si se utilizan elementos lineales se debe discretizar con muchos elementos las zonas donde haya cambios de tensión.
[M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..
[M]: Matriz de masa
[C]: Matriz de amortiguamiento [K]: Matriz de rigidez
{δ}: Vector desplazamiento
{δ}: Vector velocidad .
{δ}: Vector aceleración ..
{Fext}: Vector de fuerzas externas
En el campo estático: Aceleración = 0 Velocidad = 0
[K]{δ} ={Fext} [M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..
Ecuación general del movimiento:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Ecuación diferencial del movimiento
Se utilizan para determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
1
*1 2e e, ,...,
n
n
N N N N
Ni representa la contribución del desplazamiento del gdl i en el desplazamiento de cualquier punto del elemento.
= vector de desplazamientos de cualquier punto del elemento e.
= desplazamientos nodales del elemento e.
= matriz de funciones de interpolación
e
*
e
N
= funciones de interpolación del gdl i.
= desplazamiento del gdl i. i
iN
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Funciones de interpolación [N]
n = número de gdl
El coeficiente de rigidez Kij representa la fuerza a aplicar en el gdl i para obtener un desplazamiento unitario en el gdl j manteniendo nulos el desplazamiento en el resto de gdl.
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
...
...
n n
n n nn n n
K K K f
K K K f
* *
ee ef K
[K]e = matriz de rigidez del elemento
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Matriz de rigidez [K]
19
Once, the nodal displacement vector of the studied system is solved the stress/strain condition at any point can be obtained.
.
. ] N,....,N,N [=}{
n
1
n21e
δ
δ
δ
0 0
0 0
0 0
0
0
0
x
x
yy
z z
xy
y xyz
zx z y
z x
u
v
w
Determination of the elongation at the selected point Strain vector determination
* *N B
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de deformaciones
20
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalised Hooke’s law:
1
1
1
x x y z
y y z x
z z x y
E
E
E
2 1
2 1
2 1
xyxy xy
yzyz yz
zxzx zx
G E
G E
G E
Generalized Hooke’s law:
LAMÉ 's_law :
2 1E
G
For isotropic materials
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de tensiones
21
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalized Hooke’s law:
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 20 0 0 0 0
21 2 11 2
0 0 0 0 02
1 20 0 0 0 0
2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx
E
zx
D
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de tensiones
22
Relation between nodal forces an nodal displacements:
Based on CAPLEYRON theory, the external work of the nodal forces is represented:
The internal deformation energy caused by the nodal displacements:
{ } [ ]{ }** δKf =
* *12
Tw f
1
d2
Tu v
* *
*
N B
D D B
As: T T* *1
d2
v
u B D B v
Being w u
* *12
Tw K
T T* * * *1 1
2 2
T
v
K B D B dv
T dv
K B D B v
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de la matriz de rigidez
23
Transformation matrix
[ ]
=
zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
T
From local coordinate system of the element
To global coordinate system
* *T * *f K * *f K
T T T* * * *f T f T K T K T * *f T f
T* *f T f TK T K T
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de la matriz de rigidez en coordenadas globales
24
In a real problem different type of external loads can be found:
- Punctual forces
- Moments
- Distributed loads
f*
f
=
For FEM modelling all external load should be applied in the element nodes
- Punctual forces
- Moments
- Distributed loads
NECESITY TO OBTAIN AN EQUIVALENT SYSTEM BASED IN NODAL LOADS
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes
25
T1
1d
2s
w f s
The external work due to all the external load applied to the system is given by
By using the interpolation functions:
Thus the work of the equivalent system can be written as:
T TT T* *
1
1 1d d
2 2s s
w N f s N f s
T* *2
12
w f
1 2w w T TT* * *1 1d
2 2s
N f s f
T* ds
f N f s
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes
Cálculo de desplazamientos
Cálculo de deformaciones
Cálculo de tensiones
Criterio de rigidez
Criterio de resistencia
Ley de Hooke generalizada { } [ ]{ }εσ D=
admδδ ≤
adm
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo estático lineal. Proceso de cálculo
*B
Cálculo de desplazamientos nodales y reacciones
*
e eN
[K]{δ} ={Fext}
1. PRE-PROCESADO Preparar la geometría del modelo. Definir las propiedades del material. Aplicar las condiciones de contorno. Discretizar el modelo.
2. CÁLCULO
Lanzar el cálculo del comportamiento global del modelo como suma de sus elementos discretos.
3. POST-PROCESADO
Analizar los resultados.
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Fases del cálculo por elementos finitos
28
Truss element:
- 2 node one-dimensional element (2DOF)
- Only allows to calculate tractive-compressive condition
Determination of the interpolation function 21 ,
,,,
uuji
zyxNodal displacement vector 1 2,T u u
2 G.D.L 1st order equation xaaxu .)( 10 +=
x
y
1 2
2u1u
L i j
)(xu
Local axis Element nodes Nodal displacements
1)0( uu =
2)( ulu = } laauau
102
01
+== } 1 0
12
1 0
1
u a
au l
211
10
11 ul
ul
a
ua
+−=
= }
−
=
2
1
1
0
1101
uul
laa
1 1
2 2
1 0
1, 1 ,1 1u ux x
u xu ul l
l l
[ ]
=2
121, u
uNNu
lxN −=11 l
xN =2
3. ELEMENTO BARRA
Definición y funciones de interpolación
29
T dv
K B D B v
1 1
, 1 222
1x y
u ux xu N N
uu l l
Stiffness matrix obtaining formula:
2 2
02 2
1 1 11 11 1
, d d1 1 1 1 1
l
v
EAl l lK E v AE xl l l
l l l
3. ELEMENTO BARRA
Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
1 1 11 2
1 22 2 2
1 1, , ,x
BB
u u uu N NN N
u u ux x x x l l
x xE
30
1 1
1
21
2,
,
cos sin 0 0
0 sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 0 sin cos X Yx y
u u
v
uvv
3. ELEMENTO BARRA
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Naming
sin
cos
e
e
0 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0
TK T K T
EAK
l
2 2
2 2
e 2 2
2 2
EAK
l
31
2v1v
z
x
y
12
Beam element:
- 2 node unidimensional element (4DOF)
- Only allows to calculate behind loading condition
1
1
2
2
v
v
T 1
1 2 3 41
1 2 3 4 2
2
d d d dd d d d
vN N N Nv
N N N N vx x x x
12 3 2 32 3 2 3
2 2 1
2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 22
1 3 2 , 2 , 3 2 ,
6 6 , 1 4 3 , 6 6 , 2 3
vx x x x x x x x
xvl l l l l l l l
vx x x x x x x xl l l l l l l l
Beam element interpolation function:
4. ELEMENTO VIGA
Definición y funciones de interpolación
32
Beam deflection 2
2
d dd dx
vy y
x x
2 2
* *2 2
d dd dx
vy y N B
x x
T dv
K B D B v
2 3
22
2 3 2 2 3 20
2 3
2
612
46
6 4 6 212 , 6 , 12 , 6 d d
612
26
l
s
xl l
xx x x xl lK E x y s
x l l l l l l l ll l
xl l
dbeing
dvx
2 3 2 2 3 2
6 4 6 212 , 6 , 12 , 6
x x x xB y
l l l l l l l l
4. ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
x xE
33
Naming
sin
cos
3 2 3 2
2 2
e
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0 0 0
12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0
6 4 6 20 00 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 00 0 0 0
12 6 12 60 0 0 00 0
0 0 0 0 0 16 2 6 4
0 0
z
l l l l
l l l lK EI
l l l l
l l l l
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
23
23 3
2 2
e2 2
3 3 2 3
2 23 3 2 3 3
3 2 2
12
12 12
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6 2 6 6 4
z
l
l l
l l lK EI
l l l l
l l l l l
l l l l l l
4. ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez en coordenadas globales
34
Complete Beam element:
- 2 node one-dimensional element (6DOF)
- Only allows to calculate behind loading condition
1
1
1T
2
2
2
u
v
u
v
1
1
1 21
3 4 5 62
3 4 5 6 2
2
0 0 0 0
0 0
d d d d0 0
d d d d
u
vN Nu
v N N N N uN N N N vx x x x
1
1
2 3 2 32 3 2 3 1
2 22
2 2 2 22
2 3 2 2 3 22
1 0 0 0 0
0 1 3 2 2 0 3 2
0 6 6 1 4 3 0 6 6 2 3
ux x
vl lu
x x x x x x x xv x ul l l l l l l l
vx x x x x x x xl l l l l l l l
Complete Beam element interpolation function:
2v1v
z
x
y
12
2u1u
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa
35
Naming sin
cos
2 2
3
2 23 3
2 2
2 2 2 23 3 2 3
2 2 2 23 3 2 3 3
2 2
12
12 12 .
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6 2
Te e
EI EAL L
EI EA EI EA syL L L L
EI EI EIL L L
K T k TEI EA EI EA EI EI EA
L L L L L L L
EI EA EI EA EI EI EA EI EAL L L L L L L L L
EI EIL L
µ λ
µλ µλ λ µ
µ λ
µ λ µλ µλ µ µ λ
µλ µλ λ µ λ µλ µλ λ µ
µ λ
+
− + +
−
= =
− − − +
− − − − − + +
− 2 2
6 6 4
cossin
EI EI EI EIL L L L
µ λ
λ θµ θ
−
==
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa
36
Calcular las reacciones y desplazamientos nodales. Calcular la deformación y tensión del punto C.
F L1
L2
30º
Point C
L1
L2
L3
M
30º
Point C
Point C
5. EJERCICIOS