FUNCIONES

EN EL AMBITO DEL

TECNICO EN SEGURIDAD INDUSTRIAL

Integrante: Gregory Ereú

Barquisimeto 12 de Mayo del 2014

En este informe algunas aplicaciones a la vida real y otras áreas de las ciencias de las matemáticas. Uno de los conceptos más importantes es el de función, ya que se pueden aplicar en numerosas situaciones de la vida cotidiana, y determinar las relaciones que existen magnitudes de matemáticas, física, economía,…y poder calcular el valor de una de ellas en función de otras de las que depende.

A partir de la observación de diversos fenómenos que se relacionan con otros a nuestro alrededor, así como: el volumen de un gas a temperatura es constante, está relacionado con la presión, la fuerza de atracción entre dos cuerpos se vio que estaba relacionado con la masa y la distancia que los separa. Otra observación que podemos prestar atención es que el capital final de una inversión está determinado por el capital invertido y el tiempo de dure esa inversión. Obviamente todas esas observaciones hicieron que muchas personas estudiaran el comportamiento de diversos fenómenos y así dieron pie a aproximar casi que con exactitud mediante un función, a veces sencilla o en ocasiones bastante elaborada. Estas aplicaciones son útiles porque explican un problema complejo con una simple función.

Importancia de las Funciones

El hombre ha estado interesado desde hace mucho tiempo en las magnitudes que varían. La función fue uno de los mejores instrumentos ideados para estudiar la variación. El tiempo es una magnitud que varía, se puede considerar que es variable natural que está cambiando continuamente y de manera uniforme. A medida que pasa el tiempo, otras magnitudes también van variando. Por ello, cuando el hombre invento el reloj y lo hizo lo suficientemente exacto para medir el tiempo, empezó, a su vez, a medir cómo y cuánto varían otras magnitudes con respecto al tiempo.

Con frecuencia es necesario comparar dos o más funciones para ser interpretadas conjuntamente. Generalmente, son funciones del mismo tipo, que al ser comparadas arrojan información sobre el crecimiento o decrecimiento de alguna variable, para ello se grafican superponiendo las curvas en un mismo plano para observar las diferencias entre sí.

Aplicaciones de las funciones

En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad de sonido-distancia,…Es decir a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de otras de forma directa a través de formulas ya demostradas.

El concepto de función en esencia está fundamentado por las relaciones que mantienen diferentes magnitudes. Así pues la función puede representarse algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes entre sí.

Mediante la representación gráfica de estas relaciones entre diferentes magnitudes, se pudo dar de forma visual esa relación e interpretarla de forma rápida y sencilla.

Una representación es la que se hace mediante ejes cartesianos en la que la función se representa en forma general por la que relación numérica de las magnitudes en una gráfica.

El número 𝑒 y el interés compuesto

El número de Euler, simbolizado con la letra e, tiene muchísimas aplicaciones en áreas como la economía, la biología, la sociología, la política, entre muchas otras. De hecho, no son pocos los fenómenos de la naturaleza que se corresponden con este número maravilloso. Así como π (Pi), φ (el número de oro), y tantos otros que estudiamos en tercer año, e es un número irracional, sus infinitas cifras decimales las cuales no guardan un patrón o período; cualquier expresión decimal que demos de e será una aproximación, una de ellas es: 𝑒=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762…

Aunque utilizado por el matemático John Naapier alrededor del año 1600, fue Leonard Euler (1707-1783) el que mostró muchas de las propiedades de este número. Además, utilizó la letra e para simbolizarlo, probablemente por ser la letra inicial de la palabra “exponencial”.

Una de las aplicaciones del número e se encuentra en la idea del ahorro y en el cálculo del interés compuesto. Supongamos que una cantidad de dinero, que llamaremos D, se invierte a una tasa de interés t por cierto período de tiempo. Entonces, luego de trascurrido ese tiempo el interés es el producto del dinero invertido por la tasa de interés, es decir Dt, y la cantidad de dinero ahora es: 𝑪 = 𝑫 + 𝑫𝒕 = 𝑫(𝟏 + 𝒕) Donde D: Cantidad ahorrada C: Cantidad obtenida luego del periodo Dt: Interés obtenido El problema resulta interesante si reinvertimos esta nueva cantidad de dinero a la misma tasa de interés. Veamos, la cantidad a invertir en este momento es D (1+ t), justo lo que obtuvimos antes. Por tanto, la cantidad de dinero luego de otro período de tiempo es: 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡) + 𝐷(1 + 𝑡)𝑡 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)(1 + 𝑡) Sacando factor común la expresión D (1+ t) 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2 Aplicando las propiedades de la potencia Aquí D (1+ t) es factor de la expresión D (1+ t) + D (1+ t)t. Además, escribimos a (1+ t) (1+ t) como (1 + 𝑡)2 , pues es una multiplicación de potencias de igual base. Es curioso que antes resultó D (1+ t) y en esta reinversión 𝐷(1 + 𝑡)2. Repitamos el proceso una vez más para observar si hay algún patrón en la cantidad al cabo de cada período. En este momento la cantidad a reinvertir es 𝐷(1 + 𝑡)2 . Así, el interés es el producto de ésta por la tasa t. Así podemos escribir, apoyándonos en las propiedades antes descritas, que: 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2 + 𝐷(1 + 𝑡)2 𝑡 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)2 (1 + 𝑡) 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)3 ¡Fantástico! Luego del tercer periodo la cantidad es D multiplicado por el cubo de 1+t. Lo que hace suponer que después de k periodos la cantidad será:

𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)𝑘 Pero, ¿Qué sucede si el interés se compone 𝑛 veces cada año? Es decir, si el año se divide en 𝑛 partes, entonces la tasa de interés en cada período es:

𝑇 =𝑡

𝑛

Ya con estas ideas puede darse la fórmula para el interés compuesto. Con ella podemos calcular de dinero que generará un monto inicial D invertido el cierto

periodo de tiempo, conociendo la tasa de interés y cómo se compone al año (un dato que es sumamente importante).

El interés compuesto está dado por la expresión

𝑪 = 𝑫 (𝟏 +𝒕

𝒏)

𝒏𝒂

En la que:

C es la cantidad de dinero luego de 𝑎 años.

D es el monto de dinero invertido la primera vez.

t es la tasa de interés por año.

n es el número de veces que el interés se compone por año

𝑎 es el número de años que se invierte o reinvierte.

Expongamos un ejemplo.

Colocamos Bs 4.000 en una cuenta de ahorros. Sabemos que la tasa de interés es de 12,5 % al año. Realizaremos varios cálculos suponiendo que el interés se compone una vez al año, dos veces al año, tres veces al año, cuatro veces al año, doce veces al año y cada día. Las preguntas que tendremos presentes son:

¿Cuál es la cantidad de dinero luego de un año en cada caso?

¿Qué composición reporta el mejor interés de la cuenta?

Solución:

Para ello emplearemos la fórmula 𝑪 = 𝑫 (𝟏 +𝒕

𝒏)

𝒏𝒂

, donde:

D =4000; 𝑡 = 0,125 (Como el interés es de 12,5 %, dividimos 12,5 entre 100)

𝑛 = 1 (Si el interés se compone anualmente. Pero es 2 si se compone semestral mente y así sucesivamente) y 𝑎 = 1 (ya que calcularemos la cantidad C obtenida al cabo de un año)

Lo cual concluimos en la siguiente tabla:

Composición del interés 𝑛 Cantidad ahorrada luego de un año Anual 1

𝐶 = 4.000 (1 +0,125

1)

1∙1

= 4.500

Cada seis meses 2 𝐶 = 4.000 (1 +

0,125

1)

2∙1

= 4.515,625

Cada cuatro meses 3 𝐶 = 4.000 (1 +

0,125

1)

3∙1

= 4.521,1226

Cada tres meses 4 𝐶 = 4.000 (1 +

0,125

1)

4∙1

= 4.523,9295

Cada mes 12 𝐶 = 4.000 (1 +

0,125

1)

12∙1

= 4.529,6641

Cada día 365 𝐶 = 4.000 (1 +

0,125

1)

365∙1

= 4.532,4968

En la última columna operamos en el conjunto ℝ. Ya con estos datos, es fácil ver que la cantidad al cabo de un año es mayor si se incrementa el número de periodos que componen el interés anual. Esta composición del interés se traduce en que cada 𝑛 periodos de tiempo el interés que gana la cantidad inicial D es depositada en la cuenta de ahorros (o en la inversión, según sea el caso).

En resumen, al término del año la cantidad de dinero en nuestra cuenta de ahorros dependerá de cuanto se compone o deposita el interés en la cuenta.

Pero, ¿Qué sucede si 𝑛 crece o se incrementa indefinidamente?

𝑪 = 𝑫 (𝟏 +𝒕

𝒏)

𝒏𝒂

= 𝑫 (𝟏 +𝒕

𝒏)

𝒏𝒕∙𝒕𝒂

Ahora podemos realizar el cambio de variable, haciendo 𝑡

𝑛=

1

𝑚 , por tanto

𝑛

𝑡= 𝑚,

entonces

𝑪 = 𝑫 (𝟏 +𝒕

𝒏)

𝒏𝒕∙𝒕𝒂

= 𝑫 (𝟏 +𝟏

𝒎)

𝒎∙𝒕𝒂

= 𝑫 [(𝟏 +𝟏

𝒎)

𝒎

]

𝒕𝒂

Esto no hace concentrar nuestra atención en la expresión (1 +1

𝑚)

𝑚

. Justo la que

considero Leonard Euler

El número 𝑒

Para estudiar la expresión (1 +1

𝑚)

𝑚

podemos elaborar una tabla de datos o

incluso como un grafico, desde los cuales podemos plantear algunas inferencias.

𝑛 (1 +1

𝑚)

𝑚

1 2 2 2,5 3 2,3703 4 2,4414 5 2,48832

10 2,59374 100 2,70481

1.000 2,71962 10.000 2,71815

100.000 2,71827 1.000.000 2,71828

10.000.000 2,718281 100.000.000 2,7182828

𝑦 = (1 +1

𝑚)

𝑚

Aquí hemos mostrado algunos valores de 𝒎, sin embargo el grafico anterior presenta una infinidad de éstos en el intervalo (0, ∞). Fíjense que el 0 no

pertenece al dominio de la función 𝑦 = (1 +1

𝑚)

𝑚

pues el cociente 1

𝑚 no está

definido en ese caso

eEje Y

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10 0 10 20 30 40 50 60 70

Eje X

Es notable que podemos usar valores racionales, irracionales y por lo visto las imágenes obtenidas en esta función, tienden hacia un valor, tal valor es el número 𝒆. Es por esta razón que el número 𝑒 se define como sigue

𝒆 es el número al cual tiende la expresión (𝟏 +𝟏

𝒎)

𝒎

cuando 𝒎 se incrementa

indefinidamente

Así que este importante número aparece en el cálculo del interés compuesto se los abonos por los intereses que se generan se depositan continuamente. En este caso, la formula que dimos antes puede escribirse ahora de la manera siguiente:

𝑪 = 𝑫𝒆𝒕𝒂

La Catenaria: el número 𝑒 en los cables suspendidos

Un cable de electricidad suspendido entre torres tiene la forma de una catenaria. La catenaria es una curva que se corresponde con una cadena, cable o cuerda que tenga densidad constante, que sea homogénea, flexible e inextensible y se encuentre sujeta en sus dos extremos. Su nombre proviene precisamente de la palabra “cadena”. Esta peculiar curva está determinada por las coordenadas de sus extremos y por la su longitud. También se presenta en algunas señalizaciones comunes en los museos o en los bancos, o en los cables eléctricos suspendidos entre los postes tal como mostramos a continuación:

Puente de San Francisco, California, EEUU

Tendidos Eléctricos para las grandes ciudades

La Catenaria en señalizaciones peatonales y lugares públicos

La Catenaria en la decoración y en lugares cotidianos

El sistema de suministro eléctrico de un tren recibe el nombre de Catenaria

La estructura más estable que pueden formar unas esferas sostenidas por fricción estática es una catenaria invertida

La

Los Chulpas o Putucus en el altiplano suramericano construyeron sus hogares con base en la catenaria invertida “sin saberlo”

Sus aplicaciones son diversas y medulares en áreas como la Matemática, Física, Ingeniería, Electricidad, Arquitectura, Arte Pictórico y escultórico, entre otras como vimos en las figuras anteriores.

Además, presentamos en el siguiente grafico varios elementos que permiten describir una catenaria: f es la distancia entre el punto más bajo situado en el “punto medio” de la curva (siempre que ambos extremos estén suspendidos a la

misma altura) y la recta 𝐀𝐁 ⃡ que une los puntos de suspensión o apoyo, a es la medida del segmento 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ . Se conoce que si a < 500, entonces la catenaria se comporta de forma muy similar a la parábola. Así que, dependiendo de la aplicación y fines de los cálculos a realizarse se puede o no seguir el modelo de la parábola.

La Catenaria guarda una relación con el número 𝒆. De hecho, tiene que ver con una expresión en la que intervienen potencias de 𝒆, donde el exponente es precisamente la variable 𝑥.

La Catenaria se corresponde con la función 𝑓: ℝ → ℝ dada por:

𝑓(𝑥) =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2= cosh (𝑥)