Variable aleatoria

En gran número de experimentos aleatorios es necesario, para su

tratamiento matemático, cuantificar los resultados de modo que se asigne

un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. De

este modo se establece una relación funcional entre elementos del

espacio muestral asociado al experimento y números reales.

Formalmente se dice que una variable aleatoria (v.a.) X es una función

real definida en el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio,

Ω.[1] [2]

Se llama rango de una v.a. X y lo denotaremos RX, al conjunto de los

valores reales que esta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro

modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que esta

queda definida:

Ejemplo  Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral,

esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al

experimento, es

Ω = {cc, cs, sc, ss},

Donde (c representa "sale cara" y s, "sale sello").

Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el

número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria

X como la función dada por

El recorrido o rango de esta función, RX, es el conjunto

RX = {0, 1, 2}

Tipos de variables aleatorias 

Para comprender de una manera más amplia y rigurosa los tipos de

variables, es necesario conocer la definición de conjunto discreto. Un

conjunto es discreto si está formado por un número finito de elementos, o

si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya

un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así

sucesivamente.[3]

Variable aleatoria discreta: una v.a. es discreta si su recorrido es

un conjunto discreto. La variable del ejemplo anterior es discreta.

Sus probabilidades se recogen en la función de cuantía (véanse las

distribuciones de variable discreta).

Variable aleatoria continua: una v.a. es continua si su recorrido

no es un conjunto numerable. Intuitivamente esto significa que el

conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo

de números reales. Por ejemplo, la variable que asigna la estatura

a una persona extraída de una determinada población es una

variable continua ya que, teóricamente, todo valor entre, pongamos

por caso, 0 y 2,50 m, es posible.[4] (véanse las distribuciones de

variable continua)

Distribución de probabilidad de una v.a. 

La distribución de probabilidad de una v.a. X, también llamada

función de distribución de X es la función FX(x), que asigna a cada

evento definido sobre X una probabilidad dada por la siguiente

expresión:

y de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

Es continua por la derecha.

Es monótona no decreciente.

La distribución de probabilidad de una v.a. describe teóricamente la

forma en que varían los resultados de un experimento aleatorio.

Intuitivamente se trataría de una lista de los resultados posibles de un

experimento con las probabilidades que se esperarían ver asociadas

con cada resultado.

Función de densidad de una v.a. continua [editar]

La función de densidad de probabilidad (FDP) o, simplemente, función

de densidad, representada comúnmente como f(x), se utiliza con el

propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un

suceso o evento, en relación al resultado del suceso.

La FDP es la derivada (ordinaria o en el sentido de las

distribuciones) de la función de distribución de probabilidad F(x), o de

manera inversa, la función de distribución es la integral de la función

de densidad:

La función de densidad de una v.a. determina la concentración de

probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria

continua.