Geometria y trigonometria aplicadas

T o s h i b a

A r q . R o b e r t o S a l d i v a r

O l a g u e .

C é d u l a P r o f e s i o n a l

N o . 2 5 3 8 1 5 0 i n s c r i t a a

f o j a s 1 6 4 - 0 1 d e l l i b r o

A 2 5 3 D . G . P . d e l a

S . E . P . M é x i c o .

G r a d u a d o e n I C S ,

E s c u e l a d e

A r q u i t e c t u r a , S c r a n t o n

P e n n s y l v a n i a , U S A . 1 9 7 6

T i t u l a d o e n

A r q u i t e c t u r a e n e l

I n s t i t u t o T e c n o l ó g i c o

d e Z a c a t e c a s , M é x i c o

M a y o d e l 2 0 1 3

[email protected]

0 1 . 4 9 2 . 9 2 . 7 . 6 2 . 9 5

Z a c a t e c a s M é x i c o ,

M é x c o [ E s c r i b i r e l

n ú m e r o d e f a x ]

ROBERTO

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA SIMPLIFICADAS PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA

mailto:[email protected]

Arquitecto Roberto Saldivar Olague, Cédula Profesional 2538150, fojas-164-01 del libro A253-DGP.SEP.MX GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA APLICADA FACIL E INTERESANTE PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA C O M P I L A C I O N.

2

Geometría y Trigonometría

G&T

GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA SIMPLIFICADAS PARA

ESTUDIANTES DE

PREPARATORIA Y ARQUITECTURA.

A r q u i t e c t o R o b e r t o S a l d i v a r O l a g u e

Cédula Profesional No. 2538150 fojas 164-01 libro A253

Graduado en ICS Scranton Pa, USA, Escuela de Arquitectura, 1976.-

Titulado en el Instituto Tecnológico de Zacatecas, Arquitectura, 1992.

Compilación de las materias de Geometría y Trigonometría de las Instituciones anteriores

Y de G.M. Bruño y de El Instituto de Ciencias de Zacatecas 1962.-Simplificadas por el Autor.


3

INDICE.-

GEOMETRÍA.-

RECTAS Y ANGULOS…………………………………………………………………. 2

FIGURAS PLANAS……………………………………………………………………… 9

EL TRIANGULO…………………………………………………………………………. 12

EL CIRCULO…………………………………………………………………………….. 20

TRIGONOMETRIA.-

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS……………………………………………………31

TABLAS TRIGONOMETRICAS……………………………………….………………..39 SOLUCION DE TRIANGULOS…………………………………………………………46

TRIANGULOS OBLICUOS…………………………………………………………….. 51

MEDICIONES……………………………………………………………………………. 59

MEDICION DE SUPERFICIES PLANAS……………………………………………… 59

EL TRIANGULO………………………………………………………………………….. 59

EL CUADRILATERO…………………………………………………………………….. 60

EL CIRCULO………………………………………………………………………………63

POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………….68

LA ELIPSE…………………………………………………………………………………..69

MEDICION DE SOLIDOS………………………………………………………………….73

EL PRISMA Y EL CILINDRO……………………………………………………………..73

LA PIRAMIDE Y EL CONO……………………………………………………………….75

EL TRONCO DE UNA PIRAMIDE O CONO…………………………………………….77

LA ESFERA…………………………………………………………………………………80


4

EL ANILLO CILINDRICO…………………………………………………………………..81

PROYECCIONES…………………………………………………………………………..84

FIGURAS SIMETRICAS Y SIMILARES…………………………………………………86

GEOMETRIA.-

1. Geometría es la rama de las matemáticas que trata de las propiedades de las líneas,

ángulos, superficies y volúmenes.

RECTAS Y ÁNGULOS

2. Un punto indica única posición. No tiene ni longitud, anchura, ni espesor.

.

3. Una línea tiene una sola dimensión: longitud.

4. Una línea recta, Fig. 1, que es una unidad no cambia su sentido, durante toda su

longitud. Una línea recta es también frecuente llamarla recta.

5. Una línea curva, Fig. 2, cambia de dirección en cada punto.

6. Línea quebrada, es un línea que cada tramo, Fig. 3 cambian de dirección en cada

tramo que la compone.

7. Las líneas paralelas son las que son igualmente distantes el uno del otro a lo largo de

toda su longitud, ambas líneas siendo consideradas indefinidas en extensión. Cuando

cada punto de una línea es la misma distancia FIG-4 de otra línea (o de superficie) se dice

que está es paralela a la línea (o superficie).

8. Una línea es perpendicular a otro cuando se encuentra con esa línea no se inclina

hacia ella a ninguno de sus lados, Fig. 5.


5

9. Una línea horizontal es un perpendicular toda El hasta el horizonte, o el nivel de agua,

Fig. 6.

10. Una línea vertical, Fig. 6, es una línea perpendicular a una línea horizontal; por

consiguiente, tiene la dirección de una plomada o a plomo con la Horizontal, o a 90

grados con la horizontal.

11. Cuando dos líneas se cruzan o se cortan entre sí, como en la Fig. 7,

se dice que se cruzan, y el punto

Una en la que se cruzan se denomina punto o intersección, como en A.

12. Un ángulo, Fig. 8, Es la apertura entre dos líneas que se cruzan o

cumplir; el punto de reunión es llamada es llamado vértice del ángulo.

13. A fin de distinguir una línea de otra, desde sus puntos se dan si se trata de una línea

recta, y como muchos más que se consideren necesarios si es una línea rota o curvada.

Por lo tanto, en la Fig. 9, la línea A B significaría la línea recta comprendida entre los

puntos A y B. Del mismo modo, la línea recta entre C y D se llamaría la línea CD. La línea

quebrada formada por las líneas AB y BD se llamadas líneas discontinuas ABD o DBA,


6

según el punto donde comienza. La línea C D puede ser considerada como una sola línea

o como compuestos de dos líneas CB y BD.

BD puede ser considerado como CB extendido, en cuyo caso sería

llamado CB producto de D, o, simplemente, CB 'producida. Del mismo modo, CB es DB

producido. Una línea, sin embargo, no puede decirse que es otra línea produce, a menos

que sea una extensión de la línea en una dirección constante; A B no puede ser referido

como CB produce o produce como DB.

14. Distinguir los ángulos, nombrar un punto en cada línea y el punto de su intersección, o

vértice del ángulo. Por lo tanto, en la Fig. 9, el ángulo formado por las líneas AB y CB

se llama el ángulo ABC o el ángulo ACB, la letra al vértice se coloca entre los otros dos.

El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo ABD o DBA el vértice se

coloca entre los otros dos. El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo

ABD o DBA.

Cuando un ángulo se encuentra solo de modo que no puede ser confundido

para cualquier otro ángulo, sólo la letra del vértice se necesita;

Por lo tanto, el ángulo E, Fig. 20, el ángulo B ', Fig. 21, etc.

15. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común se llaman ángulos

adyacentes. Los ángulos ABC y ABD, Fig. 9, son ángulos adyacentes.


7

16. Cuando una línea se encuentra con otra de modo que los ángulos adyacentes

formados son iguales, como AB C y ABD, Fig. 10, los ángulos D se denominan ángulos

rectos.

17. Un ángulo agudo es menor que un ángulo recto. A B C, Fig. 11, es un ángulo agudo.

18. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto. A 5D, Fig. 12, es D un ángulo

obtuso.

19. Cuando dos rectas se intersecan o cortan forman cuatro ángulos sobre el punto de

intersección. Por lo tanto, en la Fig. 13, las líneas A B y CD, que se cortan en el punto 0,

forman cuatro ángulos BOD y DOA, AOC y COB sobre el punto O. Los ángulos que se

encuentran en el mismo lado de una línea recta, como DOB y DOA son ángulos

adyacentes. En la figura 13 los ángulos que se encuentran uno frente al otro se llaman y

se llaman opuestos.


8

Ángulos. Por lo tanto, AOC y D08, también DOA y BOC, son ángulos opuestos.

20. Cuando una línea recta corta a otra recta línea, como en la Fig. 13, los ángulos

opuestos son iguales. Por lo tanto, DOB = AOC and DOA = BOC.

21. Cuando una línea recta se reúne con otra línea recta en un punto entre sus extremos,

la suma de los dos adyacentes ABD and ABC, Fig. 14, los dos ángulos rectos son iguales.

22. Si una serie de líneas rectas en el mismo lado de una línea dada se encuentran

directamente en el mismo punto, la suma de todos los ángulos formados es igual a dos

ángulos rectos. Entonces en la Fig. 15, COB + DOC + EOD + FOE + AOF son iguales a

dos ángulos rectos.

23. si una línea recta interseca o corta a otra línea recta, de modo que los ángulos

adyacentes sean iguales, las líneas se dice que son perpendiculares entre sí y en tal

caso, se forman cuatro ángulos rectos sobre el punto de intersección. Por lo tanto, en la

Fig. 16, BOC, COA, AOD, son ángulos rectos. A partir de este se ve que cuatro ángulos

rectos son todo lo que se puede formar alrededor de un punto dado.


9

24. A través de un punto dado cualquier número de líneas rectas se puede dibujar; y la

suma de todos los ángulos formados sobre el punto de intersección son iguales a cuatro

ángulos rectos. Por lo tanto, en la Fig. 17, HOF + FOC + COA + AOG +GOE + EOD +

DOB + BOH son igual a cuatro ángulos rectos.

Ejemplo.- en un volante con 12 brazos que parten de un ángulo recto y que se incluyen

entre las líneas centrales a los dos brazos adyacentes, y si estos brazos están espaciados

por igual, cuantos ángulos rectos forman?

Solución.- Puesto que hay 12 brazos hay 12 ángulos. La suma de todos los ángulos es

igual a cuatro ángulos rectos.

25. “A “una línea perpendicular trazada desde un punto por encima o por debajo de una

recta dada es la más corta distancia desde este punto de la línea, o a línea perpendicular

Por lo tanto, si A, Fig. 18, es el punto y C D la línea dada entonces la línea perpendicular

A B es la distancia más corta desde A hacia la línea C D.


10

26. Un ángulo se dice que es el complemento de otro cuando la suma de los dos ángulos

es un ángulo recto.

En la Fig. 17, si FE es perpendicular a A B, F O H es el complemento de B O H y B O H

es el complemento de F O H. Cuando se hace referencia a los dos ángulos se dice que

son complementarias. Por lo tanto, B O H y F O H son ángulos complementarios.

27. Cuando la suma de dos ángulos es igual a dos ángulos rectos, los ángulos se dice

que son suplementarios, y cada uno es el complemento del otro. En la figura 14, ABC es

el suplemento de ABD y AB D es el suplemento de ABC.

Los ángulos adyacentes se forman por dos líneas de intersección, como en la Fig. 13, son

suplementarios. Si un lado de un ángulo, como BD, Fig. 14, se produce a través del

vértice, el ángulo entre el lado producido y el otro lado, por ejemplo el ángulo CBA, es el

suplemento del ángulo original DBA.

28. Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y ambos los lados correspondientes se

encuentran en la misma dirección o en direcciones opuestas, son iguales.

Por lo tanto, si el lado A B, Fig. 19, es paralela al lado DE, y si el lado BC es

paralela al lado EF, entonces el ángulo E es igual al ángulo B Pero si uno de los lados o

un ángulo tiene la misma dirección y el otro en la dirección opuesta al lado

correspondiente del ángulo los ángulos son suplementarios


11

Por lo tanto, en la figura 20 GH es paralela a y está en la misma dirección que DE HI y es

paralelo a, pero se encuentra en la dirección opuesta a EF, por lo tanto, el ángulo de GHI

es suplemento de DEF.

EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR.

1. En una polea con cinco brazos, ¿qué parte de un ángulo recto está incluido

entre las líneas centrales de los dos brazos?

Respuesta: ¿De un ángulo recto.

2. Si una línea recta se encuentra con otra línea recta a fin de formar una

ángulo igual a 12/3 de ángulo recto, que parte de un ángulo recto hace su adyacente a un

ángulo igual?

Respuesta. De un ángulo recto

3. si una serie de líneas rectas, se reúnen una recta dada en un punto dado, siendo todos

del mismo lado de la línea dada, a fin de formar seis ángulos iguales, ¿qué parte de un

ángulo recto está contenido en cada ángulo?

Respuesta; 1/2 de un ángulo recto.

FIGURAS PLANAS.-

30. Una superficie sólo tiene dos dimensiones: largo y ancho, ó longitud y amplitud, Una

superficie plana generalmente es llamada plano, es una superficie plana.


12

Si una regla se coloca sobre una superficie plana, cada punto a lo largo del borde de la

regla va a tocar la cara de la superficie no importa en qué dirección este.

31. Una figura plana es en cualquier parte una superficie plana delimitada por líneas

rectas o curvas.

32. Cuando una figura plana está limitada por líneas rectas solamente, se llama un

polígono. Las líneas que limitan se llaman los lados, y la línea quebrada que delimita él (o

toda la distancia alrededor) se llama el perímetro del polígono

Los ángulos formados por los lados son llamados los ángulos del polígono. Por lo tanto,

A B C D E, Fig. 21, es un polígono. A B, B C. etc., son los lados; E A B, A B C, etc., son

los ángulos; y la línea discontinua o quebrada A B C D E A es el perímetro.

33. Los polígonos se clasifican de acuerdo con el número de

sus lados: Uno de los tres lados se denomina triangulo, uno

de cuatro lados, un cuadrilátero uno de cinco lados, un pentágono uno de los seis lados,

un hexágono; uno de los siete lados, un heptágono; uno de ocho lados, un octágono; uno

de los diez lados, un decágono; uno de doce lados, un dodecágono; etcétera.

34. polígonos equiláteros son aquellos en que los lados son todos iguales.

Por lo tanto, en la Fig. 22, AB = BC = CD = DA; por lo tanto, ABCD es un

polígono equilátero.

35. Un polígono equiángulo es uno en el que todos los ángulos son iguales. Por lo tanto,


13

en la Fig. 23, el ángulo A = ángulo B = ángulo D = ángulo C; por lo tanto, ABDC es un

polígono equiángulo.

36. Un polígono regular es uno en el cual todos los lados y todos los ángulos son iguales.

Por lo tanto, en la Fig. 24, AB = BD = DC = CA, y el ángulo A = ángulo B = ángulo D =

ángulo C; por lo tanto, A RDC es un polígono regular.

37. Algunos polígonos regulares se muestran en la Fig. 25.

Fig. 25

38. La suma de todos los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a dos ángulos

rectos, multiplicado por un número que es dos menos que el número de lados del

polígono. Por lo tanto, ABCDEF, Fig. 26, es un polígono de seis lados (hexágono), y la


14

suma de todos los ángulos interiores de A + B + C + D +

E + F = 2 ángulos rectos multiplicado 4 (= 6-2), o 8 ángulos rectos.

Ejemplo.-Si la figura de arriba es un hexágono regular (tiene igual lados y ángulos

iguales), ¿cuántos ángulos rectos hay en cada ángulo interior?

Solución. 6 - 2 = 4. Dos ángulos rectos x 4 = 8 ángulos rectos = el número total de

ángulos rectos en el polígono; y como hay ángulos iguales, que tienen 8 -: - 6 = 11/2

ángulos rectos = el número de ángulos rectos en cada ángulo interior.

EL TRIÁNGULO

39. Los triángulos se denominan según sus lados como isósceles, equiláteros y triángulos

escalenos, y de acuerdo con sus ángulos se llaman triángulos rectángulos y triángulos

oblicuos

40. Un triángulo isósceles, Fig. 27, es uno que tiene dos de sus lados iguales


15

FIG. 27

41. Cuando los tres lados son iguales, como

en la Fig. 28, que se llama triangulo equilátero y un triángulo equilátero es también un

triangulo isósceles.

Fig. 28

42. Un triángulo escaleno, Fig. 29, es un triangulo que no tiene dos de sus lados iguales.

43. Un triángulo rectángulo, Fig. 30, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por razones de brevedad, un triángulo

rectángulo es denominado un triángulo rectángulo.

44. Un triángulo oblicuo, Fig. 31, es un triangulo que no tiene ángulo recto.


16

45. La base de cualquier triángulo es el lado sobre el cual el triángulo se supone que se

apoya; cualquiera de los lados puede considerarse como la base. En las Figs. 32, 33 y

34, A C es la base.

46. La altura de cualquier triángulo es una línea trazada desde el vértice del ángulo frente

a la perpendicular a la base, o a la base producida. Por lo tanto, en las Figs. 32 y 33, BD

es la altura de los triángulos A B C

47. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por lo

tanto, en la Fig. 34, AB = BC; por lo tanto, el ángulo C = al ángulo A. Por lo tanto, si dos

ángulos de cualquier triángulo son la iguales, el triángulo es isósceles.

En cualquier triángulo isósceles, si una línea perpendicular se dibuja desde el vértice

opuesto al lado desigual, que biseca (o lo corta en mitades) a uno de los lados. Entonces

A C, fig. 34 es el lado desigual del triángulo isósceles ABC; Por lo tanto, la perpendicular

B D desde el vértice opuesto A C biseca A C, o A D = DC


17

En cualquier triángulo isósceles, si una perpendicular parte desde el vértice opuesto a la

lado desigual a ese lado, se divide en dos (recortes en mitades) al lado. Por lo tanto, A C,

Fig. 34, es el lado desigual del triángulo isósceles A B C; entonces la línea BD es

perpendicular desde el vértice opuesto AC y divide CA, o A D = D C.

48. En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos es igual a dos ángulos rectos. Por

lo tanto, en la Fig. 35, la suma de los ángulos en A, B, y C = dos ángulos rectos; es decir,

A + B + C = dos ángulos rectos.

Por lo tanto, si se dan cualquiera de los dos ángulos de un triángulo, el tercero se puede

encontrar restando la suma de los dos ángulos de la suma de dos ángulos rectos.

Supongamos que A + B = 1+7/10 ángulos rectos; entonces, C debe ser igual a 2 - 1+7/10

= 3/10 de un ángulo recto.

49. En cualquier triangulo recto puede haber un ángulo recto, y puesto que la suma de

todos los ángulos es igual a dos ángulos rectos, es evidente que la suma de dos ángulos

agudos deben ser igual a un ángulo recto. Por lo tanto, si en cualquier triángulo un ángulo

agudo es conocido, el otro pueden encontrarse restando el ángulo conocido del ángulo

recto. Por lo tanto, en la Fig. 36, ABC es un triángulo rectángulo, en ángulo recto en C.

Entonces, el ángulo A + B = es un ángulo recto. Si A = 3/7 de un ángulo recto, B = 1- 3/7

= 4/7 de un ángulo recto. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son por lo

tanto ángulos complementarios.


18

50. En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los otros dos lados. Si AB C, Fig. 37, es un triangulo recto

Ángulo recto en B y luego el cuadrado descrito sobre la hipotenusa AC es igual a la suma

de los cuadrados que se describen en los lados AB y BC; En consecuencia, si las

longitudes de la parte AB y BC son conocidos, la longitud de la hipotenusa se puede

encontrar mediante la adición de los cuadrados de las longitudes de los lados AB y BC y,

a continuación, la extracción de la raíz cuadrada de la suma.

O es lo mismo decir; la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma

del cuadrado de los catetos

Ejemplo.- Si A B es igual a 3 metros y B C es igual a 4 metros, cual es el valor de la

hipotenusa?

Solución:

51.- si la hipotenusa y uno de los lados son dados, el otro lado puede ser encontrado

restando el cuadrado del lado dado desde el cuadrado de la hipotenusa y luego restando

la raíz cuadrada del resto.


19

Ejemplo;

Si, a partir de una torre de la iglesia que está a 15 metros de altura, una cuerda se va a

fijar en la parte superior, y la otra parte en el suelo a una distancia de 8,5 metros al suelo

que se supone que debe estar al mismo nivel, cual debe ser la longitud de la cuerda?

Fig.38

Solución: en la fig. 38, AB representa el campanario de 15 metros de altura; C, una

participación de 8,5 metros desde el pie de la torre; y AC, la cuerda. Aquí tenemos un

triángulo rectángulo, en ángulo recto en B, y AC es la hipotenusa.

Solución.-

52. Dos triángulos son iguales cuando los lados de uno son iguales a los lados del otro

triangulo.

53. Dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno son iguales a los ángulos

del otro triangulo. Los lados correspondientes de triángulos semejantes son

proporcionales

Por ejemplo: En los triángulos A B C y a b c, Fig.39, el lado a c es perpendicular al lado A

C, el lado a b es perpendicular al lado A B, y el lado b c es perpendicular al lado B C.


20

Fig. 39

Entonces, el ángulo A = al ángulo “a” y los lados de uno son perpendiculares al otro. De la

misma manera, el ángulo B = al ángulo “b”, y el ángulo C: al ángulo “c”. Los dos triángulos

son, por tanto, semejantes y sus correspondientes lados son proporcionales. Es decir,

cualquiera de los dos lados de un triángulo son entre sí como los dos lados

correspondientes del otro triángulo; o, un lado de un triángulo es el lado correspondiente

al otro lado del primer triángulo que es correspondiente al lado del segundo triangulo. Los

siguientes son ejemplos de muchas proporciones que pueden escribirse. En este caso,

los lados correspondientes de los dos triángulos son los que son perpendiculares entre sí:

A B: B C = a b: b c,

A B: A C = a b: a c,

B C: b c = A B: a b,

A C: a c = B C: b c, etc.

Ejemplo. -Los Lados de un triángulo son 18 centímetros y 21 centímetros, y

la base es de 24 centímetros de largo; ¿cuáles son las longitudes de los lados de un

triángulo semejante cuya base es 8 centímetros de largo?

SOLUCIÓN. –Si Los lados son proporcionales, tenemos las proporciones

24: 8 = 21: x, y 24: 8 = 18: x. En el primer caso podemos leer 24 es a 8 Como 21 es a x,

multiplicamos 8 x 21 y el producto resultante lo dividimos entre 24 y el resultado es x = 7 y

en el segundo caso, hacemos lo mimo y obtenemos como resultado x = 6.

54. Si una línea recta se dibuja a través de dos lados de un triángulo paralelo al tercer

lado, se divide en lados proporcionales. Por lo tanto, en la Fig. 40, la línea D E se dibuja

paralela al lado B C en el triángulo A B C.


21

Fig. 40

Entonces, AD: DB = AE: EC Es de hacerse notar, también, que el triángulo ADE y el

triangulo ABC son triángulos semejantes y sus lados son proporcionales. La proporción

AD: DE = AB: BC es una proporción semejante.

Ejemplo 1.-En la última figura, si AE = 14 y A D = 12, E C= 9, que hace al lado D B igual?

Solución.

De la proporción AD: D B = AE: EC tenemos; 12: DB = 14: 9, de donde D B = 7.7

Ejemplo 2.-La base de un triángulo rectángulo es de 12 centímetros y su

altura de 40 centímetros. ¿Cuánto mide la base de un triángulo 24 centímetros de base?

Solución.-Dado que el triángulo es rectángulo, la longitud del

lado perpendicular es igual a la altura, o 40 centímetros. Al dibujar una línea

paralela a la base, y 24 centímetros por encima de él, el segundo triangulo semejante

encontraremos que el lado correspondiente es igual ó = 40 a 24 o 16 centímetros y la

longitud del a base es la anchura requerida. Por lo tanto, 40: 12 =

16: x o x = 4,8

EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR

1. ¿Cuántos ángulos rectos hay en uno de los ángulos interiores de

un heptágono regular? 1.43 ángulos rectos.


22

2. El ángulo en el vértice de un triángulo isósceles es igual a 0.5 (1/2) de un ángulo recto.

¿Cuánto suman los otros ángulos iguales? 0.75 (3/4)de un ángulo recto.

3. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 0.55 (5/9) de un

ángulo recto. ¿Cuál es el medida del otro ángulo agudo? (4/9) 0.44 de un ángulo recto.

4. Si dos lados de un ángulo recto en un triángulo rectángulo son 52 centímetros

y 39 centímetros de largo, ¿cuánto mide la hipotenusa? = 65 centímetros.

5. Una escalera de 6.5 metros de largo sube a la parte superior de una casa cuando su

desplante es de 2.5 metros. ¿Qué tan alto es la casa, suponiendo que el desplante sea a

nivel del suelo? 6.96 metros.

6. En un triángulo ABC, el lado AB es igual a = 32 centímetros, BC es igual a = 34

centímetros, y A C = 48 centímetros.. Si el AB de un triángulo semejante es de 72

centímetros de largo, cuales son las longitudes de los otros dos lados?

A C: 108 centímetros y B C = 76.5 centímetros.

7. La base de un triángulo rectángulo es de 24 centímetros, y su altura, 72 centímetros.

¿A qué distancia de la parte superior esta el triángulo de 16 centímetros de ancho? a 48

centímetros.

EL CÍRCULO

55. Un círculo, figura. 41, es una figura plana delimitada por una línea curva, llamada

circunferencia, cada punto que esta equidistante del siguiente punto y que es equidistante

de otro punto dentro de la circunferencia llamado centro.

Fig. 41

56. El diámetro de un círculo A B, de la Fig. 42, es una línea recta que pasa por el centro

y termina en ambos extremos de la circunferencia.


23

Fig. 42

57. El radio de un círculo, O A, Fig. 43, es una línea recta trazada desde el centro a la

circunferencia. Es igual en longitud a la mitad del diámetro. El plural de radio es radios.

Todos los radios de cualquier círculo son iguales en longitud.

Fig. 43

58. Un arco de un círculo como a c b, Fig. 44 es cualquier parte de su circunferencia.

Fig. 44

59. Una cuerda es una línea recta que une cualquiera de dos puntos en una

circunferencia; o, es una línea recta que une los extremos de un arco.

en la Fig. 45, la cuerda a e b.

Fig. 45

60. Un segmento de un círculo es el espacio comprendido entre un arco y su cuerda, en la

Fig. 45, la parte del círculo comprendido entre la cuerda a b y el arco a e b que es un

segmento.

61. Un sector de un círculo es el espacio incluido entre un arco y dos radios dibujados en

las extremidades del arco.


24

en la Fig. 46, el espacio incluido entre el arco A B y el radio O A y O B es un sector del

circulo.

Fig. 46

62. Dos círculos son iguales cuando el radio o diámetro de uno es igual al radio o al

diámetro del otro.

Dos arcos son iguales cuando el radio y la cuerda es igual al radio y la cuerda del otro.

63. Si HADBC, Fig. 47, es un círculo ''en el que dos diámetros AB y CD se dibujan en

ángulos rectos entre sí, entonces, A O D, D O B, B O C, y C O A, son ángulos rectos. La

circunferencia es por lo tanto dividida en cuatro partes iguales; cada una de estas partes

se llama un cuadrante.

FIG. 47

64. En la geometría, los ángulos se miden por el número de ángulos rectos, o partes de

un ángulo recto, que contienen; ya que, en el círculo, un ángulo recto intercepta un

cuadrante, un ángulo se mide también por el número de cuadrantes, o partes de de un

cuadrante, que intercepta. La palabra "intercepción", como que aquí se utiliza, significa

que los arcos son cortados por los lados del los ángulos.

65. Un ángulo en el centro se mide por su arco interceptado.

Ejemplo.- Si un círculo se divide en seis sectores iguales, el número de cuadrantes, o

partes de un cuadrante, están contenidos en el ángulo de cada sector?

Solución.- En la Fig. 48, A C F B D E es un círculo dividido en seis sectores iguales. La

suma de todos los cuadrantes en el círculo es 4.


25

Fig. 48

Por lo tanto, 4 / 6 = 0.66 (2/3) de un cuadrante en cada Sector.

66. Un ángulo inscrito es uno cuyo vértice se encuentra en la circunferencia de un círculo,

y cuyos lados son cuerdas.

y se mide por una mitad del arco interceptado, en la Fig. 49, A B C es un ángulo inscrito, y

se mide por la mitad del arco la A D C.

F1G.49

Ejemplo.- Si en la figura del arco ADC es igual 2/5 de la circunferencia, ¿cuál es la

medida del ángulo inscrito A B C?

Solución.- el ángulo es un ángulo inscrito, que se mide por la mitad del arco interceptado,

o de la circunferencia. toda la circunferencia contiene cuatro cuadrantes; de ahí. 4 X 1/5 =

4/5 de un cuadrante o 4/5 de un ángulo recto. Por lo tanto, la medida del ángulo A B C es

4/5 de un cuadrante.

67. Si un círculo se divide en dos mitades, cada medio se llama un semicírculo, y cada

media circunferencia se denomina semicircunferencia.

68. Cualquier ángulo que se inscribe en un semicírculo e intercepta a una

semicircunferencia, como A B C o A D C, Fig. 50, es un ángulo recto, ya que es medido

por la mitad de una semicircunferencia que es, un cuadrante.

Fig. 50


26

69. Un polígono inscrito es uno cuyos vértices se encuentran en la circunferencia de un

círculo, y cuyos lados son acordes, como A B CDE, Fig. 51.

FIG. 51

7 0. Si, en cualquier círculo, se dibuja un radio perpendicular a cualquier cuerda, se

divide (recorta en mitades) la cuerda a la línea que biseca se le llama bisectriz. Por lo

tanto, si el OC radio, Fig. 52, es perpendicular al acorde AB, AD = DB

Fig. 52

Ejemplo.-Si un pentágono regular está inscrito en un círculo y un radio se traza

perpendicular a uno de los lados. ¿Cuáles son las longitudes

de los lados, si el perímetro del pentágono es de 27 centímetros?

Solución.-Un pentágono tiene cinco lados, y ya que es un pentágono regular, todos los

lados tienen la misma longitud;

el perímetro del pentágono, que es la distancia alrededor de ella, es igual a la suma de

todas las lados, o 27 centímetros. Por lo tanto, la longitud de un lado = 27 / 5 = 5.4

centímetros. Y puesto que el pentágono es un pentágono inscrito, sus lados son cuerdas

y como un radio perpendicular a una cuerda lo biseca o divide, tenemos

5.4 / 2 = 2.7 centímetros de longitud en cada una de los lados, de cortados

por un radio perpendicular a la mismo.

71. Si una línea recta se dibuja perpendicular a cualquier cuerda en su punto medio, esta

debe pasar a través del centro del círculo.

A través de los tres puntos que no están en la misma línea recta, una circunferencia se

puede dibujar. Sean A, B y C, Fig. 53 se dibujaran tres puntos. Al unirse A y B, y B y C,

por las líneas rectas. Y en el punto medio de AB, se dibuja H K perpendicular a; A B; en el

punto medio de BC y se dibujar EF perpendicular a BC. Estas dos líneas perpendiculares

se cortan en O.


27

Todos los puntos en H K son igualmente distantes de A y B, y todos los puntos en E F son

igualmente distante de B y C; su intersección O es igualmente distante de A, B, y C.

Luego, con O como centro, y OB como un radio, que describe al círculo; este pasara a

través de A, B, y C.

Fig. 53

72. Una tangente a un círculo es una recta línea que toca el círculo en un punto

solamente; y es siempre perpendicular al radio señalando a ese punto. Por lo tanto, en la

Fig. 54, A B se dibuja la perpendicular al radio O E en su extremidad E es la tangente del

circulo. Si una recta es perpendicular a un radio en su extremidad, también es tangente al

círculo. Por lo tanto, en la Fig. 54, si AB es perpendicular al radio OE en E, AB es

tangente al círculo.

Fig. 54

7 3. Si dos círculos se cruzan entre sí, la línea que une sus centros bisecta en ángulo

recto a la línea que une los dos puntos de intersección.

Si los dos círculos, cuyos centros son 0 y P, Fig. 55, se cortan en A y B, la línea OP

bisecta a los ángulos rectos en la línea A B; o AC = BC, AB is entonces perpendicular a

OP.

Fig. 55


28

74. Un círculo se dice que es tangente a otro círculo cuando se tocan en un punto

solamente, como en la Fig. 56. Este punto es llamado el punto de tangencia, o el punto de

contacto.

FIG. 56

75. Cuando dos o más círculos son descritos desde el mismo centro, como en Fig. 57,

que son los llamados círculos concéntricos.

Fig. 57

76. Si, desde cualquier punto de la circunferencia de un círculo, se dibuja una

perpendicular sobre un diámetro dado, esta perpendicular será una media proporcional

entre las dos partes en que se divide el diámetro.

Si A B, Fig. 58, es el diámetro dado y C cualquier punto de la circunferencia,

entonces la perpendicular C D es una línea proporcional entre A D y D B, o

FIG. 58

Ejemplo. si HK = 30 centímetros y IB = 8 centímetros, ¿cuál es el diámetro del círculo,

siendo HK perpendicular a AB?


29

Solución.-

Ejemplo 2.-El diámetro del círculo A B es 36.12 centímetros y la distancia BI es 8

centímetros. IA es igual a 36.12 y la distancia BI es 8 centímetros, cual es la longitud de la

línea HK?

Solución.- como el diámetro del círculo es 36.12 centímetros, y como B! es 8

centímetros, IA es igual al 36.12 centímetros - 8 =28.12 centímetros. Por lo tanto, B I : IH

= IH : IA o también;

8 : IH = IH : 28.12 entonces tenemos;

EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR

1. Es un círculo se divide en diez sectores iguales, ¿qué parte de un cuadrante está

contenida en el ángulo de cada sector?

Respuesta. 0.40 un cuadrante.

2. Un ángulo inscrito en un círculo intercepta una cuarta parte de la circunferencia. ¿Cuál

es el tamaño del ángulo? Respuesta: 0.50 De un ángulo recto.

3. El perímetro de un octógono regular inscrito es de 100 centímetros de largo.

Si el radio se traza perpendicular a uno de los lados, ¿cuáles son las longitudes de las

dos partes del lado?

Respuesta. 6.25 centímetros.

4. Si, en la Fig. 58, el diámetro AB = 32.5 centímetros y la distancia

BI es de 8 centímetros, ¿cuál es la longitud de la cuerda HK?

Respuesta. 28 centímetros.


30

5. En la Fig. 58, si la distancia BI es 6 centímetros y H K 18 centímetros.

¿Cuál es el diámetro del círculo? Respuesta: 19.5 centímetros.

TRIGONOMETRÍA

77. Trigonometría es la rama de las matemáticas que trata de la solución de triángulos.

Cada triángulo tiene seis partes: tres lados y tres ángulos. Si se dan cualquiera de las

partes, siendo uno de ellos un lado, los otros se pueden encontrar.

El proceso para encontrar las partes desconocidas de las partes conocidas se llama la

solución del triángulo.

78. En la trigonometría, la circunferencia de cada círculo se supone que se divide en 360

partes iguales, llamado grados;

cada grado se divide en 60 partes iguales, llamado minuto; y cada minuto se divide

nuevamente en 60 partes iguales, llamado segundos. Grados, minutos y segundos se

denotan

por los símbolos °, ',”. Por lo tanto, la expresión 37 °14 '44 ", se lee 37 grados 14 minutos

44 segundos.

Un grado es la 360va.parte o 1/360 de cualquier circunferencia, se deduce que la longitud

de un arco de un grado será diferente en círculos de diferentes diámetros, pero la

proporción de la longitud de un arco de un grado en toda la circunferencia siempre será el

mismo, o sea 1/360 de la circunferencia.

Por lo tanto, en dos círculos conocida la longitud de un arco de 1° será proporcional a los

dos radios.

Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1

grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud

del arco CD como el radio OB es al radio OD;

Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1

grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud

del arco CD como el radio OB es al radio OD; o,

Arco: AB: arco CD = OB : OD.


31

Ejemplo.-Si el arco CD = a 2 centímetros, y el radio OD = 5 centímetros, y el radio O B =

9 centímetros, ¿cuál es la longitud del arco AB?

Solución.-

79. En trigonometría, los arcos de círculos se utilizan para medir ángulos. En todos los

ángulos se supone que tienen sus vértices en el centro del circulo Fig. 60, un lado del

triangulo gira a la derecha del punto O coincidiendo con la línea horizontal del diámetro

OB.

Fig. 60

El punto B en el arco es la partida en la medición de un ángulo, el ángulo se supone que

aumentará moviéndose alrededor de la circunferencia en la dirección indicada por la

flecha hasta que el número de grados, minutos y segundos en el ángulo sean medidos

por afuera del arco.

Supongamos que se detiene en el punto H; dibujando OH, y HOB será el ángulo. Si K es

el punto de parada, KOB será el ángulo.

En la práctica, los ángulos son medidos más convenientemente mediante el uso de un

transportador, que es generalmente graduado en grados y medios grados, siendo los

minutos estimados a ojo.

80. un cuadrante es una cuarta parte de un círculo, el número de grados en un cuadrante

es una cuarta parte de 360°, o

90°. Por lo tanto, un ángulo recto siempre será de 90°.

Ejemplo.- La Tierra gira completamente alrededor de su eje una vez cada

día; a través de cuántos grados da vuelta en l hora?

SOLUCIÓN .-- En 1 día hay 24 horas, y puesto que las vueltas de la tierra son de

360° en 24 horas, en 1 hora se convertirá en 360°/ 24 =15°. Grados.

81. En la suma de dos ángulos juntos, se agregan segundos a segundos, minutos a

minutos, y grados a grados; así,


32

También, restando dos ángulos, se restan segundo de segundos, minutos de minutos, y

grados de grados.

EJEMPLOS PARA PRACTICAR.-

1.- Sumar 43° 0 '59 "a 10 ° 59' 40". Respuesta. 54° 0´ ‘39”.


33

2.- De 180°12´ 20 "restar 3° 12 '56". Respuesta. 176 ° 59´ 24”.

3.-De 84° reducir a 83°14´ 10 ", y al resultado sumar 14' 10".

Respuesta. 1 °

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.-

82. Una función de una cantidad es otra cantidad dependiendo de la primera para su

valuación. La circunferencia de un círculo, por ejemplo, está en función del diámetro,

porque la longitud de la circunferencia depende de la longitud del diámetro.

83. En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 61, el ángulo recto en C, el tamaño de el ángulo

A y consecuentemente, también del ángulo B dependen de la relativa longitud de los

lados A C, A B, y B C, por consiguiente, Ninguno de los lados puede ser cambiado sin

alterar la longitud de al menos otro lado, y en consecuencia cambiar los ángulos A y B, el

ángulo C restante es un ángulo recto. Por esta razón los lados están en función de los

ángulos.

Fig.- 61

84. En la Fig. 62, A C B, es triángulo, recto con ángulo en C. Los lados

A B y A C se han producido por B 'y C', respectivamente, siendo B ' C' perpendiculares a,

A C ' y por lo tanto paralela a BC. Los dos triángulos A C B, y A C´B´ son similares porque

sus correspondientes ángulos son iguales; por lo tanto, sus correspondientes

lados son proporcionales, y tenemos las proporciones siguientes:

Fig.- 62


34

Es evidente que, no importan las longitudes de los lados de estos triángulos semejantes

puedan ser, las relaciones

Siempre tendrá el mismo valor, siempre y cuando los ángulos sigan siendo los mismos.

Por lo tanto, si supiéramos los valores de todos los ángulos, podríamos obtener a

cualquier ángulo.

Supongamos que el radio BC/AB sea conocido por ser 1/3 BC/AB = 1/3 AB.

Si decimos AB, 1, entonces BC = 1/3 y el ángulo puede ser construido como se muestra

en la Fig. 63

Si tomamos A B como un radio y describimos un círculo; dibujando los dos diámetros D H

y E F con los ángulos rectos entre sí. Dejemos A G = 1/3 (A B es igual a 1) y dibujamos G

B paralelo a D C, que corta el círculo en B, a continuación, dibujamos A B. Vemos que B

A C es el ángulo requerido, ya que BC = AG = 1/3 AB.

De una manera similar podemos construir un ángulo cuando el radio BC/AC o cuando

BĆ´/ AC´ se conocen.

Fig. 63

Suponiendo que el radio es 2/5 y que AC se toma igual a 1 grado con AC como radio,

Fig. 64, describir un circulo y levantar una línea perpendicular a C. Hacer CB = 2/5 (AC

siendo 1 grado) y dibujamos AB. Entonces BAC, es el ángulo requerido.


35

Fig. 64

85. Supongamos, en la Fig. 62, que las distancias A C 'y B' C ' sean conocidas, pero que

fuesen tan grandes que era imposible contenerlos en un dibujo

de manera que A B ' no podría dibujarse y medirse; también, que sería

necesario conocer la dirección de la línea A B', y el ángulo A. Por supuesto, un dibujo

podría hacerse a una escala reducida; de tal forma que el ángulo A se pudiera medir con

un transportador; y la longitud de B 'podría ser medida con una escala.

Los resultados obtenidos de esta manera no serían, en general, muy precisos; el método

sería largo y muy incómodo,

y las instalaciones para hacer esto podrían no estar a la mano.

Si, sin embargo, tuviéramos un cuadro con los valores de la relación BC / AC para todos

los ángulos, podríamos encontrar el valor de la relación B'C' / AC' (que es igual al valor de

la relación AC / AC), y luego revisando en la tabla, encontrar qué ángulo que tuviera este

valor. Este ángulo podría ser el ángulo A.

La longitud de AB´ puede encontrarse sumando el cuadrante A C´ con el cuadrante de,

B´ C´ y extrayendo la raíz cuadrada (ver el No. 50);

Una manera más fácil sería buscar en una tabla de valores los valores de la relación BC /

AB y dividir B'C' por la proporción correspondiente al ángulo A.

Representando los valores del radio BC/AB por R, tenemos:

BC/AB = B¨C´/A B´= R o AB´= BĆ´/R,

De lo anterior, se percibe que las relaciones mencionadas son muy importantes;

constituyen, de hecho, los fundamentos de la trigonometría. Estas razones, junto con

varias otras aún no descritas, se llaman las funciones trigonométricas.

86. Hay ocho funciones trigonométricas, las cuatro principales son el seno, el coseno, la

tangente, y la cotangente,

Las otras cuatro son la secante, la cosecante, verseno y coverseno.

En algunas obras en la trigonometría y la ingeniería, las funciones trigonométricas se

tratan como líneas, mientras que en otras se tratan como ratios. Debemos por lo tanto,

definir las dos maneras o formas, por lo que el estudiante no tendrán dificultad en la

comprensión de cualquiera de los métodos. Estas funciones se definen como sigue.


36

87. En cualquier triángulo rectángulo, como O C A, Fig. 65, en ángulo derecho

en C, teniendo en cuenta el ángulo de O, el lado A C se llama el lado opuesto el lado O C,

el lado adyacente; O A es

Por supuesto, la hipotenusa. Del mismo modo O C, el lado opuesto y lado A C

es el lado adyacente para el ángulo A.

Fig. 65

La relación de la lado opuesto a la hipotenusa se llama seno; es decir, para el ángulo A O

C,

Que es igual a AC, cuando se toma como igual a 1. En otras palabras, si un círculo cuyo

centro es O se describe con un radio de unidad de longitud, la perpendicular se deja caer

desde el punto en un lado del ángulo (cuyo vértice está en el centro del círculo) corta el

círculo hacia el otro lado es el seno.FIG. 65

88. El coseno de un ángulo, como O, Fig. 65, es la relación entre el lado adyacente a la

hipotenusa; por lo tanto,

Que es igual a OC, cuando el radio es igual a 1. En otras palabras, el coseno es la

distancia desde el pie del seno al centro del círculo, cuando el radio es la unidad.

89. La tangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es la relación del lado opuesto al lado

adyacente; por lo tanto,

Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, si la tangente se dibuja en el extremo derecho

del diámetro horizontal de un círculo (Descrito con una unidad de radio), que forma uno de

los lados de un ángulo, y el otro lado del ángulo se prolonga a su encuentro, la distancia

interceptada por los dos lados del ángulo en el perpendicular se llama la tangente de ese

ángulo.


37

90. La cotangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es el proporción del lado adyacente

al lado opuesto; por lo tanto,

Fig. 66

La cotangente está representado por línea EF, que es tangente al círculo en E, por los

triángulos F E O y D B O que son similares, ya que ambos tienen un ángulo recto; los

ángulos E F O y D O B son iguales (ver Art. 28), y los ángulos F O E y O D B también son

iguales, son complementos del mismo ángulo D O B (ver arts. 26 y 49). Por lo tanto.

Pero E O es el radio, que asumimos que sea 1 y es la

cotangente de D O B; de ahí,

Cotangente ,

cuando el radio OE = 1. En otras palabras, si una tangente es dibujada desde el extremo

superior de un diámetro vertical de un círculo, cuyo diámetro horizontal forma un lado de

un ángulo, y el otro lado del ángulo se produce hasta que se encuentra

esta tangente, la distancia interceptada en esta tangente entre la extremidad del diámetro

vertical y la línea producida

se llama la cotangente de ese ángulo, cuando el radio = 1.

91. La secante de un ángulo es la relación de la hipotenusa al lado adyacente; por lo

tanto, en referencia a la Fig. 67,

Cuando el radio O B = 1. En otras palabras, la secante es la línea comprendida entre el

punto de intersección de la tangente con el lado inclinado del ángulo y el centro de un

círculo, cuando el radio es igual a 1. OD es también la secante en la Fig. 66.

92. La cosecante es la relación de la hipotenusa al lado opuesto. Por lo tanto, en

referencia a la Fig. 67,


38

Pero, desde O R N y O C A son triángulos rectos semejantes. el lado O R es

correspondiente a lado A C,

Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, la

cosecante es la línea comprendida entre el punto de intersección de la cotangente con la

cara inclinada del ángulo y el centro de un círculo, cuando el radio = 1. Fig.66, O F es la

cosecante.

93. El verseno y coverseno no se tratan generalmente como relaciones.

El verseno se define como 1 menos el coseno. En la Fig. 67,

Fig. 67

verseno = 1 - coseno = 1- = 1- OC=CB, cuando el radio O A = 1.

El verseno podría ser definido como la proporción de CB de OA (Fig. 67), siendo C B en

todos los casos la distancia del pie C del seno a la extremidad derecha B del diámetro

horizontal. El coverseno es igual a

1- seno = 1- = 1- AC = 1 – EO = ER, cuando el radio OA es igual a 1.

94. Las cuatro funciones últimamente de finidas son poco utilizado

excepto para fines especiales; si es necesario, pueden ser fácilmente

encontradas en un cuadro en el que los valores de los senos, cosenos,

tangentes, y cotangentes; por lo tanto, vamos a tratar aquí sólo las cuatro funciones

primeramente nombradas.

En el art. 87, el seno fue definido como o igual

a en el Articulo 92, la cosecante fue definida como

se nota que estas dos relaciones son reciprocas

una de la otra. . En otras palabras, la cosecante = 1/seno, y para


39

encontrar la cosecante de un ángulo todo esto es necesario dividirlo entre 1 por el seno

del ángulo

De esto se deduce que la división por el seno es el mismo que multiplicar por la

cosecante.

Del mismo modo, la secante es el recíproco del coseno; esto es,

secante = 1/coseno. Por lo tanto, si es necesario encontrar la secante de un cierto

ángulo, la secante puede encontrarse dividiendo 1 por el coseno del ángulo. Por lo tanto,

dividir por el coseno es equivalente a multiplicar por la secante.

El recíproco de un número es 1 dividido por el número. El recíproco de 4 es 1/4, y 4 y 1/4

se dice que son recíprocos uno del otro. El recíproco de una fracción es la fracción

invertida; Por lo tanto, el reciproco de 7/8 es 8/7.

Para encontrar el verseno del ángulo, encuentre su coseno y se le resta 1.

Para hallar la coverseno, encuentre el seno del ángulo y restarle 1.

Mediante la comparación de las proporciones de la tangente y cotangente, se observará

que la cotangente es el recíproco de la tangente; Asimismo, la tangente es el recíproco de

la cotangente.

Se puede demostrar fácilmente que, dividiendo la relación por el seno por que para el

coseno, la tangente es igual que

Seno/coseno del mismo modo la cotangente es igual al coseno/seno

Por lo tanto, después de conocer el seno y el coseno de cualquier ángulo, su

tangente y cotangente son fáciles de encontrar.

95. El coseno palabras, cotangente, cosecante, y coverseno son abreviaturas para

complementar el seno y complementar la, tangente, etc., que a su vez son las siglas para

las

expresiones "complemento de seno", "complemento tangente," etc. En otras palabras, el

coseno de un ángulo es igual al seno del complemento de ese ángulo; la cotangente de

un ángulo es igual a la tangente de su complemento; etcétera

Que el coseno es igual al seno del complemento es visto fácilmente por referencia a la

Fig. 67. Aquí, A O B es el

el ángulo dado y A O R es su complemento (véase el artículo 26.);

A C es su seno y O C es su coseno. Es evidente, a partir de la definición del seno, que

EA es el seno del ángulo


40

A O R. Pero E A es igual a O C, ya que E A C O es un ángulo recto; Por lo tanto, el

coseno de A O B es igual al seno de

su complemento A O R.

Del mismo modo, R N es la tangente de A O R y la cotangente de A O B, y O N es la

secante A O R de y la cosecante de

A O B. El coseno de A O R es O E, que es igual a A C, el seno de un A O B. Por lo tanto,

la verseno de A O R es E R, el coverseno de A O B. En otras palabras, el coverseno de

AOB es igual al verseno de A O R, y el complemento de A O B.

96. Con el fin de ahorrar tiempo y espacio en la escritura, los nombres

de las funciones se abrevian de la siguiente manera: sen de seno; cos para coseno; tang

para tangente; cot para cotangente; sec para secante; cosec para cosecante; vers para

verseno; y cover para coverseno. Estas abreviaturas se utilizan sólo cuando se refiere

directamente a los ángulos; cuando los nombres se utilizan en un sentido general, están

escritos en su totalidad. Sea A representa un ángulo; entonces, si se deseara consultar el

seno, tangente, etc. de este ángulo, sería sen A, tan A, etc. Estas expresiones se pueden

leer como seno de A, tangente de A, etc.

Estas abreviaturas siempre deben ser pronunciadas en su totalidad.

Por lo tanto, cos 14 ° 22 '46 "se pronuncia coseno catorce grados

veintidós dos minutos y cuarenta y seis segundos; tan 45 ° se pronuncia

tangente de cuarenta y cinco grados.

97. Para facilitar los cálculos, se emplean las tablas de las funciones trigonométricas.

Estas tablas dan el seno, coseno, tangente y cotangente de los grados y minutos en un

círculo cuyo radio es 1. Hay dos tipos de tablas

de las funciones trigonométricas; a saber., las tablas de las funciones naturales y las

tablas de las funciones logarítmicas. La tabla de las funciones naturales da los valores

reales de las relaciones, mientras que la tabla de funciones logarítmicas da los logaritmos

de las funciones naturales. Sólo la tabla de funciones naturales se describe en el presente

texto.

98. A partir de las definiciones de las distintas funciones trigonométricas

se derivan las siguientes reglas muy útiles para triángulos rectángulos:


41

TABLAS TRIGONOMETRICAS

99. Ahora explicaremos cómo hallar el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo

por medio de la tabla

de las funciones trigonométricas naturales que acompaña a este texto.

Puede que aquí se observa que los valores de las funciones no son

calculados directamente (excepto haciéndolo en la tabla y en la calculadora), porque el

proceso es tan largo y laborioso que requeriría un tiempo considerable para calcular

incluso el valor de una función de un solo ángulo, y no hay ningún método sencillo de

determinar el ángulo correspondiente a una función dada, excepto por ayuda de una tabla

o en una calculadora. Como no son necesarios, las secantes,

cosecantes, versenos, y coversenos se omiten por completo.

100. Teniendo en cuenta, un ángulo, para encontrar su seno, coseno,

tangente y cotangente:

Ejemplo 1.-Que se requiere para hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de un

ángulo de 37 ° 24’.

SOLUCION.-Buscando en la tabla de seno natural: a lo largo de la parte superior de las

páginas hasta encontrar 37°. La columna de la izquierda está marcado (´), lo que significa

que los minutos hay que buscarlas en la columna, y comienzan con O, l, 2, 3,

etc., hasta 60. Al mirar hacia abajo esta columna hasta que se encuentra el 24',

encontramos el opuesto de 24én la columna marcada seno, y nos dirigimos a 37 °, el

número .60738; entonces, 0,60738 = seno de 37 ° 24 '. Exactamente de la misma manera


42

encontramos el opuesto 24' en la columna marcada coseno, y nos dirigimos hacia 37°, el

número 0.79441,

que corresponde a coseno 37° 24'; o coseno de 37 ° 24 '= 0,79441. Así, también se

encuentra en la columna marcada tangente, y nos dirigimos hacia 37°, y frente a 24',

encontramos el número 0,76456; de donde, tan 37° 24'= 0,76456. Finalmente, encuentre

en la

columna marcada cotangente, y nos dirigió hacia 37°, y en sentido opuesto a 24´, el

número 1,30795; de donde, cotangente de 37° 24' = 1,30795.

En la mayoría de las tablas publicadas, los ángulos sólo se encuentran desde

0° a 45°,ver al final de la página y siguiendo hacia arriba, usando la columna de la

derecha extrema para encontrar minutos, que comienzan con 0 en la parte inferior y correr

hacia arriba, 1,2,3, etc., hasta 60

Ejemplo 2.-Hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 77° 43'.

SOLUCION.-desde que este ángulo es mayor de 45 °, vemos a lo largo de la

parte inferior de las tablas, hasta que la columna marcada en la parte inferior, con 77 °

bajo ella. se encuentra. viendo hacia arriba la columna de minutos en la tabla /, hasta 43

'se encuentra, frente 43' en la columna marcada coseno en la parte inferior, y que tiene 77

° debajo de ella, el número .97711; esto es

el seno de los 77 ° 43 ', o el sen de 77 ° 43' = 0,97711. Del mismo modo, en la columna

marcada coseno, y vemos "77 ° y frente 43 ', en la columna derecha, el número .21275;

este es coseno de 77 ° 43 ', o cos 77 ° 43 ': .21275. Así, también, encontramos que

4.59283 es la tangente de 77 ° 43 ', o tan 77 ° 43' = 4.59283. Finalmente, de la misma

manera, encontramos que la cotangente de 77 ° 43 ', o cot de 77° 43' = .21773.

101. Encontrar el seno de 14° 22' 26 ".

EXPLICACIÓN.-- El seno de 14° 22' 26´´ "se encuentra entre el seno de 14° 22'y el seno

de 14° 23'. Por una diferencia de

1 minuto o menos entre dos o más ángulos, es correcto asumir que las diferencias en los

valores de seno, coseno, etc., de los ángulos son proporcionales a las diferencias en el

número de segundos en estos ángulos. La diferencia en el número de segundos entre 14°

22 'y 14° 22' 26 "es de 26",

y entre los 14° 22 'y 14° 23' es de 60". El seno de 14° 22 ' es 0.24813; el seno de 14° 23'

es 0,24841. La diferencia entre

el valor del seno de 14° 22 'y el seno de 14 ° 22' 26 "es desconocido; por lo tanto,

representar por x. La diferencia entre el valor del seno de 14° 22 'y el seno de

14° 23' es .24841 hasta .24813 = 0,00028, o 28 partes. Por lo tanto, tenemos la

proporción 26 ": 5 piezas

26 ": 60" = x partes: 28 partes, o 26´´/60´´ = x partes/28 partes, de los cuales x: partes =

26/60 x 28 = 12,1 partes.


43

Descuidar la 0.1, ya que 0.1 es inferior a 0,5, hay que añadir 12 piezas o .00012, a .24813

para obtener el seno de 14° 22´ '26 ".Por lo tanto, el seno de 14° 22 '26 "= 0.24818 +

.00012 = .24825.

102. Al referirse a la tabla de senos, cosenos, tangentes, y cotangentes, se observará

que, como los ángulos

aumentan el tamaño, los senos y tangentes aumentan, mientras que los

cosenos y cotangentes disminuyen.

En el ejemplo anterior, entonces, para encontrar el coseno o la cotangente de

14° 22' 26 ", la corrección para el 26" habrían sido restar del coseno o la cotangente de

14° 22' en lugar

de sumarlo. La razón para esto se hace evidente en referencia a la Fig. 67. Aquí se verá

que, como el aumento de seno y la tangente, y la disminución el coseno y cotangente, y

viceversa. De lo anterior tenemos, podemos encontrar el seno, coseno, tangente, o

cotangente de un ángulo que contiene segundos, en la siguiente regla:

REGLA 7.- Encontrar en la tabla el seno, coseno, tangente o cotangente correspondiente a los

grados y minutos de un ángulo.

Para encontrar los segundos, encontrar la diferencia entre este valor y el valor del seno, coseno,

tangente, o cotangente de un ángulo mayor a 1 minuto; multiplicando esta diferencia por la

fracción cuyo numerador es el número de segundos en el ángulo dado y cuyo denominador es 60.

Si el seno o tangente es buscado, sumar esta corrección al primer valor encontrado; si el coseno o

la cotangente es buscado, restar la corrección.

EJEMPLO. – Encontrar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 56° 43' 17".

SOLUCION.-Seno de 56° 43' = 0,83597. Seno de 56° 44'= .836l3. y 56°43' l7 "

es mayor que 56° 43' y menos de 56° 44', el valor del seno del ángulo está entre 0.83597

y 0.836l3; y la diferencia = .836l3 - 0,83597 = .000l6. Multiplicando esto por la fracción

17/60. 0. 000l6 X 17/60, = .00005, cerca de lo que debe ser añadido a 0,83597, el valor

primero se encontró, o 0,83597 + 0,00005

= 0,83602. Por lo tanto, el seno de 56° 43 '17 " es igual a= 83602.

Cos 56° 43' = 0,54878; cos 56° 44' = 54854; la diferencia = 0.54878 - 0,54854 = .00024 y

00024 X 17/60 = 0,00007. Ahora, dado el coseno que se busca, debemos restar esta

corrección de cos 56° 43' o .54878; restando 0.54878 – 0.00007, = 0.54871.

Por lo tanto, cos 56° 43'17" = 0.54871.

Tan 56° 43' = 1.52332; tan 56° 44' = 1.52429; la diferencia es de = .00097,

y 0,00097 X 17/60 = 0.00027, casi. Dado que se buscó la tangente, debemos sumar,

dando 1.52332 + 0,00027 = 1.52359. Por lo tanto, tan 56° 43'17"=

1.52359.


44

Cot de 56° 43' = 0,65646; cot de 56° 44' = 0,65604; la diferencia = 0,00042, y

0.00042 x 17/60 = 00012, cerca. Dado que se buscó la cotangente, debemos restar,

dando 0.65646 - 0.00012 = 0,65634. Por lo tanto, cot de 56° 43'17 "=

0.65634.

103. Teniendo, el seno, coseno, tangente, o cotangente, encontrar el ángulo

correspondiente:

Ejemplo 1.-El seno de un ángulo es 0.47486; ¿cuál es el ángulo?

SOLUCION.-Consultando la tabla de senos naturales, miramos hacia abajo la

columnas marcadas con seno hasta 0.47486 se encuentra frente 21', en la columna de la

izquierda, y bajo la columna titulada 28°. Por lo tanto, el ángulo cuyo seno es igual a =

0.47486 es de 28° 21', o el seno de 28 ° 21' es igual a = 0.47486.

Ejemplo 2.-- Encuentra el ángulo cuyo coseno es 0.27032.

SOLUCION. Buscando en las columnas marcadas coseno, en la parte superior de la

página, que no se encuentra; Por lo tanto, el ángulo es mayor que 45 °. Por consiguiente,

mirando en las columnas marcadas coseno en la parte inferior de la página, que se

encuentra enfrente de 19 ', en la columna de los minutos de la derecha, y en la columna

que tiene 74° en la parte inferior. Por lo tanto, el ángulo

cuyo coseno es 0.27032 es de 74° 19', o cos 74° 19' = 0.27032.

Ejemplo 3. -Encontrar el ángulo cuya tangente es 2,15925.

SOLUCIÓN.- buscando en la tabla de tangentes naturales, la tangente dada se encuentra

es mayor y pertenece a un ángulo mayor de 45°, por lo que debe

que buscarla en la columna marcada tangente en la parte inferior. Se encuentra enfrente

de 9 ', en la columna de minutos de la derecha, y en la

columna que tiene 65° en la parte inferior. Por lo tanto, tan 65° 9'= 2,15925.

Ejemplo 4. ~ Encuentra el ángulo cuya cotangente es 0,43412.

SOLUCIÓN.- En la tabla de cotangentes naturales, se encuentra que este valor es menor

que la cotangente de 45°, por lo que se debe encontrar en la columna marcada

cotangente en la parte inferior. Buscando allí, se encuentra en la columna que tiene 66°

en la parte inferior, y al contrario 32', en la columna de minutos a la derecha. Por lo tanto,

el ángulo cuya cotangente es 0.43412 es 66° 32', o cot de 66° 32' = 0,43412.

104. Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.42531.

EXPLICACION.-Refiriendo a la tabla de senos, este número se encuentra entre 0,4252,

del seno de 25° 10', y 0.42552, del seno de 25° 11'. La diferencia entre estos dos números


45

es 0.42552 -0.42525 = .00027 o 27 partes; la diferencia entre 0.42525, del seno de 25°

10', y 0.42531,

el seno del ángulo dado, es 0.42531-,42525 = 00006, o 6 partes. Representando por x el

número de segundos que las ángulo cuyo seno es 0,42531 sobrepasa los 25° 10',

tenemos la proporción, x ": 60" = 6 piezas 27 partes,

X´´/60´´ = 6 partes/ 27 partes;

de los cuales X = 60 x = 6 partes /27 partes 13,3% ". Por lo tanto el ángulo cuyo

seno es 0.42531 es 25°10' 13.3”.

El ángulo se encuentra desde el coseno, tangente, y cotangente exactamente de

la misma manera.

105. Para hallar el ángulo correspondiente a un seno dado,

coseno, tangente, o cotangente, cuyo valor exacto no está contenido en la tabla:

Regla 8. -Encontrar la diferencia de dos números en la tabla entre los cuales el

seno dado, coseno, tangente, cotangente, utilizando el numero de partes en esta

diferencia como el denominador de una fracción.

Encontrar la diferencia entre el número que pertenece al menor ángulo dado y el

seno, coseno, tangente, o cotangente, utilizando el número de partes en la

diferencia encontrando el numerador de la fracción mencionada anteriormente.

Multiplicando esta fracción por 60, y el resultado será el número de segundos que

se suman al ángulo más pequeño.

Ejemplo 1.-Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.57698.

Solución.- Buscando en la tabla de senos naturales, en las columnas marcadas

senos, se encuentra entre 0.5769l = sen 35° 14' y 0.577l5 = sen de 35° 15'. La

diferencia entre ellos es 0.57715 -0.57691 = 00024, o 24 partes.

La diferencia entre el seno del ángulo más pequeño, o seno de 35° 14'= 0.57691 y

el seno dado, o 0.57698, es 0.57698 – 0.57691 = 0,00007 o 7 partes. Entonces,

7/24 x 60 = 17.5", y el ángulo requerido es de 35° 14' 17.5", o el seno de 35° 14'

17.5" = 0.57698.

Ejemplo 2. -Encontrar el ángulo cuyo coseno es 0.27052.

SOLUCIÓN. –Buscando en la tabla de cosenos, se encuentra un ángulo mayor de 45 ° y,

por lo tanto, debe buscarse en las columnas macadas coseno, en la parte inferior de la

página. Se encuentra entre el números 0.27060 = cos 74° 18' y 0,27032 = cos 74° 19'. La


46

diferencia

entre los dos números es 0.27060 -0.27032 = 0.00028 o 28 partes. El

coseno del ángulo pequeño, o 74° 18' es 0.27.060, y la diferencia entre este y el coseno

dado es 0.27060 – 0.27052 = 0,00008, o 8 partes.

Por lo tanto, 8/28 x 60 = 17.1", casi, y el ángulo cuyo coseno es 0.27052

= 74° 18' 17.1", o cos 74° 18' l7.1" = 0.27052.

Ejemplo 3.-Encontrar el ángulo cuya tangente es 2.15841.

SOLUCIÓN. - 2.15841 cae entre 2,15760 = tan 65° 8' y 2,15925 = tan 65° 9'. La diferencia

entre estos números es 2.15925 – 2.15769 = 0.00165, o 165 partes. 2.15841 – 2.15760 =

0,00081, o 81 partes. Por lo tanto,

81/165 x 60 = 29.5", casi, y el ángulo cuya tangente es 2.15841 = 65° 8' 29.5", o tan 65° 8'

29.5" = 2,15841.

Ejemplo 4.-Encontrar el ángulo cuya cotangente es 1.26342.

SOLUCION.- 1,26342 se encuentra entre 1.26395 = cot 38° 21' y 1.26319 = Cot 38° 22'.

La diferencia entre estos números es 1.26395 -1.26319 = 0.00076. 1.26395 a 1.26342 =

0.00053. 53/75 x 60 = 41.8´´, casi, y el ángulo cuya cotangente es l.26342 = 38° 21' 41.8

", o cot 38° 21' 41.8"= 1.26342.

EJEMPLOS PARA LA PRÁCTICA

1. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 48° 17’.

(a) 0,74644.

(b) 0,66545.

(c) 1,12172.

2. Busque el (a) seno, (b) del coseno, y (c) la tangente de 13° 11' 6 ".

(a) 22.810.

(b) 0,97364.

(c) 23.427.

3. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 72 ° 0‘ 1.8”.

(a) 0.95106.

(b) 0.30901.

(c) 3.07777,


47

4. (a) ¿De qué ángulo 0.26489 el seno? (b) cual es el coseno?

(a) 15° 21´37.2”

(b) 74° 38´22.8´´

5. (11) ¿De qué ángulo es 0.68800 el seno? (b) el coseno? (c) la tangente?

TABLAS TRIGONOMETRICAS.-

Ángulo seno coseno tangente Ángulo seno coseno tangente 0º 0,000 1,000 0,000 46º 0,719 0,695 1,036 1º 0,018 1,000 0,018 47º 0,731 0,682 1,072 2º 0,035 0,999 0,035 48º 0,743 0,669 1,111 3º 0,052 0,999 0,052 49º 0,755 0,656 1,150 4º 0,070 0,998 0,070 50º 0,766 0,643 1,192 5º 0,087 0,996 0,088 51º 0,777 0,629 1,235 6º 0,105 0,995 0,105 52º 0,788 0,616 1,280 7º 0,122 0,993 0,123 53º 0,799 0,602 1,327 8º 0,139 0,990 0,141 54º 0,809 0,588 1,376 9º 0,156 0,988 0,158 55º 0,819 0,574 1,428 10º 0,174 0,985 0,176 56º 0,829 0,559 1,483 11º 0,191 0,982 0,194 57º 0,839 0,545 1,540 12º 0,208 0,978 0,213 58º 0,848 0,530 1,600 13º 0,225 0,974 0,231 59º 0,857 0,515 1,664 14º 0,242 0,970 0,249 60º 0,866 0,500 1,732 15º 0,259 0,966 0,268 61º 0,875 0,485 1,804 16º 0,276 0,961 0,287 62º 0,883 0,470 1,881 17º 0,292 0,956 0,306 63º 0,891 0,454 1,963 18º 0,309 0,951 0,325 64º 0,899 0,438 2,050 19º 0,326 0,946 0,344 65º 0,906 0,423 2,145 20º 0,342 0,940 0,364 66º 0,914 0,407 2,246 21º 0,358 0,934 0,384 67º 0,921 0,391 2,356 22º 0,375 0,927 0,404 68º 0,927 0,375 2,475 23º 0,391 0,921 0,425 69º 0,934 0,358 2,605 24º 0,407 0,914 0,445 70º 0,940 0,342 2,747 25º 0,423 0,906 0,466 71º 0,946 0,326 2,904 26º 0,438 0,899 0,488 72º 0,951 0,309 3,078 27º 0,454 0,891 0,510 73º 0,956 0,292 3,271 28º 0,470 0,883 0,532 74º 0,961 0,276 3,487 29º 0,485 0,875 0,554 75º 0,966 0,259 3,732 30º 0,500 0,866 0,577 76º 0,970 0,242 4,011 31º 0,515 0,857 0,601 77º 0,974 0,225 4,331 32º 0,530 0,848 0,625 78º 0,978 0,208 4,705 33º 0,545 0,839 0,649 79º 0,982 0,191 5,145 34º 0,559 0,829 0,675 80º 0,985 0,174 5,671 35º 0,574 0,819 0,700 81º 0,988 0,156 6,314 36º 0,588 0,809 0,727 82º 0,990 0,139 7,115


48

37º 0,602 0,799 0,754 83º 0,993 0,122 8,144 38º 0,616 0,788 0,781 84º 0,995 0,105 9,514 39º 0,629 0,777 0,810 85º 0,996 0,087 11,430 40º 0,643 0,766 0,839 86º 0,998 0,070 14,300 41º 0,656 0,755 0,869 87º 0,999 0,052 19,081 42º 0,669 0,743 0,900 88º 0,999 0,035 28,640 43º 0,682 0,731 0,933 89º 1,000 0,018 57,289 44º 0,695 0,719 0,966 90º 1,000 0,000

45º 0,707 0,707 1,000

SOLUCION DE TRIANGULOS

Triángulos rectángulos

106. Como se indicó anteriormente, cada triángulo tiene seis partes, tres lados y tres

ángulos, y si se dan cualquiera de las tres partes. Siendo una de ellos un lado, los otros

tres se pueden encontrar.

En los triángulos rectángulos, sólo es necesario conocer dos partes

Además del ángulo recto, uno de los cuales debe ser un lado.

Reglas 1-8 y las definiciones de seno, coseno, tangente, y cotangente son suficientes

para resolver todos los casos de triángulos rectos. El método se ilustra mejor mediante

ejemplos. Y son dos casos.

107. Caso 1. – Cuando se dan dos partes dadas y un ángulo:

Ejemplo 1.-En la Fig. 68, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo A C B,

con un ángulo recto en C es

de 24 centímetros, y el ángulo A es de 29° 31'; encuentra los lados A C y B C y el ángulo

B.

Fig. 68


49

NOTA. -Cuando trabajamos ejemplos de este tipo, construimos la figura y marcamos las

partes conocidas. Esta es una gran ayuda para resolver el ejemplo. Por lo tanto, en la

figura, dibujar el ángulo A para representar para representar el ángulo de 29° 31', y

completar el triángulo rectángulo A C B, con un ángulo recto en C, como se muestra.

Marque el ángulo A y la hipotenusa, como se muestra en la figura.

SOLUCION.-En relación con el art. 49, el ángulo B = 90° - 29° 31' = 60° 29'.

Para encontrar a C, usar = 24 x coseno de la regla 3; a saber., A C, o lado adyacente =

hipotenusa x coseno = 24 x coseno de 29° 31'= 24 x = 0.8702l = 20.89 centímetros, casi.

Para hallar B C, utilice la misma norma; por lo tanto, BC = 24 x cos 60° 29'= 24

0.49268 = 11,82 centímetros, casi.

Para hallar B C, regla 1 también podría haber hecho, a saber., lado opuesto = hipotenusa

x seno, o B C = 24 x seno de 29° 31' = 24 x 0.49268 = 11.82 centímetros.

Angulo B = 60° 29'

Lado A C = 20.89 cm.

Lado B C = 11.82 cm.

Ejemplo 2. -Un lado de un triángulo rectángulo A C B, con ángulo recto en C,

B Fig. 69. Es de 37 centímetros y 7 milímetros de largo; el ángulo opuesto de 25° 33' 7",

cuales son las longitudes de la hipotenusa y el lado adyacente, y ¿cuál es el otro ángulo?

Fig. 69

SOLUCIÓN. -Angulo B = 90° - 25° 33' 7´´

= 64° 26' 53"

Para hallar la hipotenusa, se utiliza la regla 2, hipotenusa = lado opuesto / seno

Como el lado opuesto se da en centímetros y milímetros, ambos deben estar reducidos a

centímetros, o ambos a milímetros. 7 milímetros = 7/10 centímetros = 0.70 + 37

centímetros; Por lo tanto, B C = 37.70 centímetros. Por lo tanto, la hipotenusa es igual a

37.70/ seno de 25° 33' 7´´ = 37.70/ 0.43133 = 87.40 centímetros.


50

Para hallar el lado A C, uso la regla 3; lado adyacente = hipotenusa x

coseno = 87.40 x coseno de 25° 33' 7 " = 87.40 x 0,90219 = 78.61 pies = 78.85

centímetros = 78 centímetros y 85 milímetros.

Ángulo B = 64° 26' 53".

A C = 78.85 centímetros.

A B= 87.40 centímetros.

El trabajo realizado para encontrar el seno y el coseno de 25° 33' 7", en el

el ejemplo anterior, es el siguiente: seno de 25° 33' = 0.43130; seno de 25° 34' =

0,43156; la diferencia = 0,00026; 0,00026 X 7/10 = .00003. Por lo tanto, el seno de 25° 33'

7" = 0.43130 + 0,00003 = 0.43133.

Coseno de 25° 33' = 0,90221; coseno de 25° 34' = 0.90208; la diferencia = 0,00013;

0,00013 x 7/60 = .00002, casi. Por lo tanto, coseno de 25° 33' 7" = ,90221-0,00002

0 .902l9.

108. Caso II. – Cuando se conocen dos lados.

Ejemplo 1.-En el triángulo rectángulo

A C B, Fig. 70, es ángulo recto en C, A C

= 18 y B C = 15; encontrar el lado A B y los ángulos A y B.

SOLUCION.- como ninguno de los dos ángulos agudos se da, uno de los ángulos deben

ser encontrado, haciendo uso de la definición de una de las funciones del ángulo.

Considerando el ángulo A, tenemos: lado opuesto igual a 15 y el lado adyacente es igual

a 18; por lo tanto, podemos utilizar la definición de cualquiera de la tangente o cotangente.

Utilizando la definición de la tangente,

Tan A = seno opuesto/lado adyacente = 15/18 = 0.83333.

Para hallar el ángulo cuya tangente es 0,83333, tenemos: Tangente del

siguiente ángulo menos 0,83317 = tan 39° 48'; la tangente del siguiente ángulo mayor es

0.83366; la diferencia es 0,00049. La diferencia entre 0,83317, la

tangente del ángulo más pequeño, y 0,83333, la tangente dada es 0.83333


51

0.833l7 = .000l6. Por lo tanto, 16/49 x 60 = 19.6 ", y el ángulo cuya tangente

es 0.83333 = 39° 48' 19.6"= ángulo A.

Ángulo B = 90°- 39° 48' 19.6" = 50° 11' 40.4".

Para hallar la hipotenusa A B, utilizando la regla 2 o 4; usando la regla 2,

hipotenusa = lado opuesto / seno. = 15 / seno de 39° 48' 19.6" = 15 / 0.64018 = 23.43.

Angulo A = 39° 48‘ 19.6”.

Ángulo B = 50° 11' 40.4”.

A B = 23,43.

Ejemplo 2.-En el triángulo rectángulo A CB, Fig. 71, en ángulo recto en C, A C =

0,024967 millas y A B = 0,04792 millas; hallar las otras partes.

SOLUTION.-Aquí la hipotenusa y el lado adyacente se dan; Por lo tanto, utilizando el

definición del coseno, lado adyacente

Coseno de A = lado adyacente / hipotenusa = 0.024967 / 0.04792 =

0.52l01.

El ángulo cuyo coseno es 0.52101 = 58° 36 ' = Ángulo A. y el Angulo B = 90° - 58° 36 '=

31° 24'.

Para encontrar el lado B C utilizando la regla 5.

Lado opuesto A = lado adyacente x tan A, o B C = 0.024967 x 1.63826 = 0.0409 = 0.409

millas.


52

Angulo A = 58° 36'.

Angulo B = 31° 24’.

B C = 0,0409 millas.

Ejemplo 3.- En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 72, en ángulo recto en C, A, B, = 308

pies y B C = 234 pies; encontrar las otras partes.

SOLUCION.-Aquí la hipotenusa y el

lado opuesto se dan; Por lo tanto, utilizando la definición de seno,

Coseno de A = lado opuesto / hipotenusa = 234/308 = 0.75974.

El ángulo cuyo seno 0,75974 = 49° 26' 28 ", cerca, = ángulo A.

El Angulo B =90°- 49° 26' 28" = 40° 33' 32”. Para encontrar una A C, la regla 1, 3, 5, ó 6

pueden ser utilizadas. Usando la regla 6, lado adyacente ángulo A = lado opuesto x

cotangente de A o A C = 234 x 0.85586 = 200.27 pies.

Angulo A = 49° 26' 28".

Ángulo B = 40° 33´ 32 ".

A C = 200,27 ft.


1. En el triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, la hipotenusa

AB = 40 centímetros y ángulo A = 28°14‘ 14”. Resolver el triángulo.

Ángulo B = 61° 45 ' 46 ".

A C = 35,24 centímetros

B C = 18,92 centímetros.

2. En un triángulo rectángulo ACB, en ángulo recto en C, el lado BC = 10 metros 4

centímetros. Si el ángulo es = 26° 59' 6", lo que hacen las otras partes iguales?

Ángulo B = 63° 0' 54".


53

A B = 22 metros. 9.25 centímetros.

A C = 20 metros 3.75 centímetros

3. En un triángulo rectángulo A C B, la hipotenusa AB = 60 metros y el lado A C = 22

metros.

Resolver el triángulo.

Angulo A = 68° 29' 22.2".

Ángulo B = 21° 30 '37.8".

B C = 55.82 metros.

4. En un triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, lado A C = 0.364

metros y el lado A C = 0,216 metros. Resolver el triángulo.

Angulo A = 30° 41' 7.5”

Angulo 6 '= 0,59 "18" 52.5 ".

A B = 0,423 metros.

TRIÁNGULOS OBLICUOS

109. Cuando se dan tres partes de cualquier triángulo, uno de ellos es un lado, las partes

restantes se pueden encontrar dibujando una perpendicular desde un ángulo hacia el lado

opuesto, por lo tanto formando dos triángulos rectángulos. Las partes de estos triángulos

rectángulos puede ser calculadas, y de ellas las partes de la

triángulo buscados puede ser encontrados.

110. Atención.- Cuando se divide el triángulo en dos triángulos rectos, se debe tener

cuidado de que el, perpendicular debe ser dibujado que uno de los triángulos rectángulos

tendrá dos partes conocidas, además del ángulo recto; d otra manera el triángulo no

puede ser resuelto.

111. Caso I. – Cuando tres partes son conocidas pueden ser un lado y dos ángulos, o dos

lados y el ángulo incluido:

Ejemplo 1.-E n la Fig. 73, El ángulo A = 46° 14', el ángulo B = 88° 24' 11", y el lado A B =

21 metros; encontrar A C, B C, y el ángulo C.

SOLUCION.-Dado que la suma de todos las ángulos de cualquier triángulo es igual a 2

ángulos rectos, o 180 ° (Art. 48), podemos hallar el ángulo C mediante la adición de los

dos ángulos conocidos y restando la suma de 180°.


54

88° 24´11" + 46° 14' = 134° 38' 11"

180° - 134° 38' 11 " = 45° 21' 49" = ángulo C.

Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a AC. El triángulo

A B C está ahora dividida en dos triángulos rectángulos A D B y B D C, ambos ángulos

rectos son en D.

En el triángulo rectángulo A D B, el ángulo A, es el ángulo recto D, y

la hipotenusa A B son conocidos;

Encontrar B D y A D. Usando la regla 1,

lado opuesto, o B D, = 21 x seno de 46° 14 '= 21 x 0.722l6 = 15.17 metros.

Utilizando la regla 3, lado adyacente, o A D, = 21 x coseno 46° 14' = 21 = 0.69172,

o A D = 14.53 metros, casi.

En el triángulo rectángulo B D C, el lado ángulo C y el lado opuesto, o B D, son

conocidos; Encontrara B C y D C.

Utilizando la regla 2, la hipotenusa, o

B C = B D / seno de 45° 21' 49" = 15.17 / 0.71158

Utilizando la regla 3, lado adyacente, o C D, = 21.32 x coseno de 45° 21' 49" = 21.32 x

0.70261 = 14.98 metros.

Desde A D + D C = A C, tenemos 14.53 + 14.98 = 29.51 metros = A C.

A C = 29,51 metros.

B C = 21.32 metros

Ángulo C = 45° 21' 49".

Si, en el ejemplo anterior, el ángulo C se había dado en lugar del ángulo A, la línea


55

divisoria debería haber sido

trazada desde el ángulo A hacia el lado BC, como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.-En el triángulo A B C, Fig. 74, A B = 18 metros, ángulo B = 60°, y el ángulo C

= 38° 42'; encontrar las otras tres partes.

SOLUCION.- En el triángulo A B C, tenemos un ángulo A = 180°- (60°+ 38° 42 ') = 81 °

18'. Desde el vértice A, trazar la línea A D perpendicular a B C, formando así los

triángulos rectos A D B y A D C.

En el triángulo A D B, dos partes (el lado A B y ángulo B) son conocidos además del

ángulo recto. Para conocer B D, utilizaremos la regla 3. B D = 18 x coseno de 60° = 18 x

0.5 coseno = 9 metros.

Encontrar A D, utilizando la regla 1. A D = 18 x seno de 60° = 18 x 0.86603 = 15.59

metros.

En el triángulo rectángulo A D C, se conocen A D y el ángulo C.

Para encontrar C, utilizaremos la regla 2.

A C = A D / seno de C = 15.59 / 0.62524 = 24.93 metros.

Para obtener D C, utilizando la regla 3.

D C = A C / coseno de C = 24,93 x 0,78043 = 19.46 metros.

Desde B C = B D) + D C, BC = 9 + 19,46 = 28,46 metros.

A C = 24,93 metros.

B C = 28,46 metros.

Angulo A = 81° 18'.

Ejemplo 3.-En la Fig. 75, A B = 19 metros, A C = 23 metros, y se incluye el ángulo A =

36° 3' 29"; encuentra los otros dos ángulos y el lado B C.


56

SOLUCIÓN. - Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a A C, formando los

dos triángulos rectángulos A D B y B D C. En el triángulo rectángulo A D B, A B es

conocido, y también el ángulo A. Por lo tanto, por la regla 1,

BD = 19 x seno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.58861 = 11.18 metros, casi.

Por la regla 3, AD = 19 X coseno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.80842 = 15.36 metros.

En el triángulo rectángulo B D C, las dos partes B D y D C, sobre el ángulo recto, son

conocidos; por lo tanto, a partir de la definición de la tangente,

Tangente de C = BD/DC = 11.18/7.64 = 1. 46335, y el ángulo C = 55 ° 39 '10 ".

La aplicación de la regla 2,

B C = B D/ D C = 1118 / 0.82564 = 13.54 metros.

Angulo B = 180°-(36° 3' 29"+ 55° 39 '10") = 180°- 91° 42' 39 "= 88° 17' 21”.

Angulo C = 55° 39´ 0”.

Ángulo B = 88° 17' 21".

Lado B C=13.54 metros.

112. Caso II. – Cuando en las tres partes son conocidos dos lados y un ángulo opuesto a

uno de ellos. Para este caso son, en general, dos soluciones. Esto se ve fácilmente

haciendo referencia a la Fig. 76.


57

Supongamos que las partes son los lados AB y BC y el ángulo A opuesto al lado B C.

Construimos el triángulo primero dibujando las líneas A E y A F

de tal manera que el ángulo A será del tamaño requerido y, a continuación, dibujamos la

distancia A B a lo largo de A E para representar la longitud del lado A B. Para dibujar el

lado B C, tomamos el punto B como centro, y con un radio igual a la longitud de B C, se

describe el arco de C C´ y dibujamos A C y B C´.

El triángulo que se busca puede ser A B C o A B C´. En la práctica, las condiciones nos

indicaran que triángulo seleccionar; pero cuando los dos lados y el ángulo opuesto a uno

de ellos solamente se da y no hay otra condición, es necesario resolver los dos triángulos,

que se realizan fácilmente de la siguiente manera:

Primero resolver el triángulo A B C. Para ello, determine la longitud de B D perpendicular

mediante la aplicación de la regla del 1 al ángulo A

(BD = A B X seno A); encontrar el ángulo B C D aplicando definición de seno para ángulo

B C D (seno de BCD = BD/CB) encontrar C D aplicando la regla 3 (C D = C B x coseno B

C D); encontrar A D aplicando la regla 3 (A D = A B x coseno de A).

Ahora sabemos todo lo que es necesario para determinar las partes desconocidas de

ambos triángulos.

Por lo que el ángulo A C B es el suplemento (ver Art. 27) de el ángulo B C D, y es por lo

tanto igual a 180° - ángulo B C D; el ángulo A B C = 180 ° - ángulo BA C + ángulo A C

B); el lado A C = AD – C D; desde C B C' es un triángulo isósceles, el ángulo B C D = BC'

D y

C' D = C D; A C '= A D + C' D; y, finalmente, el ángulo A B C'= 180° - (ángulo A + ángulo

C').

113. Si bien, en general, hay dos soluciones a ejemplos incluidos en el caso 11, puede

haber ninguna solución o

sólo una solución, dependiendo de la longitud del lado 8 C.

a. Si B C es menor que la perpendicular B D, el arco C C' no tocaremos el lado A F lado

del ángulo, y el triángulo no puede

ser formado; Por lo tanto, en este caso no existe una solución.

b. Si B C es exactamente igual a la B D, el arco C C' tocara a A F

en un solo punto; sólo un triángulo puede formarse, un triangulo recto y hay una solución.

c. Si B C es mayor que B D y menos de A B, el arco C C' cortará A F entre A y D, y

también a la derecha D; esto da dos triángulos y dos soluciones.

d. Si A B es exactamente igual al A B, el arco C C' cortará A F en A y en un punto a una

distancia A D a la derecha de D; este da un triángulo y una solución.


58

e. Si BC es mayor que AB, el arco CC 'no va a cortar AF entre A y D, pero se corte AF en

un punto a la derecha de D; Por lo tanto, un triángulo, se puede formar y

no hay más que una solución.

Ejemplo.- en la Fig. 76, AB = 88 metros y 6 centímetros, B C =: 57 metros, y un ángulo A

= 35° 0' 38"; encontrar las otras partes.

Solución.- La aplicación de las distintos pasos en el orden indicado en Art.112, tenemos

por regla 1, BD = 88 metros y 6 centímetros x seno de 35° 0' 38"

= 88.5 X 0.57373 = 50.78 metros.

Seno de BCD = BD/BC = 50.78/57 = 0.89088; de donde, el ángulo BCD = 62° 59' 4.3".

Por la regla 3, CD = 57 X coseno de 62° 59' 4.3" = 57 x 0.45423 = 25.89 metros.

Por regla 3 tenemos, AD = 88,5 x coseno de 35° 0' 38" = 88,5 x 0,81905 = 72,49 metros.

Ahora tenemos los datos necesarios para la encontrar las partes necesarias del triángulo

A B C. Para el ángulo BCD = 62° 59' 4.3", el ángulo adyacente

ACB = 180° - 62° 59' 4.3" = 117° 0' 55,7". Además, el ángulo A B C = 180° - (35° () '38

"+117° 0' 55.7") =180°-152° 1' 33.7 "= 27° 58' 26.3".

Para AD = 72.49 metros y CD = 25.89 metros, AC = 72,49-25,89 = 46.6 metros.

Para el triángulo ABC ', el ángulo C' = 62° 59´43" y el ángulo AB C '

= 180° - (35° 0' 38"+ 62° 59' 4.3") = 82° 0' 17.7”. A C '= 72,49 + 25,89 = 98,38 metros.

Ángulo C = 117° 0' 55,7".

Ángulo B = 27° 58' 26.3".

Lado AC = 46.6 metros.

Angulo A B C' = 82° 0' 17.7".

Angulo C '= 62° 59' 4.3".

Lado AC '= 98,38 metros.

114. Caso III.- Cuando se dan tres lados, encontrar los ángulos:


59

Este caso se resuelve al trazar una línea desde el vértice del ángulo opuesto

el lado más largo, perpendicular a ese lado, como BD en la Fig. 77. Las partes m y n del

lado AC son determinadas con la siguiente proporción. m + n (o AC): a + b = a – b; m –

n. Esto nos da el valor de m – n. El valor de m + n = AC es ahora conocido, y para los dos

valores m y n puede determinarse por los principios de la aritmética, como explicamos

abajo.

Teniendo encontrado el valor de m – n y conociendo el valor de m + n, los valores de m y

n pueden ser determinados de la siguiente forma: Es un principio de aritmética si la suma

dos miembros y su diferencia dada, el mayor de los números es igual a la mitad de la

suma de su suma y su diferencia, y el menor de dos números es igual a la mitad de la

diferencia entre su suma y su diferencia.

Por ejemplo, suponiendo que la suma de dos números es 22 y su diferencia es 8

entonces, el numero más grande es (22+8) / 2 = 15, y el menor es (22 – 8) / 2 = 7.

Entonces, se deja menor, m + n representa su suma y m – n su diferencia; de donde,

m = (m + 22) + (m –n) / 2,

n = (m + n) – (m - n) / 2,

Ejemplo-Dado, un triángulo cuyos lados son 17 metros y 3 centímetros, 21 metros y 32

metros de largo. Encontrar los ángulos.

Solución.- m + n, el lado más largo, = 32 metros, a +b , la suma de los dos lados más

cortos, = 91 + 17,25 = 38,25 metros.

a – b , la diferencia de los dos lados más cortos, = 3.75 metros. Por lo tanto,

32 : 38.25 = 3.75 : m - n, o´ m - n = 38.25 x 3.75/ 32 = 4.48 metros.

Luego, m = (m + n) + (m - n)/2 = 32 + 4.48 / 2 = 18.24 metros

Y luego, n = (m + n) - (m – n)/2 = 32 – 4.48 / 2 = 13.76 metros

Ahora, en referencia a la última cifra, tenemos, en el triángulo ADB

lado a = 21 metros y m = 18,24 metros; de donde, por definición de coseno,


60

coseno de A = 18.24/21 = 0,86857, o´ A = 29° 42' 25.7".

En el triángulo CB D, lado b = 17.25 metros y n = 13,76 metros; de donde,

coseno C= 13.76 / 17.25 = 0.79768, o´ C =: 37° 5' 26.7".

El ángulo A B C = 180° - (29° 42' 25.7"+ 37° 5' 26.7") = 113° 12' 7.6'´.

El ángulo A = 29° 42' 25,7".

El ángulo B = 113° 12´ 7.6".

El ángulo C: 37° 5' 26.7".


1. Teniendo en cuenta, un triángulo oblicuo A B C, en el que la cara A B = 21 metros,

ángulo A = 22° 10' 16", y ángulo lo B = 78° 24' 24". Encontrar las otras partes.

Ángulo C = 79° 25´ 20´´.

Lado A C = 20.93 metros

Lado B C = 8.06 metros.

2. Teniendo en cuenta, un triángulo A B C, en la que AB = 32 metros, el ángulo B = 54°

l6', y el ángulo C: 58° 18' 9”.

Encontrar las otras partes.

Angulo A = 67° 25' 51",

Lado A C: 30.53 centímetros.

Lado B C = 34,73 centímetros.

3.- En un triángulo A B C, AB = 20 metros y 6 centímetros, BC: 16 metros, y

el ángulo B = 46° 10' 42". Encontrar los valores de las otras partes.

Ángulo A = 50° 12' 5”.

Ángulo C = 82° 36' 27”.

Lado A C = 15,04 metros.

4. En un triángulo A BC, A C = 100 metros, y el ángulo A = 20°.

Resolver el triángulo.

Ángulo B = 34° 45' 7.5", o´

ángulo B = 145° 14' 52.5".

ángulo C = 125° 14´52.5",

o´ el ángulo C = 14° 45' 7.5".


61

Lado A B = 143.268 metros, o´ A B

= 44,67 metros.

5. En un triángulo ABC, AB = 98 centímetros, BC = 140 centímetros, y el lado A C = 210

centímetros. Calcular los ángulos A, B, y C.

A = 34° 2'5 2,5".

B = 122° 52' 40.2".

C = 23°4' 27.3".

MEDICIONES.-

115. Medición es la parte: de la geometría qué trata de la medición de líneas, superficies y

sólidos.

MEDICION DE SUPERFICIES PLANAS.

116. El área de una superficie se expresa por el número de cuadrados de la unidad que

va a contener.

117. Un cuadrado unidad es el cuadrado cuyo lado es igual en longitud a la unidad.

Por ejemplo, si la unidad es de 1 metro, cuadrado la unidad es el cuadrado cuyos lados

miden 1 metro de

longitud, y el área se expresa por el número de metros cuadrados que la superficie

contiene. Si la unidad es

1 metro, el cuadrado de la unidad mediría 1 metro en cada lado, y

la área sería el número de metros cuadrados que la superficie contiene, etc. La área que

mide 1 metro por lado es

llamado un metro cuadrado, y la que mide 1 centímetro por lado se llama un centímetro

cuadrado. Metro cuadrado y centímetro cuadrado se abrevian a M2. en. y Cm2, o se

indican de Igual forma.

EL TRIÁNGULO

118. Regla. - El área de cualquier triangulo es igual al producto de la base por la altura.

Siendo b la base, h la altura y A la área,

A = b h / 2.

Si el triángulo es un triángulo rectángulo, uno de los lados cortos puede tomarse como la


62

base, y el otro lado corto como la altura; Por lo tanto, el área de un triangulo recto es igual

a la mitad del producto de los lados cortos.

Ejemplo.- Cual es el área de un triángulo cuya base es de 18 metros, y la altura de 7

metros y 9 centímetros?

Solución.- A = b h / 2 = 18 x 7.9 / 2 = 71.1 metros.

119. El área de cualquier triángulo puede ser hallado, cuando la longitud de cada lado es

conocida, por medio de la siguiente fórmula, en la que a, b, y c representan las longitudes

de los lados, y s, la mitad de la suma de las longitudes, y A es el área del triángulo:

Ejemplo.-- ¿Cuál es el área de un triángulo que tiene dos lados 19.8 metros

de largo, y un lado 28 metros de largo?

Solución.-Es irrelevante qué lado se llama a, b, ó c.-

Aplicando la fórmula, s = a + b + c / 2 = 28 + 19.8 + 19.8 / 2 = 33.8, la suma media;

teniendo b y c como los lados cortos, s - a = 33,8 - 28 = 5,8 y s – b y s

y s – c son cada uno 33,8 -19.8 = 14. Entonces.

El cuadrilátero

120. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Hay cuatro

tipos de paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y romboide.

121. Un rectángulo, Fig. 78, es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.

122. Un cuadrado, Fig. 79, es un rectángulo, cuyos lados son todos iguales.


63

123. Un romboide, Fig. 80, es un paralelogramo cuyo lados opuestos solamente lados son

iguales, y cuyo ángulos no son ángulos rectos.

124. Un rombo, Fig. 81, es un paralelogramo tiene lados iguales, y cuyos ángulos no son

rectos.

125. Un trapezoide, E es un cuadrilátero que sólo tiene dos de sus lados paralelos.

126. Un trapecio, Fig.83, es un cuadrilátero que no tiene dos lados paralelos.


64

127. La altitud de un paralelogramo, o de un trapecio.es la distancia perpendicular entre

los lados paralelos. Ver la línea de puntos en las figuras. 80, 81 y 82.

128. Una diagonal es una línea recta trazada desde el vértice de cualquier ángulo de un

cuadrilátero al vértice del ángulo opuesto; una diagonal divide un cuadrilátero en dos

triángulos. Ver Figs. 78 y 83.

Una línea diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales y semejantes.

129. Para hallar el área de un paralelogramo:

Regla. – El área de cualquier paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

A = b x h.

Ejemplo.- Cual es el área de un paralelogramo cuya base es 12 metros

y altitud 7.5 metros?

Solución.- Aplicando la formula, A = b x h = 12 x 7.5 = 90 metros cuadrados.

Si se da el área y una dimensión, el otro lado puede ser encontrado dividiendo el área por

la dimensión conocida. Si el

paralelogramo es un cuadrado, y su área es dada, la longitud de un lado se encuentra

mediante la extracción de la raíz cuadrada del área es decir,

130. Para hallar el área de un trapecio:

REGLA.- El área del trapecio es igual a la mitad de la suma del paralelo multiplicada por

la altura.

Entonces, A = (a+b) h / 2;.

Ejemplo. -¿Cuál Es el área de un trapecio cuyos lados son paralelos

9 metros y 15 metros, y cuya altitud es de 6.7 metros?


65

Solución.- Utilizando la fórmula,

A = (a + b)/2 x h = 9 + 15/ 2 x 6.7 = 79 metros.

EL CÍRCULO

131. Para hallar la circunferencia, diámetro, o el radio de un círculo:

Regla.- La circunferencia de un circulo es igual a la diámetro multiplicado por 3.1416.

Regla.- El diámetro de un círculo es igual a la circunferencia dividida por 3,1416.

El radio es igual a la circunferencia dividida por 2 x 3.1416.

Si d es el diámetro, r el radio y c la circunferencia, entonces:

c = π d = 2 π r; y

d = c/π; ó r = c / 2π

Ejemplo 1. -¿Cuál es la circunferencia de un círculo cuyo diámetro

es de 15 metros?

Solución.-Utilizando la fórmula, c = π d = 3,1416 X 15 = 47.12 metros.

Ejemplo 2. -¿Cuál es el diámetro de un círculo cuya circunferencia es 65.973

centímetros?

Solución.-Utilizando la fórmula, d = c / π = 21 centímetros.

El número 3.1416 es la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro; se

representa muy frecuentemente por la letra griega π, que se pronuncia "pi". Su valor ha

sido

calculada a más de 700 cifras decimales, pero el valor aquí dado es el utilizado más

generalmente, cuatro decimales

siendo suficiente para todos los fines prácticos. El valor ¼ de π, ó 0.7854, y 1/6 de π, ó

0.5236, se utilizaran con frecuencia más adelante.

132. Para hallar la longitud de un arco de un círculo:

Regla.- la longitud de un arco de círculo es igual a la circunferencia de del circulo del cual


66

el arco es parte. Multiplicado por el numero de grados en el arco, y el producto dividido

por 360.

Sea “l” la longitud del arco, c la circunferencia, d el diámetro del círculo, y n el número de

grados en el arco;

entonces,

l = π d n / 360.

Ejemplo.- ¿Cuál es la longitud de un arco de 24°, si el radio del círculo es de 18 metros?

Solución.- 18 X 2 = 36 metros, el diámetro del círculo, utilizando la formula es igual L= π

d n / 360 = 3.1416 x 36 x 24 / 7.54 metros que es la longitud del arco.

133. Cuando sólo la cuerda del arco y la altura de segmento (es decir, AB y CD, Fig. 84)

se dan, la siguiente fórmula estrechamente aproximada se puede utilizar:

Sea c la longitud de la cuerda, h la altura de segmento, y l la longitud del arco; entonces,

Ejemplo.- Si AB, Fig. 84, se encuentra a 5 metros, y el CD es l metro, cual es la longitud

del arco ADE?

Solución.- Aplicando la fórmula,

Cuando el cociente obtenido dividido por la

cuerda por la altura es inferior a 4.8, es decir, cuando c/h es de menos de 4.8, la

fórmula no funciona bien, los resultados no son suficientemente exactos. En tal caso,

dividir el arco y luego aplicar la

fórmula.

134. Para hallar el área de un círculo:

Regla. – Elevar al cuadrado el diámetro, y multiplicarlo por 0,7854; o´ elevar al cuadrado

el radio y multiplicarlo por 3,1416.

Sea A el área; entonces,

A = ¼ π d x d = 0,7854 d x d '; o, A = π x r x r '= 3.1416 x r x r.

Ejemplo. -¿Cuál Es el área de un círculo cuyo diámetro es de 15 centímetros?

Solución.-15 x 15= 225. Utilizando la fórmula, A = 0,7854 x d x d = 0.7854 x 225 = 176.72

centímetros cuadrados

135. Teniendo el área de un círculo, encontrar su diámetro:


67

Regla. –Dividir el área por 0.7854 y extraer la raíz cuadrada del cociente.

Expresado como una fórmula, la regla es

Ejemplo.- El área de un círculo =17,67l.5 centímetros cuadrados. Cual su diámetro en

centímetros?

Solución.-Utilizando la fórmula,

centímetros 150/12 = 12.5 centímetros de

diámetro

136. Para hallar el área de un anillo circular:

Ru1e.-Restar el área del anillo más pequeño círculo del área del más grande; La

diferencia es área del anillo.

Si “d” es igual al diámetro más largo, d´, el diámetro más corto, y A el área del anillo;

entonces,

Ejemplo.- Cuál es el área de un anillo cuyas

largos y cortos diámetros son 6,5 centímetros y 4 centímetros, respectivamente?

Solución.- Aplicando la fórmula,

Centímetros cuadrados.

Si se conocen un diámetro y el área del anillo, el otro diámetro puede ser encontrado

mediante la adición, o restando del área del círculo del anillo ', y encontrando el diámetro

correspondiente al área resultante.

137. Para hallar el área de un sector:

Regla.- Dividir el número de grados del sector por 360. Multiplicar el resultado por el área

del círculo de cuyo sector es parte.

Sea “n” el número de grados en el arco, A el área del círculo, “d” el diámetro del círculo, y

A' del área del sector; entonces.


68

Ejemplo.- El número de grados en el ángulo

formado dibujando radios desde el centro de un círculo a las extremidades del arco del

círculo es 75.

El diámetro del círculo es de 12 centímetros; ¿cuál es el área del sector?

Solución.-

Centímetros cuadrados cerca del área del círculo Aplicando la fórmula,

Centímetros cuadrados.

138. Si la longitud de un radio de un sector son dados, la siguiente regla se puede utilizar:

Regla. – El área de un sector es igual a la mitad del producto del radio y la longitud del

arco.

Sea “l” la longitud del arco, y r el radio, y A ' el área. Tenemos:

Ejemplo.-- Si el radio de un arco es de 5 metros, y la longitud del arco es

4 metros, ¿cuál es el área del sector?

Solución.- La aplicación de la fórmula,

Metros cuadrados.

139. Para hallar el área de un segmento de un círculo:

Regla.-Dibujar radios desde el centro del círculo a la extremidades del arco del segmento;

encontrar el área del sector así formado, restar de esto el área del triangulo formado por

el radio y la cuerda del arco del segmento; el resultado es el área del segmento.


69

En problemas donde es requerida el área del segmento, la cuerda AB, fig. 84, se puede

dar, o la altura del segmento CD, o el ángulo V; si ninguno de estos tres es dado, y el

radio del circulo se conoce, el área puede ser encontrada.

Ejemplo 1.-Si el diámetro del círculo es 10 centímetros, y la cuerda del segmento es de 7

centímetros, ¿cuál es el área del segmento?

SOLUTION.-En la figura anterior, supongamos que la cuerda AB =

7 centímetros, y el diámetro = 10 centímetros; dibujar O A, B O, y un radio

perpendicular a la cuerda, dividiendo así A B en dos partes iguales, (Ver Art. 70). El

triángulo A O B se divide ahora en dos triángulos rectos iguales A C O y B C O, en el que

la hipotenusa = radio = 10/2

= 5 centímetros, y un lado AC = BC = 3.5 centímetros.

y el ángulo A 0 B = 44 ° 25 '37 " x2 = 88 ° 51'

14". C O = O B x coseno de C O B

= 5 x 0.71415 = 3,57 centímetros.

Área del sector = 10 x 10 x 0.7854 x 88.854/360 = 19.4 centímetros casi.

Área del triángulo = 7 x 3.57 / 2 = 12,5 centímetros cuadrados, casi.

19,4-12,5 = 6,9 centímetros, es el área del segmento.

Ejemplo 2.-- dada, la cuerda del arco de un segmento = 7 centímetros, y la altura del

segmento = 1.43 centímetros encontrar el radio.

Solución. -Supongamos que en la Fig. 85, ACBE es un círculo cortado con el radio

requerido, que es la cuerda A B = 7 centímetros, y que la altura C D del segmento = 1.43

centímetros. Unir C

con A y B, y el triangulo recto A D C =

B D C. tan C D B = C D / B D = 1.43 / 3.5 = 0.40857.

Ángulo CDB = 22 ° 13.5´, casi.


70

Desde C B D o´ su igual C B A es un ángulo inscrito (ver Art. 66), se mide por la mitad del

arco interceptado A C; por lo tanto, el número de grados en el arco AC= 22 ° l3.5' x 2 =

44° 27', o el número de grados en el ángulo A O C.

En el triángulo rectángulo A D O,

A O = lado opuesto / seno de A O D = AD/ seno de AOC = 3.5 / 0.70029 = 5 centímetros.

Nota.- Los principios explicados en los dos ejemplos anteriores pueden ser utilizados en la

solución de los problemas relativos a la longitud de radio, cuerda,

sub-cuerda (cuerda, como AC, de la mitad del arco AB), la altura del segmento, etc.

Todos estos implican el principio del triángulo rectángulo.

POLÍGONOS REGULARES

140. Un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos isósceles como tantos lados

tienen, dibujando líneas desde el centro a los ángulos. Cada uno de los ángulos formados

en el centro es igual a 360° dividido por el número de lados.

Para hallar el área de un polígono regular:

Regla. – Multiplicar juntos el número de lados, el cuadrado del largo de un lado y la

cotangente de la mitad del anguo central, y dividir el producto por 4. El resultado será el

área del polígono regular.

Dejemos A ser el área, n el número de lados, “l” la longitud de un lado, y x uno la mitad

del ángulo central comprendido entre dos líneas trazadas desde el centro a las

extremidades de un lado; entonces,

Ejemplo.- Cual es el área de un decágono regular teniendo 5 metros de largo?

Solución.- n es igual a 10; l = 5 metros, x = a 360/10 / 2 = 18°; cotangente 18° = 3.07768;

de donde:

= 192.35 metros cuadrados.

141. El área de un polígono regular cuyos lados son conocidos también se pueden

encontrar en la siguiente forma:


71

Regla.- Elevar al cuadrado la longitud de un lado y se multiplica por el multiplicador

apropiado en la tabla adjunta.

Ejemplo.-Cuál es el área de un octágono que tiene los lados de 8 metros de largo?

Solución.- = 64; multiplicando 64 por la tabla correspondiente

número, 4.8284, el área se encontró que 6.4 X 4.8284 = 309,02 metros cuadrados.

La elipse

142. Una elipse es una figura plana delimitada por una línea curva, para cualquier punto

de la cual la suma de las distancias desde dos puntos fijos dentro, llamado el foco, es

igual a la suma de las distancias de los focos a cualquier otro punto de la curva.

En la Fig. 86, sea A y B el foco, y dejar que C y D sean dos puntos cualesquiera del

perímetro. Entonces, de acuerdo lo anterior definición, A C + C B = A D 198, y ambos

estas sumas son también igual a el largo diámetro F E.

Los focos se puede situar desde G o D como un centro por arcos que chocan cortando F

E en A y B, utilizando un radio igual a un medio de F E.


72

El diámetro largo de una elipse, como FE, Fig. 86, se llama el eje mayor; el diámetro

corto, como G1), se denomina eje menor.

143. Para hallar la periferia (perímetro) de una elipse: No hay un método exacto, pero la

siguiente fórmula da valores casi exactos. En la fórmula,

Π = 3.1416

C = periferia;

a = media del eje mayor;

b = media del eje menor;

Ejemplo. -¿Cuál Es la periferia de una elipse cuyos ejes son 10 centímetros y 4

centímetros?

Solución.-Aplicando la fórmula,

Entonces,

144. Para hallar el área de una elipse:

Rule.-El área de una elipse es igual al producto de sus dos diámetros multiplicado por

0.7854.

Sea A el diámetro más largo, o eje mayor; B el más corto diámetro, o eje menor; y S el

área; entonces.

Ejemplo.- Cual es el área de una elipse cuyos diámetros son 10 metros y 6 metros?

Solución.-Aplicando la fórmula, S = 0,7854 AB = 0,7854 X 10 X 6 = 47,12 metros

cuadrados.


1. ¿Cuál es el área en centímetros cuadrados de un rombo cuya base es

8.4 centímetros y cuya altura es de 3.6 centímetros? = 23.75 centímetros cuadrados.


73

2. Un lado de una habitación es de 16 metros de largo. Si el suelo contiene 240

metros cuadrados, ¿cuál es la longitud del otro lado? = 15 metros.

3. ¿Cuántos metros cuadrados en un tablero de 12 metros de largo, 18 metros de ancho

en un extremo y 12 metros de ancho en el otro extremo? 180 metros cuadrados.

4. ¿Cuántas metros cuadradas de enyesado para el techo y las 4 paredes de una

habitación de 10 metros X 15 metros, y 9 metros de altura? La habitación

contiene una puerta 3 metros. X 7 metros., tres ventanas 3 x 6 metros.

525 metros cuadrados.

5. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base es 120 centímetros y 6 centímetros de

largo y cuya altura es de 5.40 centímetros?

324 centímetros cuadrados.

6. El área de un triángulo es 16 centímetros cuadrados. Si la altura es

4 centímetros, cuánto mide la base?


7. El lado superior de un trapecio es 16 centímetros de largo, y la más baja

lateral 14 centímetros. Si la fi gura se divide en dos triángulos por una

diagonal cuyos altitudes, extraídos de sus vértices a los dos lados como bases, son 17

centímetros y 3 centímetros, respectivamente, cual es el área

del trapecio?


8. Halla el área de un círculo 2 metros y 30 centímetros de diámetro.

4.155 metros cuadrados.

9. Se observó una rueda de carro hace 71 vueltas para recorrer

300 metros. Cual es su diámetro? 1.343 metros.

10. Encontrar, el diámetro de un círculo cuya área es 2.00 metros cuadrados.

1.60 metros

11. Se requiere, el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia

cuyo diámetro es de 20 centímetros.

237.77 centímetros cuadrados.


74

12. El número de grados en un ángulo formado por el radio desde el centro de un círculo

a las extremidades del arco del círculo es 84 grados. El diámetro del círculo es de 17

centímetros; Cuál es el área del sector?


13. Teniendo en cuenta, la cuerda de un arco con un segmento igual a 24 centímetros, y

la altura del segmento igual a 6,5 centímetros, encontrar (a) el diámetro del

círculo, y (b) el área del segmento.

a=28.654.

b= 109.87 centímetros cuadrados.

14. (a) ¿Cuál es el perímetro de una elipse cuyos ejes son 15 centímetros y 9

centímetros, y (b) ¿Cuál es el área?

a = 38,29 centímetros

b = 106.03 centímetros cuadrados.

145. Para encontrar el área de cualquier figura plana delimitada por líneas rectas o

curvas:

Regla. - El área de cualquier figura plana puede ser encontrada dividiendo en triángulos,

cuadriláteros, círculos o partes de circulo y elipses, encontrando el área de cada parte

separándola y sumándolas juntas.

Ejemplo 1. -El diagonal de un trapecio es de 15 metros. La altura

trazada desde los vértices de los dos triángulos a esta diagonal como una base

son 6 metros y 4 metros, respectivamente. ¿Cuál es el área

Solución.- 15 x 6 / 2 = 45 + 15 x 4 / 2 = 75 metros cuadrados.

Ejemplo 2. -¿Cuál es el área de un anillo plano circular Fig. 87 y cuyo diámetro exterior

es igual a 10 centímetros, y cuyo diámetro interior es igual a 4 centímetros?

El área del círculo grande = 10 x 10 x 0,7854 = 78.54 centímetros cuadrados; el área de la

pequeño círculo = 4 x 4 x 0,7854 = 12,57 centímetros cuadrados. 78.54 - 12,57 = 65.97


75

centímetros cuadrados en el área.

MEDICION DE SÓLIDOS

146. Un sólido, o cuerpo, tiene tres dimensiones: longitud, anchura y espesor. Los lados

que encierran son llamados caras y sus intersecciones se llaman bordes..

147. Toda la superficie de un sólido es el área de todo el exterior del sólido, incluyendo los

extremos.

148. La superficie convexa de un sólido es la misma que toda la superficie, excepto que

las áreas de los extremos no son incluidas.

149. El volumen de un sólido se expresa por el número de veces que contendrá otro

volumen, llamado la unidad de volumen. En lugar la palabra volumen, la expresión

capacidad cúbica se utiliza con frecuencia.

EL PRISMA Y CILINDRO

150. Un prisma es un sólido cuyos extremos son polígonos iguales y paralelos entre sí, y

cuyos lados son paralelogramos.

151. Un paralelepípedo, Fig. 89, es un prisma cuyas bases (extremos) son

paralelogramos.

152. Un cubo, Fig. 90, es un paralelepípedo cuyas caras y los lados son cuadrados.


76

153. El cubo, cuyos bordes son iguales a la unidad de longitud, se toma como la unidad

de volumen cuando se encuentra el volumen de un sólido.

Por lo tanto, si la unidad de longitud es de 1 metro, la unidad de volumen

será el cubo de cada uno de cuyos bordes medidos de 1 metro, o

1 metro cúbico; y el número de metros cúbicos que el sólido contiene será su volumen.

154. Los prismas toman sus nombres de sus bases. Por lo tanto,

un prisma triangular es uno cuyas bases son triángulos; un prisma pentagonal es uno

cuyas bases son pentágonos, etc.

155. Un cilindro, Fig. 91, es un cuerpo redondo de

diámetro uniforme con los círculos de sus extremos.

156. Un prisma recto o cilindro recto, es aquel cuya línea de centro (eje) es perpendicular

a su base. En este caso todos los sólidos serán considerados como teniendo su centro

en líneas perpendiculares a sus bases.

157. La altitud de un prisma o cilindro es la distancia perpendicular entre sus dos

extremos.

158. Para hallar el área de la superficie convexa de cualquier derecho

prisma o cilindro recto:

Regla. – Multiplicar el perímetro de la base por la altura.

Sea p el perímetro de la base, h la altura, y S

la superficie convexa; entonces, S = p h.

Ejemplo 1.-En un prisma recto cuya base es un cuadrado, un lado de 9 centímetros, y

cuya altura es de 16 centímetros, cual es su área convexa?

Solución.- 9 x 4 = 36 = el perímetro de la base. Aplicando

la fórmula, S = p h = 36 x 16 = 546 centímetros cuadrados, es el área convexa.


77

Para encontrar toda el área, se suman las áreas de los dos extremos para

tener el área convexa:

159. Para hallar el volumen de un prisma recto o cilindro:

Regla.- El volumen de cualquier prisma recto o cilíndrico es igual al área de la base

multiplicada por la altura.

Sea A el área de la base, h la altura, y V el volumen;

Entonces, V = A h..

Si el prisma dado es un cubo, las tres dimensiones son todas iguales, y el volumen es

igual al cubo de uno de los bordes.

Por lo tanto, si se da el volumen, la longitud de un borde se encuentra

mediante la extracción de la raíz cúbica.

Si se les da el volumen y el área, la altura = V / A si el cilindro o prisma es hueco, el

volumen es igual a la área del anillo o de la base multiplicada por la altura.

Ejemplo 1.-¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular cuya base

es 6 centímetros. x 4 centímetros, y cuya altura es de 12 centímetros?

Solución.-La base de un prisma rectangular es un rectángulo. Por lo tanto,

6 X 4 = 24, el área de la base. Aplicando la fórmula V = A h. = 24 x 12 = 288 centímetros

cúbicos.

Ejemplo 2.-¿Cuál es el volumen de un cubo cuyo borde es de 9 centímetros?

Solución. = = 9 X 9 X 9 = 729 centímetros cúbicos. Es el volumen.

LA PIRÁMIDE Y EL CONO

160. Una pirámide, Fig. 92, es un sólido cuya base es un polígono, y cuyos lados

son triángulos que unen en un punto común, llamado el vértice.


78

161. Un cono, Fig. 93, es un sólido cuya base es un círculo, y cuya superficie convexa

se estrecha de manera uniforme a un punto llamado vértice.

162. La altura de una pirámide o cono es la distancia perpendicular desde el vértice a la

base.

163. La altura inclinada de una pirámide es una línea trazada desde el vértice

perpendicular a uno de los lados a la base. La altura inclinada de un cono es cualquier

línea recta trazada desde el vértice hasta la circunferencia de la base.

164. Para hallar el área de una pirámide recta o cono recto:

Regla.- El área convexa de una pirámide recta o cono iguales en el perímetro de la base

de multiplicada por la mitad la altura inclinada.

Sea p el perímetro, s la altura inclinada, y C el área convexa; entonces, C = ps/2

Ejemplo 1.- ¿Cuál es el área convexa de una pirámide pentagonal, si

cada lado de la base mide 6 centímetros y la altura de inclinación es igual

14 centímetros?

Solución.-La base de la pirámide pentagonal es un pentágono, y en consecuencia, tiene

cinco lados.

6 x 5 = 30 centímetros, o el perímetro de la base. Aplicando la fórmula, C = ps/2 30 x 14/2

= 210 centímetros cuadrados. Es el área convexa.


79

165. Para hallar el volumen de una pirámide o cono recto:

Regla.- El volumen de una pirámide recta o cono iguales al área de la base multiplicada

por un tercio de la altura.

Sea A el área de la base, h la altura, y V el volumen; entonces,

V = A h / 3

Si la base de la pirámide es un polígono regular, su área de

puede ser encontrado por las reglas en los artículos. 140 y 141.

Ejemplo 1. -¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular, los bordes

de cuya base miden 6 centímetros, y cuya altura es de 8 centímetros?

Solución.-La base es un triángulo equilátero, por lo tanto, la aplicación de la

regla del art. 141, la área es 6 x 0.433 = 15.59 centímetros cúbicos.

La aplicación de la fórmula, V = A h / 3 = 15.59 x 8 / 3 = 41.57 centímetros cúbicos.

Ejemplo 2.- ¿Cuál es el volumen de un cono cuya altitud es de 18 centímetros, y cuya

base es de 14 centímetros de diámetro?

Solución.- 14 x 14 x 0,7854 = 153,940, es el área de la base. Aplicando la fórmula,

V = Ah / 3 = 153.94 x 18 / 3 = 923.64 centímetros cúbicos.

EL TRONCO DE UNA PIRAMIDE O CONO

166. Si una pirámide es cortada por un plano paralela como en la Fig. 94, a fin de formar

dos partes, la parte inferior se llama el tronco de la pirámide.


80

167. Si se corta un cono de una manera similar,

como en la Fig. 95, la parte inferior se llama el tronco del cono.

168. El extremo superior del tronco de una pirámide o cono se llama la base superior y el

extremo inferior del tronco se llama la base inferior. La altitud de un tronco es la distancia

perpendicular entre las bases.

169. Para hallar el área convexa de un tronco de una pirámide recta o cono recto:

Regla.- El área convexa de un tronco de una pirámide recta o cono recto es igual a la

mitad de la suma de los perímetros de sus bases multiplicada por la altura inclinada del

tronco.

Sea p el perímetro de la base inferior, b la base superior, s la altura inclinada, y C el área

convexa; entonces,

C = ( p + p´/ 2) s


81

Ejemplo 1. -dada, el tronco de una pirámide triangular, en la cual cada lado de la base

inferior mide 10 centímetros, cada lado de la parte superior mide 6 centímetros, y cuya

altura inclinada es de 9 centímetros; encontrar el área convexa.

SOLUCIÓN. - 10 centímetros x 3 = 30 centímetros, el perímetro de la parte baja

base. 6 centímetros X 3 = 18 centímetros, el perímetro de la base superior.

Aplicando la fórmula,

que es el área convexa.

Ejemplo 2 .-- Si los diámetros de las dos bases de un tronco de un

cono son 12 centímetros y 8 centímetros, respectivamente, y la altura inclinada es

12 centímetros, cual es el área total del tronco?

Solución.- es el área total de la superficie

convexa.

8 x 8 x 0.7854 = 50.27 centímetros cuadrados.

12 x 12 x 0,7854 = 113.10 centímetros cuadrados.

113,1 + 50,27 = l63.37 centímetros cuadrados, la zona de los dos extremos.

376,99 + 163,37 = 540,36, toda la zona del tronco

170. Para hallar el volumen del tronco de una pirámide o de un cono.

Regla.- Sumar las áreas de la base superior y la base inferior y la raíz cuadrada del

producto de las áreas de las dos bases; multiplicar eta suma por un tercio de la altura.

Sea A el área de la base inferior, a el área de la base superior, h la altura y V el volumen;

Si la base es un polígono regular, el área puede ser encontrada por

las normas en los Artículos. 140 y 141.

Ejemplo 1.-Dado, un cono de una pirámide hexagonal, cada borde

de la base inferior de mide 8 centímetros, y cada borde de la base superior 5 centímetros,

y cuya altura es de 14 centímetros; ¿cuál es su volumen?

SOLUCIÓN. -A Pirámide hexagonal es aquella cuya

base es un hexágono regular, como se muestra en la Fig. 96.

Por lo tanto, el uso de la fórmula en el art. 140.


82

De manera similar, encuentre el área de la base superior (;, 9 (_ ',

de base para ser 64.95, aplicando la fórmula.

Centímetros cúbicos.

Ejemplo 2, -¿Cuál es el volumen de un cono cuya base superior es de 8 centímetros, la

base inferior es de 12 centímetros de diámetro y cuya altitud es de 15 centímetros?

SOLUICION.-El área de la base superior es de 8 x 8 x 0.7854 = 50.27.

El área de la base inferior es 12 x 12 x 0,7854 = 113.1 casi.

La raíz cuadrada de su producto es

50.27 + 113.1 + 75.4 = 238.77

238.77 x 5 = 1,193.85 centímetros cúbicos.

LA ESFERA

171. Una esfera, Fig. 97, es un sólido delimitada por una superficie curva de manera

uniforme, cuyos puntos son equidistantes de un punto dentro, llama el centro.

172. Para hallar el área de la superficie de una esfera:

Regla. - El área de la superficie de una esfera es igual a la raíz cuadrada del diámetro

multiplicada por 3.1416.

Sea S la superficie y una 'el diámetro; entonces, S = π d x d

Ejemplo.- Cual es el área de la superficie de una esfera cuyo diámetro es de 14

centímetros?


83

Solución. -Aplicando La fórmula, S = π d x d = 3,1416 X 14 x 14 = 3,1416 x 14 x 14 =

615,75 Centímetro cuadrados.

173. Para hallar el volumen de una esfera:

Regla. - El volumen de una esfera es igual al cubo del diámetro multiplicado por 0.5236

Dejemos V ser el volumen y d, el diámetro; entonces.

Ejemplo.-Cuál es el peso de una bala de cañón de 12 centímetros de

de diámetro, si un centímetro cúbico de plomo que pesa 11.35 gramos?

Solución. -Aplicar La fórmula, V = 1/6 x 3.1416 x 12 x 12 x 12 = 0.5236 x 12 x 12 x 12 =

904.78 centímetros cúbicos, el volumen de la bala. 904,78 X 11.35 = 10.27 kilos.

El volumen de una capa esférica, o esfera hueca, es igual a la diferencia de volumen

entre dos esferas que tienen los diámetros exterior e interior de la capa superficial.

174. Para encontrar el diámetro de una esfera de volumen conocido:

Regla. Dividir el volumen de una esfera por 0.5236 y extraer la raíz cubica del cociente.

El resultado es el diámetro.

Ejemplo.- el volumen de una esfera es 96.1 centímetros cúbicos. Cuál es

su diámetro?

Solución. -Aplicando La fórmula,

EL ANILLO CILINDRICO

175. Si cualquier sólido troceado en piezas, cuyas superficies adyacentes

están planas, cualquier pieza se llama un plano de la sección del sólido.


84

Las secciones planas se dividen en tres clases: secciones longitudinales, secciones

transversales y secciones rectas.

Una sección longitudinal es cualquier plano de sección tomada a lo largo

a través del sólido. Cualquier otro plano de sección se llama una

sección transversal. Si la superficie expuesta mediante la adopción de una sección plana

de un sólido es perpendicular a la línea central del sólido, la sección se llama una sección

recta. La superficie expuesta por cualquier sección longitudinal de un cilindro es un

rectángulo. La superficie expuesta por una sección derecha de un cubo es un cuadrado;

de un cilindro o cono, un círculo, con una sección transversal oblicua de un cilindro es una

elipse. La mitad inferior de una sección recta de un cono o pirámide se llama un tronco

del cono o de la pirámide.

176. Para hallar el área convexa de un anillo cilíndrico:

Un anillo cilíndrico es un cilindro doblado a un círculo. La altura del cilindro

antes de doblar es la misma que la longitud de la línea central de puntos D, Fig. 98.

177. La base corresponderá con una sección transversal en

la línea A B trazada desde el centro O. Por lo tanto, para encontrar

la zona convexa, multiplicar la circunferencia de una imaginaria

sección transversal en la línea A B por la longitud de la línea central D.

Ejemplo.- Un pedazo de varilla de hierro redondo se dobla en forma circular para

hacer un anillo de una cadena; si el diámetro exterior del anillo es de 12 centímetros

y el diámetro interior es de 8 centímetros, ¿cuál es su área convexa?

SOLUCIÓN. -El Diámetro del círculo central es igual a la mitad de la suma de los

diámetros interior y exterior.

12 + 8 / 2 = 10, y 10 x 3.1416 = 31.416 centímetros, que es la longitud de la línea al

centro. El radio del interior círculo es de 4 centímetros, del círculo exterior 6 centímetros;

Por lo tanto, el diámetro de la sección transversal en la línea A B es de 2 centímetros.

Luego, 2 x 3.l4l6 = 6.2832 centímetros, y 6,2832 x 31.416 = 197.4, 01 que es el valor del

área el convexa de los diámetros interior y exterior.


85

178. Para hallar el volumen de un anillo cilíndrico:

El volumen será el mismo que el de un cilindro cuya altitud es igual a la longitud de la

línea central de puntos D, figura 99 y cuya base es la misma que una sección transversal

del anillo en la línea AB, trazada desde el centro O. Por lo tanto, para encontrar el

volumen de un anillo cilíndrico, multiplicar el área de una sección transversal imaginaria

en una línea AB, por la longitud de la línea central D.

Ejemplo.- Cual es el volumen de un anillo cilíndrico cuyo diámetro exterior es de 12

centímetros y cuyo diámetro interior es de 8 centímetros?

Solución.- El diámetro del centro del circulo es igual a la mitad de la suma de los

diámetros interior y exterior. = (12 + 8) / 2 = 10 centímetros.

10 x 3.1416 = 31.416 centímetros, el largo de la línea del centro.

El radio del circulo exterior es de 6 centímetros, el del interior 4 centímetros; entonces, el

diámetro de la sección transversal en la línea A B es igual a 2 centímetros.

Entonces 2 x 2 x 0.7854 = 3.1416, el área de la sección transversal imaginaria y 3.1416 x

31.416 = 98.7 centímetros cúbicos el volumen.


1. Encontrar el peso de una barra de hierro de 16 metros de largo y 2 centímetros de

de diámetro, el peso del hierro que se toma en 7.8 gramos por centímetros cúbico.

76.507 kilogramos, casi.

.

2. ¿Cuál es el área de toda la superficie de un prisma hexagonal

30.5 centímetros de largo, cada borde de la base es 2.5 centímetros de largo?


3. ¿Cuál es el volumen de una pirámide triangular, un borde de cuyas

medidas de base 7.6 centímetros, y cuya altitud es de 10 centímetros?

33.55 centímetros cúbicos.

4. Encuentre el volumen de un cono cuya altitud es de 30.5 centímetros, y la

circunferencia cuya base es 79.79 centímetros = 5,148 centímetros cúbicos.

5. Un tanque redondo es de 8 pies de diámetro en la parte superior (en el interior) y 10

pies en el fondo. Es el depósito es de 12 pies de profundidad, ¿cuántos galones hará que


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sostenga, existiendo 231 pulgadas cúbicas en un galón? 5,734.2 gal.

6. Encontrar, el área de la superficie convexa del tronco de una

pirámide cuadrada cuya altitud es de 16 pulgadas, un lado de la base inferior

siendo 28 pulgadas de largo, y de la base superior 10 pulgadas.

1,395.36 pulgadas cuadradas..

7. ¿Cuál es el volumen de una esfera de 30 pulgadas de diámetro?

14,137.2 pulgadas cubicas.

.

8. ¿Cuántas pulgadas cuadradas en la superficie de la esfera del

ejemplo No.7,…….. 2,827.44.

9. Encontrar, el área de la superficie convexa de un anillo circular, el

diámetro exterior del anillo de ser 10 pulgadas y el diámetro interior

7.5 pulgadas?, …..107.95 pulgadas cuadradas.

10. Encontrar los contenidos cúbicos del anillo en el último ejemplo.

33.734 pulgadas cubicas.

11. El volumen de una esfera es 606.132 pulgadas cúbicas; encontrar, el área de la

superficie convexa de un cono cuya inclinación altura es 10 pulgadas, y el diámetro de

cuya base es el mismo que el diámetro de la esfera. = 164.934 pulgadas cuadradas. En.

12. ¿Cuál es el volumen del tronco de ejemplo 6? = 6,208, pulgadas cubicas.

PROYECCIONES.-

179. Si dibujamos líneas perpendiculares desde las extremidades de

una línea, como A B, Fig.100 o Fig. 102, hasta otra línea como H K, como se muestra en

las figuras, esta porción de H K, comprendida entre el pie de cada línea perpendicular se

llama la PROYECCION de A B, sobre H K. Entonces C D, es la proyección de A B, sobre

H K, y el punto D es la proyección del punto A sobre H K, y el punto D es proyección del

punto B, sobre H K.


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La proyección de cualquier punto de A B, como E, se puede encontrar trazando una

perpendicular de E a H K, y el punto donde esta perpendicular intersecta HK es su

proyección; en este caso el punto F es la proyección del punto E K.

De lo anterior es evidente que la proyección de cualquier línea recta sobre otra línea

se encuentra considerando la línea inclinada como hipotenusa de un triángulo rectángulo,

como A B, Fig. 101, de modo que la longitud proyectada se pueden encontrar

multiplicando la hipotenusa por el coseno del ángulo que hace con la otra línea; Por lo

tanto, A D es la proyección de A B sobre la línea horizontal A C y B D que es su

proyección por la línea vertical.

No hace ninguna diferencia si una línea es recta o curvada, el método de para encontrar

la proyección es exactamente lo mismo.

De una manera similar, una superficie que se proyecta sobre una superficie plana.

Por lo tanto, se desea proyectar la superficie irregular a b d c, Fig. 103, sobre superficie


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plana A B D C. dibujando las líneas a´, b b´, perpendicular a la superficie plana;

uniéndose a los puntos a´, b´ donde estas perpendiculares se intersectan con la superficie

plana A B D C por una línea recta a´ b´, y a' b 'es la proyección de a b sobre A B D C. La

proyección de la superficie a b d c sobre el plano A B D C es, en este caso, el

cuadrilátero a´ b´ d ć´.

FIGURAS SIMETRICAS Y SIMILARES

180. Un eje de simetría es cualquier línea dibujada que, si la parte de la figura en un lado

de la línea se dobla en esta línea, la hará coincidir exactamente con la otra parte.

punto por punto y línea por línea. Por lo tanto, en la fig. 104, si se puede plegar la mitad

superior más en el diámetro C D, coincidirá exactamente con la mitad inferior; También, si

la parte de la derecha del diámetro A B se pliega sobre el A B, coincidirá exactamente con

la parte de la izquierda de esta línea.

Es evidente de lo anterior que un círculo puede tener cualquier número de ejes de

simetría. En ciertos casos, sin embargo, una cifra puede ser simétrica con respecto a un

solo eje. Por lo tanto, el triángulo isósceles A B C, Fig. 105, es simétrico con respecto al

eje B D, debido a que la parte B C D coincidiría con la parte B A D si pliega en la línea B


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D; pero otro eje de simetría no se puede dibujar. El rectángulo tiene dos ejes de simetría a

la derecha ángulos entre sí. Un hexágono tiene seis ejes de simetría.

181. Cifras similares son los que son iguales en forma. Como en el caso de triángulos,

que han sido considerados, dos figuras, para ser similares, debe tener sus

correspondientes lados proporcionales y los ángulos de uno igual a los ángulos

correspondientes al otro. Cualquiera de dos círculos o cualquiera de dos polígonos

regulares del mismo número de lados son similares.

182. Las áreas de dos figuras semejantes son entre sí como los cuadrados de cualquier

dimensión. Así, un paralelogramo gramo 10 pulgadas de largo y 4 pulgadas de ancho

contiene 40 cuadrados pulgadas. A similares paralelogramo 20 pulgadas de largo serían

8 pulgadas de ancho, y contendría 160 cuadrados 'pulgadas, mientras que

las dos áreas serían entre sí como los cuadrados de los lados correspondientes de los

paralelogramos. Esto es,

Ejemplo.- Un círculo de 10 pulgadas de diámetro contiene 78,54 pulgadas cuadradas,

cuál es el área de uno 12 pulgadas de diámetro?

Solución.-Sea x = el área del círculo más grande. Luego,

183. El contenido cúbico (y pesos) de sólidos similares son el uno al otro como los cubos

de cualquier dimensión.

Ejemplo 1 -Si una bola de hierro fundido de 9 pulgadas de diámetro pesa 100

libras, cuanto pesaría una 15 pulgadas de diámetro?

Solución.-

el peso de la bola más grande.

Ejemplo 2. -Un hexágono regular tiene 5 lados de 5 pulgadas de largo; Cuánto

mayor será el área de otro hexágono regular será cuyos lados son

30 pulgadas de largo?

Solución.- 30 + 5 = 6, o la longitud de un lado de un 30 pulgadas


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hexágono es 6 veces tan grande como la longitud de un lado de un hexágono 5 pulgadas;

el área será de 6 '= 56 veces tan grandes.

Este ejemplo también puede ser resuelto dejando 1 (uno) representar el área de

el hexágono de 5 pulgadas. Luego,

184. Los principios que figuran en Artículos. 182 y 183 son extremadamente útiles y

encontramos muchas aplicaciones en la práctica. Especialmente en la práctica de

delineación de habitaciones. Delineantes casi invariablemente hacen sus dibujos a escala,

como se dice; es decir, el tamaño del papel que está utilizando les impide dibujar en una

máquina u otro objeto de tamaño completo, y son obligados a dibujarlos a la mitad de

tamaño, el tamaño de un cuarto, de uno duodécimo tamaño, etc. en otras palabras, cada

línea o dimensión en el dibujo es ½, ¼, 1/12, etc. la longitud de la correspondiente

línea o dimensión en el objeto. Por ejemplo, el objeto representado en la Fig. 88 es más

que el tamaño real, 1/8 del tamaño del objeto la longitud de cada línea o dimensión en el

corte sólo como 1/8 tan largo como puede ser donde el dibujo es de tamaño real.

Supongamos que no hubo dimensiones dadas, pero sabíamos que el dibujo era 1/8 de el

tamaño real, y queríamos conocer la área real de la figura. Podríamos medir dichas

líneas y dimensiones que eran necesarios y calcular el área de la figura representada en

el dibujo. Luego, a sabiendas de que esta cifra es similar en su contorno el objeto en sí

mismo y que es 8 veces más largo que su correspondiente línea o dimensión en el dibujo

podríamos hallar el área del objeto de multiplicar la se obtiene el área de figura por 8 x 8,

o 64. El multiplicador 8 x 8 es obtenido desde la proporción (véase el Art. 182),

área de la figura: área real del objeto = 1x1: 8 x 8,

o el área real del objeto = 64 x área de la figura.

De lo anterior, se verá fácilmente que si conocemos el área de cualquier figura, sea cual

sea su forma, el área de cualquier figura similar puede ser encontrado por buscando la

relación entre dos líneas o dimensiones colocados de manera similar y elevando al

cuadrado la proporción. Además, si se conoce el volumen de cualquier sólido el

volumen de un sólido similar puede ser encontrado por buscando la relación

de cualquiera de las dos líneas o dimensiones colocado y el tubo de manera similar

elevando al cubo la proporción. Por ejemplo, supongamos que el área de una cierta figura

se sabe que es 1,024 pulgadas cuadradas y se desea hallar el área de una figura similar,

el cociente de dos cualesquiera correspondiente dimensiones siendo 5: 4 ó 1 ¼: 1. El área

deseada se obtiene multiplicando el área conocida por o cuadrando la


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proporción 5: 4, obteniendo 25: 16; poniendo esto en la forma fraccionada , y

multiplicando 1.024 por esta fracción, tendremos 1.024 x = 1,600 pulgadas

cuadradas. De nuevo, si se conoce el volumen de un determinado sólido, el

volumen de un sólido similar que es, por ejemplo, con dimensiones 1/3 de grande, se

pueden encontrar fácilmente multiplicando el volumen por .

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Geometria y trigonometria aplicadas