Upload
joao-fontes
View
68
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Mecanica Lagrangiana
Joao V. C. Fontes
Escola de Engenharia de Sao CarlosUniversidade de Sao Paulo
1 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Organizacao
1 Conceitos Fundamentais
2 Formulacao LagrangianaPrincıpio do Trabalho VirtualPrincıpio de D’AlembertEquacoes de LagrangeExemplos
2 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Partıcula, Posicionamento e Movimento
Partıcula
O mesmo que ponto material, isto e, um corpo cujas asdimensoes podem ser desprezadas ao descrevermos omovimento do mesmo.
Vetor posicao
r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez
Quantidade de Movimento
p = mv
Segunda Lei de Newton
F = mv =dp
dt= p
3 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Coordenadas Generalizadas e Graus de Liberdade
Numero de graus de liberdade
Numero de grandezas independentes, que devemos identificarpara determinar a posicao (ou a configuracao) de um sistema
Coordenadas generalizadas
Grandezas independentes dadas ao sistema para que possa serdefinido completamente
4 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Representacoes e Exemplos
Para cada (ri) existe 3 graus de liberdade introduzidos nosistema, assim o sistema possui 3N graus de liberdade
5 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Vınculos
Vınculo
Restricoes impostas aos sistema
Quando o movimento de um sistema mecanico esta de algumaforma restrito a uma regiao qualquer do espaco.Podem ser variantes no tempo ou naoPodem ser bem definidos por equacoes ou por inequacoesRestringem os graus de liberdade (Ex.: juntas)
6 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Representacoes e Exemplos
Exemplo: Vibracao em uma barra
7 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Espaco de Fase e Espaco de Configuracao
8 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Organizacao
1 Conceitos Fundamentais
2 Formulacao LagrangianaPrincıpio do Trabalho VirtualPrincıpio de D’AlembertEquacoes de LagrangeExemplos
9 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Deslocamento Virtual
Deslocamento Virtual
Os deslocamentos infinitesimais de cada partıcula que a leva deuma configuracao possıvel a outra configuracao possıvelinfinitesimalmente proxima no mesmo instante t
10 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Se um corpo modelado por N partıculas esta em equilıbrio, aforca resultante Fi aplicada no corpo i e nula.O trabalho virtual δWi da forca Fi por um deslocamentovirtual δri e nulo.Portanto, a soma dos trabalhos virtuais de todas partıculastambem e nulo:
δW =
N∑i=1
Fi · δri = 0
11 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Considerando que as forcas podem ser separadas por forcas
externas (F(a)i ) e forcas de vınculo (fi).
Fi = F(a)i + fi
Vamos nos restringir ao caso de sistema que os trabalhosvirtuais das forcas de vınculo sao nulas, assim:
δW =
N∑i=1
F(a)i · δri = 0
Esta equacao e conhecida com o princıpio do trabalho virtual.Base da estatica!
12 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Trabalho Virtual
Os deslocamentos virtuais δri nao sao independentes.Assim, reescrevemos a equacao usando coordenadasgeneralizadas!
δri =
n∑j=1
∂ri∂qj
δqj
δW =
N∑i=1
n∑j=1
Fi ·∂ri∂qj
δqj =n∑
j=1
Qj · δqj
Onde Qj sao as forcas generalizadas e podemos dizer queQj = 0 para cada j = 1...n.
13 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Exemplo
Uma prancha, de massa uniforme m e comprimento 2b, eencostada em uma parede fazendo um angulo α com o chao. Aextremidade da prancha que esta no chao e ligada a parede poruma corda de massa desprezıvel e inextensıvel. Qual e a tensaona corda?
14 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Princıpio de D’Alembert
Segunda lei de Newton:
Fi = pi ⇒ Fi − pi = 0
pi denominada forca inercial ou forca efetiva reversa.
δW =
N∑i=1
(Fi − pi) · δri = 0
Exemplo: prancha
15 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Equacoes de Lagrange
Reescrever a equacao de D’Alembert utilizando as coordenadasgeneralizadas
N∑i=1
pi · δri =N∑i=1
n∑j=1
miri ·∂ri∂qj
δqj
N∑i=1
pi · δri =N∑i=1
n∑j=1
mi
[d
dt
(ri ·
∂ri∂qj
)− ri ·
d
dt
(∂ri∂qj
)]δqj
16 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Equacoes de Lagrange
Sabendo que:
∂vi
∂qj=∂ri∂qj
=∂ri∂qj
ed
dt
(∂ri∂qj
)=∂vi
∂qj
Conseguimos escrever os dois fatores do somatorio como:
N∑i=1
mid
dt
(ri ·
∂ri∂qj
)=
d
dt
(∂T
∂qj
)N∑i=1
miri ·d
dt
(∂ri∂qj
)=∂T
∂qj
17 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Equacoes de Lagrange
Assim, temos que a equacao de D’Alembert reescrita nascoordenadas generalizadas e:
n∑j=1
{[d
dt
(∂T
∂qj
)− ∂T
∂qj
]−Qj
}δqj = 0
Dividindo Qj em forcas conservativas Q(c)j e forcas
nao-conservativas Q(nc)j , podemos dizer que as forcas
conservativas sao o gradiente de um campo escalar potencialV , assim:
F(c)i = −∇V ⇒ Q
(c)j = −
n∑i=1
∇V · ∂ri∂qj
= −∂V∂qj
18 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Equacoes de Lagrange
Algumas forcas nao-conservativas que dependem da velocidadee da posicao podem ser reescritas como:
Q(nc)j =
d
dt
∂V
∂qj− ∂V
∂qj
Introduzimos esses termos na equacao D’Alembert e obtivemosa seguinte expressao:
n∑j=1
{[d
dt
(∂(T − V )
∂qj
)− ∂(T − V )
∂qj
]−Qj
}δqj = 0
19 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Equacoes de Lagrange
Como qj sao todos independentes podemos dizer que:
d
dt
(∂(T − V )
∂qj
)− ∂(T − V )
∂qj= Qj
Define-se entao a Lagrangiana do sistema e a equacao deLagrange
L = T − V ;
d
dt
(∂(L)
∂qj
)− ∂(L)
∂qj= Qj
20 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Dissipacao de Rayleigh
Utilizando do conhecimento da modelagem de atrito viscoso eoutras forcas dependentes da velocidade, podemos encontraruma energia de dissipacao D tal que:
Q(nc)j = −∂(D)
∂qj
Assim, na equacao de Lagrange
d
dt
(∂L
∂qj
)− ∂L
∂qj+∂D
∂qj= Qj
21 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Exemplos
Considere uma partıcula de massa m, presa a uma corda demassa desprezıvel, que e deslocada de sua posicao de equilıbriode um angulo θ em relacao ao eixo vertical, conforme mostra afigura abaixo, e e solta neste ponto. Encontre a Lagrangeana eas equacoes de movimento do sistema.
22 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Exemplos
Considerando a modelagem de um alto-falante mostradaabaixo, determine as equacoes dinamica que regem o sistema.
23 / 24
MecanicaLagrangiana
Joao V. C.Fontes
ConceitosFundamentais
FormulacaoLagrangiana
Princıpio doTrabalho Virtual
Princıpio deD’Alembert
Equacoes deLagrange
Exemplos
Obrigado pela atencao!!
Download dos arquivos no link:bit.ly/lagrangE
Qualquer duvida entre em contato! :[email protected]
24 / 24