Matematica basica Cristhofer Valle

Matemática Básica

Ing. Cristhofer Valle Midence

Contenido: Productos notables, factorización, ecuaciones, sistemas de ecuaciones

y funciones.

Productos Notables:

1) (3x4 – 5y2)2 = (3𝑥4)2 − 2(3𝑥4)(5𝑦2) + (5𝑦2)2 = 9𝑥8 − 30𝑥4𝑦2 + 25𝑦4

2) (x + 4)2 = (𝑥 )2 + 2(𝑥 )(4) + (4)2 = 𝑥2 + 8𝑥 + 16

3) (y2 – 3y) (y2 + 3y) = 𝑦4 − 9𝑦2

4) (a + 1)3 = (𝑎)3 + 3(𝑎)2(1) + 3(𝑎)(1)2 + (1)3 = 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 1

5) (x2 – 3y)3 = (𝑥2)3 − 3(𝑥2)2(3𝑦) + 3(𝑥2)(3𝑦) − (3𝑦)3 = 𝑥6 − 9𝑥4 + 9𝑥2𝑦 − 27𝑥3

Factorización de Polinomios

Caso1: Factor Común

1) 18𝑚𝑥𝑦2 – 54𝑚2𝑥2𝑦2 + 36𝑚𝑦2

El máximo coeficiente que los divide a todos es 9 y en las variables el factor

común es my2

Así la factorización de:

18𝑚𝑥𝑦2 – 54𝑚2𝑥2𝑦2 + 36𝑚𝑦2 =9 𝑚𝑦2(2𝑥 − 6𝑚𝑥2 + 4)

1) 2x (a – 1) – y (a – 1) en este caso la el factor común es el polinomio (a – 1)

Así la factorización es: R. (𝒂 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝒚)

Caso 2: Factor Común por Agrupación de Términos

La forma del polinomio es (ax + bx + ay + by) y su solución es:

(ax + bx) + (ay + by) aquí se agrupan los términos que sean semejantes.

x (a + b) + y (a + b) aquí se extrae el factor común de cada paréntesis.

R: (a + b) (x + y)

Ejemplo:

1) 3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛

Solución: (3𝑚2 − 6𝑚𝑛) + (4𝑚 − 8𝑛)

3𝑚(𝑚 − 2𝑛) + 4(𝑚 − 2𝑛)

R. (𝒎 − 𝟐𝒏)(𝟑𝒎 + 𝟒)

2) 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2

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(3𝑎𝑏𝑥2 − 2𝑥2) + (3𝑎𝑏𝑦2 − 2𝑦2) 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑥2(3𝑎𝑏 − 2) + 𝑦2(3𝑎𝑏 − 2) 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠

R. (𝟑𝒂𝒃 − 𝟐) (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

Caso 3: Trinomio Cuadrado Perfecto

Ejemplos:

1) 𝑚2 + 2𝑚 + 1

Solución: (𝑚 +

1)2 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜.

𝑚2 + 2𝑚 + 1 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

2) 1 – 16ax2 + 64a2x4

Solución:

(1 − 8𝑎𝑥2)2 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

(1)2 − 2(1)(8𝑎𝑥2) + (8𝑎𝑥2)2

= 1 − 16𝑎𝑥2 + 64𝑎2𝑥4 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

3) X2 + bx + b2 / 4

Solución:

(𝑥 + 𝑏/2)2 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

(𝑥)2 + 2(𝑥)(𝑏/2) + (𝑏/2)2

= 𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑏2/4 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

Caso 4: Diferencia de Cuadrados Perfectos

(a2 – b2) = (a + b) (a – b)

Ejemplos:

1) 49 x2y6 z10 – a12 = 𝑹. (7𝑥𝑦3𝑧5 + 𝑎3)(7𝑥𝑦3𝑧5 − 𝑎3)

2) a2n – 9b4m = 𝑹. (𝑎𝑛 + 3𝑏2𝑚) (𝑎𝑛 − 3𝑏2𝑚)

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Caso 5: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción

Ejemplo:

1) x4 + x y2 + y4

Solución:

(𝑥2 + 𝑦2)2 = 𝑥2 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑥2𝑦2.

𝑥4 + 𝑥2𝑦2 + 𝑦4

+𝑥2𝑦2 −𝑥2𝑦2

𝑥4 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦4 − 𝑥2𝑦2

(𝑥2 + 𝑦2)2 − 𝑥2𝑦2 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜.

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦)(𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦) 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠.

𝑹. (𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) (𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜.

Caso 6: Trinomio de la Forma x2 + bx + c

Ejemplos:

1) y2 – 7y + 15

𝑹. (𝑦 − 3)(𝑥 − 5) 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑟

𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜.

2) x2 + 2x – 15 =

𝑹. (𝑥 + 5)(𝑥 − 3)

3) x2 + 6x – 216

𝑹. (𝑥 + 18)(𝑥 − 12)

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Caso 7: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c

Ejemplos:

1) 6𝑥2 – 7𝑥 – 3

Solución:

(6𝑥)2 − 7(6𝑥) − 18

(6𝑥−9)

3*

(6𝑥+2)

2

3(2𝑥 − 3) 2(3𝑥 + 1)

𝑹. (2𝑥 − 3) (3𝑥 + 1)

Caso 8: Cubo Perfecto de Binomios

Ejemplos:

𝑚3 – 3𝑎𝑚2𝑛 + 3𝑎2𝑚𝑛2 – 𝑎3𝑛3

Solución:

1) (𝑚 − 𝑎𝑛)3 = (𝑚)3 − 3(𝑚)2(𝑎𝑛) + 3(𝑚)(𝑎𝑛)2 − (𝑎𝑛)3

𝑹. 𝑚3 − 3𝑎𝑚2𝑛 + 3𝑎2𝑚𝑛2 − 𝑎3𝑛3

2) 125x3 + 1 + 75x2 + 15x

Solución:

125𝑥3 + 75𝑥2 + 15𝑥 + 1 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟

(5𝑥 + 1)3 = (5𝑥)3 + 3(5𝑥)2(1) + 3(5𝑥)(1)2 + (1)3

𝑹. 125𝑥3 + 75𝑥2 + 15𝑥 + 1

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Caso 9: Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

1) 𝑥3 + 1 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠, 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑦 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠.

Solución:

(𝑥 + 1) ( (𝑥)2 − (𝑥)(1) + (1)2 ) = 𝑹. (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)

2) 𝑚3 − 𝑛3

Solución:

(𝑚 − 𝑛) ( (𝑚)2 + (𝑚)(𝑛) + (𝑛)2 ) = 𝑹. (𝑚 − 𝑛)(𝑚2 + 𝑚𝑛 + 𝑛2)

Ejercicios Propuestos de Productos Notables y Factorización

I. Resolver los Siguientes Productos Notables:

1) (2𝑥 + 10𝑦)2

2) (1

2𝑥 − 3)2

3) (5𝑥2 − 3)3

4) (2𝑥𝑦−3 +1

4)3

II. Factorizar los siguientes Polinomios:

1) x4 -14x2 +49

2) w4 + 2w2 +9

3) b8 – 9b4 + 16

4) m2 +5m -14

5) 2y2 +5y +2

6) 9x2 +37x +4

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Ecuaciones

a) Ecuación Lineal con una incógnita

5x + -2x + (-x + 6) = 18 - - (7x + 6) – (3x – 24)

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑒𝑚𝑝𝑒𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎,

𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠:

5𝑥 + {−2𝑥 + (−𝑥 + 6)} = 18 − {−(7𝑥 + 6) − 3𝑥 + 24}

5𝑥 + {−2𝑥 + (−𝑥 + 6)} = 18 − {−7𝑥 − 6 − 3𝑥 + 24}

5𝑥 + {−2𝑥 + (−𝑥 + 6)} = 18 − {−10𝑥 + 18} 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

5𝑥 + {−2𝑥 + (−𝑥 + 6)} = 18 + 10𝑥 − 18 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑙𝑙𝑎𝑣𝑒 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜

5𝑥 + {−2𝑥 + (−𝑥 + 6)} = 10𝑥 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

5𝑥 + {−2𝑥 − 𝑥 + 6} = 10𝑥

5𝑥 + {−3𝑥 + 6} = 10𝑥 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠

5𝑥 − 3𝑥 + 6 = 10𝑥 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑙𝑎𝑣𝑒 𝑦 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠

2𝑥 + 6 = 10𝑥

2𝑥 − 10𝑥 = −6 𝑎𝑔𝑟𝑢𝑝𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑦 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜

−8𝑥 = −6

𝑥 =6

8 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑹. 𝑥 = 3/4

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b) Ecuación lineal con dos incógnitas

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Se presentan tres casos:

1) Si a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 entonces el conjunto solución del sistema es el vació y

decimos que el sistema es incompatible.

2) Si a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 entonces el conjunto solución contiene infinitos pares de

valores. En este caso ambas ecuaciones son equivalentes (una es múltiplo de la

otra) y decimos que el sistema es compatible indeterminado.

3) Si a1/a2 ≠ b1/b2 o sea a1*b2 ≠ a2 * b1 entonces el conjunto solución contiene uno y

solo un par de valores (x, y) y decimos que el sistema es compatible determinado.

Ejemplo:

{3𝑥 − 2𝑦 = −2

5𝑥 + 8𝑦 = −60}

Resolver por Reducción

Solución (c): Método de Reducción

𝑝𝑎𝑠𝑜 1: 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠, 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 ¨𝑦¨ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠

𝑝𝑜𝑟 4 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 𝑦 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠:

(3𝑥 − 2𝑦 = −2) ∗ (4)5𝑥 + 8𝑦 = −60

𝑝𝑎𝑠𝑜 2: 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛

12𝑥 − 8𝑦 = −8

5𝑥 + 8𝑦 = −60

17𝑥 = −68

𝑥 = −68/17 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟

𝑥 = −4

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b) Ecuaciones de Segundo Grado

b.2) Solución por factorización

1) Resolver por factorización la siguiente ecuación

𝑥2 − 3𝑥 − 28 = 0

(𝑥 − 7)(𝑥 + 4) = 0

𝑥 − 7 = 0 ; 𝒙𝟏 = 𝟕

𝑥 + 4 = 0 ; 𝒙𝟐 = −𝟒

Las raíces de la ecuación de segundo grado son:

(𝑥1, 𝑥2) = (7,4)

b.3) solución por la formula General

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

6x2 = x + 222

Solución:

𝑝𝑎𝑠𝑜 1: 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛

6𝑥2 − 𝑥 − 222 = 0

𝑎 = 6; 𝑏 = −1; 𝑐 = −222

𝑥1,2 =−(−1)±√(−1)2−4(6)(−222)

2(6) 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠

𝑥1,2 =1±√1+5328

12

𝑥1,2 =1±√5329

12

𝑥1,2 =1±73

12

𝑥1 =1+73

12=

74

12=

𝟑𝟕

𝟔

𝑥21 =1−73

12=

−72

12= −𝟔

Las raíces de la ecuación de segundo grado son:

(𝑥1, 𝑥2) = (376⁄ , −6)

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Funciones

a) Función Lineal

Toda función de la forma Y = mx donde m es una constante diferente de cero, es una

función lineal.

Principios:

1) Toda función de primer grado representa una línea recta y por eso se llama

función lineal.

2) Si la función carece de termino independiente, o sea si es de la forma Y = mx, la

línea que ella representa pasa por el origen.

3) Si la función tiene termino independiente, o sea si es de la forma Y = mx + b,

donde a y b son constantes, la línea que ella representa no pasa por el origen y su

intercepto sobre el eje de las Y es igual al termino independiente b.

Ejemplos: grafique la función, determine sus interceptos, dominio, recorrido

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑝𝑎𝑠𝑜 1: 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑠

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑓(𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜

𝑠𝑖 𝑓(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠; 0 = 𝑥 + 2 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑥

𝑥 = −2, 𝑎𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−2,0)

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦, (𝑥)𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜

𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) = 2, 𝑎𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0,2)

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𝑝𝑎𝑠𝑜 2: 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑠

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑅2

𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠: 𝐷 = ⟨𝑅⟩

𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠: 𝑅 = ⟨𝑅⟩

b) Función Cuadrática

Función cuadrática:

𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐸 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0

Características comunes en graficas de funciones cuadráticas:

1) 𝑆𝑖 𝑏 𝑦 𝑐 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 𝑒𝑠 (0,0); 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑖 𝑎 >0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

2) 𝑓 (𝑥) = 𝒂𝒙𝟐 𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑒𝑠 (0,0); 𝑎 < 0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎.

3) 𝑆𝑖 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 ≠ 0 𝑓 (𝑥) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄; 𝑉 (0, 𝑐) 𝑠𝑖 𝑎 < 0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎.

4) 𝑆𝑖 𝑐 = 0 𝑦 𝑏 ≠ 0 𝑓 (𝑥) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙; 𝑣 (−𝑏/2𝑎, 𝑓(−𝑏/2𝑎)) 5) 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0 𝑓 (𝑥) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ; 𝑣 (−𝑏/2𝑎, 𝑓(−𝑏/2𝑎))

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Recomendaciones para graficar una función de Segundo grado

𝑝𝑎𝑠𝑜 1: 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛.

𝑝𝑎𝑠𝑜 2: 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛.

𝑝𝑎𝑠𝑜 3: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑦𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑅2.

𝑝𝑎𝑠𝑜 4: 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛.

Ejemplos: grafique las siguientes funciones cuadráticas.

1) 𝐹 (𝑥) = 2𝑥2

Solución:

Los ceros de la función son X= 0, puesto que es de la forma 𝑓 (𝑥) = 𝒂𝒙𝟐

El vértice de la función es el origen V (0,0)

Tabla de valores, el dominio son todos los reales:

X -2 -1 0 1 2

F(X) 4 1 0 1 4

𝐷 = ⟨𝑅⟩

𝑅 = ⟨𝑅 +⟩

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2) 𝐹 (𝑥 ) = 𝑥2 + 𝑥

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑓(𝑥) = 0 ∶

𝑥2 + 𝑥 = 0

𝑥 (𝑥 + 1) = 0 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛

𝑥1 = 0; 𝑥2 = −1 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑛 (0 𝑦 − 1), 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

El vértice de la función está dado por: 𝑣 (−𝑏/2𝑎, 𝑓(−𝑏/2𝑎))

𝑏 = 1; 𝑎 = 1

𝑣 (−𝑏

2𝑎, 𝑓 (−

𝑏

2𝑎)) = 𝑣 (− (

1

2(1)) , (

3

4))

𝒗 (𝟏𝟐⁄ , 𝟑

𝟒⁄ )

La función evaluada en ½:

𝑓 (−1

2) = (− 1

2⁄ )2 − (12⁄ )

𝑓 (−1

2) = −1/4

Tabla de valores, el dominio son todos los reales

X -3 -2 -1 0 1 2

F(X) 6 2 0 0 2 6

D = ⟨𝑅⟩

R = [−1/4[+∝

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3) 𝐹 (𝑥) = 𝑥2 – 2

Esta funcion es de la forma 𝑎𝑥2 ± c

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑓(𝑥) = 0 ∶

𝑥2 − 2 = 0

𝑥2 = 2 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛

𝑥1,2 = ±√2 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑛 (−√2 𝑦 √2), 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥

𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

El vértice de la función está dado por: 𝑣 (0, 𝑐) = 𝑣(0, −2)

𝐷 = ⟨𝑅⟩

𝑅 = ⦋−2, +∞)

Gráficar:

1) Grafique las siguientes funciones lineales:

a) F(x) = 4x – 8

b) ½ x + 5 = y

2) Encuentre la distancia de (-3, 2) a la recta 3x + 4y = 6

Funciones Cuadráticas

Grafique las siguientes funciones, encuentre; vértice, ceros de la función dominio y

recorrido:

1) F(x) = x2 – 3x + 2 8) F(x) = 2 – x2

2) F(x) = 2x2 – x – 3 9) F(x) = x2 – 4x + 4

3) F(x) = x2 – 6x

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4) F(x) = 1 + x2

5) F(x) = 4 – x2

6) F(x) = -3x2

7) F(x) = 2x2

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