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  • 1. Prcticas de la Asignatura Tratamiento Digital de Seales SNTESIS DE FILTROS DIGITALES Fernando Cruz Roldn

2. ndice Prctica de Diseo de Filtros Digitales. 1 Prctica de Efectos de la Cuantificacin de los Coeficientes en Filtros Digitales. 35 3. 1 Prctica de Diseo de Filtros Digitales A. OBJETIVOS Los filtros digitales se pueden clasificar en dos grandes grupos: aquellos que presentan una respuesta al impulso de duracin infinita (IIR) y, por el contrario, los sistemas FIR o de respuesta al impulso finita. En el apartado de fundamentos tericos se van a introducir los conceptos fundamentales que caracterizan a cada uno de los grupos, para a continuacin estudiar con detalle las tcnicas ms empleadas en la etapa de aproximacin o clculo de los coeficientes. Para sistemas IIR se van a presentar los mtodos de ubicacin de polos y ceros, y el diseo de filtros digitales a partir de prototipos analgicos. Se emplearn las transformaciones invariante de impulso y bilineal. En este apartado se pretende que se distingan las diferencias que se producen al emplear cada una de ellas, y que se elija en cada momento y en funcin del tipo de filtro, la ms apropiada. Una de las caractersticas ms importantes de los sistemas FIR se debe a que pueden presentar una fase de la respuesta en frecuencia lineal. Se estudiarn las condiciones que debe cumplir la respuesta al impulso y los distintos grupos de filtros FIR que tienen fase lineal. En la etapa de aproximacin se desarrollar el mtodo de la Transformada de Fourier o de la ventana. El objetivo fundamental ser apreciar la influencia de la longitud y de la forma de diversas ventanas, y cmo queda afectada la respuesta en frecuencia del filtro deseado al truncar su respuesta al impulso. En la realizacin de la prctica se van a disear filtros digitales siguiendo todos los mtodos desarrollados en los fundamentos tericos, y adems se dedicar un apartado al diseo de filtros FIR por el procedimiento de Parks-McClellan, el cual obtiene filtros ptimos en el sentido de Chebyshev. 4. 2 Tratamiento Digital de Seales B. FUNDAMENTOS TERICOS 1. DISEO DE FILTROS IIR 1.1 Propiedades de los filtros IIR Para sistemas IIR la relacin entrada-salida viene establecida por la expresin (1.1). [ ] [ ] [ ] == += 10 k k M k k knyaknxbny (1.1) Estos sistemas no pueden realizarse de forma no recursiva, ya que para calcular la salida en el instante "n" hemos de considerar las salidas en los instantes "n-k", necesitando la estructura lazos de realimentacin. Estas realizaciones realimentadas son potencialmente inestables. Para calcular la salida por la expresin (1.1) necesitamos N+M+1 multiplicaciones y N+M sumas. Sin embargo, empleando la expresin establecida para la convolucin directa (1.2) el nmero de operaciones se hara infinito. [ ] [ ] [ ]knxkhny k = =0 (1.2) La funcin de sistema se rige por la expresin 1.3. ( ) [ ] ( ) ( ) = = = = == 1 0 0 1 h k k k M k k k n n za zb z z znz (1.3) Dicha funcin no puede tratarse en forma de polinomio, pues tendra infinitos trminos, sino como una funcin racional, cociente de dos polinomios, que tendr polos en puntos finitos del plano z en general situados fuera del origen, lo cual no ocurre en los sistemas F.I.R.. La presencia de estos polos proporciona mayor flexibilidad y potencia en el problema de la aproximacin, pero conlleva otras dificultades. Normalmente un filtro I.I.R. necesita menos coeficientes que el correspondiente F.I.R. para las mismas especificaciones. Se emplean cuando se requieren transiciones abruptas y alto rendimiento. El precio que se paga es que se convierta en inestable o se degraden las caractersticas en frecuencia si no se toman algunas precauciones. La respuesta en frecuencia (1.4) se obtiene, si el sistema es estable, particularizando en la funcin del sistema los puntos z en la circunferencia de radio unidad = j ez . ( ) [ ] = = = == 1 0 0 1 k jk k M k jk k n nj ea eb enh (1.4) Los sistemas I.I.R. no van a poder presentar una caracterstica de fase exactamente lineal si queremos que sean causales. La solucin ms habitual se basa en aproximar el 5. Tratamiento Digital de Seales 3 mdulo de la funcin de transferencia sin preocuparnos de la fase, bien porque no sea importante o bien porque se ajuste en una etapa posterior de tipo paso-todo. Si los coeficientes ak y bk de H(z) son reales, los polos y los ceros aparecen por parejas conjugadas o son reales. Para que el sistema sea estable y causal todos los polos deben situarse exactamente en el interior de la circunferencia unidad (o ser coincidentes con ceros en dicha circunferencia), no habiendo restriccin para los ceros. 1.2 Especificaciones del filtro Para filtros selectivos en frecuencia (paso bajo, paso banda,...) las especificaciones se suelen dar como un esquema de tolerancia. Para un filtro paso bajo podemos tener la plantilla representada en la figura 1.1. fig. 1.1: Plantilla de especificaciones para un filtro IIR paso bajo. Para especificar la respuesta en frecuencia se emplean unos parmetros: 2: parmetro de rizado de la banda de paso p: desviacin de la banda de paso s: desviacin de la banda eliminada p: pulsacin de corte de la banda de paso s: pulsacin de corte de la banda eliminada En algunas ocasiones las frecuencias de corte se dan normalizadas con respecto a la frecuencia de muestreo, debiendo expresar las unidades correctamente. Para filtros I.I.R. el rizado de la banda de paso se suele indicar como la diferencia entre el mximo y el mnimo de la desviacin en la banda de paso. Sin embargo para filtros F.I.R. el rizado de la banda de paso es la diferencia entre la respuesta ideal y la mxima (o la mnima) desviacin en la banda de paso. Es decir, en sistemas I.I.R., el rizado de la banda de paso es el rizado pico a pico en dicha banda. 6. 4 Tratamiento Digital de Seales 1.3 Etapa de aproximacin El objetivo de esta etapa es seleccionar un mtodo de aproximacin para calcular los coeficientes ak y bk, de manera que el mdulo de la respuesta en frecuencia se ajuste a la plantilla de especificaciones. El mtodo ms sencillo consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z a simple vista, de forma que se obtenga la respuesta en frecuencia deseada. Otros mtodos ms eficientes se van a basar en disear el equivalente analgico que cumpla las plantillas dadas, y convertirlo en uno digital. Estos ltimos son los que ms se suelen utilizar. 1.3.1 Mtodo de colocacin de polos y ceros Este mtodo se basa en la propia definicin de polo y cero. Un cero es un punto del plano z en el que la funcin del sistema se hace nula, mientras que en un polo el valor de dicha funcin tiende a infinito. En puntos del plano z prximos a un polo, el valor del ( )z es elevado, mientras que en puntos cercanos a un cero el valor del ( )z se reduce considerablemente. Este mtodo consiste en colocar los polos y los ceros en el plano z de manera que se obtenga un mdulo de la respuesta en frecuencia aproximado al que se desea. Como la respuesta en frecuencia se evala en la circunferencia de radio unidad del plano z, si existe un polo prximo a dicha circunferencia, el valor de ( ) j e ser elevado en aquellos puntos cercanos a dicho polo. Si se coloca un cero cercano a dicha circunferencia, se conseguir reducir el valor del ( ) j e . Se obtiene atenuacin total en una frecuencia 0 situando un cero en 0 = j ez . As, se pueden disear distintos filtros en los que no se especifica de manera meticulosa la plantilla de especificaciones y calcular de manera sencilla filtros paso bajo, paso alto,... . Es obvio que este mtodo se emplea en contadas ocasiones y para funciones de sistema extremadamente simples. 1.3.2 Diseo de filtros IIR a partir de prototipos analgicos Es la forma tradicional de diseo de sistemas I.I.R. por varias razones: El diseo de filtros analgicos es un problema muy estudiado. En bastantes aplicaciones interesan filtros digitales que simulen el funcionamiento de un filtro analgico. Los mtodos de aproximacin convencionales funcionan bien en los filtros analgicos pero no dan lugar a frmulas sencillas de diseo cuando se aplican directamente a los sistemas discretos. Los mtodos se basan en el diseo del equivalente analgico que cumpla las plantillas dadas para convertirlo posteriormente en uno digital. La especificacin de partida se har siempre en el dominio discreto. Aprovechando que el diseo de filtros analgicos es un campo bien estudiado, se traslada el problema de la aproximacin al dominio s. De aqu se obtendr una funcin del sistema analgico ( )sa (expresin (1.5)). 7. Tratamiento Digital de Seales 5 ( ) ( ) ( ) = = = = = = N k k M k k N k k k M k k k a ds cs s s sH 1 1 0 0 (1.5) Una vez que se han obtenido los coeficientes {k} y {k}, o bien los ceros y los polos {ck} y {dk} del filtro analgico, se emplean algunas transformaciones para convertirlo en un filtro digital. Esta tcnica ser efectiva si tiene unas propiedades: a. El eje "j" del plano s debera transformarse en la circunferencia unidad del plano z. De esta forma la transformacin conserva en lo esencial el comportamiento en frecuencia del sistema continuo. b. La transformacin debe conservar la estabilidad del sistema. Cada punto del semiplano izquierdo del plano s debera transformarse en otro interior a la circunferencia unidad. Existen diversos mtodos para realizar la conversin de la funcin de sistema analgica en la digital, destacando por su utilizacin la transformacin invariante de impulso y la transformacin bilineal. La relacin dificultad/eficiencia de estas tcnicas es muy baja. 1.3.2.1 Transformacin invariante de impulso Se basa en tomar como respuesta al impulso del filtro digital una versin muestreada de la respuesta al impulso del sistema de tiempo continuo empleando un perodo de muestreo T (expresin 1.6). Dicho valor es irrelevante cuando la especificacin original se da en el dominio discreto. Adems, no tiene porqu coincidir con el valor del perodo que introduce el convertidor A/D. [ ] (