UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LOS LLANOS OCCIDENTALES

EZEQUIEL ZAMORA

PROFESOR: INTEGRANTES: ENRIQUE MURILLO HIDALGO JORGE AZUAJE LESLY ING. EN INFORMÁTICA

BARINAS, SEPTIEMBRE DE 2016

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LOS LLANOS OCCIDENTALES

EZEQUIEL ZAMORA

PROFESOR:

ENRIQUE MURILLO

INTEGRANTES:

HIDALGO JORGE Nº C. I. V-19.187.649

AZUAJE LESLY N° C. I. V-22.308.686

ING. EN INFORMÁTICA

BARINAS, SEPTIEMBRE DE 2016

INTEGRAL DE LINEA

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las

interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral

de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es

evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano

complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;

El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que

se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto

a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por

campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;

la parametrización de una trayectoria en . Se llamaintegral de

línea de F sobre a la integral:

Una forma mas utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector

diferencial de curva también se pude expresar así:

4

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

Curvas en el espacio

Sea )(tr

el vector posición de un punto en el espacio, 0r , una constante, t un

parámetro que puede ser el tiempo.

Estudiemos trtr cos)(

i

+ rsent j

irirr

1)0( jrjrr

1)2

(

5

Además rrtsenrtrtr 22222 cos)(

Como el módulo del vector )(tr

es r, su extremo estará siempre sobre una circunferencia

de radio r.

La figura siguiente muestra el recorrido del extremo de )(tr

cuando t varía de 0 a 2

.

Si examinamos la ecuación de vectorial de una recta que pasa por P(0,1,1) y Q(1,2,3).

Vemos que para que R(x,y,z) esté sobre la recta QtPPOr

, para algún número real t.

ttttzyx 21,1,2,1,1)1,1,0(,,

Por lo tanto ktjtittr

)21)1()( , con parámetro t, recorre tal tipo de curva.

Y

X

Cuando t varía de 0 a 2

,

20

t , )(tr

describe una curva C, que consiste en un

cuarto de circunferencia.

P

R(x,y,z) Q

O(0,0,0)

(0,1,1)

(1,2,3)

6

Una mas amplia explicación se encuentra en Stewart 1 , cap. 10, secc. 10.1, pags. 704 a

710.

En Stewart 1 , capítulo 10, a partir de la siguiente gráfica y la definición )(tr

h

trhtr )()(lim

,

Se concluye que )(tr

es tangente a la curva descrita por el extremo (x,y) del vector )(tr

.

(Pags. 710 a 715, cap. 10, Stewart 1 ).

Para obtener el vector T

de longitud 1, tangente a la curva, se utiliza como es usual

)(

)(

tr

trT

Estos resultados se generalizan a los vectores en dimensión 3.

Además, si ktzjtyitxtr

)()()()( , tenemos que ktzjtyitxtr

)()()()( , en

donde )(),(),( tztytx son derivadas convencionales en una variable.

Ejemplo

Sea jtsenittr

)()cos()( . Por lo tanto jtyitxtr

)()()( , donde )cos()( ttx

)()( tsenty . Luego )()( tsentx , )cos()( tty

Por lo tanto jtitsentr

)cos()()(

Vemos que para obtener la derivada del vector (en la variable t), basta con derivar cada una

de sus componentes con respecto a t. Recordemos de nuevo que el vector unitario, tangente

a la curva es )(

)(

tr

trT

.

Longitud de una curva

Stewart 1 , pag. 716, cap. 10, señala que la longitud S, de la curva

0t

X

Y (x(t),y(t),z(t))

C = { (x(t),y(t),z(t)) | bta }

Está dada por:

(1) S = b

a

dttztytx 222 )()()(

= b

a

dttr )(

7

Ejemplo:

La curva trtr cos)(

i

+ r sent j

, 20 t , r constante, es una circunferencia

de radio r.

jtyitxtr

)()()( , donde )cos()( trtx , )()( trsenty

Por lo tanto jtrirsentjtyitxtr

cos)()()(

Luego S =

2

0

2

0

2

0

2

0

222222 cos)()( rtrdtdttrtsenrdttytx = 2 r.

Coincidiendo con un resultado bastante conocido, la fórmula de la longitud de la

circunferencia de radio r.

De (1) se concluye (2) )()()()( 222 trtztytxdt

ds

.

La expresión diferencial dttrds )(

será utilizada mas adelante.

Trabajo desarrollado por una fuerza al describir una curva.

El trabajo de una fuerza que se mueve sobre una línea recta, se define como W =FS, si la

fuerza está en la misma dirección que el movimiento, siendo S el espacio recorrido. Cuando

el ángulo entre la fuerza F

y la recta sobre la cual se aplica, es , el trabajo será

W =F cos S = SF

.

Donde S

es un vector de longitud S y en la dirección del desplazamiento de la fuerza, sobre

la recta en la cual se aplica la fuerza.

θ

S

S

8

En el caso de una fuerza variable (vector F

) que se aplica sobre una curva, se define el

trabajo como:

W= C

dsTF )(

En donde T

)(

)(

tr

tr

, es un vector unitario en la dirección de la recta tangente a la curva y

la integral sobre la curva C se calcula como se señala a continuación.

Si denota el producto escalar o producto interno de vectores, la integral

C

dsTF )(

.

Se denomina la integral de línea de TF

, ya que el trabajo depende no sólo de la fuerza

F

si no también de la forma de la curva C.

TF

No es un vector, sino un número que varía a lo largo de C.

Ciii syxfdsyxf ),(lim),(

Donde

ii yx , es un punto intermedio entre dos puntos Pi-1,Pi de la curva y is es la

longitud de la curva entre dichos puntos.

La curva se ha dividido en infinitas porciones, como se hace siempre que se define una

integral.

Es claro que debe haber una diferencia entre

n

*

*

Pi-1

Pi

9

C dsyxf ),( , C dxyxf ),( , C dyyxf ),(

Estas diferencias se estudiarán mas adelante en mayor detalle.

)()()()( 222 trtztytxdt

ds

, definiremos

C dsyxf ),( = b

a

dttytxtytxf 22 )()())(),((

En donde aparentemente se ha efectuado un cambio de variable, con el correspondiente

cambio de los límites de integración.

Por lo tanto

C dsyxf ),( = b

a

dttrtytxf )())(),((

, en donde jtyitxtr

)()()(

Ejemplo: Evaluar C

dsyx )2( 2 , en donde C es la mitad superior del círculo unitario

Solución: Al utilizar el ángulo t como parámetro tenemos que:

)()(),cos()(, tsentyttxyxC

O lo que es lo mismo: jtsenittr

)()cos()( .

Por lo tanto: )()(cos)( 22 tsenttr

= 11

Luego: C

dsyx )2( 2 =

0 0 0

22 )()(cos21)()(cos2 dttsentdtdttsent =

=2

0

3

0 3

)(cos tt =

3

22

3

1

3

12

3

)0(cos

3

)(cos2

33

Nota: al integrar dttsent )()(cos 2 , se tuvo en cuenta que )())(cos(

tsendt

td o sea que si

)cos(tu , entonces dttsendu )( .

(-1,0) (1,0)

10

(0,0)

*(1,1)

La integral C dsyxf ),( , se denomina la integral de línea de f respecto a la longitud de

arco.

Ejemplo: Evalue C

xds2 , donde C es la curva descrita por el arco de la parábola 2xy , de

(0,0) a (1,1).

Ejemplo: Evalúe C

xds2 , donde C es la recta vertical que va de (1,1) a (1,2).

Si integramos C

xds2 , donde C es el segmento de recta entre los puntos (1,0) y (2,0).

En el eje X, tenemos que 0y y 21 x

Parametrizando 2xy , x=x, en el

parámetro x. 1)(,2)( xxxxy

C

xds2 = 1

0

2)2(12 dxxx = 1

0

2412 dxxx =

1

0

221

2 )41(414

1xdx =

1

0

2

3241

3

2

4

1x =

=6

155

(1,1)

(1,2)

*

* Aquí el parámetro obligado es y, ya que la x es

constante, x=1. Luego yyy )( , 1)( yx . Por lo tanto

0)(,1)( yxyy . Por consiguiente:

C

xds2 = 2

1

2

1

2

1

22 2212))(())(()1(2 ydyyyyx

Utilizando a x como parámetro

1)(,0)(

)(,0)(

xxxy

xxxxy

C

xds2 = 2

1

2

1

2 212 xdxdxx

Coincidiendo aparentemente en este caso con la integración

normal

Y

X *

(1,0) (2,0)

11

Se define de manera similar

Ciii xyxfdxyxf ),(lim),(

Ciii yyxfdyyxf ),(lim),(

De esta manera resulta que si )(),( tyytxx , entonces:

C dxyxf ),( = b

a

dttxtytxf )())(),((

C dyyxf ),( = b

a

dttytytxf )())(),((

Ejemplo:

Evaluar C dxy 2 , donde C es el segmento de recta que va de (-5,-3) a (0,2).

Las ecuaciones paramétricas de dichas rectas son:

55)( ttx , 35)( tty , por lo tanto C

dttdttxtdxy1

0

1

0

222 5.)35()()35(

Los límites de integración para t se calcularon notando que en t=0, x(0)=-5, y(0)=-3 (el

punto (-5,-3)) y para t=1, x(1)=0, y(1)=2 (el punto (0,2)).

n

n

(-5,-3)

(0,2)

12

Luego

Ct

ttdtttdxy

6

54905059

2

30

3

2559

2

30

3

255930255

1

0

1

0

2322 =

3

7

6

14

Note que la ecuación cartesiana de la recta que pasa por los puntos 3,5 y (0,2) es

2 xy . Luego 44)2( 222 xxxy Por lo tanto

0

5

0

5

230

5

2322

6

7054

2

54

3

54

2

4

344 x

xxdxxxdxy =

3

35

Este valor no coincide por supuesto con la integral sobre C calculada antes, lo cual muestra

que estos conceptos son totalmente diferentes y por lo tanto sus aplicaciones.

Además, si evaluamos la integral de línea c dxy 2 , donde C es el segmento de recta en el eje

x, 05 x , tenemos que y(x)=0 y x(x)=x, parametrizando respecto de x, por lo tanto

1)( xx

Por ello C

C

dxdxy 002 , dando como podría esperarse un valor diferente cada una de

las integrales calculadas antes.

A menudo se presentan al mismo tiempo la integración de línea respecto a x y respecto a y,

tal como:

C CC

dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ,,),(),(

Ejemplo: Evalúe xdydxyC

2 donde:

a) C=C1, es el segmento de recta que

va de (-5,-3) a (0,2).

b) C=C2, es el arco de parábola 24 yx de (-5,-3) a (0,2)

(-5,-3)

(0,2) C1

C2

4

13

Solución:

a) Sabemos que la ecuación paramétrica de C1 es 35)(,55)( ttyttx .

Luego 10,5)(,5)( ttytx

Por lo tanto xdydxyC

2 =

1

0

25)55()535( dttt =

dtttt )5593025(5

1

0

2 =

5 dttt )42525(

1

0

2

= 6

24755054

2

25

3

2554

2

25

3

25 1

0

23

t

tt=

6

5

b) Tomando a y como parámetro 23,,4 2 yyyyx , e

2

3

2

3

22

2

3

2

3

22

6

540424)()(

2

dyydyyydyyyxdyyxyxdydxyC

Comenta que si integramos C

QdyPdx , en dirección contraria, cambiando la

parametrización con 10 t , pero yendo de (0,2) a (-5,3), en el caso de la recta,

tendríamos que

Cc

QdyPdxQdyPdx ,

más que si la integral de línea es respecto al arco, entonces

C C

dsyxfdsyxf ),(),(

Integrales de línea en el espacio

En el espacio se define de manera similar

C

b

a

dttrtrfdszyxf )())((),,(

Las otras fórmulas se generalizan igualmente.

Ejemplo: Evaluar senzdsyC

Donde C es la hélice circular

tzsentytx ,,cos , 20 t (Stewart 1 ,cap 13, pag. 931).

Solución:

14

senzdsyC

=

2

0

)( dttrsentsent =

2

0

2

0

2222 21cos tdtsendtttsentsen

=

2

0

2

0

222

1

2

2)2cos1(

2

12 tsentdtt

Ejemplo 6:

Evalúe C

xdzzdyydx , donde C es la curva que se muestra en la siguiente figura:

C2 se caracteriza por 4,3 yx , 50 z .

A diferencia del libro, lo parametrizaremos por z ( a diferencia del libro)

zzzyzx ,4)(,3)(

Luego: 15333)()(40

5

0

5

0

52

zdzdzdzzyzdzzxxdzzdyydxC

.

Ya que 0)()( tytx .

Nota: Al cambiar la parametrización no cambia el valor de la integral de línea.

Luego:

21

5,9)15(5,24CCC

xdzzdyydx .

Integrales de línea de campos vectoriales

En la página 4 se definió el trabajo de una fuerza F

(vectorial) al recorrer una curva C,

como

W= C

dsTF )(

(2,0,0)

(3,4,0)

(3,4,5) Z

Y X

C1

C2

Las coordenadas paramétricas de C1 son:

tx 2 , ty 4 , tz 5

Luego:

1

1

0

)()2()(5)(4C

dttztdttytdttxtxdzzdyydx

=

1

0

2455)2(204 dtttdttdt . Ver pag. 931

15

Definición:

Definimos (bajo ciertas condiciones de continuidad) la integral sobre una curva “suave” C

(las coordenadas parmétricas son continuas y no todas iguales a 0 al mismo tiempo) así:

C C C

dsTFdttrtrFdrF (*))()())((

,

Donde T

es un vector tangente a C, unitario, que varía a medida que varía t (o ))(( trF

.

En la definición se ha sustituido dttr )(

como rd

.

(*) Recuerde que )(

)(

tr

trT

y ds = dttr )(

Ejemplo:

Evaluar C

drF

donde kzkjyzixyzyxF

),,( y C es la curva cúbica torcida dada por:

10,,, 32 ttztytx .

ktjtittr 32)( . Ahora ktjtitkttjttitttrF

4533322))((

Luego 63663 532)())(( ttttttrtrF

. Por lo tanto

28

27

7

5

4)5()())((

1

0

1

0

7463

C

ttdtttdttrtrF

Relaciones entre las integrales de línea de los campos vectoriales y los campos

escalares

Si ktztytxRjtztytxQitztytxPtrF

))(),(),(())(),(),(())(,9(),(())((

Donde P, Q y R son campos escalares (reales), tenemos que:

C C

dttrtrFrdF )())((

=

b

a

dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP )())(),(),(()())(),(),(()()).(,(),((

= C

RdzQdyPdx

Por ejemplo, la integral C

xdzzdyydx ,

podría expresarce como c

drF.

, donde kxjziyzyxF

),,(

16

Teorema fundamental de las integrales de línea

El teorema fundamental del cálculo dice:

b

a

aFbFdxxF )()()(

Una expresión similar existe para las integrales de línea.

Sea C una curva suave ( )(tr continua, 0)( tr

, t ). Sea f una función derivable de

dos otres variables, cuyo vector gradiente f sea continuo en C. Entonces:

C

arfbrfdrf ))(())((

Un campo vectorial F

se denomina conservativo si existe una función f

Tal que Ff

. La integración de línea de campos conservativos se puede efectuar

utilizando a f como una especie de “antiderivada” para la cual su “derivada” es Ff

.