ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS – UNILESTE-MG Curso de Engenharia Elétrica

PATRICK PIRES ALVIM

ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A

OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS

Coronel Fabriciano 2010

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PATRICK PIRES ALVIM

ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A

OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS Monografia submetida à banca examinadora designada pelo Conselho de Curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais (CEE/Unileste-MG), como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Eletricista. Professor Orientador: MSc. Fabrício de Souza Fernandes

Coronel Fabriciano 2010

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PATRICK PIRES ALVIM

ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A OBTENÇÃO DE

MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS

Monografia submetida à banca examinadora designada pelo Conselho de Curso de Engenharia Elétrica do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais (CEE/Unileste-MG),

como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Eletricista.

Aprovada em 26 de junho de 2010 Por:

__________________________________________________ Fabrício de Souza Fernandes, MSc.

Prof. Coord. CEE/Unileste-MG - Orientador.

__________________________________________________ Ronaldo Neves Ribeiro (Examinador), MSc.

Prof. CEE/Unileste-MG – Examinador.

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Primeiramente a Deus, para meus pais, amigos e professores.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais Antônio e Neuza, pela educação e o apoio ao longo desta caminhada. Agradeço também aos meus amigos pelo incentivo e bons momentos que vivenciamos juntos e, em especial, aos meus amigos do curso de Engenharia Elétrica do Unileste-MG, Rafael, Reinaldo, Paulo, Wellington, Clesjue, Ramon, José Penha, Antônio, Victor, Gleidson e Samuel. Gostaria de agradecer a todos os professores pela disciplina e conhecimento transmitido. Agradeço em especial meu Orientador MSc. Fabrício de Souza Fernandes que contribuiu muito para a realização deste trabalho. Agradeço a Deus por todos os momentos vividos e por ter me guiado nesta caminhada, que sem dúvida, não se completaria sem a Sua direção.

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RESUMO

Neste trabalho são apresentados os principais métodos de identificação em malha fechada para a obtenção de modelos matemáticos mais exatos do processo. Como contribuição é proposto a aplicação do método em uma planta real didática. Inicialmente é realizado o ensaio da planta em malha aberta e então projetado um controlador do tipo PI discreto para o controle do nível. Com a planta operando em malha fechada controlada foi aplicado o método de identificação em malha fechada denominado método de entrada-saída conjunta em três diferentes ensaios, com diferentes sinais de excitação e então, estimado os possíveis modelos matemáticos da planta. Para a estimativa dos modelos foram testadas as estruturas ARX, ARMAX e OE no qual a OE foi a que apresentou melhores resultados. Com a realização dos ensaios foi possível concluir que o controlador PI projetado em malha aberta obteve bom desempenho, porém o método de identificação em malha fechada não obteve bom resultado, podendo este estar relacionado à dificuldade da estimativa da função de sensibilidade do sistema, às componentes de alta freqüência existentes nos sinais utilizados para identificação, ou aos zeros de fase não mínima dos controladores e funções de transferência estimadas. Palavras-chave: Malha Fechada, Identificação, Modelagem, Projeto de Controlador.

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ABSTRACT

This paper presents the main methods of identification in closed loop to obtain more accurate mathematical models of the process. Contribution is proposed as the method in a real plant didactic. Initially the test is performed in open loop plant and then designed a discrete PI controller to control the level. With the plant operating in controlled closed loop method was applied in closed loop identification method called join input-output method in three different trials with different excitation signals and then estimated the possible mathematical models of the plant. To estimate the models were tested structures ARX, ARMAX and OE in which the OE showed the best results. With the tests it was concluded that the PI controller designed open-loop achieved good performance, but the method of identification in closed loop did not get good results, which may be related to the difficulty of estimating the sensitivity function of the system, components high frequency signals present in used for identification, or not minimum phase zeros of the controllers and transfer functions estimated. Keywords: Closed Loop, Identification, Modeling, Project Controller.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Planta em malha fechada ....................................................................................... 18 Figura 2: Método Direto X Método Indireto – Visualização das variáveis coletadas por cada método ................................................................................................................................. 19 Figura 3: Curva de resposta em forma de S........................................................................... 22 Figura 4: Oscilação sustentada com período crítico Pu.......................................................... 23 Figura 5: Gerador de PRBS com n igual a 6 ......................................................................... 28 Figura 6: Exemplo de PRBS ................................................................................................. 29 Figura 7: Sinótico da planta didática 3 - Smar ...................................................................... 33 Figura 8: Resposta ao degrau de 60% na válvula FY-31 ....................................................... 35 Figura 9: Resposta ao degrau – Sistema Real X Sistema Estimado ....................................... 36 Figura 10: Lugar das raízes do sistema (comando rlocus MATLAB®) .................................. 37 Figura 11: Resposta ao degrau – Sistema em Malha Fechada Controlado X Sistema em Malha Aberta .................................................................................................................................. 38 Figura 12: Resposta ao degrau de 60% - PI discreto X PI contínuo ....................................... 39 Figura 13: Resposta ao degrau em malha fechada – Sistema Real X Sistema Simulado ........ 40 Figura 14: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação ............................................................. 42 Figura 15: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta ................................... 43 Figura 16: T12 - Resposta do modelo real X estimado ........................................................... 44 Figura 17: T22 - Resposta do modelo real X estimado ........................................................... 46 Figura 18: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação ............................................................. 47 Figura 19: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta ................................... 47 Figura 20: T12 - Resposta do modelo real X estimado ........................................................... 48 Figura 21: T22 - Resposta do modelo real X estimado ........................................................... 49 Figura 22: Sinal aleatório inserido em r2(k) e autocorrelação ................................................ 50 Figura 23: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta ................................... 50 Figura 24: T12 - Resposta do modelo Real X Estimado ......................................................... 51 Figura 25: T22 - Resposta do modelo Real X Estimado ......................................................... 52 Figura 26: Resposta do 1º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z) ................ 53 Figura 27: Resposta em freqüência do 1º Modelo Ĝ ............................................................. 54 Figura 28: Resposta do 2º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z) ................ 55 Figura 29: Resposta em freqüência do 2º Modelo Ĝ ............................................................. 56 Figura 30: Resposta do 3º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z) ................ 57 Figura 31: Resposta em freqüência do 3º Modelo Ĝ ............................................................. 58

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da planta .... 22 Tabela 2 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico Ku e no período crítico Pu .............................................................................................................................. 23 Tabela 3 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) para sistemas de primeira ordem com atraso L ................................................................................................................................ 24 Tabela 4 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) ..................................................... 25 Tabela 5 – Equações de diferenças para controladores PID discretos .................................... 27 Tabela 6 – Conexões para gerar sinais de seqüência m – Aguirre (2004) .............................. 28

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LISTA DE SÍMBOLOS

C(s) – Controlador no domínio da freqüência.

e(k) – Ruído branco.

G0(q) – Modelo Matemático da planta do processo.

Ĝ – Modelo Matemático estimado da planta do processo.

Gmf – Ganho do sistema em malha fechada.

K – Ganho do sistema (∆PV/∆MV).

K(q) – Controlador do processo.

Kp – Ganho proporcional.

Ki – Ganho integral.

Kd – Ganho derivativo.

Ku – Ganho crítico.

L – Atraso de transporte.

λ – Constante de tempo da sintonia Lambda.

Pu – Período crítico.

q – Operador de atraso: qf(k) = f(k + 1), q-1f(k) = f(k - 1).

r1(k) – Entrada de referência do processo.

r2(k) – Entrada de referência inserida diretamente na ação de controle.

s – Domínio da freqüência contínuo.

S0 – Função de sensibilidade do sistema: S0 = 1/(1+G0K).

Ŝ – Função de sensibilidade do sistema estimada.

τ – Constante de tempo do processo.

T(G0,K) – Matriz de representação do sistema.

Ti – Tempo de integração.

Td – Tempo de derivação.

Ts – Tempo de amostragem.

u(k) – Sinal de saída do controle.

v(k) - Sinal de ruído do processo.

y(k) – Sinal de saída do processo.

z – Domínio discreto.

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas (AutoRegressive with eXogenous).

ARMAX – modelo auto-regressivo com média móvel e entradas externas (AutoRegressive

Moving Average with eXogenous inputs).

LTI - Linear Invariante no Tempo (Linear Time Invariant).

OE – modelo de erro na saída (Output Error).

P – Proporcional.

PD – Proporcional e derivativo.

PI – Proporcional e integral.

PID – Proporcional, integral e derivativo.

PRBS – Sinais binários pseudo-aleatórios (Pseudo Random Binary Signals).

SISO – Única entrada e única Saída (Single Input Single Output).

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 14

1.1 Problema ..................................................................................................................... 15

1.2 Objetivos ..................................................................................................................... 15

1.3 Justificativa ................................................................................................................. 15

1.4 Organização dos capítulos .......................................................................................... 16

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................. 17

2.1 Revisão Histórica ........................................................................................................ 17

2.2 Principais métodos de identificação em malha fechada ............................................ 18

2.2.1 Método Direto ........................................................................................................... 19

2.2.2 Método Indireto......................................................................................................... 20

2.2.3 Método de Entrada-Saída Conjunta.......................................................................... 20

2.3 Métodos analíticos para sintonia de controladores PID ............................................ 21

2.3.1 Método de Ziegler-Nichols em malha aberta ............................................................ 22

2.3.2 Método de Ziegler-Nichols em malha fechada .......................................................... 23

2.3.3 Sintonia Lambda (λ) .................................................................................................. 24

2.4 PID Discreto ................................................................................................................ 25

2.5 Sinais Binários Pseudo-Aleatórios (PRBS) ................................................................ 28

2.6 Representação de sistemas Lineares Invariantes no Tempo ..................................... 29

2.6.1 ARX (AutoRegressive with eXogenous inputs) ......................................................... 31

2.6.2 ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs) ........................ 31

2.6.3 OE (Output Error) .................................................................................................... 31

3 METODOLOGIA .......................................................................................................... 33

3.1 Procedimento – Colocação da planta em operação em malha fechada ..................... 33

3.1.1 Identificação do modelo em malha aberta ................................................................ 34

12

3.1.2 Projeto do controlador K estabilizante ...................................................................... 36

3.1.3 Projeto do controlador K do tipo PI discreto ............................................................. 38

3.2 Procedimento - Aplicação do método entrada-saída conjunta .................................. 40

3.2.1 1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI ................................ 41

3.2.2 2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P ................................. 46

3.2.3 3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI ................. 49

4 RESULTADOS .............................................................................................................. 53

4.1 Resultados do 1º ensaio ............................................................................................... 53

4.2 Resultados do 2º ensaio ............................................................................................... 55

4.3 Resultados do 3° ensaio ............................................................................................... 56

5 CONCLUSÕES .............................................................................................................. 59

5.1 Identificação em Malha Aberta .................................................................................. 59

5.2 Identificação em Malha Fechada ................................................................................ 59

REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 61

ANEXO A – FUNÇÃO GERADORA DE PRBS – AGUIRRE 1995 (PRBS.M) ............ 63

ANEXO B – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO (MYCCF.M) ................................. 64

APÊNDICE A – PROCEDIMENTO DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA ABERTA

(MATLAB®) ..................................................................................................................... 67

APÊNDICE B – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM

CONTROLADOR LAMBDA (SIMULINK) ................................................................... 68

APÊNDICE C – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM

CONTROLADOR PI DISCRETO (SIMULINK) ........................................................... 69

APÊNDICE D – PROCEDIMENTO CONTROLE PI DICRETO APLICADO A

PLANTA (MATLAB®) .................................................................................................... 70

13

APÊNDICE E – MÉTODO DE ENTRADA E SAÍDA CONJUNTA APLICADO AO

SISTEMA CONTROLADO EM MALHA FECHADA .................................................. 72

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1 INTRODUÇÃO

A modelagem de um sistema tem como meta à identificação aproximada de um

modelo matemático que expressa os comportamentos dinâmicos do processo em análise. Para

Tulleken (1993 apud Rodrigues, 2007) e Sjöberg et al. (1995), os métodos de modelagem de

um sistema podem ser classificados como:

Modelagem caixa branca (modelo físico ou fenomenológico): os parâmetros que

descrevem o comportamento estático e dinâmico do sistema são determinados através das leis

básicas da física que o regem;

Modelagem caixa preta (modelo empírico): os parâmetros que descrevem o

sistema são determinados através dos dados de entrada e saída do sistema, sendo que tal

massa de dados, em geral, não tem significado físico;

Modelagem caixa cinza: os parâmetros que descrevem o comportamento estático e

dinâmico do sistema são determinados pela junção Equações físicas que descrevem o sistema

(modelagem caixa branca) e pelos dados de entrada e saída de um sistema (modelagem caixa

preta).

Segundo Aguirre (2004), nem sempre é viável modelar o sistema partindo das leis

físicas que o regem devido à falta de conhecimento e o elevado tempo necessário para a

identificação do modelo.

A modelagem por métodos de identificação em malha fechada é do tipo empírica

ou modelagem caixa preta é uma alternativa bem interessante, pois é necessário pouco ou

nenhum conhecimento do processo em análise exigindo apenas conhecimento da massa de

dados de entrada e saída, e em alguns métodos, como veremos posteriormente, será necessário

o conhecimento do controlador do processo. Para este tipo de modelagem, algumas estruturas

são importantes, tais como ARX, ARMAX e OE que serão apresentadas porteriormente, pois

parametrizam os dados permitindo assim converter dados em funções que poderão ser

trabalhadas.

Os modelos matemáticos gerados dos sistemas geralmente são empregados para o

projeto ou otimização de controladores que visam a otimização do sistema tais como na

segurança, qualidade e outros aspectos.

15

1.1 Problema

Em muitos processos industriais o método de identificação por modelagem caixa

branca exige um amplo conhecimento da física do processo, utiliza muito tempo para

identificação e em muitos casos é impossível a determinação do modelo matemático devido à

alta complexidade. Outros métodos exigem que a planta trabalhe em malha aberta eliminando

assim o elemento de controle (controlador do sistema) o que pode ser impossível devido a

alguns processos se tornarem instáveis causando danos físicos ao sistema em análise. Além do

prejuízo financeiro, a operação em malha aberta pode significar perda de qualidade do

processo.

Uma alternativa bastante viável para identificação de sistemas é a identificação em

malha fechada, pois elimina tais problemas da identificação em malha aberta e além disto não

é necessário conhecimento das leis físicas que regem o sistema. Além do mais, segundo

Campos (2007), tal identificação pode ser feita com o sistema em operação e à medida que o

sistema adquire mais dados, maior conhecimento se obtém do sistema.

Portanto, este estudo tem como problema aplicar um método de identificação em

malha fechada em um processo industrial e com isto obter o modelo matemático

representativo do sistema.

1.2 Objetivos

Estudar e aplicar o método de identificação de sistemas em malha fechada

denominado Entrada-Saída Conjunta (Join Input-Output method) na malha de controle de

nível do tanque 1 da planta didática Smar 3 com a mesma operando em malha fechada

controlada.

1.3 Justificativa

Neste estudo, será possível constatar que, segundo Campos (2007, p. 3): “[...] à

medida que mais dados do processo são disponibilizados, o conhecimento do sistema aumenta

e novos (e possivelmente melhores) controladores podem ser projetados [...]”.

16

Através da identificação em malha fechada é possível a obtenção de um modelo

matemático para o projeto de controladores que podem com isto melhorar o desempenho de

determinados sistemas aumentando sua confiabilidade.

A segurança é um item bem relevante já que o método de identificação em malha

fechada não necessita expor a planta em malha aberta para a obtenção do modelo matemático

tal exposição esta que diminui, segundo Campos (2007), o nível de segurança do sistema e

pode gerar prejuízos físicos, financeiros e outros.

Outro ponto importante para a aplicação dos métodos de malha fechada é que não

é preciso, como exemplo em indústrias, parar o processo nem sempre é possível ou até mesmo

controlar o sistema em malha aberta podendo com isto ter perda de qualidade, pelo contrário,

o método poderá ser feito com o sistema operando.

Desta forma, pode-se dizer que a identificação em malha fechada de processos é

um meio bem viável e seguro para obtenção de modelos matemáticos de sistemas.

1.4 Organização dos capítulos

Este trabalho está dividido em 5 capítulos, sendo o capítulo 1 a introdução, o

capítulo 2 a fundamentação teórica, o capítulo 3 a metodologia, o capítulo 4 os resultados e o

capítulo 5 as conclusões.

17

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Revisão Histórica

Inicialmente, segundo Gevers (2004), trabalhos de pesquisa de identificação de

sistemas foram direcionados para o projeto de controladores ótimos baseado no fato que o

modelo é tratado como se fosse a representação sistema real (certainty equivalence principle).

Porém, os modelos encontrados, por melhores que sejam, nunca expressarão perfeitamente às

características do sistema devido ao fato da existência de ruídos e distúrbios do processo e

também pelo fato de que informações relevantes podem ser omitidas dos dados coletados.

Segundo Rodrigues (2007, p. 2): “[...] um controlador projetado para atingir um determinado

desempenho, a partir deste modelo, poderá falhar quando for aplicado no processo real”.

Em Anderson e Gevers (1998 apud Gevers, 2004) são citadas algumas orientações

para o trabalho de pesquisa:

Primeiro: o modelo é considerado bom para o projeto de controladores se, em

malha fechada, o desempenho do controlador aplicado ao modelo é próximo ao do

controlador aplicado à planta real;

Segundo: o modelo deve ser orientado ao projeto de controladores e que as

condições experimentais de identificação se assemelhem às condições quando o controlador

projetado é aplicado ao sistema real.

Estas orientações fizeram com que diversos autores Forssell (1997), Forssell e

Ljung (2000), Codrons et al. (2000) e Landau (2001) concluíssem que a identificação do

sistema deve ser feita em malha fechada, como constatado em Rodrigues (2007):

[...] pesquisas de diversos autores (Forssell, 1997; Forssell e Ljung, 2000; Codrons et al., 2000; Landau, 2001) chegaram a mesma conclusão, indicando que o experimento de identificação deve ser conduzido com a planta sob-controle, ou seja, em malha fechada. Segundo Forssell e Ljung (2000), essa abordagem foi rapidamente absorvida pela indústria, uma vez que utilizava as mesmas informações que já estavam sendo coletadas pelos computadores durante a operação normal da planta. (RODRIGUES, 2007, p. 4).

Tais conclusões quebraram o paradigma de que a identificação do modelo da

planta devesse ser feito com a planta operando em malha aberta.

18

2.2 Principais métodos de identificação em malha fechada

Vários métodos de identificação em malha fechada podem ser encontrados em

Fernandes (2006), Rodrigues (2007), Campos (2007), Forssell e Ljung, (1999), Van den Hof

(1998), Van den Hof e Bombois (2004).

Segundo Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os métodos de identificação em

malha fechada consistem em identificar um sistema real quando o mesmo está sendo

controlado por um controlador estabilizante. Na Figura 1 é mostrado um sistema G0(q1) LTI2

controlado por um controlador K(q) em malha fechada onde r1(k) e r2(k) podem ser

entendidos como set point (referência) ou distúrbio na entrada u(k) e na saída y(k), e r1(k) e

r2(k) não têm correlação com v(k).

Figura 1: Planta em malha fechada

Aplicando-se o teorema da superposição tal sistema da Figura 1 pode ser expresso

pelas Equações 2.1 e 2.2:

)k(v

KG1K

KG11

)k(r)k(r

KG11

KG1K

KG1G

KG1KG

)k(u)k(y

0

0

2

1

)K,G(T

00

0

0

0

0

0

(2.1)

)k(v)k(uG)k(y 0 (2.2)

De acordo com Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os métodos de identificação

em malha fechada podem ser divididos em três grupos: métodos diretos, métodos indiretos e

métodos denominados Entrada-Saída Conjunta (Joint Input-Output).

1 O operador q será omitido posteriormente para facilitar a compreensão. 2 LTI - Linear Invariante no Tempo (do inglês Linear Time Invariant)

19

2.2.1 Método Direto

Segundo Fernandes (2006), Rodrigues (2007) e Campos (2007), os parâmetros do

sistema Ĝ3 são estimados através das medições u(k) e y(k) com o sistema operando em malha

fechada conforme visto na Figura 2.

Figura 2: Método Direto X Método Indireto – Visualização das variáveis coletadas por cada método

Neste tipo de identificação, segundo Forssell et al. (1999 apud Rodrigues, 2007)

não há necessidade do conhecimento do controlador K nem da realimentação, também não é

necessário o uso de nenhum algoritmo especial e são obtidos parâmetros bem consistentes

(tanto da planta como do ruído da mesma).

O problema existente com este tipo de método é, segundo Ljung (1999 apud

Fernandes, 2006), a necessidade de bons modelos de ruído devido ao sinal u(k) estar

correlacionado com o ruído de saída.

De acordo com Campos (2007), este tipo de método extrai diretamente os

parâmetros de malha aberta da planta, por isso o nome de método direto.

3 Ĝ é o mesmo G0 estimado.

20

2.2.2 Método Indireto

Segundo Fernandes (2006), este método foi proposto originalmente por

Söderström, T. e Stoica, P. em 1989. Fernandes (2006), Rodrigues (2007) e Campos (2007)

informam que, os parâmetros do sistema Ĝ são estimados através das medições r1(k) e y(k)

com o sistema operando em malha fechada conforme visto na Figura 2. Esta etapa é

vantajosa, pois como conhecido a priori, r1(k) e r2(k) não têm correlação com v(k) isto faz

com que o problema de estimar uma função T(G0,K) possua as mesmas característica de um

problema em malha aberta.

Neste método, Fernandes (2006) considera que os parâmetros de G0 podem ser

estimados através de uma das quatro funções de transferência da matriz T(G0,K), conforme a

Equação 2.3.

KG11T;

KG1KT;

KG1GT;

KG1KGT

022

021

0

012

0

011

(2.3)

Conhecendo K, os parâmetros estimados de Ĝ para T11 são, conforme Equação

2.4:

)TK(1

T G ^

11

^

11^

(2.4)

Conforme Rodrigues (2007) os inconvenientes neste método são, conforme visto

na Equação 2.4 a ordem de Ĝ será o somatório da ordem de T11 e K e também que, neste caso,

o controlador K obrigatoriamente deve ser conhecido e se seus parâmetros apresentarem não

linearidade isto afetará diretamente no modelo estimado.

2.2.3 Método de Entrada-Saída Conjunta

Segundo Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), este método utiliza as funções de

transferência r(k) para y(k) e r(k) para u(k) e através destas estimativas efetua-se o cálculo de

G0. Reescrevendo a Equação 2.1 temos (Equação 2.5):

21

)k(eHSK

S)k(r)k(r

SSKSGSKG

)k(u)k(y

00

0

2

1

)K,G(T

00

0000

0

(2.5)

Onde S0 = 1/(1+G0K) é denominada função de sensibilidade do sistema.

Desenvolvendo a Equação 2.5 e como refere Fernandes (2006) considerando apenas r2(k),

temos (Equações 2.6 e 2.7):

)k(eHT)k(rT)k(u)k(eHKS)k(rS)k(u

),k(eHT)k(rT)k(y)k(eHS)k(rSG)k(y

021222

0020

022212

00200

(2.6)

(2.7)

Nas Equações 2.6 e 2.7 podem-se obter os coeficientes T12 e T22 respectivamente

resolvendo um problema de identificação em malha aberta já que os mesmos não estão

relacionados com e(k). Através dos coeficientes determinados temos que a função de

transferência estimada para o modelo G0 será o quociente da divisão abaixo (Equação 2.8):

^

^

12^

22

^

12^

S

T

T

T G (2.8)

Assim sendo, neste método não é necessário conhecimento do controlador K do

processo e, como referem Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os inconveniente neste

método é que, como já visto no método indireto, a ordem de Ĝ4 será o somatório da ordem de

T12 e T22.

2.3 Métodos analíticos para sintonia de controladores PID

Diversos métodos analíticos podem ser utilizados para a determinação de um

controlador do tipo P, PI ou PID. Os métodos descritos a seguir podem ser encontrados em

Ogata (2003), Aström e Hägglund (1995) e em Fernandes (2009). O modelo de PID paralelo é

descrito na Equação 2.9, onde Kp, Ki e Kd são os ganhos proporcional, integrau e derivativo

respectivamente, e Ti e Td são os tempos de integração e derivação.

4 Ĝ é o mesmo G0 para fins matemáticos, porém Ĝ um é o modelo estimado e G0 é um modelo definido. O mesmo se aplica para os termos Ŝ e S0.

22

sKs

KKsTsT

11K (s)G di

pdi

pC

(2.9)

2.3.1 Método de Ziegler-Nichols em malha aberta

Também conhecido como Método de Resposta ao Degrau (The Step Response

Method). Este método consiste em obter os parâmetros do controlador PID através da resposta

ao degrau em malha aberta da planta. Segundo Ogata (2003), se a planta não possuir

integradores nem pólos complexos conjugados dominantes a curva de resposta ao degrau

pode ter um formato de S, conforme pode ser visto na Figura 3.

Figura 3: Curva de resposta em forma de S

Conforme Ogata (2003) a curva em S pode ser caracterizada por duas constantes,

o atraso L e a constante de tempo T. Através destas constantes são determinados os

parâmetros Kp, Ti e Td da Equação 2.9 conforme a Tabela 1:

Tabela 1 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da

planta

Tipo de Controlador Kp Ti Td

P LT

0

PI LT9,0

3,0L

0

23

PID LT2,1

L2 L5,0

2.3.2 Método de Ziegler-Nichols em malha fechada

Também conhecido como método de resposta em freqüência (Frequency

Response Method). Neste método é colocado em série com a planta operando em malha

fechada um controlador proporcional K, conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0), no

qual K varia de 0 até o ganho crítico Ku5

que é o ganho no qual a saída exibe uma oscilação

sustentada, conforme Ogata (2003) e Aström e Hägglund (1995). O período crítico Pu6 é

determinado conforme a Figura 4.

Figura 4: Oscilação sustentada com período crítico Pu

Conforme Ogata (2003), através destas constantes são determinados os parâmetros

Kp, Ti e Td da Equação 2.9 conforme a Tabela 2:

Tabela 2 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico Ku e no

período crítico Pu

Tipo de Controlador Kp Ti Td

P uK5,0 0

PI uK45,0 uP2,1

1

0

PID uK6,0 uP5,0 uP125,0

5 Ku do inglês Ultimate Gain ou Ganho Crítico. 6 Pu do inglês Ultimate Period ou Período Crítico.

24

2.3.3 Sintonia Lambda (λ)

De acordo com Aström e Hägglund (1995) o método chamado Sintonia Lambda

foi desenvolvido para processos com grande atraso de transporte. Segundo Fernandes (2009):

“A sintonia Lambda pertence à classe de métodos baseados na estratégia de Controle por

Modelo Interno (IMC) [...]”.

Neste método, conforme Aström e Hägglund (1995), assume-se que o

desempenho desejado do sistema em malha fechada (Td) com atraso de transporte L seja dado

pela Equação 2.10:

sLd e

1s1T

(2.10)

Neste método o único parâmetro a ser ajustado é o λ, e este parâmetro será a nova

constante de tempo do sistema em malha fechada controlada.

Considerando um sistema conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0) temos

que o ganho em malha fechada (Gmf) do sistema é (Equação 2.11):

0

0mf KG1

KGG

(2.11)

Considerando um sistema com atraso de transporte L igual a 0, e igualando as

Equações 2.10 e 2.11, temos (Equação 2.12):

0

0

KG1KG

1s1

(2.12)

Desenvolvendo o K da Equação 2.12 temos que o controlador desejado é

(Equação 2.13):

sG1K0

(2.13)

Substituindo G0 na Equação 2.13 obtemos o tipo de controlador a ser

implementado ao sistema. Na Tabela 3 são descritos controladores a partir da Sintonia

Lambda (λ) para modelos de primeira ordem com constante de tempo τ, ganho K e tempo de

atraso L segundo Rivera et al. (1986 apud Fernandes 2009):

Tabela 3 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) para sistemas de primeira

ordem com atraso L

25

Tipo de Controlador Kp Ti Td Sugestão

PID )L2(K

L2

2L

L2

L

8,0

L

PI

2K

L2

2L

- 7,1L

Na Tabela 4 temos a Sintonia Lambda (λ) para diversos modelos segundo Rivera

et al. (1986 apud Fernandes 2009):

Tabela 4 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986)

Modelos de Processo Kp Ti Td

1sK

K

-

1s1sK

21

K21

21

21

21

1s2sK

22

K2

2

2

sK

K1

- -

1ssK K

1

-

Para este tipo de sintonia, o sistema em malha fechada responderá mais rápido

para λ<1 e mais lento para λ>1 com relação ao sistema em malha aberta de acordo com

Fernandes (2009) e Aström e Hägglund (1995).

Segundo Fernandes (2009): “Uma forma conservativa de escolher λ é fazê-lo igual

à maior constante de tempo do processo”.

2.4 PID Discreto

Seja o controlador C(s) do tipo PID descrito na Equação 2.14:

sKs

KKsTsT

11K (s)C di

pdi

p

(2.14)

Aplicando o mínimo múltiplo comum (MMC), temos (Equação 2.15):

26

sKsKsK

(s)C ip2

d (2.15)

Aguirre (2004) apresenta algumas formas de mapear funções no domínio s para o

dominio z e vice-versa. Na Equação 2.16 é apresentado a “aproximação implícita de Euler” no

qual a mesma é baseada em aproximações discretas para a derivada com tempo de

amostragem igual a Ts.

szT1zs

(2.16)

Substituindo s da Equação 2.16 na Equação 2.15 temos (Equação 2.17):

1z

1z2zzTKzTK1zK

1ZzT

1zzTKzTKzT

1zzTK

zT1z

zT1zKK

zT1zK

(z)C

2

S

dSip

2

sSdSi

SSp

S

2

sdi

Sp

(2.17)

Considerando um sistema conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0) onde

C(z) é o mesmo K(q), podemos escrever o controlador C(z) em função da saída U(z) e a

entrada (erro) E(z) (Equação 2.18):

)()()(

zEzUzC (2.18)

Substituindo o C(z) da Equação 2.17 pelo C(z) da Equação 2.18, temos (Equação

2.19):

1

12

S

dSip

zz

1z

1z2zzTKzTK1zK

zEzU

(2.19)

Resolvendo a Equação 2.19 temos (Equações 2.20 e 2.21):

27

E(z)zTKz

TK2

TKTKzKK zzU-zU

z1

z2zzTKTKz1K

E(z)

zU

2

S

d1

S

d

S

dSi

1pp

1-

1

1

S

dSi

1p

(2.20)

(2.21)

Escrevendo na forma de equação de diferenças temos que o PID discreto será,

conforme pode ser visto nas Equações 2.22 e 2.23:

2-kETK1-kE

TK2kE

TK

kETK1-kEKkEK1kU kU

S

d

S

d

S

d

Sipp

(2.22)

2-kETK

1-kETK2KkE

TKTKK1kU kU

S

d

S

dp

S

dsip

(2.23)

A Equação 2.23 descreve a equações de diferenças de um controlador PID

discreto e pode ser encontrada em Palhares (2008). Na Tabela 5 são exibidas as equações de

diferenças dos controladores PID, PI e PD:

Tabela 5 – Equações de diferenças para controladores PID discretos

Tipo de Controlador Equação de Diferenças

PID

2-kETK1-kE

TK2K

kETKTKK1kU kU

S

d

S

dp

S

dsip

PI 1-kEKkETKK1kU kU psip

PD

2-kETK1-kE

TK2K

kETKK1kU kU

S

d

S

dp

S

dp

28

2.5 Sinais Binários Pseudo-Aleatórios (PRBS)

Segundo Aguirre (2004), Sinais Binários Pseudo-Aleatórios, do inglês Pseudo

Random Binary Signals (PRBS), são sinais bastantes populares e fáceis de gerar e excitam

uma ampla faixa de freqüências. Tais sinais só possuem dois valores possíveis, +V e –V, por

isto são denominados binários, são periódicos com período T = NTb sendo N um número

impar.

O tipo mais comum de Sinal Binário Pseudo-Aleatório é o denominado

“sequência de comprimento máximo” ou simplesmente “sinais de sequência m”. De acordo

com Aguirre (2004), tais sinais podem ser gerados usando um registro de deslocamento, uma

porta lógica E e outra porta lógica OU Exclusivo conforme pode ser visto na Figura 5 no qual

cada pulso de temporização do circuito define um valor (+V ou –V) na saída e os PRBS de

sequência m têm período igual a T = NTb para N=2n-1 onde n7 é o número de bits do registro

de deslocamento que no caso da Figura 5 é 6 e portanto o número de amostras N=63 e Tb8 é o

intervalo entre bits.

Figura 5: Gerador de PRBS com n igual a 6

A Tabela 6 abaixo determina as conexões para um circuito conforme Figura 5 de

PRBS de sequência m.

Tabela 6 – Conexões para gerar sinais de seqüência m – Aguirre (2004)

n N = 2n-1 Bits usados pela porta OU Exclusivo 2 3 1 e 2 3 7 2 e 3 4 15 3 e 4 5 31 3 e 5 6 63 5 e 6 7 127 4 e 7 8 255 2,3,4 e 8

7 n – Número de bits do registro. Também representado como b. 8 Tb – Intervalo entre bits.Também representado por m.

29

9 511 5 e 9 10 1023 7 e 10 11 2047 9 e 11

Em Aguirre (2004), um resultado heurístico normalmente oferece bons resultados

sugere Tb conforme a Equação 2.24 onde τmin é a menor constante de tempo de interesse:

3T

10min

bmin

(2.24)

Um exemplo de PRBS pode ser visto na Figura 6.

Figura 6: Exemplo de PRBS

2.6 Representação de sistemas Lineares Invariantes no Tempo

Segundo Aguirre (2004) uma representação matemática de um sistema é dita

linear se as equações do modelo satisfazem o “princípio da superposição”. A Equação 2.25

satisfaz o princípio da superposição, se e somente se as Equações 2.26, 2.27 e 2.28 sejam

satisfeitas para quaisquer constates a e b, e portanto é linear.

xfy (2.25)

11 xfy (2.26)

22 xfy (2.27)

2121 bxaxfbyay (2.28)

Um sistema é considerado “Linear Invariante no Tempo” (LTI) se seus parâmetros

são conservados ao longo do tempo.

30

A representação de sistemas lineares invariantes no tempo de uma entrada e uma

saída (SISO9), conforme Aguirre (2004) podem ser descritas como (Equação 2.29):

keqHkuqGkvkuqGky 000 (2.29)

Onde q representa o operador de atraso no domínio discreto, conforme Equação

2.30:

11 zu1kukuq (2.30)

Na Equação 2.29 temos que y é a saída do sistema, u a entrada de controle e v é

um distúrbio que entra no processo. Como constatado em Aguirre (2004), temos também que

G0(q) e H0(q) são funções de transferência racionais discretas.

Como em Aguirre (2004), as funções de transferências G0(q) e H0(q) podem ser

parametrizadas em termos de frações de polinômios em q e reescritas conforme Equação 2.31:

keqDqCku

qFqBkyqA (2.31)

Os polinômios da Equação 2.31 são definidos como (Equação 2.32):

.qf...qf1qF

,qd...qd1qD

,qc...qc1qC

,qb...qbqB

,qa...qa1qA

f

f

d

d

c

c

b

b

a

a

nn

11

nn

11

nn

11

nn

11

nn

11

(2.32)

Onde na é o número de coeficientes de A, nb é o número de coeficientes de B e

assim por diante.

Segundo Aguirre (2004), da Equação Geral 2.31 podem ser definidas estruturas

diferentes bastando considerar algum ou alguns dos polinômios iguais a 1.

Varios métodos de determinação da estrutura do modelo foram desenvolvidos

como visto em Aguirre (2004), Forssell e Ljung, (1999), Fernandes (2006) e Rodrigues

(2007).

Aseguir serão apresentadas três estruturas: a ARX, ARMAX e OE. Estas estruturas

serão utilizadas para identificação de modelos posteriormente. 9 SISO - Do inglês Single Input Single Output que caracteriza um sistema de uma única entrada e uma única saída.

31

2.6.1 ARX (AutoRegressive with eXogenous inputs)

A representação do modelo “auto-regressivo com entradas externas” é mostrada

na Equação 2.33:

kekuqBkyqA (2.33)

O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo C(q)=1, D(q)=1 e

F(q)=1.

Segundo Aguirre (2004) o modelo ARX pertence à classe de modelos de “erro na

equação”. Pelo fato desta estrutura ser linear nos parâmetros o que reduz consideravelmente o

custo computacional para a obtenção dos parâmetros do modelo evitando assim a utilização

de métodos iterativos.

2.6.2 ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs)

O modelo “auto-regressivo com média móvel e entradas externas” possui a

representação mostrada na Equação 2.34:

keqAqCku

qAqBky

keqCkuqBkyqA

(2.34)

O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo D(q)=1 e F(q)=1.

Segundo Aguirre (2004) a dinâmica do processo é representada independente da

dinâmica do distúrbio.

2.6.3 OE (Output Error)

O modelo “erro na saída”, cuja representação é mostrada na Equação 2.35:

kekuqFqBky (2.35)

O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo C(q)=1, D(q)=1 e

A(q)=1.

32

Segundo Aguirre (2004) este modelo descreve apenas a dinâmica do sistema e o

ruído adicionado à saída é branco.

33

3 METODOLOGIA

3.1 Procedimento – Colocação da planta em operação em malha fechada

A planta didática Smar 3 fica localizada no laboratório de controle e

instrumentação do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais (campus Cel. Fabriciano) e

é composta por 2 circuitos hidráulicos. A comunicação com os instrumentos da planta á feita

através de Foundation Fieldbus.

Na Figura 7 é exibido o sinótico da planta. A malha de controle é composta por

uma válvula proporcional, um reservatório de água, uma bomba centrífuga que é acionado por

partida direta e um tanque no qual será feito a medição e o controle do nível. Também é

composta por diversos instrumentos de medição e para a medição do nível será utilizado o

transdutor de nível LIT-31. No processo em questão, será utilizado a primeira malha de

controle da planta didática que será acessada e controlada pela estação de controle localizada

ao lado da planta atuando diretamente na válvula FY-31. A válvula manual de retorno do

fluido ao reservatório permaneceu com 50% abertura.

Figura 7: Sinótico da planta didática 3 - Smar

34

A princípio, por se tratar de uma planta didática e a mesma não possuir uma malha

de controle fechada já estabilizada, foi preciso fazer a identificação do modelo da planta em

malha aberta através do método de resposta ao degrau segundo Ogata (2003) e com tal

modelo em malha aberta foi implementado um controlador K discreto estabilizante. Com a

planta operando em malha fechada foi aplicado o método de identificação proposto. Para

realização das etafas foi utilizado os softwares MATLAB®, System Identification Tool e Data

Acquisition Toolbox, ambos da The Mathworks. Segue abaixo as etapas executadas:

Identificação do modelo em malha aberta;

Projeto do controlador K estabilizante;

Projeto do controlador K do tipo PI discreto;

3.1.1 Identificação do modelo em malha aberta

Com a bomba centrífica ligada, com a planta operando em malha aberta, foi

aplicado um degrau, u(k), de 60% de abertura na válvula FY-31 e coletado com um período de

amostragem igual a 0,2 segundos através do transmissor de nível LIT-31 o nível y(k). Este

tempo de amostragem foi adotado por não se conhecer as constantes de tempo da planta. A

resposta ao degrau pode ser visto na Figura 8 e o código no MATLAB® utilizado na

identificação em malha aberta pode ser visto no Apêndice A.

35

Figura 8: Resposta ao degrau de 60% na válvula FY-31

De acordo com a Figura 8 é possível observar que se trata aproximadamente de

um sistema de primeira ordem e para isto foi feito a estimação do modelo de primeira ordem

como a Equação 3.1:

1s1378667,0

1s1376052

1sMVPV

1sKG

^

(3.1)

Através do modelo estimado Ĝ da Equação 3.1, foi verificado a relação entre o

modelo real e o modelo estimado na resposta ao degrau de 60% o que pode ser visto na Figura

9. O modelo estimado se aproxima bem do modelo real para esta situação e para o projeto do

controlador K foi considerado que o modelo é LTI.

36

Figura 9: Resposta ao degrau – Sistema Real X Sistema Estimado

3.1.2 Projeto do controlador K estabilizante

Para o projeto do controlador estabilizante K, foram verificados 3 métodos

analíticos.

O primeiro método, Método de Ziegler-Nichols em malha aberta, não pode ser

aplicado pois necessitaria de uma curva tipo S para obtenção dos parâmetros do controlador.

O segundo método, Método de Ziegler-Nichols em malha fechada, foi feito o

gráfico do lugar das raízes do sistema em malha fechada conforme Ogata (2003) e visto que o

sistema não apresentou pólos com parte real positiva nem apresentou pólos com partes

complexas conjugadas que são necessários para a geração da oscilação sustentada que é citada

no método e portanto não foi possível a utilização do método. O gráfico pode ser visto na

Figura 10.

37

Figura 10: Lugar das raízes do sistema (comando rlocus MATLAB®)

O terceiro método, Sintonia Lambda (λ), foi verificado e visto que é possível o

projeto do controlador PI através deste método. O projeto do controlador foi feito conforme a

Tabela 4 considerando que o sistema em malha fechada tenha uma constante de tempo nova

λ=60 segundos e os parâmetros encontrados para Kp e Ti foram conforme Equações 3.2 e 3.3:

6346,260

158,0770

6052

137

KK p (3.2)

137Ti (3.3)

O controlador PI encontrado foi (Equação 3.4):

s102306,19s6346,2

s137116346,2

sT11K (s)G

3

ipC

(3.4)

Conforme o PI encontrado na Equação 3.4, foi feito a simulação do sistema

operando em malha fechada controlado (ver Apêndice B) e visto que o controlador otimizou a

resposta do sistema. A resposta do sistema controlado está na Figura 11:

38

Figura 11: Resposta ao degrau – Sistema em Malha Fechada Controlado X Sistema em Malha Aberta

(a) Resposta ao degrau de 60% em malha aberta; (b) Resposta ao degrau de 60% em malha fechada controlada X malha aberta; (c) % Abertura da válvula de controle FY-31 para o sistema em malha fechada.

3.1.3 Projeto do controlador K do tipo PI discreto

Para a implementação do controlador no MATLAB® faz-se necessário a

discretização do mesmo. O controlador PI discreto encontrado conforme a Tabela 5 pode ser

visto na Equação 3.5, e para o projeto do mesmo foi considerado um tempo de amostragem Ts

igual a 1 segundo:

1-kE6346,2kE102306,196346,21kU kU 3 (3.5)

A resposta deste novo controlador PI discreto pode ser visto na Figura 12 no qual

foi possível observar que a resposta do PI discreto simulado é equivalente a do PI contínuo

simulado resultando e variações mínimas. A simulação do sistema controlado por controlador

PI discreto pode ser visto no Apêndice C.

39

Figura 12: Resposta ao degrau de 60% - PI discreto X PI contínuo

(a) Resposta ao degrau de 60% em malha aberta com PI discreto X PI contínuo; (b) % Abertura válvula de controle FY-31.

Após os ensaios realizados, foi então implementado o algoritmo de controle do PI

discreto no MATLAB® que pode ser visto no Apêndice D e a resposta do sistema real

controlado equiparada com o sistema simulado pode ser visto na Figura 13:

40

Figura 13: Resposta ao degrau em malha fechada – Sistema Real X Sistema Simulado

(a) Resposta ao degrau de 60% abertura válvula – Sistema em malha fechada controlado; (b) % Abertura válvula FY-31.

Foi possível observar que o controlador K estabilizante controlou o nível do

tanque com variações menores que 1% em regime estacionário. Outro fato relevante é que o

modelo foi estimado para uma abertura de válvula igual a 60% e com a introdução do

controlador o sistema passou a atuar dentro de regiões que variam de 74% a 100% que pode

ser um dos fatores que causaram um desvio da variável manipulada em relação ao simulado.

3.2 Procedimento - Aplicação do método entrada-saída conjunta

Com intuito de obtenção de um modelo que aproximasse as características

estáticas e dinâmicas do sistema real foram feitos então 3 ensaios de identificação:

1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI;

2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P;

3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI.

41

Para o primeiro ensaio, a planta é colocada em operação com o controlador PI já

projetado anteriormente e então é aplicado o sinal PRBS10 em r2(k). A variação do PRBS de

+10% a -10% foi escolhida para aumentar a relação entre entrada e saída do sistema e por

consequência obter um modelo mais aproximado. Em uma planta real não é viável a aplicação

de um sinal de interferência desta proporção como pode ser visto no ensaio feito em

Rodrigues (2007).

Para o segundo ensaio, é colocada a planta em operação somente com o

controlador P, algo que não é viável para uma planta real pois estaria comprometendo

significantemente a qualidade final do processo, e então é aplicado o sinal PRBS em r2(k).

Segundo Codrons (2000), se o controlador K têm zeros de fase não mínima, que é o caso do

nosso controlador PI visto na Equação 3.4, a estimativa dos modelos de T11 e por

consequência T12 fica comprometida devido ao fato dos zeros do controlador K serem os pólos

de tais modelos a serem estimados o que poderá levar, no caso da não eliminação deste pólo

instável no processo de estimação, a instabilidade do modelo da planta estimado Ĝ. Por este

motivo foi então aplicado método com o controlador K do tipo P.

No terceiro ensaio, foi então aplicado um sinal em r2(k) aleatório com variação

entre +10% e -10% e controlador K do tipo PI. Assim como no primeiro ensaio, o objetivo é

melhorar a relação entrada saída do modelo.

3.2.1 1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI

Foi aplicado o procedimento para identificação em malha fechada pelo método de

entrada-saída conjunta (Joint Input-Output). Este método deverá determinar funções de

transferência r(k) para y(k) e r(k) para u(k) e, considerando apenas r2(k)11, as únicas funções

de transferência a serem determinadas são r2(k) para y(k) e r2(k) para u(k), variáveis estas que

podem ser vistas na Figura 2. Encontrado as funções de transferência, G0 pode ser

determinado conforme a Equação 2.8.

Através deste método foi seguido o seguinte procedimento:

10 PRBS: Sigla em inglês para Pseudo Random Binary Signal. 11 Qualquer que seja a escolha do sinal referência, r1(k) ou r2(k), o resultado final será o mesmo já que a função de transferência estimada G0 é o quociente das funções de transferências determinadas pelas amostras – Ver item 2.2.3.

42

Projetado o procedimento experimental. O mesmo pode ser visto no Apêndice E,

para isto foi necessário gerar um PRBS em r2(k) a ser somado à ação do controlador K com

nome de prbs2.mat de 10% iniciado no instante t = 500 segundos (este tempo se fez

necessário para a estabilização da planta didática) com N = 4000, n ou b = 12 e m ou Tb = 50,

o que implica dizer que o PRBS terá 4000 pontos (1 ponto por segundo), o b determina que o

sinal será aleatório com 4095 pontos e repetirá a sequência após estes pontos e também

determina que o sinal permanecerá com o mesmo valor num total de 50 pontos ou 50

segundos que é o intervalo entre as amostras. O função para a geração do PRBS pode ser visto

no Anexo A. Na Figura 14 é mostrado o sinal gerado para o experimento.

Para a utilização do PRBS faz se necessário verificar sua autocorrelação para que

seja determinado que o PRBS utilizado é um sinal aleatório ou se existe dentro do intervalo

utilizado alguma repetição de sinais o que faria com que o sinal não fosse aleatório e a

amostra dos dados obtidos não contivesse as mais variadas frequências de excitação para o

experimento. Por este motivo, foi feito a autocorrelação do PRBS (função de autocorrelação,

ver Anexo B) e o resultado pode ser visto na Figura 14:

Figura 14: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação

Como foi possível observar através da autocorrelação do PRBS da Figura 14 o

sinal utilizado é bom para o ensaio, devido ao valor de correlação do vetor, para t≠0, estar

dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4).

43

Foi aplicado a excitação PRBS com o sistema operando em malha fechada

controlada através do algorítimo descrito no Apêndice E e coletado as variáveis do processo.

Na Figura 15 são mostrados os comportamentos das variáveis.

Figura 15: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta

(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao PRBS em r2(k); (b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do PRBS.

Como foi possível observar, o PRBS interferiu no % de nível medido pelo LIT-31

no qual teve valores entre 53,88% a 66,01%. Outro ponto importante é que o % Abertura da

válvula em regime estacionário trabalhou próximo dos 60% de média, diferente do que pode

ser visto na Figura 13 no qual o % Abertura do sistema real em regime estacionário ficou

próximo dos 75% de média, o que indica a presença de um ruído no processo, ruido este que

pode estar relacionado ao nível do reservatório de água do processo.

Para a próxima etapa foram determinados, através dos sinais obtidos, os modelos

(funções de transferências) que descrevem o relacionamento de r2(k) para y(k) e de r2(k) para

u(k), também conhecidos, conforme as Equações 2.6 e 2.7, como T12 e T22 respectivamente.

Para a estimativa do modelo foi utilizado o software MATLAB® através da

ferramenta System Identification Toolbox da The MathWorks. Para a estimativa dos

parâmetros foram desconsiderandos os 500 segundos iniciais utilizados para estabilização do

44

sistema e foi retirado dos dados a média dos dados e também foi considerado o desempenho

do modelo devido à sua ordem sendo que quanto maior o desempenho para uma menor ordem

melhor.

Identificando T12

Para a identificação da função de tranferência T12 foram feitas diversas tentativas

de modelos com variadas ordens dos tipos ARX, ARMAX e OE e o modelo matemático que

mais aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 8,24%, utilizado

para a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo

OE(2,2,1)12 com tempo de amostragem igual a 1 segundo. Os parâmetros dos polinômios da

Equação 2.35 foram (Equação 3.6):

.q9464,01,946q- 1qF

;0,0199qq01992,0qB2-1-

-2-1

(3.6)

A resposta do modelo matemático equiparada com a do sistema real foi (Figura

16):

Figura 16: T12 - Resposta do modelo real X estimado

12 Esta nomenclatura é utilizada no System Identification Toolbox (SITB) Ljung (1995 apud Rodrigues, 2007), OE(nb,nf,nk) significa que será estimado um modelo OE com nb parâmetros no numerador, nf parâmetros no denominador e nk atrasos.

45

A equação da função de transferência T12, vista na Equação 3.8, pode ser extraída

da Equação 2.35 (modelo OE) no qual a entrada é r2(k) e a saída é y(k) com os parâmetros

B(q) e F(q) da Equação 3.6, como visto nas Equações 3.7 e 3.8:

kekrTkekrqFqBky 2122 (3.7)

2-1-

-2-1

12 q9464,01,946q- 10,0199qq01992,0

qFqBT

s1T

9552,0z9907,0z9995,0z019915,0T s12

(3.8)

Identificando T22

Para a identificação da função de tranferência T22 foram feitas as mesmas

tentativas de tipos de modelos para a identificação da função de tranferência T12 e o tipo

modelo escolhido por apresentar o menor erro com o menor grau possível foi o o de predição

do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1) com menor erro igual a 31,42%.

Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35 para esta função de transferência dados pela

Equação 3.9:

.0,3707q1,325q- 1qF

;0,818q0,8159qqB2-1-

-2-1

(3.9)

A resposta do modelo matemático comparada com a do sistema real foi (Figura

17):

46


A equação da função de transferência T22, vista na Equação 3.11, pode ser extraída

da Equação 2.35 (modelo OE) no qual a entrada é r2(k) e a saída é u(k) com os parâmetros

B(q) e F(q) da Equação 3.9, como visto na Equação 3.10:

2-1-

-2-1

22 0,3707q1,325q- 10,818q0,8159q

qFqBT

s1T

4011,0z9243,0z003,1z81587,0T s22

(3.10)

Estimando o modelo da planta G0

Estimado o modelo da planta G0 conforme Equação 2.8 através das funções de

transferências obtidas no item anterior. Também foi feita análise para possível redução do

modelo a um de menor grau que seja satisfatório (Equação 3.11).

s1T

003,1z9552,0z9907,0z4011,0z9243,0z9995,0z02440,0

TTG s

22

12

(3.11)

Uma redução é feita ao modelo da Equação 3.10 devido à existência de um polo

que causa uma instabilidade no sistema. Logo, o modelo estimado foi (Equação 3.12):

s1T

9552,0z9907,0z4011,0z9243,0z02440,0

TTG

003,1z9995,0z

s22

12

(3.12)

3.2.2 2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P

Para este 2º ensaio, foi utilizado o algoritmo para aplicação do método de

identificação em malha fechada, que pode ser visto no Apêndice E com ação integral igual a

zero (Ki=0). Para este ensaio foi utilizado um PRBS em r2(k) com os mesmos parâmetros do

utilizado no 1º ensaio. O PRBS utilizado pode ser visto na Figura 18 e a resposta do sistema

operando em malha fechada com controlador K do tipo P pode ser visto na Figura 19. Na

Figura 18 é possível observar que o PRBS utilizado é bom para o ensaio, devido ao valor de

correlação do vetor, para t≠0, estar dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4).

Na Figura 19 observamos que a ação de controle sem a componente integral não é

viável para a aplicação em um processo real pois afetou diretamente o desempenho final do

controle.

47

Figura 18: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação


(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao PRBS em r2(k); (b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do PRBS.

Identificando T12

48

Para a identificação da função de tranferência T12 o modelo matemático que mais

aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 4,57%, utilizado para a

identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1)

com tempo de amostragem igual a 1 segundo. Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35

e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.13 e na

Figura 20 respectivamente:

2-1-

-2-1

12 q7374,01,73q- 1q02012,00,01404q-

qFqBT

s1T

7614,0z9685,0z433,1z01404,0T s12

(3.13)


Identificando T22


aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 23,16%, utilizado para

a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1)


e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.14 e na


2-1-

-2-1

22 q1169,01,091q- 1q9666,00,9708q

qFqBT

(3.14)

49

s1T

1205,0z9703,0z9957,0z97083,0T s22





modelo a um de menor grau que seja satisfatório.

O modelo estimado pode ser visto na Equação 3.15:

s1T

9557,0z7614,0z1205,0z433,1z0144,0

TTG

9703,0z9685,0z

s22

12

(3.15)

3.2.3 3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI

Para este 3º ensaio, foi utilizado o algoritmo para aplicação do método de

identificação em malha fechada, que pode ser visto no Apêndice E. Um Sinal Aleatório foi

utilizado e inserido em r2(k) com amplitute variando entre +10% e -10%. O sinal utilizado

pode ser visto na Figura 22 (sinal bom para o ensaio, devido ao valor de correlação do vetor,

50

para t≠0, estar dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4)) e a resposta do sistema operando em

malha fechada com controlador K do tipo PI pode ser visto na Figura 23.

Figura 22: Sinal aleatório inserido em r2(k) e autocorrelação


(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao sinal aleatório em r2(k); (b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do sinal aleatório.

51

Identificando T12


aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 40,91%, utilizado para

a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(1,1,1)


e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.16 e


1-

-1

12 0,9162q- 10,02867q

qFqBT

s1T9162,0z

02866,0T s12

(3.16)

Figura 24: T12 - Resposta do modelo Real X Estimado

Identificando T22


aproximou sua resposta com a do sistema real e que não possuia zero com fase não mínima,

com menor erro igual a 39,21%, utilizado para a identificação foi o de predição do erro

estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,1,1) com tempo de amostragem igual a 1

segundo. Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35 e a resposta do modelo estimado

com o sistema real podem ser ser vistos na Equação 3.17 e Figura 25 respectivamente:

52

2-1-

-1

22 q9404,01,939q- 10,0006309q-

qFqBT

s1T9404,0z939,1z

z0006308,0T s222

(3.17)

Figura 25: T22 - Resposta do modelo Real X Estimado




modelo a um de menor grau que seja satisfatório mas não foi possível a anulação de nenhum

pólo com zero.

O modelo estimado pode ser visto na Equação 3.18:

s1T

z9162,0z9404,0z939,1z4381,45

TTG s2

2

22

12

(3.18)

53

4 RESULTADOS

4.1 Resultados do 1º ensaio

Na Figura 26 estão apresentados os resultados para o 1º Ensaio - Método

utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI.

Figura 26: Resposta do 1º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z)

(a) Resposta ao degrau 60% - modelo estimado; (b) Lugar das raízes do modelo estimado.

Na Figura 26 temos a resposta ao degrau de 60% do modelo Ĝ estimado pelo

Método de entrada e Saída Conjunta (MESC) da Equação 3.12 em relação ao modelo

estimado pelo Método de Resposta ao Degrau visto na Figura 9. É observado na Figura 26

que o modelo em z é estável pois possui polos dentro do do círculo unitário.

A análise da função de transferência do modelo estimado no domínio da

frequência pode ser extraído através da Equação 3.12, sendo que a mesma é vista na Equação

4.1:

54

009344,0s04583,0s

07887,0s5908,0s02441,0G (4.1)

Analisando a Equação 4.1 temos que o modelo real estimado possui um ganho de

2,65 para quanto t→∞ (s→0), ou seja, para uma entrada de 60% o modelo terá um % Nível de

159% como pode ser visto na Figura 26. Se aproximarmos o modelo estimado Ĝ a um modelo

de primeira ordem temos que o mesmo apresenta constante de tempo igual a 102 segundos.

Uma análise feita no diagrama de Bode da Figura 27, observa-se que o modelo

estimado começa a reduzir o gradiente de atenuação em uma freqüência 0,07 rad/s ao

contrário do modelo estimado pela resposta ao degrau que funciona puramente como um filtro

passa baixas.

Figura 27: Resposta em freqüência do 1º Modelo Ĝ

(a) Diagrama de Bode - Magnitude; (b) Diagrama de Bode - Fase.

Como pode ser observado, o maior erro do modelo estimado Ĝ foi o ganho que

fez com que o modelo exiba uma resposta ao degrau inválida para a planta em questão.

55

4.2 Resultados do 2º ensaio

Na Figura 28 estão apresentados o resultado para o 2º Ensaio - Método utilizando

PRBS em r2(k) e controlador P.



O modelo estimado Ĝ em z pode ser visto na Equação 3.15 e este mesmo modelo

em s pode ser visto na Equação 4.2.

004309,0s2726,0s

3872,0s126,1s014462,0G (4.2)

Pode-se observar que o modelo é de fase não mínima, mas possui um ganho a

altas frequências negativo. Devido a esta características o modelo possui um ganho em regime

estacionário igual a 5,36, o que implica dizer que para uma degrau de 60% o % Nível do

modelo será aproximadamente 322% o que não aproxima ao modelo real da planta que é de

52%.

56

Também é possível observar na Figura 29 que o sistema possui um

comportamento semelhante ao do 1º modelo estimado com um ganho a baixas frequências um

pouco superior.



4.3 Resultados do 3° ensaio

Na Figura 30 estão apresentados o resultado para o 3º Ensaio - Método utilizando

Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI.

57



Convertendo o modelo em z da Equação 3.18 para um modelo em s (Equação

4.3):

08746,0s2s

001444,0s0645,0s9907,91G2

(4.3)

Na Figura 30 observa-se que o ganho inicial do modelo é negativo muito elevado,

o que já nos mostra que o modelo não possui uma boa representação do modelo real. Uma

razão para este ganho negativo elevado pode ser visto no diagrama de bode da Figura 31, no

qual tem se que o modelo estimado se comporta como um filtro passa altas, sendo o degrau

um ponto crítico no qual a freqüência s→∞.

Se observado o ganho deste modelo em regime estacionário temos que o mesmo

será -0,75 o que nos mostra um valor final para uma entrada em degrau de 60% de -45% no

nível da planta.

Pode-se então afirmar que o modelo não é considerado um modelo válido para o

processo em questão.

O diagrama de Bode do modelo estimado Ĝ pode ser visto na Figura 31.

58



59

5 CONCLUSÕES

5.1 Identificação em Malha Aberta

Pode-se concluir que, para a planta em questão, o modelo estimado da planta

encontrado pela resposta ao degrau foi um bom modelo para o projeto do controlador

utilizando a Sintonia Lambda (λ).

Também foi possível observar que o sistema operando em malha fechada pelo

controlador PI projetado se comportou conforme o esperado e simulado anteriormente o que

reafirma que apesar de simples, o método da Sintonia Lambda (λ) é bem eficiente e preciso

para este caso.

5.2 Identificação em Malha Fechada

Como foi possível constatar nos modelos estimados anteriormente o Método de

Entrada-Saída Conjunta não obteveram bons resultados e que, a estrutura que apresentou

melhor desempenho na identificação dos modelos foi a de “erro na saída” (OE) superando

assim, para este caso, outras estruturas testadas que foram ARX e ARMAX.

Um dos possíveis problemas encontrados na estimativa do modelo é a obtenção de

bons modelos para T22 pois, como podemos constatar na Equação 2.5, T22 é função de

sensibilidade do sistema (S0) e a mesma afeta todos os outros elementos da Matriz T(G0,K)

(Equação 2.5) o que faz com que modelos ruins de T22 afetem a estimativa de todo o sistema.

Outro possível problema encontrado é que como a função T22 é que a mesma é a

relação do sinal aplicado ao processo r2(k) com a saída de controle u(k), obterá um sinal com

frequência elevada, o que dificultará a identificação do modelo, sendo que, uma boa

identificação em alguns casos somente será possível com um modelo de grau elevado.

Também foi possível observar que os métodos de predição de erro obtiveram melhores

resultados para modelos de baixa ordem.

Outra razão para este possível problema pode ser visto em Codrons (2000),

quando o controlador K têm zeros de fase não mínima, que é o caso do nosso controlador PI

visto na Equação 3.4, a estimativa dos modelos de T11 e por consequência T12 fica

60

comprometida devido ao fato dos zeros do controlador K serem os pólos de tais modelos a

serem estimados o que poderá levar, no caso da não eliminação deste pólo instável no

processo de estimação, a instabilidade do modelo da planta estimado Ĝ.

Também foi observado que os zeros da função T22 se tornam pólos do modelo

estimado Ĝ, o que se torna um problema que, caso existam zeros de fase não mínima e os

mesmos não sejam anulados, o que é mais comum, acabam gerando um Ĝ instável.

Outro possível problema é a aplicabilidade do método em uma planta real. Para

boas estimativas se faz necessário uma boa relação entrada/saída o que pode não ser suficiente

caso seja inserido uma excitação de pequena amplitude. Uma boa alternativa é utilizar os

dados já coletados pelo processo ao longo dos anos em busca de um modelo melhor para o

ajuste do controlador já inserido no processo.

61

REFERÊNCIAS

AGUIRRE, Luis Antonio. Introdução à identificação de sistemas: Técnicas lineares e não-

lineares aplicadas a sistemas reais. 2ª Edição. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2004.

ASTRÖM, K.; HÄGGLUND, T. PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. 2ª Edition,

1995. Instrument Society of America, Research Triangle Park. NC 1995.

CAMPOS, Alessandra Rose Crosara Rios. Projeto e Análise de Controladores a partir da

Identificação em Malha Fechada: Estudo de Casos. 2007, 90f. Dissertação (Mestrado em

Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG, Belo Horizonte, 2007.

CODRONS, Benoît et al. A practical application of recent results in model and controller

validation to a ferrosilicon production process. 2000. 39th Conference on Decision and

Control (CDC 2000), pp. 2444–2449, 2000.

FERNANDES, Fabrício de Souza. Identificação por predição de erro e síntese de

controladores robustos. 2006, 124f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) -

Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG, Belo Horizonte, 2006.

FERNANDES, Fabrício de Souza. Teoria de controle e servomecanismos – Aula 9: Noções

básicas para controle de processos industriais. 2009, Apresentação de aula – Centro

Universitário do Leste de Minas Gerais – Unileste-MG, Cel. Fabriciano, 2009.

FORSSELL, Urban. Properties and Usage of Closed-loop Identification Methods. 1997.

Tese de Doutorado, Linköping University, Division of Automatic Control, Departament of

Eletrical Engineering, S - 581 83 Linköping Sweden, 1997.

FORSSELL, Urban; LJUNG, Lennart. 2000. Some results on optimal experiment design.

Automatica, 36: 749–756, 2000.

FORSSELL, Urban; LJUNG, Lennart. Closed-loop identification revisited. 1999.

Automatica, 35: 1215–1241, 1999.

GEVERS, Michael. Identification for control: achievements and open problems. Center

for Systems Engineering and Applied Mechanics: Université Catholique Louvain, 2004 -

Louvain-la-Neuve, Belgium, 2004.

62

LANDAU, I. D. Identification in closed loop: a powerful design tool (better design

models, simpler controllers). 2001, Control Engineering Practice, 9:51–65, 2001.

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição. São Paulo: Editora

Prentice Hall, 2003. 788p.

PALHARES, Reinaldo M. Apresentação: Controle de Sistemas Lineares. Universidade

Federal de Minas Gerais – UFMG, 2008.

RIVERA, Daniel E. et al. Internal Model Control. 4.PID Controller Design. Industrial and

Engineering Chemistry Process Design and Development, V. 25, p.252 - p.265. 1986.

RODRIGUES, Cid Jorge Interaminense. Projeto de Controladores Robustos a partir de

modelos identificados em malha fechada: Aplicação a um sistema industrial. 2007, 115f.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial) - Centro Universitário do Leste de Minas

Gerais - Unileste-MG, Coronel Fabriciano, 2007.

SJÖBERG, Jonas et al. Nonlinear black-box modeling in system identification: a unified

overview. Automatica, 31(12):1691–1724, 1995.

VAN DEN HOF, Paul. Closed-loops issues in system identification. Anual reviews in

control, p. 173-186, Delf University of Technology, The Netherlands, 1998.

VAN DEN HOF, Paul; BOMBOIS, Xavier. System Identification for Control. 2004. Deft

Center for Systems and Control Delft University of Technology, The Netherlands, 2004.

63

ANEXO A – FUNÇÃO GERADORA DE PRBS – AGUIRRE 1995 (PRBS.M)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Função Geradora de PRBS %% Autor: Luiz A. Aguirre 1995 %% Função: Gera um PRBS com comprimento N e com o número de bits b %% repetidos por um período de amostragem m. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function y=prbs(N,b,m); % y=prbs(N,b,m) % generates a PRBS signal with length N and with b % bits each value is held during m sampling times. % For b=8 the PRBS will not be an m-sequence. % Luis A. Aguirre - BH 18/10/95 % - revision 01/02/1999 y=zeros(1,N); x=rand(1,b)>0.5; j=1; % for most cases the XOR of the last bit is with the % one before the last. The exceptions are if b==5 j=2; elseif b==7 j=3; elseif b==9 j=4; elseif b==10 j=3; elseif b==11 j=2; end; for i=1:N/m y(m*(i-1)+1:m*i)=x(b)*ones(1,m); x=[ xor(y(m*(i-1)+1),x(b-j)) x(1:b-1) ]; end;

64

ANEXO B – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO (MYCCF.M)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Função de autocorrelação %% Autor: Luiz A. Aguirre 1991 %% Função: Correlaciona um vetor c de 2 colunas. %% Para autocorrelação o vetor é inserido nas 2 colunas do vetor c %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [t,r,l,B]=myccf(c,lag,flag1,flag2,cor); % [t,r,l]=myccf(c,lag,flag1,flag2,cor); % c1=c(:,1); c2=c(:,2); % the ccf are calculated from -lag/2 to lag/2 if flag1 = 1; % the ccf are calculated from 0 to lag if flag1 = 0; % plots the ccf between c1 and c2 if flag2 = 1; % if flag2=0 the ccf is returned in r (with respective % lags in t), but not plotted; % l is a scalar, the 95% confidence interval is +-l; % if cor='w', white lines are used. If cor='k', black. % r*B is the unnormalized value of r. % % in case of intending the FI(eu) plot c MUST be =[e u] % Luis Aguirre - Sheffield - may 91 % - Belo Horizonte - Jan 99, update if flag1==1, lag=floor(lag/2); end; c1=c(:,1); c1=c1-mean(c1); c2=c(:,2); c2=c2-mean(c2); cc1=cov(c1); cc2=cov(c2); m=floor(0.1*length(c1)); r12=covf([c1 c2],lag+1); t=0:1:lag-1; l=ones(lag,1)*1.96/sqrt(length(c1)); % ccf % Mirror r12(3,:) in raux raux=r12(3,lag+1:-1:1); %for i=1:lag+1

65

% raux(i)=r12(3,lag+2-i); %end; B=sqrt(cc1*cc2); r=[raux(1:length(raux)-1) r12(2,:)]/B; % if -lag to lag but no plots if flag1 == 1, t=-(lag):1:lag; else t=0:lag; r=r12(2,1:lag+1)/B; end; % if plot if flag2 == 1, % if -lag to lag if flag1 == 1, t=-(lag):1:lag; l=ones(2*lag+1,1)*1.96/sqrt(length(c1)); if cor=='w' plot(t,r,'w-',t,l,'w:',t,-l,'w:',0,1,'w.',0,-1,'w.'); else hold on plot(t,r,'k',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.'); plot(t,r,'k-',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.'); hold off end; xlabel('lag'); else t=0:lag; l=ones(lag+1,1)*1.96/sqrt(length(c1)); if cor=='w' plot(t,r12(2,1:lag+1)/B,'w-',t,l,'w:',t,-l,'w:',0,1,'w.',0,-1,'w.'); else plot(t,r12(2,1:lag+1)/B,'k-',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.'); end; xlabel('lag'); end; else % if -lag to lag, but no plots if flag1 == 1, t=-(lag):1:lag; else t=0:lag; r=r12(2,1:lag+1)/B; end;

66

end; l=l(1);

67

APÊNDICE A – PROCEDIMENTO DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA ABERTA

(MATLAB®)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Ensaio em Malha Aberta Planta Smar - 2010 %% Aluno: Patrick Pires Alvim %% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes %% Função: Aplica degrau em malha aberta na planta e coleta os dados de saída %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; clc; da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0') % Criando cliente OPC para DFI connect(da); % Conectando com o servidor OPC da DFI grp = addgroup(da,'CallbackTest') % Criando o grup 'grp' no servidor 'da' itm = additem(grp,{'LIT-31_AI1.OUT.VALUE','FIT-31_AI1.OUT.VALUE','FY-31_AO1.OUT.VALUE','TY-31_AO1.OUT.VALUE','TIT-31_AI1.OUT.VALUE'}); %Adicionando item(variável)OPC pause(10); % Aguarda 10 segundos até que as variaveis opc estejam disponíveis. %%Início Código write(itm(3),0) %fecha a válvula Ts = 0.2; %Tempo de amostragem N = 10000; %Numero de amostras para o teste do controlador NivelRef = 60; %Sinal de referencia em % r1 = ones (1,N); r1 = r1*NivelRef; t(1) = 0; y(1)= itm(1).value; k=2; while k<=N, %Bloco +/- r(k) = r1(k); %Entrada/saída para controlador m(k) = r(k); %Bloco +/+ Ruído u(k) = m(k); %Escreve o sinal de controle do PI na válvula write(itm(3),u(k)); %Recebe o sinal de referência do nível y(k) = itm(1).value; t(k) = t(k-1)+Ts; k = k+1; pause (Ts); end plot(t,y); save Ensaio2MalhaAberta15092009

68

APÊNDICE B – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM

CONTROLADOR LAMBDA (SIMULINK)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Simulação em malha fechada com controlador PI - 2010 %% Aluno: Patrick Pires Alvim %% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes %% Função: Simula sistema controlado em malha fechada por controlador PI %% contínuo devido à resposta ao degrau de entrada %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

69

APÊNDICE C – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM

CONTROLADOR PI DISCRETO (SIMULINK)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Simulação em malha fechada com controlador PI discreto - 2010 %% Aluno: Patrick Pires Alvim %% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes %% Função: Simula sistema controlado em malha fechada por controlador PI %% discreto devido à resposta ao degrau de entrada %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

70

APÊNDICE D – PROCEDIMENTO CONTROLE PI DICRETO APLICADO A

PLANTA (MATLAB®)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Ensaio em Malha Fechada Planta Smar %% Aluno: Patrick Pires Alvim %% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes %% Função: Controla planta em malha fechada com controlador PI discreto. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; clc; da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0'); % Criando cliente OPC para DFI connect(da); % Conectando com o servidor OPC da DFI grp = addgroup(da,'CallbackTest'); % Criando o grup 'grp' no servidor 'da' itm = additem(grp,{'LIT-31_AI1.OUT.VALUE','FIT-31_AI1.OUT.VALUE','FY-31_AO1.OUT.VALUE','TY-31_AO1.OUT.VALUE','TIT-31_AI1.OUT.VALUE'});% Adicionando item(variável)OPC pause(10); % Aguarda 10 segundos até que as variaveis opc estejam disponíveis. %%Parâmetros Ts = 1; %Tempo de amostragem Kp = 2.6346; %Ganho Proporcional Ki = 19.2306e-3; %Ganho Integral %% %Numero de amostras para o teste do controlador N = 1300; NivelRef = 60; r1 = ones (1,N); r1 = r1*NivelRef; t(1) = 0; y(1)= (itm(1).value); u(1)= 0; e(1)= 0; k=2; i=20; %usado para plotar com tempo de i*Ts segundos while k<=N, %Recebe o sinal de referência do nível y(k) = (itm(1).value); e(k) = r1(k)-y(k); %Controlador PI u(k) = u(k-1)+((Kp+Ki*Ts)*e(k))-(Kp*e(k-1));

71

%Saturaçao if u(k)>100 u(k)=100; end %Escreve o sinal de controle do PI na válvula write(itm(3),u(k)) t(k) = t(k-1)+Ts; k = k+1; i = i+1; if i>=20 plot(t,y) i=0; end pause(Ts); %Aguarda Ts para reiniciar o laço while; end t=0:1:(N-1); save EnsaioMalhaFechada -V6

72

APÊNDICE E – MÉTODO DE ENTRADA E SAÍDA CONJUNTA APLICADO AO

SISTEMA CONTROLADO EM MALHA FECHADA

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Metodo Entrada-Saída Conjunta - PRBS com Malha Fechada - Planta Smar %% Aluno: Patrick Pires Alvim %% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes %% Função: Aplica método de identificação em malha fechada (entrada-saída %% conjunta) em plana controlada por PI discreto e coleta dados. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; close all; clc; da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0'); % Criando cliente OPC para DFI connect(da); % Conectando com o servidor OPC da DFI grp = addgroup(da,'CallbackTest'); % Criando o grup 'grp' no servidor 'da' itm = additem(grp,{'LIT-31_AI1.OUT.VALUE','FIT-31_AI1.OUT.VALUE','FY-31_AO1.OUT.VALUE'});% Adicionando item(variável)OPC pause(10); % Aguarda 10 segundos até que as variaveis opc estejam disponíveis. %%Parâmetros do Controlador PI Ts = 1; %Tempo de amostragem Kp = 2.6346; %Ganho Proporcional Ki = 19.2306e-3; %Ganho Integral %Numero de iteraçoes para o teste do controlador TempoEstabilizacao = 500; %Tempo para Estabilizaçao do Sistema em segundos TempoPRBS = 4000; %Tempo para iteraçao do PRBS em segundos NIteracoes = (TempoEstabilizacao+TempoPRBS)/Ts; %Referencia entrada NivelRef = 60; r1 = ones(NIteracoes,1); r1 = r1*NivelRef; %Alocando os vetores VetorZeros = zeros(NIteracoes,1); u = VetorZeros; e = VetorZeros; uk = VetorZeros; y = VetorZeros; t = [0:Ts:(NIteracoes-1)]'*Ts; %Determinando as condiçoes iniciais y(1) = double(itm(1).value);

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%open PRBS.mat; %Este arquivo carrega o r2(k) com valores entre -5% e +%5 do nivel. %Este valor sera somado a açao do controlador. load prbs2.mat; k=2; while k<=(NIteracoes), %Recebe o sinal de referência do nível y(k) = double(itm(1).value); %Calculo do erro e(k) e(k) = r1(k)-y(k); %Controlador PI Discreto - Saida/Entrada = uk(k)/e(k) uk(k) = uk(k-1)+((Kp+Ki*Ts)*e(k))-(Kp*e(k-1)); %Somando o PRBS r2(k) ao parametro do controlador u(k)=uk(k)+r2(k); %Saturaçao if u(k)>100 u(k)=100; end %Escreve o sinal de controle do PI na válvula write(itm(3),u(k)); %Apenas escreve na tela para acompanhamento nivel = y(k) u_pid = uk(k) s_prbs = r2(k) u_valvula = u(k) %Numero de Iterações k = k+1 pause(Ts); %Aguarda Ts para reiniciar o laço while; end dados = [t y u r2 uk e]; save MetodoEntradaSaidaConjunta -V6 save dados -v6 dados %plot (t,y,t,u); %figure; %plot (t,r2,t,y,t,u);