그래프와 그래프 알고리즘(Graph & Graph Algorithm)

Wider planet Tech Talk2015.10.22

조은우

그래프 (Graph) 란 무엇인가 ?

• 현상이나 사물들을 정점 (Vertex) 으로 표현하고 ,

정점들간에 관계를 간선 (Edge) 으로 표현한 것

• 도로 시스템• 도시와 도시간의 항공편

• 트리 (Tree) 도 그래프의 한 종류

그래프 용어 (1)• 정점 (Vertex): 정점 , 꼭지점 , 노드라고도 부르며 , 그래프 알고리즘의 핵심

• 간선 (Edge): 정점들 간의 관계를 나타냄 . 간선이 방향을 가지면 유향 그래프 (Directed Graph)

• 가중치 (Weight): 한 정점에서 다른 정점으로 가는데 발생하는 비용

• 경로 (Path): 간선으로 연결된 정점들을 순서대로 나열한 것

• 순환 (Cycle): 유향 그래프에서 순환은 시작 정점과 마지막 정점이 같은 경로 . 순환이 없는 그래프는 Acyclic graph. 유향그래프가 순환을 갖지 않으면 Directed acyclic graph

그래프 용어 (2)

G = (V, E)

그래프 G 는 N 개의 정점의 집합 V 와 간선들의 집합 E 로 구성

코드로 추상화 (ADT) 한 그래프• Graph 클래스 : 비어있는 새 그래프 객체를 생성

• addVertex(vert): Vertex 클래스의 인스턴스 (vert) 를

인자로 전달해서 그래프에 정점을 추가

• addEdge(fromVert, toVert, weight): 인접한 2 개의

정점을 잇는 간선을 추가 , 마지막 인자는 가중치 ( 선택 )• getVertex(vertKey): vertKey 를 이름으로 갖는 정점을

찾음

• getVertices(): 그래프안에 있는 모든 정점들의 리스트를

반환

그래프의 표현인접 행렬 (Adjacency Matrix)

• 두개의 정점이 간선에 의해 서로 연결되어 있으면 인접하다(adjacent)

• 정점 v 에서 정점 w 까지의 간선의 가중치가 각 셀에 저장됨

그래프의 표현인접 리스트 (Adjacency List)

• 그래프의 모든 정점을 기준 리스트로 유지하고 , 각 정점들마다 인접한 정점들을 리스트로 연결• 인접행렬과 달리 존재하지 않는 간선은 표현상에 나타나지 않음

인접 행렬 (Adjacency Matrix)

장점• 간단해서 이해하기 쉬우며 , 간선의 존재여부를 즉각 알 수 있음• 밀도가 아주 높은 그래프를 표현하기에 적합

단점• 행렬을 준비하는 과정에서 정점의 개수 (n) 의 제곱만큼의 공간과 시간이 필요함

• 밀도가 낮은 그래프는 빈 공간이 많이 생기기 때문에 적합하지 않음

인접 리스트 (Adjacency List)

장점• 공간이 간선의 총 개수에 비례하는 양만큼만 필요하므로 낭비가 없음• 밀도가 낮은 그래프를 표현하는데 적합• 특정 정점을 기준으로 연결되어 있는 모든 간선을 쉽게 찾을 수 있음

단점• 모든 정점에 간선이 존재하는 경우 리스트를 만드는데 많은 비용이 발생• 정점들간에 간선의 유무를 확인하기 위해 리스트를 차례로 훓어야함

<?php

class Vertex{ public function __construct($key) { $this->id = $key; $this->connect_to = array(); }

public function addNeighbor($neighbor, $weight = 0) { $this->connect_to[$neighbor->getId()] = array('neighbor' => $neighbor, 'weight' => $weight); }

public function getConnections() { return array_keys($this->connect_to); }

public function getId() { return $this->id; }

public function getWeight($neighbor) { return $this->connect_to[$neighbor->getId()]['weight']; }}

PHP 클래스로 정점의 인접 리스트 구현

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단어 사다리 문제(The Word Ladder Problem)

• ‘ 이상한 나라의 엘리스’의 작가 ‘루이스캐럴’ 발명• 시작 단어에서 도착 단어까지 한글자씩 바꿔가면서 도달• 각 단계마다 모두 의미가 있는 단어가 되어야 함

단어 사다리 그래프 만들기• 각각의 단어들이 정점 (Vertex)

• 무향 그래프 (Undirected Graph) 이며 가중치를 갖지 않음

• 한글자만 다른 두 단어는 서로 인접하여 , 간선 (Edge) 으로 연결됨

단어 사다리 그래프 구현1. 모든 정점들마다 다른 정점과 비교

• 단점 : 비교하는 횟수는 단어 개수에 제곱2. 단어의 한글자만 가린 라벨을 단 단어 버켓을 만들어 단어들을 분류

단어 사다리 그래프 구현<?phprequire_once('Graph.php');

function buildGraph($word_file){ $container = array(); $graph = new Graph();

$f = fopen($word_file, "r"); if ($f) { while (($word = fgets($f)) !== false) { $container = setBucketContainer(trim($word)); } fclose($f); } else { throw new Exception(' 파일을 읽을 수 없습니다 .'); }

$bucket_keys = array_keys($container); foreach ($bucket_keys as $bucket) { foreach ($container[$bucket] as $word1) { foreach ($container[$bucket] as $word2) { if ($word1 != $word2) { $graph->addEdge($word1, $word2); } } } } return $graph;}

단어 사다리 그래프 구현 (2)

function setBucketContainer($word){ $container = array(); $word_length = strlen($word); for ($i = 0; $i < $word_length; $i++) { $bucket = substr($word, 0, $i) . '_' . substr($word, $i + 1, ($word_length - 1) - $i); if (array_key_exists($bucket, $container)) { array_push($container[$bucket], $word); } else { $container[$bucket] = array($word); } } return $container;}

너비 우선 탐색(Breath First Search)

• 탐색과정을 트리로 표현하면 이해하기 쉬움

• 루트 (root) 노드를 시작으로 같은 거리에 있는 자식 노드들을 탐색

• 부모 노드는 자식 노드들은 전임자 (Predecessor) 로 등록하고 , 현재까지의 누적 거리를 저장

너비우선탐색 (BFS) 구현function bfs($start_vertex){ $start_vertex->setDistance(0); $start_vertex->setPredcessor(false);

$queue = array(); array_push($queue, $start_vertex);

while (count($queue) > 0) { $current_vertext = array_shift($queue); $neighbor = $current_vertext->getConnections();

foreach ($neighbor as $nbr_vertext) { if ($nbr_vertext['neighbor']->getColor() == 'white') { $nbr_vertext['neighbor']->setColor('gray'); $nbr_vertext['neighbor']->setDistance($current_vertext->getDistance() + 1); $nbr_vertext['neighbor']->setPredecessor($current_vertext); array_push($queue, $nbr_vertext['neighbor']); } } $current_vertext->setColor('black'); }}

bfs($word_radder->getVertex('fool'));

Github

$ git clone https://github.com/jonnung/word_ladder_graph

감사합니다 .